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Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces -a + (a + b) = b

Anillos

En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si R es un anillo, entonces \[ ∀ a, b : R, -a + (a + b) = b \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a b : R)

example : -a + (a + b) = b :=
sorry

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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + -a = 0

Anillos

En Lean4, se declara que \(R\) es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si \(R\) es un anillo, entonces \[ ∀ a : R, a + -a = 0 \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a + -a = 0 :=
sorry

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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + 0 = a

Anillos

En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si R es un anillo, entonces \[ ∀ a : R, a + 0 = a \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a + 0 = a :=
sorry

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Si a + b = c, entonces (a + b)(a + b) = ac + bc

Números reales

Demostrar con Lean4 que si a, b y c son números reales tales que \[ a + b = c \] entonces \[ (a + b)·(a + b) = a·c + b·c \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c : ℝ)

example
  (h : a + b = c)
  : (a + b) * (a + b) = a * c + b * c :=
sorry

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Si c = da + b y b = ad, entonces c = 2ad

Números reales

Demostrar con Lean4 que si a, b, c y d son números reales tales que \begin{align} c &= da + b \newline b &= ad \end{align} entonces \[ c = 2ad \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c d : ℝ)

example
  (h1 : c = d * a + b)
  (h2 : b = a * d)
  : c = 2 * a * d :=
sorry

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En ℝ, (a+b)(a-b) = a²-b²

Números reales

Demostrar con Lean4 que si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \[ (a + b)·(a - b) = a² - b² \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b : ℝ)

example : (a + b) * (a - b) = a^2 - b^2 :=
sorry

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En ℝ, (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Números reales

Demostrar con Lean4 que si \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son números reales, entonces \[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c d : ℝ)

example
  : (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d :=
sorry

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En ℝ, (a + b)(a + b) = aa + 2ab + bb

Números reales

Demostrar con Lean4 que si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \[ (a + b)(a + b) = aa + 2ab + bb \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c : ℝ)

example :
  (a + b) * (a + b) = a * a + 2 * (a * b) + b * b :=
sorry

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Si c = ba-d y d = ab, entonces c = 0

Números reales

Demostrar con Lean4 que si \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son números reales tales \begin{align} &c = ba - d \newline &d = ab \end{align} entonces \[ c = 0 \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

example
  (a b c d : ℝ)
  (h1 : c = b * a - d)
  (h2 : d = a * b)
  : c = 0 :=
by sorry

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Si bc = ef, entonces ((ab)c)d = ((ae)f)d

Números reales

Demostrar con Lean4 que si \(bc = ef\), entonces \(((ab)c)d = ((ae)f)d\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

example
  (a b c d e f : ℝ)
  (h : b * c = e * f)
  : ((a * b) * c) * d = ((a * e) * f) * d :=
by sorry

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