Las matrices se pueden representar como lista de listas de la misma longitud, donde cada uno de sus elementos representa una fila de la matriz.
Definir la función
diagonal :: [[a]] -> [a]
tal que (diagonal xss) es la diagonal de la matriz xss. Por ejemplo,
diagonal [[3,5,2],[4,7,1],[6,9,0]] == [3,7,0] diagonal [[3,5],[4,7],[6,9]] == [3,7] diagonal [[3,5,2],[4,7,1]] == [3,7] sum (diagonal (replicate 20000 [1..20000])) == 200010000
Definir la función
sumas :: Int -> [Int] -> [Int]
tal que (sumas n xs) es la lista de los números que se pueden obtener como suma de n, o menos, elementos de xs. Por ejemplo,
sumas 0 [2,5] == [0] sumas 1 [2,5] == [0,2,5] sumas 2 [2,5] == [0,2,4,5,7,10] sumas 3 [2,5] == [0,2,4,5,6,7,9,10,12,15] sumas 2 [2,3,5] == [0,2,3,4,5,6,7,8,10] sumas 3 [2,3,5] == [0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15] length (sumas 8 [1..200]) == 1601
Los árboles binarios con datos en los nodos y hojas se definen por
data Arbol a = H | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving (Eq, Show)
Por ejemplo, el árbol
3
/ \
/ \
4 7
/ \ / \
5 0 0 3
/ \
2 0
se representa por
ejArbol :: Arbol Integer ejArbol = N 3 (N 4 (N 5 (H 2)(H 0)) (H 0)) (N 7 (H 0) (H 3))
Anotando cada elemento del árbol anterior con su profundidad, se obtiene el árbol siguiente
3-0
/ \
/ \
/ \
4-1 7-1
/ \ / \
5-2 0-2 0-2 3-0
/ \
2-3 0-3
Definir la función
anotado :: Arbol a -> Arbol (a,Int)
tal que (anotado x) es el árbol obtenido anotando los elementos de x con su profundidad. Por ejemplo,
λ> anotado ejArbol N (3,0) (N (4,1) (N (5,2) (H (2,3)) (H (0,3))) (H (0,2))) (N (7,1) (H (0,2)) (H (3,2)))
Definir la función
compactada :: [Maybe Int] -> [Int]
tal que (compacta xs) es la lista obtenida al compactar xs con las siguientes reglas:
Por ejemplo,
λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 4,Just 4,Just 3,Just 6] [2,5,3,6] λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 1,Just 4,Just 3,Just 6] [2,1,4,3,6] λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 1,Just 4,Just 4,Just 6] [2,1,5,6] λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 1,Just 4,Just 3,Just 4] [2,1,4,3,4] λ> compactada [Just 1,Nothing,Just 1,Just 2,Just 4,Just 3,Just 4] [2,2,4,3,4]
Definir la función
sinEspaciosExtremos :: String -> String
tal que (sinEspaciosExtremos cs) es la cadena obtenida eliminando los espacios blancos de los extremos de la cadena cs. Por ejemplo,
λ> sinEspaciosExtremos " El lunes a las 12:30. " "El lunes a las 12:30."
Sea \( n \) un número natural cuya factorización prima es \[ n = 2^a \cdot p_1^{b_1} \cdots p_n^{b_n} \cdot q_1^{c_1} \cdots q_m^{c_m} \] donde los \( p_i \) son los divisores primos de \( n \) congruentes con \( 3 \) módulo \( 4 \) y los \( q_j \) son los divisores primos de \( n \) congruentes con \( 1 \) módulo \( 4 \). Entonces, el número de formas de descomponer \( n \) como suma de dos cuadrados es \( 0 \), si algún \( b_i \) es impar y es el techo (es decir, el número entero más próximo por exceso) de \[ \frac{(1+c_1) \cdots (1+c_m)}{2} \] en caso contrario. Por ejemplo, el número \( 2^3 \cdot (3^9 \cdot 7^8) \cdot (5^3 \cdot 13^6) \) no se puede descomponer como sumas de dos cuadrados (porque el exponente de \( 3 \) es impar) y el número \( 2^3 \cdot (3^2 \cdot 7^8) \cdot (5^3 \cdot 13^6) \) tiene \( 14 \) descomposiciones como suma de dos cuadrados (porque los exponentes de \( 3 \) y \( 7 \) son pares y el techo de \( \frac{(1+3)(1+6)}{2} \) es \( 14 \)).
Definir la función
nRepresentaciones :: Integer -> Integer
tal que (nRepresentaciones n) es el número de formas de representar n como suma de dos cuadrados. Por ejemplo,
nRepresentaciones (2^3*3^9*5^3*7^8*13^6) == 0 nRepresentaciones (2^3*3^2*5^3*7^8*13^6) == 14 head [n | n <- [1..], nRepresentaciones n > 8] == 71825
Usando la función representaciones del ejercicio anterior, comprobar con QuickCheck la siguiente propiedad
prop_nRepresentaciones :: Integer -> Property prop_nRepresentaciones n = n > 0 ==> nRepresentaciones2 n == genericLength (representaciones n)
Definir la función
representaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (representaciones n) es la lista de pares de números naturales (x,y) tales que n = x^2 + y^2. Por ejemplo.
representaciones 20 == [(2,4)] representaciones 25 == [(0,5),(3,4)] representaciones 325 == [(1,18),(6,17),(10,15)] representaciones 100000147984 == [(0,316228)]
Comprobar con QuickCheck que un número natural n se puede representar como suma de dos cuadrados si, y sólo si, en la factorización prima de n todos los exponentes de sus factores primos congruentes con 3 módulo 4 son pares.
Un número de Hilbert es un entero positivo de la forma 4n+1. Los primeros números de Hilbert son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, ...
Un primo de Hilbert es un número de Hilbert n que no es divisible por ningún número de Hilbert menor que n (salvo el 1). Los primeros primos de Hilbert son 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, ...
Definir la función
factorizacionesH :: Integer -> [[Integer]]
tal que (factorizacionesH n) es la listas de primos de Hilbert cuyo producto es el número de Hilbert n. Por ejemplo,
factorizacionesH 25 == [[5,5]] factorizacionesH 45 == [[5,9]] factorizacionesH 441 == [[9,49],[21,21]]
Comprobar con QuickCheck que todos los números de Hilbert son factorizables como producto de primos de Hilbert (aunque laa factorización, como para el 441, puede no ser única).
Un número de Hilbert es un entero positivo de la forma 4n+1. Los primeros números de Hilbert son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, ...
Un primo de Hilbert es un número de Hilbert n que no es divisible por ningún número de Hilbert menor que n (salvo el 1). Los primeros primos de Hilbert son 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, ...
