Ir al contenido principal

Menor potencia de 2 comenzando un número dado

Misceláneas

Definir las siguientes funciones

potenciasDe2  :: Integer -> [Integer]
menorPotenciaDe2 :: Integer -> Integer

tales que

  • (potenciasDe2 a) es la lista de las potencias de 2 que comienzan por a. Por ejemplo,
λ> take 5 (potenciasDe2 3)
[32,32768,33554432,34359738368,35184372088832]
λ> take 2 (potenciasDe2 102)
[1024,102844034832575377634685573909834406561420991602098741459288064]
  • (menorPotenciaDe2 a) es la menor potencia de 2 que comienza con el número a. Por ejemplo,
λ> menorPotenciaDe2 10
1024
λ> menorPotenciaDe2 25
256
λ> menorPotenciaDe2 62
6277101735386680763835789423207666416102355444464034512896
λ> menorPotenciaDe2 425
42535295865117307932921825928971026432
λ> menorPotenciaDe2 967140655691
9671406556917033397649408
λ> [menorPotenciaDe2 a | a <- [1..10]]
[1,2,32,4,512,64,70368744177664,8,9007199254740992,1024]

Comprobar con QuickCheck que, para todo entero positivo a, existe una potencia de 2 que empieza por a.

Leer más…

Máxima ramificación

Misceláneas

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

data Arbol a = N a [Arbol a]
               deriving Show

Por ejemplo, los árboles

  1         1             1
 / \       / \           / \
2   3     2   3         2   3
    |        /|\       /|\  |
    4       4 5 6     4 5 6 7

se representan por

ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int
ej1 = N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]]
ej2 = N 1 [N 2 [], N 3 [N 4 [], N 5 [], N 6 []]
ej3 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 [], N 6 []], N 3 [N 7 []]]

En el primer ejemplo la máxima ramificación es 2 (en el nodo 1 que tiene 2 hijos), la del segundo es 3 (en el nodo 3 que tiene 3 hijos) y la del tercero es 3 (en el nodo 3 que tiene 3 hijos).

Definir la función

maximaRamificacion :: Arbol a -> Int

tal que (maximaRamificacion a) es la máxima ramificación del árbol a. Por ejemplo,

maximaRamificacion ej1  ==  2
maximaRamificacion ej2  ==  3
maximaRamificacion ej3  ==  3

Leer más…

Números consecutivos compuestos

Misceláneas

Una serie compuesta de longitud n es una lista de n números consecutivos que son todos compuestos. Por ejemplo, [8,9,10] y [24,25,26] son dos series compuestas de longitud 3.

Cada serie compuesta se puede representar por el par formado por su primer y último elemento. Por ejemplo, las dos series anteriores se pueden representar pos (8,10) y (24,26) respectivamente.

Definir la función

menorSerieCompuesta :: Integer -> (Integer,Integer)

tal que (menorSerieCompuesta n) es la menor serie compuesta (es decir, la que tiene menores elementos) de longitud 3. Por ejemplo,

menorSerieCompuesta 3    ==  (8,10)
menorSerieCompuesta 4    ==  (24,27)
menorSerieCompuesta 5    ==  (24,28)
menorSerieCompuesta 150  ==  (4652354,4652503)

Comprobar con QuickCheck que para n > 1, el primer elemento de (menorSerieCompuesta n) es igual al primero de (menorSerieCompuesta (n-1)) o al primero de (menorSerieCompuesta (n+1)).

Leer más…

Conmutaciones ondulantes

Misceláneas

Una lista binaria es ondulante si sus elementos son alternativamente 0 y 1. Por ejemplo, las listas [0,1,0,1,0] y [1,0,1,0] son ondulantes.

Definir la función

minConmutacionesOndulante :: [Int] -> Int

tal que (minConmutacionesOndulante xs) es el mínimo número de conmutaciones (es decir, cambios de 0 a 1 o de 1 a 0) necesarias para transformar xs en una lista ondulante. Por ejemplo,

minConmutacionesOndulante [1,1,1]                ==  1
minConmutacionesOndulante [0,0,0,1,0,1,0,1,1,1]  ==  2

En el primer ejemplo basta conmutar el elemento en la posición 1 para obtener [1,0,1] y el segundo ejemplo los elementos en las posiciones 1 y 8 para obtener [0,1,0,1,0,1,0,1,0,1].

Leer más…

Números de Dudeney

Misceláneas

La semana pasada, Pepe Muñoz Santonja publicó en su blog Algo más que números el artículo Números de Dudeney en la base OEIS.

Un número de Dudeney es un número entero n tal que el cubo de la suma de sus dígitos es igual a n. Por ejemplo, 512 es un número de Dudeney ya que (5+1+2)^3 = 8^3 = 512.

Se puede generalizar variando el exponente: Un número de Dudeney de orden k es un número entero n tal que la potencia k-ésima de la suma de sus dígitos es igual a n. Por ejemplo, 2401 es un número de Dudeney de orden 4 ya que (2+4+0+1)^4 = 7^4 = 2401.

Definir la función

numerosDudeney :: Integer -> [Integer]

tal que (numerosDudeney k) es la lista de los números de Dudeney oe orden k. Por ejemplo,

take 6 (numerosDudeney 3)  == [1,512,4913,5832,17576,19683]
take 6 (numerosDudeney 4)  == [1,2401,234256,390625,614656,1679616]
take 2 (numerosDudeney 20) == [1,1215766545905692880100000000000000000000]

Comprobar con QuickCheck que 19683 es el mayor número de Dudeney de orden 3.

Leer más…

Números poderosos

Misceláneas

Un número es poderoso si es igual a la suma de sus dígitos elevados a sus respectivas posiciones. Por ejemplo, los números 89, 135 y 1306 son poderosos ya que

  89 = 8^1 + 9^2
 135 = 1^1 + 3^2 + 5^3.
1306 = 1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4

Definir la función

esPoderoso :: Integer -> Bool

tal que (esPoderoso n) se verifica si n es poderoso. Por ejemplo,

λ> esPoderoso 135
True
λ> esPoderoso 80
False
λ> esPoderoso 89
True
λ> esPoderoso 12157692622039623539
True
λ> [n | n <- [10..30000], esPoderoso n]
[89,135,175,518,598,1306,1676,2427]

Comprobar con QuickCheck que 12157692622039623539 es el mayor número poderoso.

Leer más…

Máximo producto en la partición de un número

Misceláneas

El artículo de esta semana de Antonio Roldán en su blog Números y hoja de cálculo es Máximo producto en la partición de un número (1).

Una partición de un entero positivo n es una forma de descomponer n como suma de enteros positivos. Dos sumas se considerarán iguales si solo difieren en el orden de los sumandos. Por ejemplo, las 11 particiones de 6 (con sus correspondientes productos) son

6 = 6                      |  6                     = 6
6 = 5 + 1                  |  5 x 1                 = 5
6 = 4 + 2                  |  4 x 2                 = 8
6 = 4 + 1 + 1              |  4 x 1 x 1             = 4
6 = 3 + 3                  |  3 x 3                 = 9
6 = 3 + 2 + 1              |  3 x 2 x 1             = 6
6 = 3 + 1 + 1 + 1          |  3 x 1 x 1 x 1         = 3
6 = 2 + 2 + 2              |  2 x 2 x 2             = 8
6 = 2 + 2 + 1 + 1          |  2 x 2 x 1 x 1         = 4
6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1      |  2 x 1 x 1 x 1 x 1     = 2
6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1  |  1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1

Se observa que el máximo producto de las particiones de 6 es 9.

Definir la función

maximoProductoParticiones :: Int -> Int

tal que (maximoProductoParticiones n) es el máximo de los productos de las particiones de n. Por ejemplo,

maximoProductoParticiones 4     ==  4
maximoProductoParticiones 5     ==  6
maximoProductoParticiones 6     ==  9
maximoProductoParticiones 7     ==  12
maximoProductoParticiones 8     ==  18
maximoProductoParticiones 9     ==  27
maximoProductoParticiones 50    ==  86093442
maximoProductoParticiones 100   ==  7412080755407364
maximoProductoParticiones 200   ==  61806308765265224723841283607058
length (show (maximoProductoParticiones (10^7)))  ==  1590405

Comprobar con QuickChek que los únicos posibles factores de (maximoProductoParticiones n) son 2 y 3.

Leer más…

Cuadrados ondulantes

Misceláneas

Un número se dice ondulante si sus cifras alternan entre dos valores. Por ejemplo, 272 es ondulante, así como 2727. El primer cuadrado ondulante no trivial (todos los cuadrados de dos cifras son ondulantes) es 121 = 11^2.

Definir la función

cuadradosOndulantes :: Integer -> [Integer]

tal que (cuadradosOndulantes n) es la lista de los cuadrados ondulantes menores que n^2. Por ejemplo,

λ> cuadradosOndulantes 50000
[0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,121,484,676,69696]

Leer más…

Persistencia multiplicativa de un número

Misceláneas

La persistencia multiplicativa de un número es la cantidad de pasos requeridos para reducirlo a una cifra multiplicando sus dígitos. Por ejemplo, la persistencia de 39 es 3 porque 3×9 = 27, 2×7 = 14 y 1×4 = 4.

Definir las funciones

persistencia     :: Integer -> Integer
menorPersistente :: Integer -> Integer

tales que

  • (persistencia x) es la persistencia de x. Por ejemplo,
persistencia 39                             ==   3
persistencia 2677889                        ==   8
persistencia 26888999                       ==   9
persistencia 3778888999                     ==  10
persistencia 277777788888899                ==  11
persistencia 77777733332222222222222222222  ==  11
  • (menorPersistente n) es el menor número con persistencia n. Por ejemplo,
menorPersistente 0  ==  1
menorPersistente 1  ==  10
menorPersistente 2  ==  25
menorPersistente 3  ==  39
menorPersistente 4  ==  77
menorPersistente 5  ==  679
menorPersistente 6  ==  6788
menorPersistente 7  ==  68889

Comprobar con QuickCheck si todos los números menores que 10^233 tienen una persistencia multiplicativa menor o igual que 11.

Leer más…

Números perfectos y cojonudos

Misceláneas

Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, el 28 es perfecto porque sus divisores propios son 1, 2, 4, 7 y 14 y 1+2+4+7+14 = 28.

Un entero positivo x es un número cojonudo si existe un n tal que n > 0, x = 2^n·(2^(n+1)-1) y 2^(n+1)-1 es primo. Por ejemplo, el 28 es cojonudo ya que para n = 2 se verifica que 2 > 0, 28 = 2^2·(2^3-1) y 2^3-1 = 7 es primo.

Definir la funciones

esPerfecto                      :: Integer -> Bool
esCojonudo                      :: Integer -> Bool
equivalencia_CojonudosPerfectos :: Integer -> Bool

tales que

  • (esPerfecto x) se verifica si x es perfecto. Por ejemplo,
esPerfecto 28  ==  True
esPerfecto 30  ==  False
  • (esCojonudo x) se verifica si x es cojonudo. Por ejemplo,
esCojonudo 28                   ==  True
esCojonudo 30                   ==  False
esCojonudo 2305843008139952128  ==  True
  • (equivalenciaCojonudosPerfectos n) se verifica si para todos los números x menores o iguales que n se tiene que x es perfecto si, y sólo si, x es cojonudo. Por ejemplo,
equivalenciaCojonudosPerfectos 3000  ==  True

Leer más…

Subconjuntos acotados

Misceláneas

Definir la función

subconjuntosAcotados :: [a] -> Int -> [[a]]

tal que (subconjuntosAcotados xs k) es la lista de los subconjuntos de xs con k elementos como máximo. Por ejemplo,

λ> subconjuntosAcotados "abcd" 1
["a","b","c","d",""]
λ> subconjuntosAcotados "abcd" 2
["ab","ac","ad","a","bc","bd","b","cd","c","d",""]
λ> subconjuntosAcotados "abcd" 3
["abc","abd","ab","acd","ac","ad","a",
 "bcd","bc","bd","b","cd","c","d",""]
λ> length (subconjuntosAcotados [1..1000] 2)
500501
λ> length (subconjuntosAcotados2 [1..2000] 2)
2001001

Leer más…

Variación de la conjetura de Goldbach

Misceláneas

La conjetura de Goldbach afirma que

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.

En este ejercicio consideraremos la variación consistente en exigir que los tres sumandos sean distintos.

