Demostrar con Lean4 que la raíz cuadrada de 2 es irracional; es decir, que no existen \(m, n ∈ ℕ\) tales que \(m\) y \(n\) son coprimos (es decir, que no tienen factores comunes distintos de uno) y \(m² = 2n²\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic import Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs open Nat variable {m n : ℕ} example : ¬∃ m n, coprime m n ∧ m ^ 2 = 2 * n ^ 2 := by sorry
Demostrar con Lean4 que si (n²) es par, entonces (n) es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic open Nat variable (n : ℕ) example (h : 2 ∣ n ^ 2) : 2 ∣ n := by sorry
Demostrar con Lean4 que existen infinitos números primos.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic import Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs open Nat example (n : ℕ) : ∃ p, n ≤ p ∧ Nat.Prime p := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ (P → Q) ↔ ¬P ∨ Q \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic variable (P Q : Prop) example : (P → Q) ↔ ¬P ∨ Q := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ ¬¬P → P \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic variable (P : Prop) example : ¬¬P → P := by sorry
Demostrar con Lean4 que en \(ℝ\), \[x² = y² → x = y ∨ x = -y\]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable (x y : ℝ) example (h : x^2 = y^2) : x = y ∨ x = -y := by sorry
Demostrar con Lean4 que en \(ℝ\), si \(x² = 1\) entonces \(x = 1\) ó \(x = -1\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable (x y : ℝ) example (h : x^2 = 1) : x = 1 ∨ x = -1 := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \((∃ x, y ∈ ℝ)[z = x² + y² ∨ z = x² + y² + 1]\), entonces \(z ≥ 0\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable {z : ℝ} example (h : ∃ x y, z = x^2 + y^2 ∨ z = x^2 + y^2 + 1) : z ≥ 0 := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(m\) divide a \(n\) o a \(k\), entonces \(m\) divide a \(nk\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic variable {m n k : ℕ} example (h : m ∣ n ∨ m ∣ k) : m ∣ n * k := by sorry
Demostrar con Lean4 que en ℝ, si \(x ≠ 0\) entonces \(x < 0\) ó \(x > 0\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable {x : ℝ} example (h : x ≠ 0) : x < 0 ∨ x > 0 := by sorry