Definir la sucesión
primosH :: [Integer]
tal que sus elementos son los primos de Hilbert. Por ejemplo,
take 15 primosH == [5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,53,57,61,69,73] primosH !! 20000 == 203221
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]
De esta forma se va formando una sucesión
0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,...
que se conoce como la sucesión de Thue-Morse.
Definir la sucesión
sucThueMorse :: [Int]
cuyos elementos son los de la sucesión de Thue-Morse. Por ejemplo,
λ> take 30 sucThueMorse [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0] λ> map (sucThueMorse4 !!) [1234567..1234596] [1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0] λ> map (sucThueMorse4 !!) [4000000..4000030] [1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1]
Comprobar con QuickCheck que si s(n) representa el término n-ésimo de la sucesión de Thue-Morse, entonces
s(2n) = s(n) s(2n+1) = 1 - s(n)
Definir la función
ordPorFrecuencia :: Ord a => [a] -> [a]
tal que (ordPorFrecuencia xs) es la lista obtenidas ordenando los elementos de xs por su frecuencia, de los que aparecen menos a los que aparecen más. Por ejemplo,
ordPorFrecuencia "canalDePanama" == "DPcelmnnaaaaa" ordPorFrecuencia "20012016" == "61122000"
El máximo común divisor (mcd) de dos números enteros no negativos se puede calcular mediante un algoritmo binario basado en las siguientes propiedades:
Por ejemplo, el cálculo del mcd(660,420) es
mcd(660,420) = 2*mcd(330,210) [por 1] = 2*2*mcd(165,105) [por 1] = 2*2*mcd(30,105) [por 4] = 2*2*mcd(15,105) [por 2] = 2*2*mcd(15,45) [por 4] = 2*2*mcd(15,15) [por 4] = 2*2*15 [por 8] = 60
Definir la función
mcd :: Integer -> Integer -> Integer
Definir la función
tal que (mcd a b) es el máximo común divisor de a y b calculado mediante el algoritmo binario del mcd. Por ejemplo,
mcd 660 420 == 60 mcd 3 0 == 3 mcd 0 3 == 3
Comprobar con QuickCheck que, para los enteros no negativos, las funciones mcd y gcd son equivalentes.
Definir la función
agrupa :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]]
tal que (agrupa p xs) es la lista obtenida separando los elementos consecutivos de xs que verifican la propiedad p de los que no la verifican. Por ejemplo,
agrupa odd [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2] == [[1],[2,0,4],[9],[6,4],[5,7],[2]] agrupa even [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2] == [[],[1],[2,0,4],[9],[6,4],[5,7],[2]] agrupa (> 4) [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2] == [[],[1,2,0,4],[9,6],[4],[5,7],[2]] agrupa (< 4) [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2] == [[1,2,0],[4,9,6,4,5,7],[2]]
Comprobar con QuickCheck que para cualquier propiedad p y cualquier lista xs, la concatenación de (agrupa p xs) es xs; es decir,
prop_agrupa :: Blind (Int -> Bool) -> [Int] -> Bool prop_agrupa (Blind p) xs = concat (agrupa1 p xs) == xs
Nota. Usar la librería Test.QuickCheck.Modifiers.
Definir la sucesión
sumasDeDosPrimos :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo,
λ> take 23 sumasDeDosPrimos [4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,24,25,26,28,30,31]
Los árboles binarios con datos en nodos y hojas se definen por
data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show
Por ejemplo, el árbol
3
/ \
/ \
4 7
/ \ / \
5 0 0 3
/ \
2 0
se representa por
ejArbol :: Arbol Integer ejArbol = N 3 (N 4 (N 5 (H 2)(H 0)) (H 0)) (N 7 (H 0) (H 3))
Definir la función
sucesores :: Arbol a -> [(a,[a])]
tal que (sucesores t) es la lista de los pares formados por los elementos del árbol t junto con sus sucesores. Por ejemplo,
λ> sucesores ejArbol [(3,[4,7]),(4,[5,0]),(5,[2,0]),(2,[]),(0,[]),(0,[]), (7,[0,3]),(0,[]),(3,[])]
Una función f entre dos conjuntos A e B se puede representar mediante una lista de pares de AxB tales que para cada elemento a de A existe un único elemento b de B tal que (a,b) pertenece a f. Por ejemplo,
Definir la función
funciones :: [a] -> [a] -> [[(a,a)]]
tal que (funciones xs ys) es el conjunto de las funciones de xs en ys. Por ejemplo,
λ> funciones [] [2,4,6] [[]] λ> funciones [3] [2,4,6] [[(3,2)],[(3,4)],[(3,6)]] λ> funciones [1,3] [2,4,6] [[(1,2),(3,2)], [(1,2),(3,4)], [(1,2),(3,6)], [(1,4),(3,2)], [(1,4),(3,4)], [(1,4),(3,6)], [(1,6),(3,2)], [(1,6),(3,4)], [(1,6),(3,6)]]
Comprobar con QuickCheck que si xs es un conjunto con n elementos e ys un conjunto con m elementos, entonces (funciones xs ys) tiene m^n elementos.
Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como se indica a continuación
λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_funciones +++ OK, passed 100 tests.
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]
Definir la lista
serieThueMorse :: [[Integer]]
tal que sus elementos son los términos de la serie de Thue-Morse. Por ejemplo,
λ> take 4 serieThueMorse [[0],[0,1],[0,1,1,0],[0,1,1,0,1,0,0,1]]
Comprobar con QuickCheck que cada término de la serie de Thue-Morse se obtiene del anterior sustituyendo los 1 por 1, 0 y los 0 por 0, 1.
Definir la función
primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas :: Int -> [[Integer]]
tal que (primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas k) es la sucesión de lista de k primos consecutivos tales que las sumas ordenadas de sus dígitos también son primos consecutivos. Por ejemplo,
λ> take 5 (primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas 2) [[2,3],[3,5],[5,7],[41,43],[43,47]] λ> take 5 (primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas 3) [[2,3,5],[3,5,7],[41,43,47],[191,193,197],[193,197,199]] λ> take 4 (primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas 4) [[2,3,5,7],[3,5,7,11],[191,193,197,199],[821,823,827,829]] λ> primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas 4 !! 50 [129197,129209,129221,129223]
Un número n es k-belga si la sucesión cuyo primer elemento es k y cuyos elementos se obtienen sumando reiteradamente las cifras de n contiene a n. Por ejemplo,
Definir la función
esBelga :: Int -> Int -> Bool
tal que (esBelga k n) se verifica si n es k-belga. Por ejemplo,
esBelga 0 18 == True esBelga 1 19 == False esBelga 0 2016 == True [x | x <- [0..30], esBelga 7 x] == [7,10,11,21,27,29] [x | x <- [0..30], esBelga 10 x] == [10,11,20,21,22,24,26] length [n | n <- [1..9000], esBelga 0 n] == 2857
Comprobar con QuickCheck que para todo número entero positivo n, si k es el resto de n entre la suma de los dígitos de n, entonces n es k-belga.