Definir las funciones

sumas3PrimosDistintos      :: Int -> [(Int,Int,Int)]
conKsumas3PrimosDistintos  :: Int -> Int -> [Int]
noSonSumas3PrimosDistintos :: Int -> [Int]

tales que

  • (sumas3PrimosDistintos n) es la lista de las descomposiciones decrecientes de n como tres primos distintos. Por ejemplo,
sumas3PrimosDistintos 26  ==  [(13,11,2),(17,7,2),(19,5,2)]
sumas3PrimosDistintos 18  ==  [(11,5,2),(13,3,2)]
sumas3PrimosDistintos 10  ==  [(5,3,2)]
sumas3PrimosDistintos 11  ==  []
  • (conKsumas3PrimosDistintos k n) es la lista de los números menores o iguales que n que se pueden escribir en k forma distintas como suma de tres primos distintos. Por ejemplo,
conKsumas3PrimosDistintos 3 99  ==  [26,27,29,32,36,42,46,48,54,58,60]
conKsumas3PrimosDistintos 2 99  ==  [18,20,21,22,23,24,25,28,30,34,64,70]
conKsumas3PrimosDistintos 1 99  ==  [10,12,14,15,16,19,40]
conKsumas3PrimosDistintos 0 99  ==  [11,13,17]
  • (noSonSumas3PrimosDistintos n) es la lista de los números menores o iguales que n que no se pueden escribir como suma de tres primos distintos. Por ejemplo,
noSonSumas3PrimosDistintos 99   ==  [11,13,17]
noSonSumas3PrimosDistintos 500  ==  [11,13,17]

Leer más…

Conjetura de Rassias

Misceláneas

El artículo de esta semana del blog Números y hoja de cálculo está dedicado a la Conjetura de Rassias. Dicha conjetura afirma que

Para cada número primo p > 2 existen dos primos a y b, con a < b, tales que (p-1)a = b+1

Dado un primo p > 2, los pares de Rassia de p son los pares de primos (a,b), con a < b, tales que (p-1)a = b+1. Por ejemplo, (2,7) y (3,11) son pares de Rassia de 5 ya que

  • 2 y 7 son primos, 2 < 7 y (5-1)·2 = 7+1
  • 3 y 11 son primos, 3 < 11 y (5-1)·3 = 11+1

Definir las siguientes funciones

paresRassias     :: Integer -> [(Integer,Integer)]
conjeturaRassias :: Integer -> Bool

tales que

  • (paresRassias p) es la lista de los pares de Rassias del primo p (que se supone que es mayor que 2). Por ejemplo,
take 3 (paresRassias 5)    == [(2,7),(3,11),(5,19)]
take 3 (paresRassias 1229) == [(71,87187),(113,138763),(191,234547)]
  • (conjeturaRassia x) se verifica si para todos los primos menores que x (y mayores que 2) se cumple la conjetura de Rassia. Por ejemplo,
conjeturaRassias (10^5)  ==  True

Leer más…

Primo anterior

Misceláneas

Definir la función

primoAnterior :: Integer -> Integer

tal que (primoAnterior n) es el mayor primo menor que n (donde n > 2). Por ejemplo,

primoAnterior 10     ==  7
primoAnterior 17     ==  13
primoAnterior 30     ==  29
primoAnterior 2016   ==  2011
primoAnterior 15726  ==  15683

Calcular el menor número cuya distancia a su primo anterior es mayor que 40.

Leer más…

Primos de Kamenetsky

Misceláneas

Un número primo se dice que es un primo de Kamenetsky si al anteponerlo cualquier dígito se obtiene un número compuesto. Por ejemplo, el 5 es un primo de Kamenetsky ya que 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85 y 95 son compuestos. También lo es 149 ya que 1149, 2149, 3149, 4149, 5149, 6149, 7149, 8149 y 9149 son compuestos.

Definir la sucesión

primosKamenetsky :: [Integer]

tal que sus elementos son los números primos de Kamenetsky. Por ejemplo,

take 5 primosKamenetsky  ==  [2,5,149,401,509]

Leer más…

Números de Harshad hereditarios

Misceláneas

Un número de Harshad es un entero divisible entre la suma de sus dígitos. Por ejemplo, 201 es un número de Harshad porque es divisible por 3 (la suma de sus dígitos). Cuando se elimina el último dígito de 201 se obtiene 20 que también es un número de Harshad. Cuando se elimina el último dígito de 20 se obtiene 2 que también es un número de Harshad. Los números como el 201 que son de Harshad y que los números obtenidos eliminando sus últimos dígitos siguen siendo de Harshad se llaman números de Harshad hereditarios por la derecha. Definir la función

numeroHHD :: Int -> Bool

tal que (numeroHHD n) se verifica si n es un número de Harshad hereditario por la derecha. Por ejemplo,

numeroHHD 201  ==  True
numeroHHD 140  ==  False
numeroHHD 1104 ==  False

Calcular el mayor número de Harshad hereditario por la derecha con tres dígitos.

Leer más…

Triángulos geométricos

Misceláneas

Un triángulo geométrico es un triángulo de lados enteros, representados por la terna (a,b,c) tal que a ≤ b ≤ c y están en progresión geométrica, es decir, b^2 = a*c. Por ejemplo, un triángulo de lados a = 144, b = 156 y c = 169.

Definir la función

numeroTG :: Integer -> Int

tal que (numeroTG n) es el número de triángulos geométricos de perímetro menor o igual que n. Por ejemplo

numeroTG 10  == 3
numeroTG 100 == 42
numeroTG 200 == 91

Nota: Los triángulos geométricos de perímetro menor o igual que 20 son

[(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6),(4,6,9)]

Se observa que (1,2,4) aunque cumple que 1+2+4 <= 10 y 2^2 = 1*4 no pertenece a la lista ya que 1+2 > 4 y, por tanto, no hay ningún triángulo cuyos lados midan 1, 2 y 4.

Leer más…

Cadenas de primos complementarios

Misceláneas

El complemento de un número positivo x se calcula por el siguiente procedimiento:

  • si x es mayor que 9, se toma cada dígito por su valor posicional y se resta del mayor los otro dígitos. Por ejemplo, el complemento de 1448 es 1000 - 400 - 40 - 8 = 552. Para
  • si x es menor que 10, su complemento es x.

Definir las funciones

cadena    :: Integer -> [Integer]
conCadena :: Int -> [Integer]

tales que

  • (cadena x) es la cadena de primos a partir de x tal que cada uno es el complemento del anterior. Por ejemplo,
cadena 8         == []
cadena 7         == [7]
cadena 13        == [13,7]
cadena 643       == [643,557,443]
cadena 18127     == [18127,1873,127,73,67,53,47]
cadena 18181213  == [18181213,1818787,181213,18787,1213,787,613,587]
  • (conCadena n) es la lista de números cuyas cadenas tienen n elementos. Por ejemplo,
take 6 (conCadena 3)                == [23,31,61,67,103,307]
[head (conCadena n) | n <- [4..8]]  == [37,43,157,18127,181873]

Leer más…

Construcción del árbol a partir de los recorridos preorden e inorden

Misceláneas

Los árboles binarios con valores en las hojas y en los nodos se pueden representar con el siguiente tipo

data Arbol a = H a
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
             deriving (Show, Eq)

Por ejemplo, el árbol

     9
    / \
   /   \
  3     7
 / \
2   4

se representa por

N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)

Definir las siguientes funciones

preorden :: Arbol a -> [a]
inorden  :: Arbol a -> [a]
arboles  :: Eq a => [a] -> [a] -> [Arbol a]

tales que

  • (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el subárbol derecho. Por ejemplo,
preorden (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7))  ==  [9,3,2,4,7]
  • (inorden x) es la lista correspondiente al recorrido inorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol izquierdo, a continuación visita la raíz del árbol y, finalmente, recorre el subárbol derecho. Por ejemplo,
inorden (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7))  ==  [2,3,4,9,7]
  • (arboles xs ys) es la lista de los árboles con recorrido preorden xs y recorrido inorden de ys. Por ejemplo,
λ> arboles [9,3,2,4,7] [2,3,4,9,7]
[N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)]
λ> arboles [9,3,2,4,7] [2,4,3,9,7]
[]
λ> arboles [1,1,1,2,3] [1,1,2,1,3]
[N 1 (H 1) (N 1 (H 2) (H 3)),
N 1 (N 1 (H 1) (H 2)) (H 3)]
λ> let x = N 1 (N 1 (H 1) (H 3)) (N 1 (N 1 (H 1) (H 2)) (H 3))
λ> arboles (preorden x) (inorden x)
[N 1 (H 1) (N 1 (H 3) (N 1 (H 1) (N 1 (H 2) (H 3)))),
N 1 (H 1) (N 1 (H 3) (N 1 (N 1 (H 1) (H 2)) (H 3))),
N 1 (N 1 (H 1) (H 3)) (N 1 (H 1) (N 1 (H 2) (H 3))),
N 1 (N 1 (H 1) (H 3)) (N 1 (N 1 (H 1) (H 2)) (H 3))]

Comprobar con QuickCheck, que para todo árbol x se verifican las siguientes propiedades

prop_arboles1 :: Arbol Int -> Bool
prop_arboles1 x =
    x `elem` arboles (preorden x) (inorden x)

prop_arboles2 :: Arbol Int -> Bool
prop_arboles2 x =
    and [preorden a == xs && inorden a == ys | a <- as]
    where xs = preorden x
          ys = inorden x
          as = arboles xs ys

Nota: Para la comprobación, se usa el siguiente generador

import Control.Monad

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbol
    where
      arbol 0       = liftM H arbitrary
      arbol n | n>0 = oneof [liftM H arbitrary,
                             liftM3 N arbitrary subarbol subarbol]
                      where subarbol = arbol (div n 2)

Leer más…

Caminos en una retícula

Misceláneas

El problema de los caminos en una retícula consiste en, dada una retícula rectangular con m filas y n columnas, determinar todos los caminos para ir desde el vértice inferior izquierdo hasta el vértice superior derecho donde los movimientos permitidos son mover hacia el siguiente vértice a la derecha o arriba.

Por ejemplo, en la siguiente retícula un posible camino es el indicado en rojo.

Caminos en una retícula

Para representar los caminos se definen los siguientes tipos de datos:

data Direccion = D | A deriving (Show, Eq)
type Camino = [Direccion]

Por tanto, el camino de la figura anterior se representa por la lista [D,D,A,D,A].

Definir las funciones

caminos  :: Int -> Int -> [Camino]
nCaminos :: Int -> Int -> Integer

tales que

  • (caminos m n) es la lista de los caminos en una retícula rectangular con m filas y n columnas. Por ejemplo,
λ> caminos 2 2
[[A,A,D,D],[A,D,A,D],[A,D,D,A],[D,A,A,D],[D,A,D,A],[D,D,A,A]]
λ> caminos 1 3
[[A,A,A,D],[A,A,D,A],[A,D,A,A],[D,A,A,A]]
λ> caminos 2 3
[[A,A,A,D,D],[A,A,D,A,D],[A,A,D,D,A],[A,D,A,A,D],[A,D,A,D,A],[A,D,D,A,A],
[D,A,A,A,D],[D,A,A,D,A],[D,A,D,A,A],[D,D,A,A,A]]
  • (nCaminos m n) es el número de los caminos en una retícula rectangular con m filas y n columnas. Por ejemplo,
nCaminos 2 2  ==  6
nCaminos 1 3  ==  4
nCaminos 2 3  ==  10
length (show (nCaminos 20000 30000))  ==  14612
length (show (nCaminos 30000 20000))  ==  14612

Leer más…

Centro de gravedad de una lista

Misceláneas

Se dice que una lista de números xs es equilibrada si existe una posición k tal que la suma de los elementos de xs en las posiciones menores que k es igual a la de los elementos de xs en las posiciones mayores que k. La posición k se llama el centro de gravedad de xs. Por ejemplo, la lista [1,3,4,5,-2,1] es equilibrada, y su centro de gravedad es 2, ya que la suma de [1,3] es igual a la de [5,-2,1]. En cambio, la lista [1,6,4,5,-2,1] no tiene centro de gravedad.

Definir la función

centro :: (Num a, Eq a) => [a] -> Maybe Int

tal que (centro xs) es justo el centro e gravedad de xs, si la lista xs es equilibrada y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,

centro [1,3,4,5,-2,1]           ==  Just 2
centro [1,6,4,5,-2,1]           ==  Nothing
centro [1,2,3,4,3,2,1]          ==  Just 3
centro [1,100,50,-51,1,1]       ==  Just 1
centro [1,2,3,4,5,6]            ==  Nothing
centro [20,10,30,10,10,15,35]   ==  Just 3
centro [20,10,-80,10,10,15,35]  ==  Just 0
centro [10,-80,10,10,15,35,20]  ==  Just 6
centro [0,0,0,0,0]              ==  Just 0
centro [-1,-2,-3,-4,-3,-2,-1]   ==  Just 3

Leer más…

El problema de las N torres

Misceláneas

El problema de las N torres consiste en colocar N torres en un tablero con N filas y N columnas de forma que no haya dos torres en la misma fila ni en la misma columna.

