TAD de los polinomios - Factorización de un polinomio

José A. Alonso

22-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int]

tal que factorizacion p es la lista de la descomposición del polinomio p en factores obtenida mediante el regla de Ruffini. Por ejemplo,

   λ> ejPol1 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
   λ> ejPol1
   x^5 + 5*x^2 + 4*x
   λ> factorizacion ejPol1
   [1*x,1*x + 1,x^3 + -1*x^2 + 1*x + 4]
   λ> ejPol2 = consPol 3 1 (consPol 2 2 (consPol 1 (-1) (consPol 0 (-2) polCero)))
   λ> ejPol2
   x^3 + 2*x^2 + -1*x + -2
   λ> factorizacion ejPol2
   [1*x + -1,1*x + 1,1*x + 2,1]

TAD de los polinomios - Raíces enteras de un polinomio

José A. Alonso

19-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

    raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int]

tal que raicesRuffini p es la lista de las raices enteras de p, calculadas usando el regla de Ruffini. Por ejemplo,

    λ> ejPol1 = consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero))
    λ> ejPol1
    3*x^4 + -5*x^2 + 3
    λ> raicesRuffini ejPol1
    []
    λ> ejPol2 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
    λ> ejPol2
    x^5 + 5*x^2 + 4*x
    λ> raicesRuffini ejPol2
    [0,-1]
    λ> ejPol3 = consPol 4 6 (consPol 1 2 polCero)
    λ> ejPol3
    6*x^4 + 2*x
    λ> raicesRuffini ejPol3
    [0]
    λ> ejPol4 = consPol 3 1 (consPol 2 2 (consPol 1 (-1) (consPol 0 (-2) polCero)))
    λ> ejPol4
    x^3 + 2*x^2 + -1*x + -2
    λ> raicesRuffini ejPol4
    [1,-1,-2]

TAD de los polinomios - Reconocimiento de raíces por la regla de Ruffini

José A. Alonso

18-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   esRaizRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Bool

tal que esRaizRuffini r p se verifica si r es una raiz de p, usando para ello el regla de Ruffini. Por ejemplo,

   λ> ejPol = consPol 4 6 (consPol 1 2 polCero)
   λ> ejPol
   6*x^4 + 2*x
   λ> esRaizRuffini 0 ejPol
   True
   λ> esRaizRuffini 1 ejPol
   False

TAD de los polinomios - Regla de Ruffini

José A. Alonso

17-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir las funciones

   cocienteRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int
   restoRuffini    :: Int -> Polinomio Int -> Int

tales que

cocienteRuffini r p es el cociente de dividir el polinomio p por el polinomio x-r. Por ejemplo:

     λ> ejPol = consPol 3 1 (consPol 2 2 (consPol 1 (-1) (consPol 0 (-2) polCero)))
     λ> ejPol
     x^3 + 2*x^2 + -1*x + -2
     λ> cocienteRuffini 2 ejPol
     x^2 + 4*x + 7
     λ> cocienteRuffini (-2) ejPol
     x^2 + -1
     λ> cocienteRuffini 3 ejPol
     x^2 + 5*x + 14

restoRuffini r p es el resto de dividir el polinomio p por el polinomio x-r. Por ejemplo,

     λ> restoRuffini 2 ejPol
     12
     λ> restoRuffini (-2) ejPol
     0
     λ> restoRuffini 3 ejPol
     40

Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p y un número entero r, las funciones anteriores verifican la propiedad de la división euclídea.

TAD de los polinomios - Regla de Ruffini con representación densa

José A. Alonso

16-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   ruffiniDensa :: Int -> [Int] -> [Int]

tal que ruffiniDensa r cs es la lista de los coeficientes del cociente junto con el rsto que resulta de aplicar la regla de Ruffini para dividir el polinomio cuya representación densa es cs entre x-r. Por ejemplo,

   ruffiniDensa 2 [1,2,-1,-2] == [1,4,7,12]
   ruffiniDensa 1 [1,2,-1,-2] == [1,3,2,0]

ya que

     | 1  2  -1  -2           | 1  2  -1  -2
   2 |    2   8  14         1 |    1   3   2
   --+--------------        --+-------------
     | 1  4   7  12           | 1  3   2   0

