En Lean4 están definidas las funciones length y replicate tales que

• (length xs) es la longitud de la lista xs. Por ejemplo,

  length [1,2,5,2] = 4
  

• (replicate n x) es la lista que tiene el elemento x n veces. Por ejemplo,

  replicate 3 7 = [7, 7, 7]
  

Demostrar que

length (replicate n x) = n

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.List.Basic
open Nat
open List

variable {α : Type}
variable (x : α)
variable (n : ℕ)

example :
  length (replicate n x) = n :=
by sorry

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En Lean4, una sucesión \(u_0, u_1, u_2, ...\) se puede representar mediante una función \(u : ℕ → ℝ\) de forma que \(u(n)\) es \(u_n\).

En Lean4, se define que \(a\) es el límite de la sucesión \(u\), por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε

y que la sucesión \(u\) es no decreciente por

   def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m

Demostrar con Lean4 que si \(u\) es una sucesión no decreciente y su límite es \(a\), entonces \(u(n) ≤ a\) para todo \(n\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {u : ℕ → ℝ}
variable (a : ℝ)

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε

def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m

example
  (h : limite u a)
  (h' : no_decreciente u)
  : ∀ n, u n ≤ a :=
by sorry

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En Lean4, una sucesión \(u_0, u_1, u_2, ...\) se puede representar mediante una función \(u : ℕ → ℝ\) de forma que \(u(n)\) es \(uₙ\).

Se define que \(a\) es el límite de la sucesión \(u\), por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε

La sucesión \(u\) diverge positivamente cuando, para cada número real \(A\), se puede encontrar un número natural \(m\) tal que si \(n ≥ m\), entonces \(uₙ > A\). En Lean se puede definir por

   def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A

Demostrar que si \(u\) diverge positivamente, entonces ningún número real es límite de \(u\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {u : ℕ → ℝ}

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε

def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A

example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
by sorry

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En Lean4, una sucesión \(u_0, u_1, u_2, u_3 ...\) se puede representar mediante una función \(u : ℕ → ℝ\) de forma que \(u(n)\) es el término \(u_n\).

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \(u_0, u_2, u_4, u_6, ...\) se ha obtenido con la función de extracción \(f\) tal que \(f(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(f\) es una función de extracción por

   def extraccion (f : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → f n < f m

que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

que a es un punto de acumulación de u por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ f, extraccion f ∧ limite (u ∘ f) a

que la sucesión u es de Cauchy por

   def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε

Demostrar con Lean4 que si \(u\) es una sucesión de Cauchy y \(a\) es un punto de acumulación de \(u\), entonces \(a\) es el límite de \(u\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

open Nat

variable {u : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}

example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
by sorry

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Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(f\) tal que \(f(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(f\) es una función de extracción por

   def extraccion (f : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → f n < f m

que \(a\) es un límite de \(u\) por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

que \(u\) es convergente por

   def convergente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∃ a, limite u a

que \(a\) es un punto de acumulación de \(u\) por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ f, extraccion f ∧ limite (u ∘ f) a

Demostrar con Lean4 que si \(u\) es una sucesión convergente y \(a\) es un punto de acumulación de \(u\), entonces \(a\) es un límite de \(u\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

open Nat

variable {u : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}

def extraccion (f : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → f n < f m

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

def convergente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ a, limite u a

def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ f, extraccion f ∧ limite (u ∘ f) a

example
  (hu : convergente u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
by sorry

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Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_3, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(φ\) tal que \(φ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(φ\) es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

que \(v\) es una subsucesión de \(u\) por

   def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ

y que \(a\) es un límite de \(u\) por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

Demostrar con Lean4 que las subsucesiones de una sucesión convergente tienen el mismo límite que la sucesión.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Nat

variable {u v : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}
variable {φ : ℕ → ℕ}

def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m

def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
by sorry

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Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(φ\) tal que \(φ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(φ\) es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

También se puede definir que \(a\) es un límite de \(u\) por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ n, ∀ k ≥ n, |u k - a| < ε

Los puntos de acumulación de una sucesión son los límites de sus subsucesiones. En Lean4 se puede definir por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

Demostrar que si \(a\) es un punto de acumulación de \(u\), entonces \[ (∀ ε > 0)(∀ n ∈ ℕ)(∃ k ≥ n)[|u(k) - a| < ε \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Nat

variable {u : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}
variable {φ : ℕ → ℕ}

def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ n, ∀ k ≥ n, |u k - a| < ε

def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ n, ∃ k ≥ n, |u k - a| < ε :=
by sorry

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Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(ϕ\) tal que \(ϕ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(ϕ\) es una función de extracción por

   def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → ϕ n < ϕ m

Demostrar que las funciones de extracción no están acotadas; es decir, que si \(ϕ\) es una función de extracción, entonces \[ (∀ N, N')(∃ n ≥ N')[ϕ(n) ≥ N] \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
open Nat

variable {ϕ : ℕ → ℕ}

def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → ϕ n < ϕ m

example
  (h : extraccion ϕ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', ϕ n ≥ N :=
by sorry

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Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(ϕ\) tal que \(ϕ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(ϕ\) es una función de extracción por

   def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ {n m}, n < m → ϕ n < ϕ m

Demostrarcon Lean4 que si \(ϕ\) es una función de extracción, entonces \[ (∀ n)[n ≤ ϕ(n) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
open Nat

variable {ϕ : ℕ → ℕ}

def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ {n m}, n < m → ϕ n < ϕ m

example :
  extraccion ϕ → ∀ n, n ≤ ϕ n :=
by sorry

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Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean4 por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia \(P\) de subconjuntos de \(X\) es una partición de \(X\) si cada elemento de \(X\) pertenece a un único conjunto de \(P\) y todos los elementos de \(P\) son no vacíos. Se puede definir en Lean4 por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una partición de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es una relación de equivalencia.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : Equivalence (relacion P) :=
by sorry

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