Definir la función
antiimagen :: (Int -> Int) -> Int -> Maybe Int
tal que (antiimagen f y) es justo el x tal que f(x) = y, si y pertenece a la imagen de la función creciente f, o nada, en caso contrario. Por ejemplo,
antiimagen (^2) 25 == Just 5 antiimagen (^3) 25 == Nothing
Nota. Se supone que f está definida sobre los números naturales.
Dada una matriz cuyos elementos son 0 ó 1, su relleno es la matriz obtenida haciendo iguales a 1 los elementos de las filas y de las columna que contienen algún uno. Por ejemplo, el relleno de la matriz de la izquierda es la de la derecha:
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
Las matrices se pueden representar mediante tablas cuyos índices son pares de enteros
type Matriz = Array (Int,Int) Int
por ejemplo, la matriz de la izquierda de la figura anterior se define por
ej :: Matriz ej = listArray ((1,1),(5,5)) [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Definir la función
relleno :: Matriz -> Matriz
tal que (relleno p) es el relleno de la matriz p. Por ejemplo,
λ> elems (relleno ej) [1,0,0,1,0, 1,0,0,1,0, 1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1, 1,0,0,1,0]
Definir la sucesión
primosCon2016 :: [Integer]
tal que sus elementos son los números primos que contienen al 2016. Por ejemplo,
take 5 primosCon2016 == [20161,120163,120167,201611,201623] primosCon2016 !! 111 == 3020167
El hueco de un número primo p es la distancia entre p y primo siguiente de p. Por ejemplo, el hueco de 7 es 4 porque el primo siguiente de 7 es 11 y 4 = 11-7. Los huecos de los primeros números son
Primo Hueco 2 1 3 2 7 4 11 2
El hueco de un número primo p es maximal si es mayor que los huecos de todos los números menores que p. Por ejemplo, 4 es un hueco maximal de 7 ya que los huecos de los primos menores que 7 son 1 y 2 y ambos son menores que 4. La tabla de los primeros huecos maximales es
Primo Hueco 2 1 3 2 7 4 23 6 89 8 113 14 523 18 887 20
Definir la sucesión
primosYhuecosMaximales :: [(Integer,Integer)]
cuyos elementos son los números primos con huecos maximales junto son sus huecos. Por ejemplo,
λ> take 8 primosYhuecosMaximales [(2,1),(3,2),(7,4),(23,6),(89,8),(113,14),(523,18),(887,20)] λ> primosYhuecosMaximales !! 20 (2010733,148)
En lógica matemática, un literal es una fórmula atómica o su negación. Se puede definir por el tipo de dato
data Literal = Atom String | Neg Literal deriving (Eq, Show)
Por ejemplo, el literal los literales p y ¬q se representan por las expresiones (Atom "p") y (Neg (Atom "q")), respectivamente.
Una lista de literales (que se interpreta como su disyunción) es un tautología si contiene a una fórmula atómica y su negación.
Definir la función
tautologia :: [Literal] -> Bool
tal que (tautologia xs) se verifica si la lista de literales xs es una tautología. Por ejemplo,
λ> tautologia [Atom "p", Neg (Atom "q"), Neg (Atom "p")] True λ> tautologia [Atom "p", Neg (Atom "q"), Neg (Atom "r")] False λ> tautologia [Atom "p", Neg (Atom "q"), Neg (Atom "q")] False
La cuadrícula entera de lado n, Cₙ, es el conjunto de los puntos (x,y) donde x e y son números enteros tales que 1 ≤ x, y ≤ n.
Un punto (x,y) de Cₙ es visible desde el origen si el máximo común divisor de x e y es 1. Por ejemplo, el punto (4,6) no es visible porque está ocultado por el (2,3); en cambio, el (2,3) sí es visible.
El conjunto de los puntos visibles en la cuadrícula entera de lado 6 son (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,1), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (6,1) y (6,5).
Definir la función
nVisibles :: Integer -> Integer
tal que (nVisibles n) es el número de los puntos visibles en la cuadrícula de lado n.Por ejemplo,
nVisibles 6 == 23 nVisibles 10 == 63 nVisibles 100 == 6087 nVisibles 1000 == 608383 nVisibles 10000 == 60794971 nVisibles 100000 == 6079301507
En una lista xs se produce un cambio de signo por cada elemento x de la lista junto el primero de los elementos de xs con signo opuesto al de x. Por ejemplo,en la lista [6,5,-4,0,-2,-7,0,-8,-1,4] hay 2 cambios de signo (entre (5,-4) y (-1,4)) y en la lista [6,5,-4,0, 2,-7,0,-8,-1,4] hay 4 cambios de signo (entre (5,-4), (-4,2), (2,-7) y(-1,4)).
Definir la función
nCambios :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int
tal que (nCambios xs) es el número de cambios de signos de la lista xs. Por ejemplo,
nCambios [] == 0 nCambios [6,5,-4,0,-2,-7,0,-8,-1,4] == 2 nCambios [6,5,-4,0, 2,-7,0,-8,-1,4] == 4
La parte libre de cuadrados de un número n es el producto de todos sus divisores primos con exponente impar en la factorización prima de n. Por ejemplo, la parte libre de cuadrados de 360 es 10 ya que 360 = 2³3²5 y 2.5 = 10; además, 360 = 10.6²
La parte cuadrada de un número n es el mayor número cuadrado que divide a n. Por ejemplo, la parte cuadrada de 360 es 6.
Definir las funciones
parteLibre :: Integer -> Integer parteCuadrada :: Integer -> Integer
tales que
parteLibre 360 == 10 parteLibre 1800 == 2 [parteLibre n | n <- [1..14]] == [1,2,3,1,5,6,7,2,1,10,11,3,13,14]
parteCuadrada 360 == 36 parteCuadrada 1800 == 900 [parteCuadrada n | n <- [1..14]] == [1,1,1,4,1,1,1,4,9,1,1,4,1,1]
La indicatriz de Euler (también llamada función φ de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Por ejemplo, φ(36) = 12 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.
Definir la función
phi :: Integer -> Integer
tal que (phi n) es igual a φ(n). Por ejemplo,
phi 36 == 12 map phi [10..20] == [4,10,4,12,6,8,8,16,6,18,8] phi (3^10^5) `mod` (10^9) == 681333334
Comprobar con QuickCheck que, para todo n > 0, φ(10ⁿ) tiene n dígitos.
