Sea \(M\) un monoide y \(a, b ∈ M\) tales que \(ab = 1\). Demostrar con Lean4 que \(a = 1\) si y sólo si \(b = 1\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Algebra.Group.Basic variable {M : Type} [Monoid M] variable {a b : M} example (h : a * b = 1) : a = 1 ↔ b = 1 := by sorry
En los monoides se define la potencia con exponentes naturales. En Lean la potencia x^n se se caracteriza por los dos siguientes lemas:
pow_zero : x^0 = 1 pow_succ : x^(succ n) = x * x^n
Demostrar con Lean4 que si \(M\) es un monoide, \(x ∈ M\) y \(m, n ∈ ℕ\), entonces \[ x^{m + n} = x^m x^n \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Algebra.Group.Defs import Mathlib.Tactic open Nat variable {M : Type} [Monoid M] variable (x : M) variable (m n : ℕ) example : x^(m + n) = x^m * x^n := by sorry
Un monoide es un conjunto junto con una operación binaria que es asociativa y tiene elemento neutro.
En Lean4, está definida la clase de los monoides (como Monoid) y sus propiedades características son
mul_assoc : (a * b) * c = a * (b * c) one_mul : 1 * a = a mul_one : a * 1 = a
Demostrar que si \(M\) es un monoide, \(a ∈ M\), \(b\) es un inverso de \(a\) por la izquierda y \(c\) es un inverso de \(a\) por la derecha, entonces \(b = c\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Algebra.Group.Defs import Mathlib.Tactic variable {M : Type} [Monoid M] variable {a b c : M} example (hba : b * a = 1) (hac : a * c = 1) : b = c := by sorry
Demostrar con Lean4 el teorema de Cantor; es decir, que no existe ninguna aplicación suprayectiva de un conjunto en el conjunto de sus subconjuntos.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Basic open Function variable {α : Type} example : ∀ f : α → Set α, ¬Surjective f := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ f⁻¹\left[\bigcap_{i \in I} B_i\right] = \bigcap_{i \in I} f⁻¹[B_i] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Basic import Mathlib.Tactic open Set variable {α β I : Type _} variable (f : α → β) variable (B : I → Set β) example : f ⁻¹' (⋂ i, B i) = ⋂ i, f ⁻¹' (B i) := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ f⁻¹\left[⋃ᵢ Bᵢ\right] = ⋃ᵢ f⁻¹[Bᵢ] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Basic import Mathlib.Tactic open Set variable {α β I : Type _} variable (f : α → β) variable (B : I → Set β) example : f ⁻¹' (⋃ i, B i) = ⋃ i, f ⁻¹' (B i) := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(f\) es inyectiva, entonces \[⋂ᵢf[Aᵢ] ⊆ f\left[⋂ᵢAᵢ\right] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Basic import Mathlib.Tactic open Set Function variable {α β I : Type _} variable (f : α → β) variable (A : I → Set α) example (i : I) (injf : Injective f) : (⋂ i, f '' A i) ⊆ f '' (⋂ i, A i) := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ f\left[\bigcap_{i ∈ I} A_i\right] ⊆ \bigcap_{i ∈ I} f[A_i] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Basic import Mathlib.Tactic open Set variable {α β I : Type _} variable (f : α → β) variable (A : I → Set α) example : f '' (⋂ i, A i) ⊆ ⋂ i, f '' A i := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ f[⋃ᵢAᵢ] = ⋃ᵢf[Aᵢ] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Basic import Mathlib.Tactic open Set variable {α β I : Type _} variable (f : α → β) variable (A : ℕ → Set α) example : f '' (⋃ i, A i) = ⋃ i, f '' A i := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ s ∪ f⁻¹[v] ⊆ f⁻¹[f[s] ∪ v] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) variable (v : Set β) example : s ∪ f ⁻¹' v ⊆ f ⁻¹' (f '' s ∪ v) := by sorry