Cada solución del problema de puede representar mediante una matriz con ceros y unos donde los unos representan las posiciones ocupadas por las torres y los ceros las posiciones libres. Por ejemplo,

( 0 1 0 )
( 1 0 0 )
( 0 0 1 )

representa una solución del problema de las 3 torres.

Definir las funciones

torres  :: Int -> [Matrix Int]
nTorres :: Int -> Integer

tales que + (torres n) es la lista de las soluciones del problema de las n torres. Por ejemplo,

λ> torres 3
[( 1 0 0 )
 ( 0 1 0 )
 ( 0 0 1 )
,( 1 0 0 )
 ( 0 0 1 )
 ( 0 1 0 )
,( 0 1 0 )
 ( 1 0 0 )
 ( 0 0 1 )
,( 0 1 0 )
 ( 0 0 1 )
 ( 1 0 0 )
,( 0 0 1 )
 ( 1 0 0 )
 ( 0 1 0 )
,( 0 0 1 )
 ( 0 1 0 )
 ( 1 0 0 )
]
  • (nTorres n) es el número de soluciones del problema de las n torres. Por ejemplo,
λ> nTorres 3
6
λ> length (show (nTorres (10^4)))
35660

Leer más…

La sucesión del reloj astronómico de Praga

Misceláneas

La cadena infinita "1234321234321234321...", formada por la repetición de los dígitos 123432, tiene una propiedad (en la que se basa el funcionamiento del reloj astronómico de Praga: la cadena se puede partir en una sucesión de números, de forma que la suma de los dígitos de dichos números es la serie de los números naturales, como se observa a continuación:

1, 2, 3, 4, 32, 123, 43, 2123, 432, 1234, 32123, ...
1, 2, 3, 4,  5,   6,  7,    8,   9,   10,    11, ...

Definir la lista

reloj :: [Integer]

cuyos elementos son los términos de la sucesión anterior. Por ejemplo,

λ> take 11 reloj
[1,2,3,4,32,123,43,2123,432,1234,32123]

Nota: La relación entre la sucesión y el funcionamiento del reloj se puede ver en The Mathematics Behind Prague's Horloge Introduction.

Leer más…

Particiones de longitud fija

Misceláneas

Definir la función

particionesFijas :: Int -> Int -> [[Int]]

tal que (particionesFijas n k) es la lista de listas de k números naturales no crecientes cuya suma es n. Por ejemplo,

λ> particionesFijas 8 2
[[4,4],[5,3],[6,2],[7,1]]
λ> particionesFijas 8 3
[[3,3,2],[4,2,2],[4,3,1],[5,2,1],[6,1,1]]
λ> particionesFijas 9 3
[[3,3,3],[4,3,2],[4,4,1],[5,2,2],[5,3,1],[6,2,1],[7,1,1]]
λ> length (particionesFijas 67 5)
8056

Leer más…

Problema de las jarras

Misceláneas

En el problema de las jarras (A,B,C) se tienen dos jarras sin marcas de medición, una de A litros de capacidad y otra de B. También se dispone de una bomba que permite llenar las jarras de agua.

El problema de las jarras (A,B,C) consiste en determinar cómo se puede lograr tener exactamente C litros de agua en la jarra de A litros de capacidad.

Definir, mediante búsqueda en espacio de estados, la función

jarras :: (Int,Int,Int) -> [[(Int,Int)]]

tal (jarras (a,b,c)) es la lista de las soluciones del problema de las jarras (a,b,c). Por ejemplo,

λ> take 2 (map snd (sort [(length xs,xs) | xs <- jarras (4,3,2)]))
[[(0,0),(0,3),(3,0),(3,3),(4,2),(0,2),(2,0)],
 [(0,0),(4,0),(1,3),(1,0),(0,1),(4,1),(2,3)]]

La interpretación [(0,0),(4,0),(1,3),(1,0),(0,1),(4,1),(2,3)] es:

  • (0,0) se inicia con las dos jarras vacías,
  • (4,0) se llena la jarra de 4 con el grifo,
  • (1,3) se llena la de 3 con la de 4,
  • (1,0) se vacía la de 3,
  • (0,1) se pasa el contenido de la primera a la segunda,
  • (4,1) se llena la primera con el grifo,
  • (2,3) se llena la segunda con la primera.

Otros ejemplos

λ> (snd . head . sort) [(length xs,xs) | xs <- jarras (15,10,5)]
[(0,0),(15,0),(5,10)]
λ> jarras (15,10,4)
[]

Nota: Las librerías necesarias se encuentran en la página de códigos.

Leer más…

Problema del dominó

Misceláneas

Las fichas del dominó se pueden representar por pares de números enteros. El problema del dominó consiste en colocar todas las fichas de una lista dada de forma que el segundo número de cada ficha coincida con el primero de la siguiente.

Definir, mediante búsqueda en espacio de estados, la función

domino :: [(Int,Int)] -> [[(Int,Int)]]

tal que (domino fs) es la lista de las soluciones del problema del dominó correspondiente a las fichas fs. Por ejemplo,

λ> domino [(1,2),(2,3),(1,4)]
[[(4,1),(1,2),(2,3)],[(3,2),(2,1),(1,4)]]
λ> domino [(1,2),(1,1),(1,4)]
[[(4,1),(1,1),(1,2)],[(2,1),(1,1),(1,4)]]
λ> domino [(1,2),(3,4),(2,3)]
[[(1,2),(2,3),(3,4)]]
λ> domino [(1,2),(2,3),(5,4)]
[]
λ> domino [(x,y) | x <- [1..2], y <- [x..2]]
[[(2,2),(2,1),(1,1)],[(1,1),(1,2),(2,2)]]
λ> [(x,y) | x <- [1..3], y <- [x..3]]
[(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)]
λ> mapM_ print (domino [(x,y) | x <- [1..3], y <- [x..3]])
[(1,3),(3,3),(3,2),(2,2),(2,1),(1,1)]
[(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,1),(1,1)]
[(2,2),(2,3),(3,3),(3,1),(1,1),(1,2)]
[(3,3),(3,2),(2,2),(2,1),(1,1),(1,3)]
[(2,3),(3,3),(3,1),(1,1),(1,2),(2,2)]
[(2,1),(1,1),(1,3),(3,3),(3,2),(2,2)]
[(3,3),(3,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)]
[(3,2),(2,2),(2,1),(1,1),(1,3),(3,3)]
[(3,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)]
λ> length (domino [(x,y) | x <- [1..4], y <- [x..4]])
0

Nota: Las librerías necesarias se encuentran en la página de códigos.

Leer más…

Sucesión duplicadora

Misceláneas

Para cada entero positivo n, existe una única sucesión que empieza en 1, termina en n y en la que cada uno de sus elementos es el doble de su anterior o el doble más uno. Dicha sucesión se llama la sucesión duplicadora de n. Por ejemplo, la sucesión duplicadora de 13 es [1, 3, 6, 13], ya que

 3 = 2*1 +1
 6 = 2*3
13 = 2*6 +1

Definir la función

duplicadora :: Integer -> [Integer]

tal que (duplicadora n) es la sucesión duplicadora de n. Por ejemplo,

duplicadora 13                   ==  [1,3,6,13]
duplicadora 17                   ==  [1,2,4,8,17]
length (duplicadora (10^40000))  ==  132878

Leer más…

Problema de las puertas

Misceláneas

Un hotel dispone de n habitaciones y n camareros. Los camareros tienen la costumbre de cambiar de estado las puestas (es decir, abrir las cerradas y cerrar las abiertas). El proceso es el siguiente:

  • Inicialmente todas las puertas están cerradas.
  • El primer camarero cambia de estado las puertas de todas las habitaciones.
  • El segundo cambia de estado de las puertas de las habitaciones pares.
  • El tercero cambia de estado todas las puertas que son múltiplos de 3.
  • El cuarto cambia de estado todas las puertas que son múltiplos de 4
  • Así, hasta que ha pasado el último camarero.

Por ejemplo, para n = 5

Pase    | Puerta 1 | Puerta 2 | Puerta 3 | Puerta 4 | Puerta 5
Inicial | Cerrada  | Cerrada  | Cerrada  | Cerrada  | Cerrada
Pase 1  | Abierta  | Abierta  | Abierta  | Abierta  | Abierta
Pase 2  | Abierta  | Cerrada  | Abierta  | Cerrada  | Abierta
Pase 3  | Abierta  | Cerrada  | Cerrada  | Cerrada  | Abierta
Pase 4  | Abierta  | Cerrada  | Cerrada  | Abierta  | Abierta
Pase 5  | Abierta  | Cerrada  | Cerrada  | Abierta  | Cerrada

Los estados de las puertas se representan por el siguiente tipo de datos

data Estado = Abierta | Cerrada
              deriving (Eq, Show)

Definir la función

final :: Int -> [Estado]

tal que (final n) es la lista de los estados de las n puertas después de que hayan pasado los n camareros. Por ejemplo,

λ> final 5
[Abierta,Cerrada,Cerrada,Abierta,Cerrada]
λ> final 7
[Abierta,Cerrada,Cerrada,Abierta,Cerrada,Cerrada,Cerrada]

Leer más…

Juego de bloques con letras

Misceláneas

Para el juego de los bloques se dispone de un conjunto de bloques con una letra en cada una de sus dos caras. El objetivo del juego consiste en formar palabras sin que se pueda usar un bloque más de una vez y sin diferenciar mayúsculas de minúsculas. Por ejemplo, si se tiene tres bloques de forma que el 1º tiene las letras A y B, el 2ª la N y la O y el 3º la O y la A entonces se puede obtener la palabra ANA de dos formas: una con los bloques 1, 2 y 3 y otra con los 3, 2 y 1.

Definir la función

soluciones :: [String] -> String -> [[String]]

tal que (soluciones bs cs) es la lista de las soluciones del juego de los bloque usando los bloques bs (cada bloque es una cadena de dos letras mayúsculas) para formar la palabra cs. Por ejemplo,

λ> soluciones ["AB","NO","OA"] "ANA"
[["AB","NO","OA"],["OA","NO","AB"]]
λ> soluciones ["AB","NE","OA"] "Bea"
[["AB","NE","OA"]]
λ> soluciones ["AB","NE","OA"] "EvA"
[]
λ> soluciones ["AB","NO","OA","NC"] "ANA"
[["AB","NO","OA"],["AB","NC","OA"],["OA","NO","AB"],["OA","NC","AB"]]
λ> soluciones ["AB","NO","OA","NC"] "Anca"
[["AB","NO","NC","OA"],["OA","NO","NC","AB"]]
λ> soluciones (["AB","NO","OA"] ++ replicate (10^6) "PQ") "ANA"
[["AB","NO","OA"],["OA","NO","AB"]]

Leer más…

Densidad de números no monótonos

Misceláneas

Un número entero positivo se dice que es

  • creciente si cada uno de sus dígitos es menor o igual que el que está a su derecha; por ejemplo, 134479.
  • decreciente si cada uno de sus dígitos es menor o igual que el que está a su derecha; por ejemplo, 664210.
  • no monótono si no es creciente ni decreciente; por ejemplo, 155369.

Para cada entero positivo n, la densidad números no monótonos hasta n es el cociente entre la cantidad de n números no monótonos entre menores o iguales que n y el número n. Por ejemplo, hasta 150 hay 19 números no monótonos (101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 120, 121, 130, 131, 132, 140, 141, 142, 143 y 150); por tanto, la densidad hasta 150 es 19/150 = 0.12666667

Definir las siguientes funciones

densidad              :: Integer -> Float
menorConDensidadMayor :: Float -> Integer

tales que

  • (densidad n) es la densidad de números no monótonos hasta n. Por ejemplo,
densidad 100  ==  0.0
densidad 200  ==  0.265
densidad 400  ==  0.4375
densidad 800  ==  0.53375
  • (menorConDensidadMayor x) es el menor número n tal que la densidad de números no monótonos hasta n es mayor o igual que x. Por ejemplo,
menorConDensidadMayor 0.5   ==  538
densidad 537                ==  0.49906892
densidad 538                ==  0.5
menorConDensidadMayor 0.9   ==  21780
densidad 21779              ==  0.8999954
densidad 21780              ==  0.9
menorConDensidadMayor 0.99  ==  1586996

Leer más…

Sucesión fractal

Misceláneas

La sucesión fractal

0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 2, 5, 1, 6, 3, 7, 0, 8, 4, 9, 2,
10, 5, 11, 1, 12, 6, 13, 3, 14, 7, 15, ...

está construida de la siguiente forma:

  • los términos pares forman la sucesión de los números naturales
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
  • los términos impares forman la misma sucesión original
0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 2, 5, 1, 6, 3, 7, ...