Las fórmulas proposicionales construidas con las constantes verdadero (⊤), falso (⊥), las variables proposicionales y las conectivas de negación (¬), conjunción (∧) y disyunción (∨) se pueden definir usando el siguiente tipo de datos
data Prop = Const Bool | Var Char | Neg Prop | Conj Prop Prop | Disj Prop Prop deriving (Eq, Show)
Por ejemplo, la fórmula (A ∧ ⊥) ∨ (⊤ ∧ B) se representa por
Disj (Conj (Var 'A') (Const False)) (Conj (Const True) (Var 'B'))
La fórmula dual de una fórmula p es la fórmula obtenida intercambiando en p las ∧ por ∨ y también las ⊤ por ⊥. Por ejemplo, la dual de (A ∧ ⊥) ∨ (⊤ ∧ B) es (A ∨ ⊤) ∧ (⊥ ∨ B)
Definir la función
dual :: Prop -> Prop
tal que (dual p) es la dual de p. Por ejemplo,
λ> dual (Disj (Conj (Var 'A') (Const False)) (Conj (Const True) (Var 'B'))) Conj (Disj (Var 'A') (Const True)) (Disj (Const False) (Var 'B'))
Definir la función
sucSumaCuadradosDigitos :: Integer -> [Integer]
tal que (sucSumaCuadradosDigitos n) es la sucesión cuyo primer término es n y los restantes se obtienen sumando los cuadrados de los dígitos de su término anterior. Por ejemplo,
λ> take 20 (sucSumaCuadradosDigitos 2016) [2016,41,17,50,25,29,85,89,145,42,20,4,16,37,58,89,145,42,20,4] λ> take 20 (sucSumaCuadradosDigitos 1976) [1976,167,86,100,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] λ> sucSumaCuadradosDigitos 2016 !! (10^8) 145
Definir la función
puntos :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (puntos n) es la lista de los puntos (x,y) con coordenadas enteras de la cuadrícula [1..n]x[1..n] (es decir, 1 ≤ x,y ≤ n) tales que |x²-xy-y²| = 1. Por ejemplo,
length (puntos 10) == 5 length (puntos 100) == 10 length (puntos 1000) == 15 length (puntos (10^50000)) == 239249
Un entero positivo n es un número práctico si todos los enteros positivos menores que él se pueden expresar como suma de distintos divisores de n. Por ejemplo, el 12 es un número práctico, ya que todos los enteros positivos menores que 12 se pueden expresar como suma de divisores de 12 (1, 2, 3, 4 y 6) sin usar ningún divisor más de una vez en cada suma:
1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 2 + 3 6 = 6 7 = 1 + 6 8 = 2 + 6 9 = 3 + 6 10 = 4 + 6 11 = 1 + 4 + 6
En cambio, 14 no es un número práctico ya que 6 no se puede escribir como suma, con sumandos distintos, de divisores de 14.
Definir la función
esPractico :: Integer -> Bool
tal que (esPractico n) se verifica si n es un número práctico. Por ejemplo,
esPractico 12 == True esPractico 14 == False esPractico 2016 == True esPractico 42535295865117307932921825928971026432 == True
Definir las funciones
sumaRedondeos :: Integer -> [Integer] limiteSumaRedondeos :: Integer -> Integer
tales que
redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + ... + redondeo (n/2^k)
Por ejemplo,
take 5 (sumaRedondeos 1000) == [500,750,875,937,968]
redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + redondeo (n/8) + ...
Por ejemplo,
limiteSumaRedondeos1 2000 == 1999 limiteSumaRedondeos1 2016 == 2016 limiteSumaRedondeos5 (10^308) `mod` (10^10) == 123839487
Definir la función
optimos :: Eq b => (b -> b -> Bool) -> (a -> b) -> [a] -> [a]
tal que (optimos r f xs) es la lista de los elementos de xs donde la función f alcanza sus valores óptimos respecto de la relación r. Por ejemplo,
optimos (<) length ["ab","c","de","f"] == ["c","f"] optimos (>) length ["ab","c","de","f"] == ["ab","de"]
Definir la función
maximales :: Eq a => (a -> a -> Bool) -> [a] -> [a]
tal que (maximales r xs) es la lista de los elementos de xs para los que no hay ningún otro elemento de xs mayor según la relación r. Por ejemplo,
maximales (>) [2,3,4,6] == [6] maximales (<) [2,3,4,6] == [2] maximales (\x y -> mod x y == 0) [2,3,4,6] == [4,6] maximales (\x y -> mod y x == 0) [2,3,4,6] == [2,3]
Definir la función
esAnterior :: Eq a => [a] -> a -> a -> Bool
tal que (esAnterior xs y z) se verifica si y ocurre en xs antes que z (que puede no pertenecer a xs). Por ejemplo,
esAnterior [1,3,7,2] 3 2 == True esAnterior [1,3,7,2] 3 1 == False esAnterior [1,3,7,2] 3 5 == True esAnterior [1,3,7,2] 5 3 == False
Definir la función
todosPares :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
tal que (todosPares f xs ys) es el resultado de aplicar la operación f a todos los pares de xs e ys. Por ejemplo,
todosPares (*) [2,3,5] [7,11] == [14,22,21,33,35,55] todosPares (\x y -> x:show y) "ab" [7,5] == ["a7","a5","b7","b5"]
Definir la función
inserta :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
tal que (inserta xs yss) es la lista obtenida insertando
y así sucesivamente. Por ejemplo,
inserta [1,2,3] [[4,7],[6],[9,5,8]] == [[1,4,7],[6,2],[9,5,3,8]] inserta [1,2,3] [[4,7],[] ,[9,5,8]] == [[1,4,7],[], [9,5,3,8]] inserta [1,2] [[4,7],[6],[9,5,8]] == [[1,4,7],[6,2],[9,5,8]] inserta [1,2,3] [[4,7],[6]] == [[1,4,7],[6,2]] inserta "tad" ["odo","pra","naa"] == ["todo","para","nada"]
Definir el procedimiento
arbol :: Int -> IO ()
tal que (arbol n) dibuja el árbol de Navidad con una copa de altura n y un tronco de altura la mitad de n. Por ejemplo,
λ> arbol 5 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX X X λ> arbol 6 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX XXXXXXXXXXX X X X λ> arbol 7 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXX X X X
Definir la función
siembra :: [Int] -> [Int]
tal que (siembra xs) es la lista ys obtenida al repartir cada elemento x de la lista xs poniendo un 1 en las x siguientes posiciones de la lista ys. Por ejemplo,
siembra [4] == [0,1,1,1,1] siembra [0,2] == [0,0,1,1] siembra [4,2] == [0,1,2,2,1]
El tercer ejemplo se obtiene sumando la siembra de 4 en la posición 0 (como el ejemplo 1) y el 2 en la posición 1 (como el ejemplo 2). Otros ejemplos son
siembra [0,4,2] == [0,0,1,2,2,1] siembra [3] == [0,1,1,1] siembra [3,4,2] == [0,1,2,3,2,1] siembra [3,2,1] == [0,1,2,3] sum $ siembra [1..2500] == 3126250
Comprobar con QuickCheck que la suma de los elementos de (siembra xs) es igual que la suma de los de xs.
Nota: Se supone que el argumento es una lista de números no negativos y que se puede ampliar tanto como sea necesario para repartir los elementos.