TAD de los polinomios - Término independiente de un polinomio

José A. Alonso

15-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   terminoIndep :: (Num a, Eq a) => Polinomio  a -> a

tal que terminoIndep p es el término independiente del polinomio p. Por ejemplo,

   λ> ejPol1 = consPol 4 3 (consPol 2 5 (consPol 0 3 polCero))
   λ> ejPol1
   3*x^4 + 5*x^2 + 3
   λ> terminoIndep ejPol1
   3
   λ> ejPol2 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
   λ> ejPol2
   x^5 + 5*x^2 + 4*x
   λ> terminoIndep ejPol2
   0

TAD de los polinomios - Método de Horner del valor de un polinomio

José A. Alonso

12-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

El método de Horner para calcular el valor de un polinomio se basa en representarlo de una forma forma alernativa. Por ejemplo, para calcular el valor de

   a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x + f

se representa como

  (((((0 * x + a) * x + b) * x + c) * x + d) * x + e) * x + f

y se evalúa de dentro hacia afuera; es decir,

  v(0) = 0
  v(1) = v(0)*x+a = 0*x+a = a
  v(2) = v(1)*x+b = a*x+b
  v(3) = v(2)*x+c = (a*x+b)*x+c = a*x^2+b*x+c
  v(4) = v(3)*x+d = (a*x^2+b*x+c)*x+d = a*x^3+b*x^2+c*x+d
  v(5) = v(4)*x+e = (a*x^3+b*x^2+c*x+d)*x+e = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e
  v(6) = v(5)*x+f = (a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e)*x+f = a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   horner :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a

tal que horner p x es el valor del polinomio p al sustituir su variable por el número x. Por ejemplo,

   λ> pol1 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
   λ> pol1
   x^5 + 5*x^2 + 4*x
   λ> horner pol1 0
   0
   λ> horner pol1 1
   10
   λ> horner pol1 1.5
   24.84375
   λ> import Data.Ratio
   λ> horner pol1 (3%2)
   795 % 32

TAD de los polinomios - Divisibilidad de polinomios

José A. Alonso

11-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   divisiblePol :: (Fractional a, Eq a) =>
                   Polinomio a -> Polinomio a -> Bool

tal que divisiblePol p q se verifica si el polinomio p es divisible por el polinomio q. Por ejemplo,

   λ> pol1 = consPol 2 8 (consPol 1 14 (consPol 0 3 polCero))
   λ> pol1
   8*x^2 + 14*x + 3
   λ> pol2 = consPol 1 2 (consPol 0 3 polCero)
   λ> pol2
   2*x + 3
   λ> pol3 = consPol 2 6 (consPol 1 2 polCero)
   λ> pol3
   6*x^2 + 2*x
   λ> divisiblePol pol1 pol2
   True
   λ> divisiblePol pol1 pol3
   False

TAD de los polinomios - División de polinomios

José A. Alonso

10-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir las funciones

   cociente :: (Fractional a, Eq a) =>
               Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a
   resto    :: (Fractional a, Eq a) =>
               Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a

tales que

cociente p q es el cociente de la división de p entre q. Por ejemplo,

     λ> pol1 = consPol 3 2 (consPol 2 9 (consPol 1 10 (consPol 0 4 polCero)))
     λ> pol1
     2*x^3 + 9*x^2 + 10*x + 4
     λ> pol2 = consPol 2 1 (consPol 1 3 polCero)
     λ> pol2
     x^2 + 3*x
     λ> cociente pol1 pol2
     2.0*x + 3.0

resto p q es el resto de la división de p entre q. Por ejemplo,

     λ> resto pol1 pol2
     1.0*x + 4.0

TAD de los polinomios - Multiplicación de un polinomio por un número

José A. Alonso

09-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   multEscalar :: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Polinomio a

tal que multEscalar c p es el polinomio obtenido multiplicando el número c por el polinomio p. Por ejemplo,

   λ> ejPol = consPol 1 2 (consPol 0 3 polCero)
   λ> ejPol
   2*x + 3
   λ> multEscalar 4 ejPol
   8*x + 12
   λ> multEscalar (1 % 4) ejPol
   1 % 2*x + 3 % 4