Definir las funciones

sucFractal     :: [Integer]
sumaSucFractal :: Integer -> Integer

tales que

  • sucFractal es la lista de los términos de la sucesión fractal. Por ejemplo,
take 20 sucFractal   == [0,0,1,0,2,1,3,0,4,2,5,1,6,3,7,0,8,4,9,2]
sucFractal !! 30     == 15
sucFractal !! (10^7) == 5000000
  • (sumaSucFractal n) es la suma de los n primeros términos de la sucesión fractal. Por ejemplo,
sumaSucFractal 10      == 13
sumaSucFractal (10^5)  == 1666617368
sumaSucFractal (10^10) == 16666666661668691669
sumaSucFractal (10^15) == 166666666666666166673722792954
sumaSucFractal (10^20) == 1666666666666666666616666684103392376198
length (show (sumaSucFractal (10^15000))) == 30000
sumaSucFractal (10^15000) `mod` (10^9)    == 455972157

Leer más…

Conjuntos de primos emparejables

Misceláneas

Un conjunto de primos emparejables es un conjunto S de números primos tales que al concatenar cualquier par de elementos de S se obtiene un número primo. Por ejemplo, {3, 7, 109, 673} es un conjunto de primos emparejables ya que sus elementos son primos y las concatenaciones de sus parejas son 37, 3109, 3673, 73, 7109, 7673, 1093, 1097, 109673, 6733, 6737 y 673109 son primos.

Definir la función

emparejables :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

tal que (emparejables n m) es el conjunto de los conjuntos emparejables de n elementos menores que n. Por ejemplo,

take 5 (emparejables 2   10)  ==  [[3,7]]
take 5 (emparejables 3   10)  ==  []
take 5 (emparejables 2  100)  ==  [[3,7],[3,11],[3,17],[3,31],[3,37]]
take 5 (emparejables 3  100)  ==  [[3,37,67],[7,19,97]]
take 5 (emparejables 4  100)  ==  []
take 5 (emparejables 4 1000)  ==  [[3,7,109,673],[23,311,677,827]]

Leer más…

Cadenas de divisores

Misceláneas

Una cadena de divisores de un número n es una lista donde cada elemento es un divisor de su siguiente elemento en la lista. Por ejemplo, las cadenas de divisores de 12 son [2,4,12], [2,6,12], [2,12], [3,6,12], [3,12], [4,12], [6,12] y [12].

Definir la función

cadenasDivisores :: Int -> [[Int]]

tal que (cadenasDivisores n) es la lista de las cadenas de divisores de n. Por ejemplo,

λ> cadenasDivisores 12
[[2,4,12],[2,6,12],[2,12],[3,6,12],[3,12],[4,12],[6,12],[12]]
λ> length (cadenaDivisores 48)
48
λ> length (cadenaDivisores 120)
132

Leer más…

Número de divisiones en el algoritmo de Euclides

Misceláneas

Dados dos números naturales, a y b, es posible calcular su máximo común divisor mediante el Algoritmo de Euclides. Este algoritmo se puede resumir en la siguiente fórmula:

mcd(a,b) = a,                   si b = 0
         = b,                   si a = 0
         = mcd (a módulo b, b), si a > b
         = mcd (a, b módulo a), si b >= a

Definir la función

mcdYdivisiones :: Int -> Int -> (Int,Int)

tal que (mcdYdivisiones a b) es el número de divisiones usadas en el cálculo del máximo común divisor de a y b mediante el algoritmo de Euclides. Por ejemplo,

mcdYdivisiones 252 198 == (18,4)

ya que los 4 divisiones del cálculo son

  mcd 252 198
= mcd  54 198
= mcd  54  36
= mcd  18  36
= mcd  18   0

Comprobar con QuickCheck que el número de divisiones requeridas por el algoritmo de Euclides para calcular el MCD de a y b es igual o menor que cinco veces el número de dígitos de menor de los números a y b.

Leer más…

Período de una lista

Misceláneas

El período de una lista xs es la lista más corta ys tal que xs se puede obtener concatenando varias veces la lista ys. Por ejemplo, el período "abababab" es "ab" ya que "abababab" se obtiene repitiendo tres veces la lista "ab".

Definir la función

periodo :: Eq a => [a] -> [a]

tal que (periodo xs) es el período de xs. Por ejemplo,

periodo "ababab"      ==  "ab"
periodo "buenobueno"  ==  "bueno"
periodo "oooooo"      ==  "o"
periodo "sevilla"     ==  "sevilla"

Leer más…

Mezcla de infinitas listas infinitas

Misceláneas

Definir la función

mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]

tal que (mezclaTodas xss) es la mezcla ordenada de xss, donde tanto xss como sus elementos son listas infinitas ordenadas. Por ejemplo,

λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2..]])
[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2,9..]])
[2,4,6,8,9,10,12,14,16,18]

Leer más…

Expresiones aritmética normalizadas

Misceláneas

El siguiente tipo de dato representa expresiones construidas con variables, sumas y productos

data Expr = Var String
          | S Expr Expr
          | P Expr Expre

Por ejemplo, x.(y+z) se representa por (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))

Una expresión es un término si es un producto de variables. Por ejemplo, x.(y.z) es un término pero x+(y.z) ni x.(y+z) lo son.

Una expresión está en forma normal si es una suma de términos. Por ejemplo, x.(y,z) y x+(y.z) está en forma normal; pero x.(y+z) y (x+y).(x+z) no lo están.

Definir las funciones

esTermino, esNormal :: Expr -> Bool

tales que

  • (esTermino a) se verifica si a es un término. Por ejemplo,
esTermino (V "x")                                    == True
esTermino (P (V "x") (P (V "y") (V "z")))            == True
esTermino (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))            == False
esTermino (S (V "x") (P (V "y") (V "z")))            == False
  • (esNormal a) se verifica si a está en forma normal. Por ejemplo,
esNormal (V "x")                                     == True
esNormal (P (V "x") (P (V "y") (V "z")))             == True
esNormal (S (V "x") (P (V "y") (V "z")))             == True
esNormal (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))             == False
esNormal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "y") (V "z"))) == False

Leer más…

Operaciones con series de potencias

Misceláneas

Una serie de potencias es una serie de la forma

a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

Las series de potencias se pueden representar mediante listas infinitas. Por ejemplo, la serie de la función exponencial es

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

y se puede representar por [1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, ...]

Las operaciones con series se pueden ver como una generalización de las de los polinomios.

En lo que sigue, usaremos el tipo (Serie a) para representar las series de potencias con coeficientes en a y su definición es

type Serie a = [a]

Definir las siguientes funciones

opuesta      :: Num a => Serie a -> Serie a
suma         :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
resta        :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
producto     :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
cociente     :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
derivada     :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
integral     :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
expx         :: Serie Rational

tales que

  • (opuesta xs) es la opuesta de la serie xs. Por ejemplo,
λ> take 7 (opuesta [-6,-4..])
[6,4,2,0,-2,-4,-6]
  • (suma xs ys) es la suma de las series xs e ys. Por ejemplo,
λ> take 7 (suma [1,3..] [2,4..])
[3,7,11,15,19,23,27]
  • (resta xs ys) es la resta de las series xs es ys. Por ejemplo,
λ> take 7 (resta [3,5..] [2,4..])
[1,1,1,1,1,1,1]
λ> take 7 (resta ([3,7,11,15,19,23,27] ++ repeat 0) [1,3..])
[2,4,6,8,10,12,14]
  • (producto xs ys) es el producto de las series xs e ys. Por ejemplo,
λ> take 7 (producto [3,5..] [2,4..])
[6,22,52,100,170,266,392]
  • (cociente xs ys) es el cociente de las series xs e ys. Por ejemplo,
λ> take 7 (cociente ([6,22,52,100,170,266,392] ++ repeat 0) [3,5..])
[2.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]
  • (derivada xs) es la derivada de la serie xs. Por ejemplo,
λ> take 7 (derivada [2,4..])
[4,12,24,40,60,84,112]
  • (integral xs) es la integral de la serie xs. Por ejemplo,
λ> take 7 (integral ([4,12,24,40,60,84,112] ++ repeat 0))
[0.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]
  • expx es la serie de la función exponencial. Por ejemplo,
λ> take 8 expx
[1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]
λ> take 8 (derivada expx)
[1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]
λ> take 8 (integral expx)
[0 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

Leer más…

Pandigitales primos

Misceláneas

Un número con n dígitos es pandigital si contiene todos los dígitos del 1 a n exactamente una vez. Por ejemplo, 2143 es un pandigital con 4 dígitos y, además, es primo.

Definir la constante

pandigitalesPrimos :: [Int]

tal que sus elementos son los números pandigitales, ordenados de mayor a menor. Por ejemplo,

take 3 pandigitalesPrimos       ==  [7652413,7642513,7641253]
2143 `elem` pandigitalesPrimos  ==  True
length pandigitalesPrimos       ==  538

Leer más…

Mínimo número de cambios para igualar una lista

Misceláneas

Definir la función

nMinimoCambios :: Ord a => [a] -> Int

tal que (nMinimoCambios xs) es el menor número de elementos de xs que hay que cambiar para que todos sean iguales. Por ejemplo,

nMinimoCambios [3,5,3,7,9,6]      ==  4
nMinimoCambios [3,5,3,7,3,3]      ==  2
nMinimoCambios "Salamanca"        ==  5
nMinimoCambios (4 : [1..500000])  ==  499999

En el primer ejemplo, los elementos que hay que cambiar son 5, 7, 9 y 6.

Leer más…

Numeración con múltiples bases

Misceláneas

Sea \(\{b_i \mid i \geq 1\}\) una sucesión infinita de números enteros mayores que 1. Entonces, todo entero \(x\) mayor que cero se puede escribir de forma única como \[ x = x_0 + x_1 b_1 + x_2 b_1 b_2 + \dots + x_n b_1 b_2 \dotsm b_n, \] donde cada \(x_i\) satisface la condición \(0 \leq x_i < b_{i+1}\). Se dice que \([x_n, x_{n-1}, \dots, x_2, x_1, x_0]\) es la representación de \(x\) en la base \((b_i).

Por ejemplo, la representación de 377 en la base \((2i)_{i \geq 1}\) es \([7,5,0,1]\), ya que \[ 377 = 1 + 0 \times 2 + 5 \times 2 \times 4 + 7 \times 2 \times 4 \times 6, \] y además: \[ 0 \leq 1 < 2, \quad 0 \leq 0 < 4, \quad 0 \leq 5 < 6, \quad 0 \leq 7 < 8. \]

Definir las funciones

decimalAmultiple :: [Int] -> Int -> [Int]
multipleAdecimal :: [Int] -> [Int] -> Int

tales que (decimalAmultiple bs x) es la representación del número x en la base bs y (multipleAdecimal bs cs) es el número decimal cuya representación en la base bs es cs. Por ejemplo,

decimalAmultiple [2,4..] 377                      ==  [7,5,0,1]
multipleAdecimal [2,4..] [7,5,0,1]                ==  377
decimalAmultiple [2,5..] 377                      ==  [4,5,3,1]
multipleAdecimal [2,5..] [4,5,3,1]                ==  377
decimalAmultiple [2^n | n <- [1..]] 2015          ==  [1,15,3,3,1]
multipleAdecimal [2^n | n <- [1..]] [1,15,3,3,1]  ==  2015
decimalAmultiple (repeat 10) 2015                 ==  [2,0,1,5]
multipleAdecimal (repeat 10) [2,0,1,5]            ==  2015

Comprobar con QuickCheck que se verifican las siguientes propiedades

prop_inversas :: [Int] -> Int -> Property
prop_inversas bs x =
    x > 0 ==> multipleAdecimal bs (decimalAmultiple bs x) == x

prop_coeficientes :: [Int] -> Int -> Property
prop_coeficientes bs x =
    x > 0 ==> and [0 <= c && c < b | (c,b) <- zip cs bs]
    where cs = reverse (decimalAmultiple bs x)

para distintas bases dadas. Por ejemplo,

λ> quickCheck (prop_inversas [2,4..])
+++ OK, passed 100 tests.
λ> quickCheck (prop_inversas [3,5..])
+++ OK, passed 100 tests.
λ> quickCheck (prop_coeficientes [2,4..])
+++ OK, passed 100 tests.
λ> quickCheck (prop_coeficientes [3,5..])
+++ OK, passed 100 tests.