Definir la función
productoInfinito :: [Int] -> [Int]
tal que (productoInfinito xs) es la lista infinita que en la posición N tiene el producto de los N primeros elementos de la lista infinita xs. Por ejemplo,
take 5 (productoInfinito [1..]) == [1,2,6,24,120] take 5 (productoInfinito [2,4..]) == [2,8,48,384,3840] take 5 (productoInfinito [1,3..]) == [1,3,15,105,945]
Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.
Una lista hermanada es una lista de números estrictamente positivos en la que cada elemento tiene algún factor primo en común con el siguiente, en caso de que exista, o alguno de los dos es un 1. Por ejemplo,
Definir la función
hermanada :: [Int] -> Bool
tal que (hermanada xs) se verifica si la lista xs es hermanada según la definición anterior. Por ejemplo,
hermanada [2,6,3,9,1,5] == True hermanada [2,3,5] == False hermanada [2,4..1000000] == True
Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.
Un número natural n es una potencia perfecta si existen dos números naturales m > 1 y k > 1 tales que n = m^k. Las primeras potencias perfectas son
4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 16 = 2⁴, 25 = 5², 27 = 3³, 32 = 2⁵, 36 = 6², 49 = 7², 64 = 2⁶, ...
Definir la sucesión
potenciasPerfectas :: [Integer]
cuyos términos son las potencias perfectas. Por ejemplo,
take 10 potenciasPerfectas == [4,8,9,16,25,27,32,36,49,64] potenciasPerfectas !! 100 == 6724
Definir el procedimiento
grafica :: Int -> IO ()
tal que (grafica n) es la representación gráfica de las n primeras potencias perfectas. Por ejemplo, para (grafica 30) dibuja
!Potencias perfectas](/images/Potencias_perfectas.png)
Definir la función
sumaEnPosicion :: [Int] -> [Int] -> Int
tal que (sumaEnPosicion xs ys) es la suma de todos los elementos de xs cuyas posiciones se indican en ys. Por ejemplo,
sumaEnPosicion [1,2,3] [0,2] == 4 sumaEnPosicion [4,6,2] [1,3] == 6 sumaEnPosicion [3,5,1] [0,1] == 8
Definir la función
factorizable :: Integer -> [Integer] -> Bool
tal que (factorizable x ys) se verifica si x se puede escribir como producto de potencias de elementos de ys. Por ejemplo,
factorizable 1 [2,5,6] == True factorizable 12 [2,5,3] == True factorizable 12 [2,5,6] == True factorizable 12 [7,5,12] == True factorizable 12 [2,3,1] == True factorizable 12 [2,3,0] == True factorizable 24 [12,4,6] == True factorizable 0 [2,3,0] == True factorizable 12 [5,6] == False factorizable 12 [2,5,1] == False factorizable 0 [2,3,5] == False factorizable (product [1..3000]) [1..100000] == True factorizable (1 + product [1..3000]) [1..100000] == False
El año 2016 será un año cúbico porque se puede escribir como la suma de los cubos de 7 números consecutivos; en efecto,
2016 = 3³+ 4³ +...+ 9³
Definir la función
esCubico :: Integer -> Bool
tal que (esCubico x) se verifica si x se puede escribir como la suma de los cubos de 7 números consecutivos. Por ejemplo,
esCubico 2016 == True esCubico 2017 == False esCubico 189005670081900441 == True esCubico 189005670081900442 == False
Un primo con cubo es un número primo p para el que existe algún entero positivo n tal que la expresión n³ + n²p es un cubo perfecto. Por ejemplo, 19 es un primo con cubo ya que 8³ + 8²×19 = 12³.
Definir la sucesión
primosConCubos :: [Integer]
tal que sus elementos son los primos con cubo. Por ejemplo,
λ> take 6 primosConCubos [7,19,37,61,127,271] λ> length (takeWhile (< 1000000) primosConCubos) 173
Un primo cubano es un número primo que se puede escribir como diferencia de dos cubos consecutivos. Por ejemplo, el 61 es un primo cubano porque es primo y 61 = 5³-4³.
Definir la sucesión
cubanos :: [Integer]
tal que sus elementos son los números cubanos. Por ejemplo,
λ> take 15 cubanos [7,19,37,61,127,271,331,397,547,631,919,1657,1801,1951,2269]
La clausura transitiva de una relación binaria R es la menor relación transitiva que contiene a R. Se puede calcular usando la composición de relaciones. Veamos un ejemplo, en el que (R ∘ S) representa la composición de R y S (definida en el ejercicio del lunes): sea
R = [(1,2),(2,5),(5,6)]
la relación R no es transitiva ya que (1,2) y (1,5) pertenecen a R pero (1,5) no pertenece; sea
R1 = R ∪ (R ∘ R) = [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6)]
la relación R1 tampoco es transitiva ya que (1,2) y (2,6) pertenecen a R pero (1,6) no pertenece; sea
R2 = R1 ∪ (R1 ∘ R1) = [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6),(1,6)]
La relación R2 es transitiva y contiene a R. Además, R2 es la clausura transitiva de R.
Definir la función
clausuraTransitiva :: Eq a => Rel a -> Rel a
tal que (clausuraTransitiva r) es la clausura transitiva de r. Por ejemplo,
λ> clausuraTransitiva [(1,2),(2,5),(5,6)] [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6),(1,6)] λ> clausuraTransitiva [(1,2),(2,5),(5,6),(6,3)] [(1,2),(2,5),(5,6),(6,3),(1,5),(2,6),(5,3),(1,6),(2,3),(1,3)]
Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple que siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el
Definir la función
transitiva :: Eq a => [(a,a)] -> Bool
tal que (transitiva r) se verifica si la relación r es transitiva. Por ejemplo,
transitiva [(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)] == True transitiva [(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)] == False
Las relaciones binarias en un conjunto A se pueden representar mediante conjuntos de pares de elementos de A. Por ejemplo, la relación de divisibilidad en el conjunto {1,2,3,6} se representa por
[(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(2,2),(2,6),(3,3),(3,6),(6,6)]
La composición de dos relaciones binarias R y S en el conjunto A es la relación binaria formada por los pares (x,y) para los que existe un z tal que (x,z) ∈ R y (z,y) ∈ S.
Definir la función
composicion :: Eq a => [(a,a)] -> [(a,a)] -> [(a,a)]
tal que (composicion r s) es la composición de las relaciones binarias r y s. Por ejemplo,
λ> composicion [(1,2)] [(2,3),(2,4)] [(1,3),(1,4)] λ> composicion [(1,2),(5,2)] [(2,3),(2,4)] [(1,3),(1,4),(5,3),(5,4)] λ> composicion [(1,2),(1,4),(1,5)] [(2,3),(4,3)] [(1,3)] λ> composicion [(0,1)] [(2,3)] []
Nota: Se supone que las relaciones binarias son listas sin elementos repetidos.
