Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0.a = 0

José A. Alonso

04-08-2023

Anillos

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a ∈ R, entonces \[ 0·a = 0 \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : 0 * a = 0 :=
sorry

Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a.0 = 0

José A. Alonso

03-08-2023

Anillos

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a ∈ R, entonces \[ a·0 = 0 \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a * 0 = 0 :=
sorry

Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=c+b, entonces a=c

José A. Alonso

02-08-2023

Anillos

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que \[ a + b = c + b \] entonces \[ a = c \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b c : R}

example
  (h : a + b = c + b)
  : a = c :=
sorry

Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=a+c, entonces b=c

José A. Alonso

01-08-2023

Anillos

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que \[ a + b = a + c \] entonces \[ b = c \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b c : R}

example
  (h : a + b = a + c)
  : b = c :=
sorry

Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a

José A. Alonso

31-07-2023

Anillos

En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si R es un anillo, entonces \[ ∀ a, b : R, (a + b) + -b = a \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a b : R)

example : (a + b) + -b = a :=
sorry

Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces -a + (a + b) = b

José A. Alonso

28-07-2023

Anillos

En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si R es un anillo, entonces \[ ∀ a, b : R, -a + (a + b) = b \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a b : R)

example : -a + (a + b) = b :=
sorry

Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + -a = 0

José A. Alonso

27-07-2023

Anillos

En Lean4, se declara que \(R\) es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si \(R\) es un anillo, entonces \[ ∀ a : R, a + -a = 0 \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a + -a = 0 :=
sorry

Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + 0 = a

José A. Alonso

26-07-2023

Anillos

En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si R es un anillo, entonces \[ ∀ a : R, a + 0 = a \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a + 0 = a :=
sorry

Si a + b = c, entonces (a + b)(a + b) = ac + bc

José A. Alonso

25-07-2023

Números reales

Demostrar con Lean4 que si a, b y c son números reales tales que \[ a + b = c \] entonces \[ (a + b)·(a + b) = a·c + b·c \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c : ℝ)

example
  (h : a + b = c)
  : (a + b) * (a + b) = a * c + b * c :=
sorry

Si c = da + b y b = ad, entonces c = 2ad

José A. Alonso

24-07-2023

Números reales

Demostrar con Lean4 que si a, b, c y d son números reales tales que \begin{align} c &= da + b \newline b &= ad \end{align} entonces \[ c = 2ad \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c d : ℝ)

example
  (h1 : c = d * a + b)
  (h2 : b = a * d)
  : c = 2 * a * d :=
sorry