Leer más…

Productos simultáneos de dos y tres números consecutivos

Misceláneas

Definir la función

productos :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

tal que (productos n x) es las listas de n elementos consecutivos cuyo producto es x. Por ejemplo,

productos 2 6     ==  [[2,3]]
productos 3 6     ==  [[1,2,3]]
productos 4 1680  ==  [[5,6,7,8]]
productos 2 5     ==  []

Comprobar con QuickCheck que si n > 0 y x > 0, entonces

productos n (product [x..x+n-1]) == [[x..x+n-1]]

Usando productos, definir la función

productosDe2y3consecutivos :: [Integer]

cuyos elementos son los números naturales (no nulos) que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos. Por ejemplo,

head productosDe2y3consecutivos  ==  6

Nota. Según demostró Mordell en 1962, productosDe2y3consecutivos sólo tiene dos elementos.

Leer más…

Conflictos de horarios

Misceláneas

Los horarios de los cursos se pueden representar mediante matrices donde las filas indican los curso, las columnas las horas de clase y el valor correspondiente al curso i y la hora j es verdadero indica que i tiene clase a la hora j.

En Haskell, podemos usar la matrices de la librería Data.Matrix y definir el tipo de los horarios por

type Horario = Matrix Bool

Un ejemplo de horario es

ejHorarios1 :: Horario
ejHorarios1 = fromLists [[True,  True,  False, False],
                         [False, True,  True,  False],
                         [False, False, True,  True]]

en el que el 1º curso tiene clase a la 1ª y 2ª hora, el 2º a la 2ª y a la 3ª y el 3º a la 3ª y a la 4ª.

Definir la función

cursosConflictivos :: Horario -> [Int] -> Bool

tal que (cursosConflictivos h is) se verifica para si los cursos de la lista is hay alguna hora en la que más de uno tiene clase a dicha hora. Por ejemplo,

cursosConflictivos ejHorarios1 [1,2]  ==  True
cursosConflictivos ejHorarios1 [1,3]  ==  False

Leer más…

Polinomios cuadráticos generadores de primos

Misceláneas

En 1772, Euler publicó que el polinomio n² + n + 41 genera 40 números primos para todos los valores de n entre 0 y 39. Sin embargo, cuando n=40, 40²+40+41 = 40(40+1)+41 es divisible por 41.

Usando ordenadores, se descubrió el polinomio n² - 79n + 1601 que genera 80 números primos para todos los valores de n entre 0 y 79.

Definir la función

generadoresMaximales :: Integer -> (Int,[(Integer,Integer)])

tal que (generadoresMaximales n) es el par (m,xs) donde

  • xs es la lista de pares (x,y) tales que n²+xn+y es uno de los polinomios que genera un número máximo de números primos consecutivos a partir de cero entre todos los polinomios de la forma n²+an+b, con |a| ≤ n y |b| ≤ n y
  • m es dicho número máximo.

Por ejemplo,

generadoresMaximales    4  ==  ( 3,[(-2,3),(-1,3),(3,3)])
generadoresMaximales    6  ==  ( 5,[(-1,5),(5,5)])
generadoresMaximales   50  ==  (43,[(-5,47)])
generadoresMaximales  100  ==  (48,[(-15,97)])
generadoresMaximales  200  ==  (53,[(-25,197)])
generadoresMaximales 1650  ==  (80,[(-79,1601)])

Leer más…

Término ausente en una progresión aritmética

Misceláneas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la sucesión es constante.

Definir la función

ausente :: Integral a => [a] -> a

tal que (ausente xs) es el único término ausente de la progresión aritmética xs. Por ejemplo,

ausente [3,7,9,11]                ==  5
ausente [3,5,9,11]                ==  7
ausente [3,5,7,11]                ==  9
ausente ([1..9]++[11..])          ==  10
ausente2 ([1..10^6] ++ [2+10^6])  ==  1000001

Nota. Se supone que la lista tiene al menos 3 elementos, que puede ser infinita y que sólo hay exactamente un término de la progresión aritmética que no está en la lista.

Leer más…

Matriz zigzagueante

Misceláneas

La matriz zizagueante de orden n es la matriz cuadrada con n filas y n columnas y cuyos elementos son los n² primeros números naturales colocados de manera creciente a lo largo de las diagonales secundarias. Por ejemplo, La matriz zigzagueante de orden 5 es

 0  1  5  6 14
 2  4  7 13 15
 3  8 12 16 21
 9 11 17 20 22
10 18 19 23 24

La colocación de los elementos se puede ver gráficamente en Matriz zigzagueante

Definir la función

zigZag :: Int -> Array (Int,Int) Int

tal que (zigZag n) es la matriz zigzagueante de orden n. Por ejemplo,

λ> elems (zigZag 3)
[0,1,5, 2,4,6, 3,7,8]
λ> elems (zigZag 4)
[0,1,5,6, 2,4,7,12, 3,8,11,13, 9,10,14,15]
λ> elems (zigZag 5)
[0,1,5,6,14, 2,4,7,13,15, 3,8,12,16,21, 9,11,17,20,22, 10,18,19,23,24]
λ> take 15 (elems (zigZag 1000))
[0,1,5,6,14,15,27,28,44,45,65,66,90,91,119]

Leer más…

Mínima diferencia entre elementos de una lista

Misceláneas

Definir la función

minimaDiferencia :: (Num a, Ord a) => [a] -> a

tal que (minimaDiferencia xs) es el menor valor absoluto de las diferencias entre todos los pares de elementos de xs (que se supone que tiene al menos 2 elementos). Por ejemplo,

minimaDiferencia [1,5,3,19,18,25]  ==  1
minimaDiferencia [30,5,20,9]       ==  4
minimaDiferencia [30,5,20,9,5]     ==  0
minimaDiferencia [1..10^6]         ==  1

En el primer ejemplo la menor diferencia es 1 y se da entre los elementos 19 y 18; en el 2ª es 4 entre los elementos 5 y 9 y en la 3ª es 0 porque el elemento 5 está repetido.

Leer más…

Números como sumas de primos consecutivos

Misceláneas

En el artículo Integers as a sum of consecutive primes in 2,3,4,.. ways se presentan números que se pueden escribir como sumas de primos consecutivos de varias formas. Por ejemplo, el 41 se puede escribir de dos formas distintas

41 =  2 +  3 +  5 + 7 + 11 + 13
41 = 11 + 13 + 17

el 240 se puede escribir de tres formas

240 =  17 +  19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43
240 =  53 +  59 + 61 + 67
240 = 113 + 127

y el 311 se puede escribir de 4 formas

311 =  11 +  13 +  17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47
311 =  31 +  37 +  41 + 43 + 47 + 53 + 59
311 =  53 +  59 +  61 + 67 + 71
311 = 101 + 103 + 107

Definir la función

sumas :: Integer -> [[Integer]]

tal que (sumas x) es la lista de las formas de escribir x como suma de dos o más números primos consecutivos. Por ejemplo,

λ> sumas 41
[[2,3,5,7,11,13],[11,13,17]]
λ> sumas 240
[[17,19,23,29,31,37,41,43],[53,59,61,67],[113,127]]
λ> sumas 311
[[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47],[31,37,41,43,47,53,59],[53,59,61,67,71],[101,103,107]]
λ> maximum [length (sumas n) | n <- [1..600]]
4

Leer más…

Suma de los elementos de las diagonales matrices espirales

Misceláneas

Empezando con el número 1 y moviéndose en el sentido de las agujas del reloj se obtienen las matrices espirales

|1 2|   |7 8 9|   | 7  8  9 10|   |21 22 23 24 25|
|4 3|   |6 1 2|   | 6  1  2 11|   |20  7  8  9 10|
        |5 4 3|   | 5  4  3 12|   |19  6  1  2 11|
                  |16 15 14 13|   |18  5  4  3 12|
                                  |17 16 15 14 13|

La suma los elementos de sus diagonales es

  • en la 2x2: 1+3+2+4 = 10
  • en la 3x3: 1+3+5+7+9 = 25
  • en la 4x4: 1+2+3+4+7+10+13+16 = 56
  • en la 5x5: 1+3+5+7+9+13+17+21+25 = 101

Definir la función

sumaDiagonales :: Integer -> Integer

tal que (sumaDiagonales n) es la suma de los elementos en las diagonales de la matriz espiral de orden nxn. Por ejemplo.

sumaDiagonales 1         ==  1
sumaDiagonales 2         ==  10
sumaDiagonales 3         ==  25
sumaDiagonales 4         ==  56
sumaDiagonales 5         ==  101
sumaDiagonales (1+10^6)  ==  666669166671000001
sumaDiagonales (10^2)    ==         671800
sumaDiagonales (10^3)    ==        667168000
sumaDiagonales (10^4)    ==       666716680000
sumaDiagonales (10^5)    ==      666671666800000
sumaDiagonales (10^6)    ==     666667166668000000
sumaDiagonales (10^7)    ==    666666716666680000000
sumaDiagonales (10^8)    ==   666666671666666800000000
sumaDiagonales (10^9)    ==  666666667166666668000000000

Comprobar con QuickCheck que el último dígito de (sumaDiagonales n) es 0, 4 ó 6 si n es par y es 1, 5 ó 7 en caso contrario.

Leer más…

Descomposiciones con sumandos 1 ó 2

Misceláneas

Definir la funciones

sumas  :: Int -> [[Int]]
nSumas :: Int -> Integer

tales que

  • (sumas n) es la lista de las descomposiciones de n como sumas cuyos sumandos son 1 ó 2. Por ejemplo,
sumas 1            ==  [[1]]
sumas 2            ==  [[1,1],[2]]
sumas 3            ==  [[1,1,1],[1,2],[2,1]]
sumas 4            ==  [[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1],[2,2]]
length (sumas 26)  ==  196418
length (sumas 33)  ==  5702887
  • (nSumas n) es el número de descomposiciones de n como sumas cuyos sumandos son 1 ó 2. Por ejemplo,
nSumas 4                      ==  5
nSumas 123                    ==  36726740705505779255899443
length (show (nSumas 123456)) ==  25801

Leer más…

Caminos reducidos

Misceláneas

Un camino es una sucesión de pasos en una de las cuatros direcciones Norte, Sur, Este, Oeste. Ir en una dirección y a continuación en la opuesta es un esfuerzo que se puede reducir, Por ejemplo, el camino [Norte,Sur,Este,Sur] se puede reducir a [Este,Sur].

Un camino se dice que es reducido si no tiene dos pasos consecutivos en direcciones opuesta. Por ejemplo, [Este,Sur] es reducido y [Norte,Sur,Este,Sur] no lo es.

En Haskell, las direcciones y los caminos se pueden definir por

data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)
type Camino = [Direccion]

Definir la función

reducido :: Camino -> Camino

tal que (reducido ds) es el camino reducido equivalente al camino ds. Por ejemplo,

reducido []                              ==  []
reducido [N]                             ==  [N]
reducido [N,O]                           ==  [N,O]
reducido [N,O,E]                         ==  [N]
reducido [N,O,E,S]                       ==  []
reducido [N,O,S,E]                       ==  [N,O,S,E]
reducido [S,S,S,N,N,N]                   ==  []
reducido [N,S,S,E,O,N]                   ==  []
reducido [N,S,S,E,O,N,O]                 ==  [O]
reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) ==  []

Nótese que en el penúltimo ejemplo las reducciones son

    [N,S,S,E,O,N,O]
--> [S,E,O,N,O]
--> [S,N,O]
--> [O]

Leer más…

Primos permutables

Misceláneas

Un primo permutable es un número primo tal que todos los números obtenidos permutando sus cifras son primos. Por ejemplo, 337 es un primo permutable ya que 337, 373 y 733 son primos.

Definir las funciones

esPrimoPermutable :: Integer -> Bool
primosPermutables :: [Integer]

tales que

  • (esPrimoPermutable x) se verifica si x es un primo permutable. Por ejemplo,
esPrimoPermutable 97  ==  True
esPrimoPermutable 337 ==  True
esPrimoPermutable 23  ==  False
  • primosPermutables es la lista de los primos permutables. Por ejemplo,
λ> take 20 primosPermutables
[2,3,5,7,11,13,17,31,37,71,73,79,97,113,131,199,311,337,373,733]

Leer más…

Números de Lucas

Misceláneas

Los números de Lucas son los elementos de la sucesión L(n) definida por

L(0) = 2
L(1) = 1
L(n) = L(n-1) + L(n-2), si n > 1.

Los primeros números de Lucas son

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...