Un número de Smith es un número natural compuesto que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de todos sus factores primos (si tenemos algún factor primo repetido lo sumamos tantas veces como aparezca). Por ejemplo, el 22 es un número de Smith ya que
22 = 2*11 y 2+2 = 2+(1+1)
y el 4937775 también lo es ya que
4937775 = 3*5*5*65837 y 4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+(6+5+8+3+7)
Definir las funciones
esSmith :: Integer -> Bool smith :: [Integer]
tales que
esSmith 22 == True esSmith 29 == False esSmith 2015 == False esSmith 4937775 == True esSmith 4567597056 == True
λ> take 17 smith [4,22,27,58,85,94,121,166,202,265,274,319,346,355,378,382,391] λ> smith !! 2000 62158
Un número de n dígitos es un número de Armstrong si es igual a la suma de las n-ésimas potencias de sus dígitos. Por ejemplo, 371, 8208 y 4210818 son números de Armstrong ya que
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3 8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4 4210818 = 4^7 + 2^7 + 1^7 + 0^7 + 8^7 + 1^7 + 8^7
Definir las funciones
esArmstrong :: Integer -> Bool armstrong :: [Integer]
tales que
esArmstrong 371 == True esArmstrong 8208 == True esArmstrong 4210818 == True esArmstrong 2015 == False esArmstrong 115132219018763992565095597973971522401 == True esArmstrong 115132219018763992565095597973971522402 == False
λ> take 18 armstrong [1,2,3,4,5,6,7,8,9,153,370,371,407,1634,8208,9474,54748,92727]
Comprobar con QuickCheck que los números mayores que 115132219018763992565095597973971522401 no son números de Armstrong.
Definir la sucesión
raicesEnterasDePrimos :: [Integer]
cuyos elementos son las partes enteras de las raíces cuadradas de los números primos. Por ejemplo,
λ> take 30 raicesEnterasDePrimos [1,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10,10,10,10,10] λ> raicesEnterasDePrimos !! 9963 322 λ> raicesEnterasDePrimos !! 9964 323
Comprobar con QuickCheck que la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión es como máximo igual a 1.
Los árboles binarios con valores en las hojas y en los nodos se definen por
data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show
Por ejemplo, el árbol
5
/ \
/ \
9 7
/ \ / \
1 4 6 8
se puede representar por
N 5 (N 9 (H 1) (H 4)) (N 7 (H 6) (H 8))
Decimos que un árbol binario es par si la mayoría de sus nodos son pares e impar en caso contrario.
Para representar la paridad se define el tipo Paridad
data Paridad = Par | Impar deriving (Eq, Show)
Definir la función
paridad :: Arbol3 Int -> Paridad
tal que (paridad a) es la paridad del árbol a. Por ejemplo,
paridad (N 8 (N 6 (H 3) (H 4)) (H 5)) == Par paridad (N 8 (N 9 (H 3) (H 4)) (H 5)) == Impar
Definir las funciones
separacion :: [a] -> ([a],[a]) mezcla :: ([a],[a]) -> [a]
tales que (separacion xs) es el par formado eligiendo alternativamente elementos de xs mientras que mezcla intercala los elementos de las dos listas. Por ejemplo,
separacion [1..5] == ([1,3,5],[2,4]) mezcla ([1,3,5],[2,4]) == [1,2,3,4,5] separacion "Telescopio" == ("Tlsoi","eecpo") mezcla ("Tlsoi","eecpo") == "Telescopio" take 5 (fst (separacion [2,4..])) == [2,6,10,14,18] take 6 (mezcla ([2,4..],[7,14..])) == [2,7,4,14,6,21]
Comprobar con QuickCheck que
mezcla (separacion xs) == xs
Definir la función
particiones :: [a] -> Int -> [[[a]]]
tal que (particiones xs k) es la lista de las particiones de xs en k subconjuntos disjuntos. Por ejemplo,
λ> particiones [2,3,6] 2 [[[2],[3,6]],[[2,3],[6]],[[3],[2,6]]] λ> particiones [2,3,6] 3 [[[2],[3],[6]]] λ> particiones [4,2,3,6] 3 [[[4],[2],[3,6]],[[4],[2,3],[6]],[[4],[3],[2,6]], [[4,2],[3],[6]],[[2],[4,3],[6]],[[2],[3],[4,6]]] λ> particiones [4,2,3,6] 1 [[[4,2,3,6]]] λ> particiones [4,2,3,6] 4 [[[4],[2],[3],[6]]]
Definir la función
transformada :: [a] -> [a]
tal que (transformada xs) es la lista obtenida repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición en la lista. Por ejemplo,
transformada [7,2,5] == [7,2,2,5,5,5] transformada "eco" == "eccooo"
Comprobar con QuickCheck si la transformada de una lista de n números enteros, con n >= 2, tiene menos de n^3 elementos.
Un número semiprimo es un número natural que es producto de dos números primos no necesariamente distintos. Por ejemplo, 26 es semiprimo (porque ' 26 = 2*13' ) y 49 también lo es (porque 49 = 7*7).
