Demostrar la propiedad arquimediana de los números reales; es decir, que para cualquier \(ε ∈ ℝ\) con \(0 < ε\), existe \(N ∈ ℕ\) tal que \(1/ε < N\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable {ε : ℝ} variable (h : 0 < ε) example : ∃ (N : ℕ), 1 / ε < N := by sorry
En Lean, una sucesión \(a₀, a₁, a₂, ...\) se puede representar mediante una función \((a : ℕ → ℝ)\) de forma que \(a(n)\) es \(aₙ\).
Se define que \(L\) es el límite de la sucesión \(a\), por
def LimSuc (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop := ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε
Demostrar que si para todo \(n\), \(aₙ = L\), entonces la sucesión \(a\) converge a \(L\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable (a : ℕ → ℝ) variable (L : ℝ) def LimSuc (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop := ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε example (h : ∀ n, a n = L) : LimSuc a L := by sorry
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ s ∪ f⁻¹[v] ⊆ f⁻¹[f[s] ∪ v] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) variable (v : Set β) example : s ∪ f ⁻¹' v ⊆ f ⁻¹' (f '' s ∪ v) := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Union_con_la_imagen_inversa imports Main begin lemma "s ∪ f -` v ⊆ f -` (f ` s ∪ v)" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f[s] ∩ v = f[s ∩ f⁻¹[v]] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function import Mathlib.Tactic open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) variable (v : Set β) example : (f '' s) ∩ v = f '' (s ∩ f ⁻¹' v) := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Interseccion_con_la_imagen_inversa imports Main begin lemma "(f ` s) ∩ v = f ` (s ∩ f -` v)" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f[s ∪ f⁻¹[v]] ⊆ f[s] ∪ v \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function import Mathlib.Tactic open Set variable (α β : Type _) variable (f : α → β) variable (s : Set α) variable (v : Set β) example : f '' (s ∪ f ⁻¹' v) ⊆ f '' s ∪ v := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Union_con_la_imagen imports Main begin lemma "f ` (s ∪ f -` v) ⊆ f ` s ∪ v" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f[s] ∩ t = f[s ∩ f⁻¹[t]] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function import Mathlib.Tactic open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) variable (t : Set β) example : (f '' s) ∩ t = f '' (s ∩ f ⁻¹' t) := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Interseccion_con_la_imagen imports Main begin lemma "(f ` s) ∩ v = f ` (s ∩ f -` v)" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[f[s] \setminus f[t] ⊆ f[s \setminus t] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function import Mathlib.Tactic open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s t : Set α) example : f '' s \ f '' t ⊆ f '' (s \ t) := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos imports Main begin lemma "f ` s - f ` t ⊆ f ` (s - t)" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que si \(f\) es inyectiva, entonces \[ f[s] ∩ f[t] ⊆ f[s ∩ t] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set Function variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s t : Set α) example (h : Injective f) : f '' s ∩ f '' t ⊆ f '' (s ∩ t) := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas imports Main begin lemma assumes "inj f" shows "f ` s ∩ f ` t ⊆ f ` (s ∩ t)" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f[s ∩ t] ⊆ f[s] ∩ f[t] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function import Mathlib.Tactic open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s t : Set α) example : f '' (s ∩ t) ⊆ f '' s ∩ f '' t := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Imagen_de_la_interseccion imports Main begin lemma "f ` (s ∩ t) ⊆ f ` s ∩ f ` t" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[f⁻¹[A ∪ B] = f⁻¹[A] ∪ f⁻¹[B]\]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (A B : Set β) example : f ⁻¹' (A ∪ B) = f ⁻¹' A ∪ f ⁻¹' B := by sorry
y la siguiente teoría de IsabelleHOL:
theory Imagen_inversa_de_la_union imports Main begin lemma "f -` (u ∪ v) = f -` u ∪ f -` v" sorry end