Definir las funciones

nLucas :: Integer -> Integer
lucas  :: [Integer]

tales que

  • (nLucas n) es el n-ésimo número de Lucas. Por ejemplo,
nLucas 5                       ==  11
nLucas 32                      ==  4870847
length (show (nLucas (10^5)))  ==  20899
  • lucas es la lista de los números de Lucas. Por ejemplo,
take 11 lucas ==  [2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123]

Leer más…

Inverso multiplicativo modular

Misceláneas

El inverso multiplicativo modular de un entero n módulo p es el número m, entre 1 y p-1, tal que

mn = 1 (mod p)

Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 módulo 5 es 3, ya que 1 <= 3 <= 4 y 2x3 = 1 (mod 5).

El inverso multipicativo de n módulo p existe si y sólo si n y p son coprimos; es decir, si mcd(n,p) = 1.

Definir la función

invMod :: Integer -> Integer -> Maybe Integer

tal que (invMod n p) es justo el inverso multiplicativo de n módulo p, si existe y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,

λ> invMod 2 5
Just 3
λ> invMod 2 6
Nothing
λ> [(x,invMod x 5) | x <- [0..4]]
[(0,Nothing),(1,Just 1),(2,Just 3),(3,Just 2),(4,Just 4)]
λ> [(x,invMod x 6) | x <- [0..5]]
[(0,Nothing),(1,Just 1),(2,Nothing),(3,Nothing),(4,Nothing),(5,Just 5)]
λ> let n = 10^7 in invMod (10^n) (1+10^n) == Just (10^n)
True

Leer más…

Clases de equivalencia

Misceláneas

Definir la función

clasesEquivalencia :: [a] -> (a -> a -> Bool) -> [[a]]

tal que (clasesEquivalencia xs r) es la lista de las clases de equivalencia de xs respecto de la relación de equivalencia r. Por ejemplo,

λ> clasesEquivalencia [1..20] (\x y -> x `mod` 3 == y `mod` 3)
[[1,4,7,10,13,16,19],[2,5,8,11,14,17,20],[3,6,9,12,15,18]]
λ> clasesEquivalencia [1..20] (\x y -> (x - y) `mod` 5 == 0)
[[1,6,11,16],[2,7,12,17],[3,8,13,18],[4,9,14,19],[5,10,15,20]]
λ> clasesEquivalencia [-4..4] (\x y -> abs x == abs y)
[[-4,4],[-3,3],[-2,2],[-1,1],[0]]

Leer más…

Factorial generalizado

Misceláneas

El factorial generalizado de x respecto de y y z es el producto x(x-z)(x-2z) ... (x-(y-1)z). Por ejemplo, el factorial generalizado de 7 respecto de 3 y 2 es 7x5x3 = 105 y el de 7 respecto de 2 y 3 es 7x4 = 28

Definir la función

factGen :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer

tal que (factGen x y z) es el factorial generalizado de x respecto de y y z. Por ejemplo,

factGen 7 3 2  ==  105
factGen 7 2 3  ==  28

Nota: Se supone que x, y y z son positivos y z < x.

Comprobar con QuickCheck que (factGen x x 1) es el factorial de x.

Leer más…

Representación decimal de números racionales

Misceláneas

Los números decimales se representan por ternas, donde el primer elemento es la parte entera, el segundo es el anteperíodo y el tercero es el período. Por ejemplo,

 6/2  = 3                  se representa por (3,[],[])
 1/2  = 0.5                se representa por (0,[5],[])
 1/3  = 0.333333...        se representa por (0,[],[3])
23/14 = 1.6428571428571... se representa por (1,[6],[4,2,8,5,7,1])

Su tipo es

type Decimal = (Integer,[Integer],[Integer])

Los números racionales se representan por un par de enteros, donde el primer elemento es el numerador y el segundo el denominador. Por ejemplo, el número 2/3 se representa por (2,3). Su tipo es

type Racional = (Integer,Integer)

Definir las funciones

decimal  :: Racional -> Decimal
racional :: Decimal -> Racional

tales que

  • (decimal r) es la representación decimal del número racional r. Por ejemplo,
decimal (1,4)    ==  (0,[2,5],[])
decimal (1,3)    ==  (0,[],[3])
decimal (23,14)  ==  (1,[6],[4,2,8,5,7,1])
  • (racional d) es el número racional cuya representación decimal es d. Por ejemplo,
racional (0,[2,5],[])           ==  (1,4)
racional (0,[],[3])             ==  (1,3)
racional (1,[6],[4,2,8,5,7,1])  ==  (23,14)

Con la función decimal se puede calcular los períodos de los números racionales. Por ejemplo,

λ> let (_,_,p) = decimal (23,14) in concatMap show p
"428571"
λ> let (_,_,p) = decimal (1,47) in concatMap show p
"0212765957446808510638297872340425531914893617"
λ> let (_,_,p) = decimal (1,541) in length (concatMap show p)
540

Comprobar con QuickCheck si las funciones decimal y racional son inversas.

Leer más…

Diccionario de frecuencias

Misceláneas

Definir la función

frecuencias :: Ord a => [a] -> Map a Int

tal que (frecuencias xs) es el diccionario formado por los elementos de xs junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo,

λ> frecuencias "sosos"
fromList [('o',2),('s',3)]
λ> frecuencias (show (10^100))
fromList [('0',100),('1',1)]
λ> frecuencias (take (10^6) (cycle "abc"))
fromList [('a',333334),('b',333333),('c',333333)]
λ> size (frecuencias (take (10^6) (cycle [1..10^6])))
1000000

Leer más…

Números cuyos dígitos coinciden con los de sus factores primos

Misceláneas

Un número n es especial si al unir los dígitos de sus factores primos, se obtienen exactamente los dígitos de n, aunque puede ser en otro orden. Por ejemplo, 1255 es especial, pues los factores primos de 1255 son 5 y 251.

Definir la función

esEspecial :: Integer -> Bool

tal que (esEspecial n) se verifica si un número n es especial. Por ejemplo,

esEspecial 1255 == True
esEspecial 125  == False

Comprobar con QuickCheck que todo número primo es especial.

Calcular los 5 primeros números especiales que no son primos.

Leer más…

Evaluación de expresiones aritméticas

Misceláneas

Las expresiones aritméticas se pueden definir mediante el siguiente tipo de dato

data Expr  = N Int | V Char | Sum Expr Expr | Mul Expr Expr
             deriving Show

Por ejemplo, (x+3)+(7*y) se representa por

ejExpr :: Expr
ejExpr = Sum (Sum (V 'x') (N 3))(Mul (N 7) (V 'y'))

Definir la función

valor :: Expr -> Maybe Int

tal que (valor e) es 'Just v' si la expresión e es numérica y v es su valor, o bien 'Nothing' si e no es numérica. Por ejemplo:

valor (Sum (N 7) (N 9))                            == Just 16
valor (Sum (Sum (V 'x') (N 3))(Mul (N 7) (V 'y'))) == Nothing
valor (Sum (Sum (N 1) (N 3))(Mul (N 7) (N 2)))     == Just 18

Leer más…

Posiciones de máximos locales

Misceláneas

Los vectores se definen usando tablas como sigue:

type Vector a = Array Int a

Un elemento de un vector es un máximo local si no tiene ningún elemento adyacente mayor o igual que él.

Definir la función

posMaxVec :: Ord a => Vector a -> [Int]

tal que (posMaxVec p) devuelve las posiciones del vector p en las que p tiene un máximo local. Por ejemplo,

posMaxVec (listArray (1,6) [3,2,6,7,5,3]) == [1,4]
posMaxVec (listArray (1,2) [5,5])         == []
posMaxVec (listArray (1,1) [5])           == [1]

Leer más…

Comportamiento del último dígito en primos consecutivos

Misceláneas

El pasado 11 de marzo se ha publicado el artículo Unexpected biases in the distribution of consecutive primes en el que muestra que los números primos repelen a otros primos que terminan en el mismo dígito.

La lista de los últimos dígitos de los 30 primeros números es

[2,3,5,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,3,9,1,7,1,3,9,3,9,7,1,3,7,9,3]

Se observa que hay 6 números que su último dígito es un 1 y de sus consecutivos 4 terminan en 3 y 2 terminan en 7.

Definir la función

distribucionUltimos :: Int -> M.Matrix Integer

tal que (distribucionUltimos n) es la matriz cuyo elemento (i,j) indica cuántos de los n primeros números primos terminan en i y su siguiente número primo termina en j. Por ejemplo,

λ> distribucionUltimos 30
( 0 0 4 0 0 0 2 0 0 )
( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 )
( 0 0 0 0 1 0 4 0 4 )
( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 )
( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
( 4 0 1 0 0 0 0 0 2 )
( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
( 2 0 3 0 0 0 1 0 0 )

λ> distribucionUltimos (10^5)
( 4104    0 7961    0    0    0 8297    0 4605 )
(    0    0    1    0    0    0    0    0    0 )
( 5596    0 3604    0    1    0 7419    0 8387 )
(    0    0    0    0    0    0    0    0    0 )
(    0    0    0    0    0    0    1    0    0 )
(    0    0    0    0    0    0    0    0    0 )
( 6438    0 6928    0    0    0 3627    0 8022 )
(    0    0    0    0    0    0    0    0    0 )
( 8830    0 6513    0    0    0 5671    0 3995 )

Nota: Se observa cómo se "repelen" ya que en las filas del 1, 3, 7 y 9 el menor elemento es el de la diagonal.

Leer más…

Máxima suma de elementos consecutivos

Misceláneas

Definir la función

sumaMaxima :: [Integer] -> Integer

tal que (sumaMaxima xs) es el valor máximo de la suma de elementos consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,

sumaMaxima []             ==  0
sumaMaxima [2,-2,3,-3,4]  ==  4
sumaMaxima [-1,-2,-3]     ==  0
sumaMaxima [2,-1,3,-2,3]  ==  5
sumaMaxima [1,-1,3,-2,4]  ==  5
sumaMaxima [2,-1,3,-2,4]  ==  6
sumaMaxima [1..10^6]      ==  500000500000

Comprobar con QuickCheck que

sumaMaxima xs == sumaMaxima (reverse xs)

Leer más…

Rotación de una matriz

Misceláneas

En la siguiente figura, al rotar girando 90 grados en el sentido del reloj la matriz de la izquierda, obtenemos la de la derecha

1 2 3        7 4 1
4 5 6        8 5 2
7 8 9        9 6 3

Definir la función

rota :: Matrix Int -> Matrix Int

tal que (rota p) es la matriz obtenida girando en el sentido del reloj la matriz cuadrada p. Por ejemplo,

λ> rota (fromList 3 3 [1..9])
( 7 4 1 )
( 8 5 2 )
( 9 6 3 )

λ> rota (fromList 3 3 [7,4,1,8,5,2,9,6,3])
( 9 8 7 )
( 6 5 4 )
( 3 2 1 )

Leer más…

Primo suma de dos cuadrados

Misceláneas

Definir la sucesión

primosSumaDe2Cuadrados :: [Integer]

cuyos elementos son los números primos que se pueden escribir como sumas de dos cuadrados. Por ejemplo,

λ> take 20 primosSumaDe2Cuadrados
[2,5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,149,157,173,181]
λ> primosSumaDe2Cuadrados !! (2*10^5)
5803241

En el ejemplo anterior,

  • 13 está en la sucesión porque es primo y 13 = 2²+3².
  • 11 no está en la sucesión porque no se puede escribir como suma de dos cuadrados (en efecto, 11-1=10, 11-2²=7 y 11-3²=2 no son cuadrados).
  • 20 no está en la sucesión porque, aunque es suma de dos cuadrados (20=4²+2²), no es primo.

Leer más…

Máxima suma en una matriz

Misceláneas

Las matrices puede representarse mediante tablas cuyos índices son pares de números naturales:

type Matriz = Array (Int,Int) Int

Definir la función

maximaSuma :: Matriz -> Int

tal que (maximaSuma p) es el máximo de las sumas de las listas de elementos de la matriz p tales que cada elemento pertenece sólo a una fila y a una columna. Por ejemplo,

λ> maximaSuma (listArray ((1,1),(3,3)) [1,2,3,8,4,9,5,6,7])
17

ya que las selecciones, y sus sumas, de la matriz

|1 2 3|
|8 4 9|
|5 6 7|

son

[1,4,7] --> 12
[1,9,6] --> 16
[2,8,7] --> 17
[2,9,5] --> 16
[3,8,6] --> 17
[3,4,5] --> 12

Hay dos selecciones con máxima suma: [2,8,7] y [3,8,6].

Leer más…

Máxima longitud de las sublistas comunes

Misceláneas

Las sublistas comunes de "1325" y "36572" son "", "3","32", "35", "2" y "5". El máximo de sus longitudes es 2.