Definir la función
mayorSemiprimoMenor :: Integer -> Integer
tal que (mayorSemiprimoMenor n) es el mayor semiprimo menor que n (suponiendo que n > 4). Por ejemplo,
mayorSemiprimoMenor 27 == 26 mayorSemiprimoMenor 50 == 49 mayorSemiprimoMenor 49 == 46 mayorSemiprimoMenor (10^6) == 999997
Los resultados de las votaciones a delegado en un grupo de clase se recogen mediante listas de asociación. Por ejemplo,
votos :: [(String,Int)] votos = [("Ana Perez",10),("Juan Lopez",7), ("Julia Rus", 27), ("Pedro Val",1), ("Pedro Ruiz",27),("Berta Gomez",11)]
Definir la función
ganadores :: [(String,Int)] -> [String]
tal que (ganadores xs) es la lista de los estudiantes con mayor número de votos en xs. Por ejemplo,
ganadores votos == ["Julia Rus","Pedro Ruiz"]
Definir la función
mismaLongitud :: [[a]] -> Bool
tal que (mismaLongitud xss) se verifica si todas las listas de la lista de listas xss tienen la misma longitud. Por ejemplo,
mismaLongitud [[1,2],[6,4],[0,0],[7,4]] == True mismaLongitud [[1,2],[6,4,5],[0,0]] == False
Definir la función
ternasAcotadas :: [Int] -> Int -> [(Int,Int,Int)]
tal que (ternasAcotadas xs n) es el conjunto de ternas de números naturales de xs cuya suma es menor que n. Por ejemplo,
ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 12 == [(1,3,4),(1,3,5),(1,3,7),(1,4,5)] ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 11 == [(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)] ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 10 == [(1,3,4),(1,3,5)] ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 9 == [(1,3,4)] ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 8 == [] ternasAcotadas [1..10^6] 8 == [(1,2,3),(1,2,4)] ternasAcotadas [10^6,10^6-1..1] 8 == [(1,2,3),(1,2,4)]
Los árboles binarios con valores enteros se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por
data Arbol = H Int | N Int Arbol Arbol deriving Show
Por ejemplo, el árbol
7
/ \
/ \
/ \
4 9
/ \ / \
1 3 5 6
se puede representar por
N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))
Un árbol es monovalorado si todos sus elementos son iguales. Por ejemplo, de los siguientes árboles sólo son monovalorados los dos primeros
5 9 5 9
/ \ / \ / \ / \
5 5 9 9 5 6 9 7
/ \ / \
9 9 9 9
Definir la función
monovalorados :: Arbol -> [Arbol]
tal que (monovalorados a) es la lista de los subárboles monovalorados de a. Por ejemplo,
λ> monovalorados (N 5 (H 5) (H 5)) [N 5 (H 5) (H 5),H 5,H 5] λ> monovalorados (N 5 (H 5) (H 6)) [H 5,H 6] λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 9 (H 9) (H 9))) [N 9 (H 9) (N 9 (H 9) (H 9)),H 9,N 9 (H 9) (H 9),H 9,H 9] λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 7 (H 9) (H 9))) [H 9,H 9,H 9] λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 9 (H 7) (H 9))) [H 9,H 7,H 9]
Definir la función
interseccionParcial :: Eq a => Int -> [[a]] -> [a]
tal que (interseccionParcial n xss) es la lista de los elementos que pertenecen al menos a n conjuntos de xss. Por ejemplo,
interseccionParcial 1 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [3,4,5,9,7] interseccionParcial 2 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [4,5] interseccionParcial 3 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [4] interseccionParcial 4 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == []
La semana pasada se planteó en Twitter el siguiente problema
Se observa que
1x2x3x4 = 2x3x4 2x3x4x5 = 4x5x6
¿Existen ejemplos de otros productos de cuatro enteros consecutivos iguales a un producto de tres enteros consecutivos?
Definir la función
esProductoDeNconsecutivos :: Integer -> Integer -> Maybe Integer
tal que (esProductoDeNconsecutivos n x) es (Just m) si x es el producto de n enteros consecutivos a partir de m y es Nothing si x no es el producto de n enteros consecutivos. Por ejemplo,
esProductoDeNconsecutivos 3 6 == Just 1 esProductoDeNconsecutivos 4 6 == Nothing esProductoDeNconsecutivos 4 24 == Just 1 esProductoDeNconsecutivos 3 24 == Just 2 esProductoDeNconsecutivos 3 120 == Just 4 esProductoDeNconsecutivos 4 120 == Just 2
Para ejemplos mayores,
λ> esProductoDeNconsecutivos 3 (product [10^20..2+10^20]) Just 100000000000000000000 λ> esProductoDeNconsecutivos2 4 (product [10^20..2+10^20]) Nothing λ> esProductoDeNconsecutivos2 4 (product [10^20..3+10^20]) Just 100000000000000000000
Usando la función esProductoDeNconsecutivos resolver el problema.
Una cadena clave es una cadena que contiene dígitos visibles y ocultos. Los dígitos se ocultan mediante las primeras letras minúsculas: la 'a' oculta el '0', la 'b' el '1' y así sucesivamente hasta la 'j' que oculta el '9'. Los restantes símbolos de la cadena no tienen significado y se pueden ignorar.
Definir la función
numeroOculto :: String -> Maybe Integer
tal que (numeroOculto cs) es justo el número formado por los dígitos visibles u ocultos de la cadena clave cs, si cs tiene dígitos y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,
numeroOculto "jihgfedcba" == Just 9876543210 numeroOculto "JIHGFEDCBA" == Nothing numeroOculto "el 23 de Enero" == Just 423344 numeroOculto "El 23 de Enero" == Just 23344 numeroOculto "El 23 de enero" == Just 233444 numeroOculto "Todo para nada" == Just 300030
Un entero positivo x es muy par si tanto x como x² sólo contienen cifras pares. Por ejemplo, 200 es muy par porque todas las cifras de 200 y 200² = 40000 son pares; pero 26 no lo es porque 26² = 767 tiene cifras impares.
Definir la función
siguienteMuyPar :: Integer -> Integer
tal que (siguienteMuyPar x) es menor número mayor que x que es muy par. Por ejemplo,
siguienteMuyPar 300 == 668 siguienteMuyPar 668 == 680 siguienteMuyPar 828268400000 == 828268460602
Definir las funciones
unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] interseccionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
tales que + (unionGeneral xs) es la unión de los conjuntos de la lista de conjuntos xs (es decir, el conjunto de los elementos que pertenecen a alguno de los elementos de xs). Por ejemplo,
unionGeneral [] == [] unionGeneral [[1]] == [1] unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]] == [1,2,3] unionGeneral ([[x] | x <- [1..9]]) == [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
interseccionGeneral [[1]] == [1] interseccionGeneral [[2],[1,2],[2,3]] == [2] interseccionGeneral [[2,7,5],[1,5,2],[5,2,3]] == [2,5] interseccionGeneral ([[x] | x <- [1..9]]) == []
Definir la función
cerosDelFactorial :: Integer -> Integer
tal que (cerosDelFactorial n) es el número de ceros en que termina el factorial de n. Por ejemplo,
cerosDelFactorial 24 == 4 cerosDelFactorial 25 == 6 length (show (cerosDelFactorial (1234^5678))) == 17552
Definir la función
listasDecrecientesDesde :: Int -> [[Int]]
tal que (listasDecrecientesDesde n) es la lista de las sucesiones estrictamente decrecientes cuyo primer elemento es n. Por ejemplo,
λ> listasDecrecientesDesde 2 [[2],[2,1],[2,1,0],[2,0]] λ> listasDecrecientesDesde 3 [[3],[3,2],[3,2,1],[3,2,1,0],[3,2,0],[3,1],[3,1,0],[3,0]]
Un número n es autodescriptivo cuando para cada posición k de n (empezando a contar las posiciones a partir de 0), el dígito en la posición k es igual al número de veces que ocurre k en n. Por ejemplo, 1210 es autodescriptivo porque tiene 1 dígito igual a "0", 2 dígitos iguales a "1", 1 dígito igual a "2" y ningún dígito igual a "3".
Definir la función
autodescriptivo :: Integer -> Bool
tal que (autodescriptivo n) se verifica si n es autodescriptivo. Por ejemplo,
λ> autodescriptivo 1210 True λ> [x | x <- [1..100000], autodescriptivo x] [1210,2020,21200] λ> autodescriptivo 9210000001000 True
Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.
Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6n-1,6n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6·3-1,6·3+1).
Definir las funciones
primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tales que
primosGemelos 50 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43)] primosGemelos 43 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50 == [(3,5)] length (primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' (10^9)) == 1
El número 9009 es capicúa y es producto de dos números de dos dígitos, pues 9009 = 91*99.
