Se dice que la relación binaria \(R\) es

• reflexiva si \((∀x)R(x, x)\)
• circular si \((∀x, y, z)[R(x, y) ∧ R(y, z) ⟶ R(z, x)]\)
• simétrica si \((∀x, y)[R(x, y) ⟶ R(y, x)]\)

Demostrar que las relaciones reflexivas y circulares son simétricas. Para ello, completar la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Las_reflexivas_circulares_son_simetricas
imports Main
begin

lemma
  assumes "∀x. R(x, x)"
          "∀x y z. R(x, y) ∧ R(y, z) ⟶ R(z, x)"
  shows   "∀x y. R(x, y) ⟶ R(y, x)"
  oops

end

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Decidir si es cierto que

"Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie."

Se usará la siguiente simbolización:

• A(x,y) para x afeita a y
• C(x) para x es un habitante de Las Chinas
• c para Carlos

El problema consiste en completar la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory El_problema_del_barbero
imports Main
begin

lemma
  assumes "∀x. A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x)"
          "C(c)"
  shows   "¬(∃x. A(c,x))"
  oops

end

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Decidir si es cierto que

"Existe una persona tal que si dicha persona se infecta, entonces todas las personas se infectan."

El problema consiste en completar la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory El_problema_de_los_infectados
imports Main

begin

lemma "∃x. (I x ⟶ (∀y. I y))"
  by sorry

end

en la que se ha usado I(x) para representar que la persona x está infectada.

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