Definir la función

maximo :: Eq a => [a] -> [a] -> Int

tal que (maximo xs ys) es el máximo de las longitudes de las sublistas comunes de xs e ys. Por ejemplo,

maximo "1325" "36572"       == 2
maximo [1,4..33] [2,4..33]  == 5
maximo [1..10^6] [1..10^6]  == 100000

Leer más…

Elemento ausente

Misceláneas

Sea xs una lista y n su longitud. Se dice que xs es casi completa si sus elementos son los números enteros entre 0 y n excepto uno. Por ejemplo, la lista [3,0,1] es casi completa.

Definir la función

ausente :: [Integer] -> Integer

tal que (ausente xs) es el único entero (entre 0 y la longitud de xs) que no pertenece a la lista casi completa xs. Por ejemplo,

ausente [3,0,1]               ==  2
ausente [1,2,0]               ==  3
ausente (1+10^7:[0..10^7-1])  ==  10000000

Leer más…

Menor no expresable como suma

Misceláneas

Definir la función

menorNoSuma :: [Integer] -> Integer

tal que (menorNoSuma xs) es el menor número que no se puede escribir como suma de un subconjunto de xs, donde se supone que xs es un conjunto de números enteros positivos. Por ejemplo,

menorNoSuma [6,1,2]    ==  4
menorNoSuma [1,2,3,9]  ==  7
menorNoSuma [5]        ==  1
menorNoSuma [1..20]    ==  211
menorNoSuma [1..10^6]  ==  500000500001

Comprobar con QuickCheck que para todo n,

menorNoSuma [1..n] == 1 + sum [1..n]

Leer más…

Cálculo del número de islas rectangulares en una matriz

Misceláneas

En este problema se consideran matrices cuyos elementos son 0 y 1. Los valores 1 aparecen en forma de islas rectangulares separadas por 0 de forma que como máximo las islas son diagonalmente adyacentes. Por ejemplo,

ej1, ej2 :: Array (Int,Int) Int
ej1 = listArray ((1,1),(6,3))
                [0,0,0,
                 1,1,0,
                 1,1,0,
                 0,0,1,
                 0,0,1,
                 1,1,0]
ej2 = listArray ((1,1),(6,6))
                [1,0,0,0,0,0,
                 1,0,1,1,1,1,
                 0,0,0,0,0,0,
                 1,1,1,0,1,1,
                 1,1,1,0,1,1,
                 0,0,0,0,1,1]

Definir la función

numeroDeIslas :: Array (Int,Int) Int -> Int

tal que (numeroDeIslas p) es el número de islas de la matriz p. Por ejemplo,

numeroDeIslas ej1  ==  3
numeroDeIslas ej2  ==  4

Leer más…

Números N cuyos cuadrados tienen dos copias de cada dígito de N

Misceláneas

La sucesión A114258 de la OEIS está formada por los números n tales que el número de ocurrencia de cada dígito d de n en n² es el doble del número de ocurrencia de d en n. Por ejemplo, 72576 es un elemento de A114258 porque tiene un 2, un 5, un 6 y dos 7 y su cuadrado es 5267275776 que tiene exactamente dos 2, dos 5, dos 6 y cuatro 7.

Un número es especial si pertenece a la sucesión A114258.

Definir la sucesión

especiales :: [Integer]

cuyos elementos son los números especiales. Por ejemplo,

take 5 especiales  ==  [72576,406512,415278,494462,603297]

Leer más…

Índices de números de Fibonacci

Misceláneas

Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

Se observa que el 6º término de la sucesión (comenzando a contar en 0) es el número 8.

Definir la función

indiceFib :: Integer -> Maybe Integer

tal que (indiceFib x) es justo el número n si x es el n-ésimo términos de la sucesión de Fibonacci o Nothing en el caso de que x no pertenezca a la sucesión. Por ejemplo,

indiceFib 8                                           == Just 6
indiceFib 9                                           == Nothing
indiceFib 21                                          == Just 8
indiceFib 22                                          == Nothing
indiceFib 280571172992510140037611932413038677189525  == Just 200
indiceFib 123456789012345678901234567890123456789012  == Nothing

Leer más…

Integración por el método de los rectángulos

Misceláneas

La integral definida de una función \( f \) entre los límites \( a \) y \( b \) puede calcularse mediante la regla del rectángulo usando la fórmula \[ h \cdot \left( f\left(a + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + h + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + 2h + \frac{h}{2}\right) + \cdots + f\left(a + nh + \frac{h}{2}\right) \right) \] con \[ a+nh+\frac{h}{2} \leq b < a+(n+1)h+\frac{h}{2} \] y usando valores pequeños para \( h \).

Definir la función

integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con paso 0.01, es

integral 0 1 (^3) 0.01  ==  0.24998750000000042

Otros ejemplos son

integral 0 1 (^4) 0.01                        ==  0.19998333362500048
integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01       ==  1.9999250000000026
log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01         ==  3.124931644782336e-6
pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01  ==  -8.333333331389525e-6

Leer más…

Método de bisección para aproximar raíces de funciones

Misceláneas

El método de bisección para calcular un cero de una función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c en (a, b) para el que f(c) = 0".

El método para calcular un cero de la función f en el intervalo [a,b] con un error menor que e consiste en tomar el punto medio del intervalo c = (a+b)/2 y considerar los siguientes casos:

  • Si |f(c)| < e, hemos encontrado una aproximación del punto que anula f en el intervalo con un error aceptable.
  • Si f(c) tiene signo distinto de f(a), repetir el proceso en el intervalo [a,c].
  • Si no, repetir el proceso en el intervalo [c,b].

Definir la función

biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double

tal que (biseccion f a b e) es una aproximación del punto del intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo,

biseccion (\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01             ==  1.7333984375
biseccion (\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01         ==  1.521484375
biseccion cos 0 2 0.01                         ==  1.5625
biseccion (\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01  ==  -5.125

Leer más…

Particiones en sumas de cuadrados

Misceláneas

Definir las funciones

particionesCuadradas :: Integer -> [[Integer]]
nParticionesCuadradas :: Integer -> Integer
graficaParticionesCuadradas :: Integer -> IO ()

tales que

  • (particionesCuadradas n) es la listas de conjuntos de cuadrados cuya suma es n. Por ejemplo,
particionesCuadradas 3  ==  [[1,1,1]]
particionesCuadradas 4  ==  [[4],[1,1,1,1]]
particionesCuadradas 9  ==  [[9],[4,4,1],[4,1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1,1,1,1,1]]
  • (nParticionesCuadradas n) es el número de conjuntos de cuadrados cuya suma es n. Por ejemplo,
nParticionesCuadradas 3    ==  1
nParticionesCuadradas 4    ==  2
nParticionesCuadradas 9    ==  4
nParticionesCuadradas 50   ==  104
nParticionesCuadradas 100  ==  1116
nParticionesCuadradas 200  ==  27482
  • (graficaParticionesCuadradas n) dibuja la gráfica de la sucesión
[nParticionesCuadradas k | k <- [0..n]]

Por ejemplo, con (graficaParticionesCuadradas 100) se obtiene

Particiones en sumas de cuadrados

Leer más…

Números automórficos

Misceláneas

Un número n es automórfico si los últimos dígitos de su cuadrado son los dígitos de n. Por ejemplo, 5, 6, 76 y 890625 son números automórficos ya que 5² = 25, 6² = 36, 76² = 5776 y 890625² = 793212890625.

Definir la sucesión

automorficos :: [Integer]

tal que sus elementos son los números automórficos. Por ejemplo,

λ> take 11 automorficos
[1,5,6,25,76,376,625,9376,90625,109376,890625]
λ> automorficos !! 30
56259918212890625

Leer más…

Sumas de potencias de 3 primos

Misceláneas

Los primeros números de la forma p²+q³+r⁴, con p, q y r primos son

28 = 2² + 2³ + 2⁴
33 = 3² + 2³ + 2⁴
47 = 2² + 3³ + 2⁴
49 = 5² + 2³ + 2⁴

Definir la sucesión

sumas3potencias :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir de la forma p²+q³+r⁴, con p, q y r primos. Por ejemplo,

λ> take 15 sumas3potencias
[28,33,47,49,52,68,73,92,93,98,112,114,117,133,138]
λ> sumas3potencias !! 234567
8953761

Leer más…

Múltiplos con ceros y unos

Misceláneas

Se observa que todos los primeros números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. Por ejemplo, 1x10=10, 2x5=10, 3x37=111, 4x25=100, 5x2=10, 6x185=1110; 7x143=1001; 8X125=1000; 9x12345679=111111111.

Definir la función

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosCon1y0 n) es la lista de los múltiplos de n cuyos dígitos son 1 ó 0. Por ejemplo,

take 4 (multiplosCon1y0 3)      ==  [111,1011,1101,1110]
take 3 (multiplosCon1y0 23)     ==  [110101,1011011,1101010]
head (multiplosCon1y0 1234658)  ==  110101101101000000110

Comprobar con QuickCheck que todo entero positivo tiene algún múltiplo cuyos dígitos son 1 ó 0.

Leer más…

Regresión lineal

Misceláneas

Dadas dos listas de valores

xs = [x(1), x(2), ..., x(n)]
ys = [y(1), y(2), ..., y(n)]

la ecuación de la recta de regresión de ys sobre xs es y = a+bx, donde \[ b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - \left( \sum x_i \right)^2} \]

\[ a = \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} \]

Definir la función

regresionLineal :: [Double] -> [Double] -> (Double,Double)

tal que (regresionLineal xs ys) es el par (a,b) de los coeficientes de la recta de regresión de ys sobre xs. Por ejemplo, para los valores

ejX, ejY :: [Double]
ejX = [5,  7, 10, 12, 16, 20, 23, 27, 19, 14]
ejY = [9, 11, 15, 16, 20, 24, 27, 29, 22, 20]

se tiene

λ> regresionLineal ejX ejY
(5.195045748716805,0.9218924347243919)

Definir el procedimiento

grafica :: [Double] -> [Double] -> IO ()

tal que (grafica xs ys) pinte los puntos correspondientes a las listas de valores xs e ys y su recta de regresión. Por ejemplo, con (grafica ejX ejY) se obtiene el siguiente dibujo

Regresión lineal

Leer más…

Dígitos en la factorización

Misceláneas

El enunciado del problema 652 de Números y algo más es el siguiente

Si factorizamos los factoriales de un número en función de sus divisores primos y sus potencias, ¿Cuál es el menor número n tal que entre los factores primos y los exponentes de estos, n! contiene los dígitos del cero al nueve? Por ejemplo

  • 6! = 2⁴x3²x5¹, le faltan los dígitos 0,6,7,8 y 9
  • 12! = 2¹⁰x3⁵x5²x7¹x11¹, le faltan los dígitos 4,6,8 y 9

Definir la función

digitosDeFactorizacion :: Integer -> [Integer]

tal que (digitosDeFactorizacion n) es el conjunto de los dígitos que aparecen en la factorización de n. Por ejemplo,

digitosDeFactorizacion (factorial 6)   ==  [1,2,3,4,5]
digitosDeFactorizacion (factorial 12)  ==  [0,1,2,3,5,7]

Usando la función anterior, calcular la solución del problema.

Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 100, entonces

digitosDeFactorizacion (factorial n) == [0..9]

Leer más…

Cantidad de números Pentanacci impares

Misceláneas

Los números de Pentanacci se definen mediante las ecuaciones

P(0) = 0
P(1) = 1
P(2) = 1
P(3) = 2
P(4) = 4
P(n) = P(n-1) + P(n-2) + P(n-3) + P(n-4) + P(n-5), si n > 4

Los primeros números de Pentanacci son

0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, ...

Se observa que

  • hasta P(5) hay 1 impar: el 1 (aunque aparece dos veces);
  • hasta P(7) hay 2 impares distintos: 1 y 31;
  • hasta P(10) hay 3 impares distintos: 1, 31 y 61;
  • hasta P(15) hay 5 impares distintos: 1, 31 y 61, 1793 y 3525.

Definir la función

nPentanacciImpares :: Integer -> Integer

tal que (nPentanacciImpares n) es la cantidad de números impares distintos desde P(0) hasta P(n). Por ejemplo,

nPentanacciImpares 5                             ==  1
nPentanacciImpares 7                             ==  2
nPentanacciImpares 10                            ==  3
nPentanacciImpares 15                            ==  5
nPentanacciImpares 100                           ==  33
nPentanacciImpares 1000                          ==  333
nPentanacciImpares 10000                         ==  3333
nPentanacciImpares (10^(10^6)) `mod` (10^9)      ==  333333333
length (show (nPentanacciImpares2 (10^(10^6))))  ==  1000000

Leer más…

Números de Pentanacci

Misceláneas

Los números de Fibonacci se definen mediante las ecuaciones

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2), si n > 1

Los primeros números de Fibonacci son

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

Una generalización de los anteriores son los números de Pentanacci definidos por las siguientes ecuaciones

P(0) = 0
P(1) = 1
P(2) = 1
P(3) = 2
P(4) = 4
P(n) = P(n-1) + P(n-2) + P(n-3) + P(n-4) + P(n-5), si n > 4

Los primeros números de Pentanacci son

0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, ...

Definir la sucesión

pentanacci :: [Integer]

cuyos elementos son los números de Pentanacci. Por ejemplo,

λ> take 15 pentanacci
[0,1,1,2,4,8,16,31,61,120,236,464,912,1793,3525]
λ> (pentanacci !! 70000) `mod` (10^30)
231437922897686901289110700696
λ> length (show (pentanacci !! 70000))
20550

Leer más…

Diagonales de matrices como listas

Misceláneas

Las matrices se pueden representar como lista de listas de la misma longitud, donde cada uno de sus elementos representa una fila de la matriz.

Definir la función

diagonal       :: [[a]] -> [a]

tal que (diagonal xss) es la diagonal de la matriz xss. Por ejemplo,

diagonal [[3,5,2],[4,7,1],[6,9,0]]           ==  [3,7,0]
diagonal [[3,5],[4,7],[6,9]]                 ==  [3,7]
diagonal [[3,5,2],[4,7,1]]                   ==  [3,7]
sum (diagonal (replicate 20000 [1..20000]))  ==  200010000

Leer más…

Números como suma de N sumandos

Misceláneas

Definir la función

sumas :: Int -> [Int] -> [Int]

tal que (sumas n xs) es la lista de los números que se pueden obtener como suma de n, o menos, elementos de xs. Por ejemplo,

sumas 0 [2,5]              ==  [0]
sumas 1 [2,5]              ==  [0,2,5]
sumas 2 [2,5]              ==  [0,2,4,5,7,10]
sumas 3 [2,5]              ==  [0,2,4,5,6,7,9,10,12,15]
sumas 2 [2,3,5]            ==  [0,2,3,4,5,6,7,8,10]
sumas 3 [2,3,5]            ==  [0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15]
length (sumas 8 [1..200])  ==  1601

Leer más…

Anotación de la profundidad de los nodos

Misceláneas

Los árboles binarios con datos en los nodos y hojas se definen por

data Arbol a = H
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
             deriving (Eq, Show)

Por ejemplo, el árbol

       3
      / \
     /   \
    4     7
   / \   / \
  5   0 0   3
 / \
2   0

se representa por

ejArbol :: Arbol Integer
ejArbol = N 3 (N 4 (N 5 (H 2)(H 0)) (H 0)) (N 7 (H 0) (H 3))

Anotando cada elemento del árbol anterior con su profundidad, se obtiene el árbol siguiente

        3-0
        / \
       /   \
      /     \
    4-1     7-1
    / \     / \
  5-2 0-2 0-2 3-0
  / \
2-3 0-3

Definir la función

anotado :: Arbol a -> Arbol (a,Int)

tal que (anotado x) es el árbol obtenido anotando los elementos de x con su profundidad. Por ejemplo,

λ> anotado ejArbol
N (3,0)
  (N (4,1)
     (N (5,2) (H (2,3)) (H (0,3)))
     (H (0,2)))
  (N (7,1) (H (0,2)) (H (3,2)))

Leer más…

Compactación de listas

Misceláneas

Definir la función

compactada :: [Maybe Int] -> [Int]

tal que (compacta xs) es la lista obtenida al compactar xs con las siguientes reglas:

  1. se eliminan los elementos Nothing;
  2. si dos elementos consecutivos tienen el mismo valor, se sustituyen por el sucesor de su valor y
  3. los restantes elementos no se cambian.

Por ejemplo,

λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 4,Just 4,Just 3,Just 6]
[2,5,3,6]
λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 1,Just 4,Just 3,Just 6]
[2,1,4,3,6]
λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 1,Just 4,Just 4,Just 6]
[2,1,5,6]
λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 1,Just 4,Just 3,Just 4]
[2,1,4,3,4]
λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 2,Just 4,Just 3,Just 4]
[2,2,4,3,4]

Leer más…

Número de representaciones de n como suma de dos cuadrados

Misceláneas

Sea \( n \) un número natural cuya factorización prima es \[ n = 2^a \cdot p_1^{b_1} \cdots p_n^{b_n} \cdot q_1^{c_1} \cdots q_m^{c_m} \] donde los \( p_i \) son los divisores primos de \( n \) congruentes con \( 3 \) módulo \( 4 \) y los \( q_j \) son los divisores primos de \( n \) congruentes con \( 1 \) módulo \( 4 \). Entonces, el número de formas de descomponer \( n \) como suma de dos cuadrados es \( 0 \), si algún \( b_i \) es impar y es el techo (es decir, el número entero más próximo por exceso) de \[ \frac{(1+c_1) \cdots (1+c_m)}{2} \] en caso contrario. Por ejemplo, el número \( 2^3 \cdot (3^9 \cdot 7^8) \cdot (5^3 \cdot 13^6) \) no se puede descomponer como sumas de dos cuadrados (porque el exponente de \( 3 \) es impar) y el número \( 2^3 \cdot (3^2 \cdot 7^8) \cdot (5^3 \cdot 13^6) \) tiene \( 14 \) descomposiciones como suma de dos cuadrados (porque los exponentes de \( 3 \) y \( 7 \) son pares y el techo de \( \frac{(1+3)(1+6)}{2} \) es \( 14 \)).

Definir la función

   nRepresentaciones :: Integer -> Integer

tal que (nRepresentaciones n) es el número de formas de representar n como suma de dos cuadrados. Por ejemplo,

   nRepresentaciones (2^3*3^9*5^3*7^8*13^6)        ==  0
   nRepresentaciones (2^3*3^2*5^3*7^8*13^6)        ==  14
   head [n | n <- [1..], nRepresentaciones n > 8]  ==  71825

Usando la función representaciones del ejercicio anterior, comprobar con QuickCheck la siguiente propiedad

prop_nRepresentaciones :: Integer -> Property
prop_nRepresentaciones n =
    n > 0 ==>
      nRepresentaciones2 n == genericLength (representaciones n)

Leer más…

Representaciones de un número como suma de dos cuadrados

Misceláneas

Definir la función

representaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (representaciones n) es la lista de pares de números naturales (x,y) tales que n = x^2 + y^2. Por ejemplo.

representaciones  20           ==  [(2,4)]
representaciones  25           ==  [(0,5),(3,4)]
representaciones 325           ==  [(1,18),(6,17),(10,15)]
representaciones 100000147984  ==  [(0,316228)]

Comprobar con QuickCheck que un número natural n se puede representar como suma de dos cuadrados si, y sólo si, en la factorización prima de n todos los exponentes de sus factores primos congruentes con 3 módulo 4 son pares.

Leer más…

Factorizaciones de números de Hilbert

Misceláneas

Un número de Hilbert es un entero positivo de la forma 4n+1. Los primeros números de Hilbert son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, ...

Un primo de Hilbert es un número de Hilbert n que no es divisible por ningún número de Hilbert menor que n (salvo el 1). Los primeros primos de Hilbert son 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, ...

Definir la función

factorizacionesH :: Integer -> [[Integer]]

tal que (factorizacionesH n) es la listas de primos de Hilbert cuyo producto es el número de Hilbert n. Por ejemplo,

factorizacionesH  25  ==  [[5,5]]
factorizacionesH  45  ==  [[5,9]]
factorizacionesH 441  ==  [[9,49],[21,21]]

Comprobar con QuickCheck que todos los números de Hilbert son factorizables como producto de primos de Hilbert (aunque laa factorización, como para el 441, puede no ser única).

Leer más…

Números primos de Hilbert.

Misceláneas

Un número de Hilbert es un entero positivo de la forma 4n+1. Los primeros números de Hilbert son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, ...

Un primo de Hilbert es un número de Hilbert n que no es divisible por ningún número de Hilbert menor que n (salvo el 1). Los primeros primos de Hilbert son 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, ...

Definir la sucesión

primosH :: [Integer]

tal que sus elementos son los primos de Hilbert. Por ejemplo,

take 15 primosH  == [5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,53,57,61,69,73]
primosH !! 20000 == 203221

Leer más…

La sucesión de Thue-Morse

Misceláneas

La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son

[0]
[0,1]
[0,1,1,0]
[0,1,1,0,1,0,0,1]
[0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]

De esta forma se va formando una sucesión

0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,...

que se conoce como la sucesión de Thue-Morse.

Definir la sucesión

sucThueMorse :: [Int]

cuyos elementos son los de la sucesión de Thue-Morse. Por ejemplo,

λ> take 30 sucThueMorse
[0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0]
λ> map (sucThueMorse4 !!) [1234567..1234596]
[1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
λ> map (sucThueMorse4 !!) [4000000..4000030]
[1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1]

Comprobar con QuickCheck que si s(n) representa el término n-ésimo de la sucesión de Thue-Morse, entonces

s(2n)   = s(n)
s(2n+1) = 1 - s(n)

Leer más…

Ordenación por frecuencia

Misceláneas

Definir la función

ordPorFrecuencia :: Ord a => [a] -> [a]

tal que (ordPorFrecuencia xs) es la lista obtenidas ordenando los elementos de xs por su frecuencia, de los que aparecen menos a los que aparecen más. Por ejemplo,

ordPorFrecuencia "canalDePanama"  ==  "DPcelmnnaaaaa"
ordPorFrecuencia "20012016"       ==  "61122000"

Leer más…

El algoritmo binario del mcd

Misceláneas

El máximo común divisor (mcd) de dos números enteros no negativos se puede calcular mediante un algoritmo binario basado en las siguientes propiedades:

  1. Si a,b son pares, entonces mcd(a,b) = 2*mcd(a/2,b/2)
  2. Si a es par y b impar, entonces mcd(a,b) = mcd(a/2,b)
  3. Si a es impar y b par, entonces mcd(a,b) = mcd(a,b/2)
  4. Si a y b son impares y a > b, entonces mcd(a,b) = mcd((a-b)/2,b)
  5. Si a y b son impares y a < b, entonces mcd(a,b) = mcd(a,(b-a)/2)
  6. mcd(a,0) = a
  7. mcd(0,b) = b
  8. mcd(a,a) = a

Por ejemplo, el cálculo del mcd(660,420) es

mcd(660,420)
= 2*mcd(330,210)    [por 1]
= 2*2*mcd(165,105)  [por 1]
= 2*2*mcd(30,105)   [por 4]
= 2*2*mcd(15,105)   [por 2]
= 2*2*mcd(15,45)    [por 4]
= 2*2*mcd(15,15)    [por 4]
= 2*2*15            [por 8]
= 60

Definir la función

mcd :: Integer -> Integer -> Integer

Definir la función

tal que (mcd a b) es el máximo común divisor de a y b calculado mediante el algoritmo binario del mcd. Por ejemplo,

mcd 660 420  ==  60
mcd 3 0      ==  3
mcd 0 3      ==  3

Comprobar con QuickCheck que, para los enteros no negativos, las funciones mcd y gcd son equivalentes.

Leer más…

Agrupamiento por propiedad

Misceláneas

Definir la función

agrupa :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]]

tal que (agrupa p xs) es la lista obtenida separando los elementos consecutivos de xs que verifican la propiedad p de los que no la verifican. Por ejemplo,

agrupa odd   [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2]  ==  [[1],[2,0,4],[9],[6,4],[5,7],[2]]
agrupa even  [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2]  ==  [[],[1],[2,0,4],[9],[6,4],[5,7],[2]]
agrupa (> 4) [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2]  ==  [[],[1,2,0,4],[9,6],[4],[5,7],[2]]
agrupa (< 4) [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2]  ==  [[1,2,0],[4,9,6,4,5,7],[2]]

Comprobar con QuickCheck que para cualquier propiedad p y cualquier lista xs, la concatenación de (agrupa p xs) es xs; es decir,

prop_agrupa :: Blind (Int -> Bool) -> [Int] -> Bool
prop_agrupa (Blind p) xs =
    concat (agrupa1 p xs) == xs

Nota. Usar la librería Test.QuickCheck.Modifiers.

Leer más…

Sumas de dos primos

Misceláneas

Definir la sucesión

sumasDeDosPrimos :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo,

λ> take 23 sumasDeDosPrimos
[4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,24,25,26,28,30,31]

Leer más…