Definir la lista
capicuasP2N2D :: [Int]
cuyos elementos son los números capicúas que son producto de 2 números de dos dígitos. Por ejemplo,
take 5 capicuasP2N2D == [121,242,252,272,323] length capicuasP2N2D == 74 drop 70 capicuasP2N2D == [8008,8118,8448,9009]
Se dice que un número n es muy divisible por 3 si es divisible por 3 y sigue siendo divisible por 3 si vamos quitando dígitos por la derecha. Por ejemplo, 96060 es muy divisible por 3 porque 96060, 9606, 960, 96 y 9 son todos divisibles por 3.
Definir las funciones
muyDivPor3 :: Integer -> Bool numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer
tales que
muyDivPor3 96060 == True muyDivPor3 90616 == False
numeroMuyDivPor3Cifras 5 == 768 numeroMuyDivPor3Cifras 7 == 12288 numeroMuyDivPor3Cifras (10^6) `rem` (10^6) == 332032
Un número es libre de cuadrados si no es divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2^2.
Definir la función
libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,
libreDeCuadrados 70 == True libreDeCuadrados 40 == False libreDeCuadrados 510510 == True libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10) == False
Una forma de aproximar el número π es usando la siguiente igualdad: \[ \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \cdots \] Es decir, la serie cuyo término general n-ésimo es el cociente entre el producto de los primeros n números y los primeros n números impares: \[s(n) = \frac{\prod_{i=1}^{n} i}{\prod_{i=1}^{n} (2i + 1)}\]
Definir la función
aproximaPi :: Double -> Double
tal que (aproximaPi n) es la aproximación del número π calculada con la serie anterior hasta el término n-ésimo. Por ejemplo,
aproximaPi 10 == 3.141106021601377 aproximaPi 30 == 3.1415926533011587 aproximaPi 50 == 3.1415926535897922
Se dice que un número n tiene un factorial especial si el número de dígitos de n! es igual a n. Por ejemplo, 22 tiene factorial especial porque 22! es 1124000727777607680000 que tiene 22 dígitos.
Definir la función
factorialesEspeciales :: [Integer]
tal que su valor es la lista de los números que tienen factoriales especiales. Por ejemplo,
take 2 factorialesEspeciales == [1,22]
Nota: Si factorialesEspeciales es una lista finita, argumentar porqué no puede tener más elementos.
Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6*n-1,6*n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6*3-1,6*3+1).
Definir la función
proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool
tal que (proximosAmultiplosDe6 (x,y)) se verifica si el par (x,y) está próximo a un múltiplo de 6. Por ejemplo,
proximosAmultiplosDe6 (17,19) == True proximosAmultiplosDe6 (18,20) == False proximosAmultiplosDe6 (5,19) == False proximosAmultiplosDe6 (1,3) == False proximosAmultiplosDe6 (74074073407403,74074073407405) == True proximosAmultiplosDe6 (86419752308637,86419752308639) == False
La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.
Definir la función
diferenciaSimetrica :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
tal que (diferenciaSimetrica xs ys) es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,
diferenciaSimetrica [2,5,3] [4,2,3,7] == [5,4,7] diferenciaSimetrica [2,5,3] [5,2,3] == [] diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,3,7] == [5,4,3,7] diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,4,7] == [5,4,4,7] diferenciaSimetrica [2,5,2,4] [4,2,4,7] == [5,
Definir la función
tieneRepeticiones :: Eq a => [a] -> Bool
tal que (tieneRepeticiones xs) se verifica si xs tiene algún elemento repetido. Por ejemplo,
tieneRepeticiones [3,2,5,2,7] == True tieneRepeticiones [3,2,5,4,7] == False tieneRepeticiones (5:[1..2000000000]) == True tieneRepeticiones [1..20000] == False
El resultado de dividir un número n por un divisor d es un cociente q y un resto r.
Definir la función
mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])
tal que (mayorResto n d) es el par (m,xs) tal que m es el mayor resto de dividir n entre x (con 1 ≤ x < d) y xs es la lista de números x menores que d tales que el resto de n entre x es m. Por ejemplo,
mayorResto 20 10 == (6,[7]) mayorResto 50 8 == (2,[3,4,6])
Nota: Se supone que d > 1.
El 6 de octubre, se propuso en el blog Gaussianos el siguiente problema
Demostrar que para todo entero positivo n, existe otro entero positivo que tiene las siguientes propiedades:
- Tiene exactamente n dígitos.
- Ninguno de sus dígitos es 0.
- Es divisible por la suma de sus dígitos.
Definir la función
especiales :: Integer -> [Integer]
tal que (especiales n) es la lista de los números enteros que cumplen las 3 propiedades anteriores para n. Por ejemplo,
take 3 (especiales 2) == [12,18,21] take 3 (especiales 3) == [111,112,114] head (especiales 30) == 111111111111111111111111111125 length (especiales 3) == 108 null (especiales 1000) == False
En el primer ejemplo, 12 es un número especial para 2 ya que tiene exactamente 2 dígitos, ninguno de sus dígitos es 0 y 12 es divisible por la suma de sus dígitos.
El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.
Representamos un conjunto de n masas en el plano mediante una lista de n pares de la forma ((a(i),b(i)),m(i)) donde (a(i),b(i)) es la posición y m(i) la masa puntual. Las coordenadas del centro de masas (a,b) se calculan por
a = (a(1)·m(1) + a(2)·m(2) + ... + a(n)·m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n)) b = (b(1)·m(1) + b(2)·m(2) + ... + b(n)·m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n))
Definir la función
centrodeMasas :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float)
tal que (centrodeMasas xs) es las coordenadas del centro de masas del sistema discreto xs. Por ejemplo:
centrodeMasas [((-1,3),2),((0,0),5),((1,3),3)] == (0.1,1.5)
Definir la función
refinada :: [Float] -> [Float]
tal que (refinada xs) es la lista obtenida intercalando entre cada dos elementos consecutivos de xs su media aritmética. Por ejemplo,
refinada [2,7,1,8] == [2.0,4.5,7.0,4.0,1.0,4.5,8.0] refinada [2] == [2.0] refinada [] == []
El número 4106357289 tiene la siguientes dos propiedades:
d(2)d(3)d(4) = 106 es divisible por 2 d(3)d(4)d(5) = 063 es divisible por 3 d(4)d(5)d(6) = 635 es divisible por 5 d(5)d(6)d(7) = 357 es divisible por 7 d(6)d(7)d(8) = 572 es divisible por 11 d(7)d(8)d(9) = 728 es divisible por 13 d(8)d(9)d(10) = 289 es divisible por 17
Definir la constante
pandigitalesTridivisibles :: [Integer]
cuyos elementos son los números pandigitales tridivisibles. Por ejemplo,
head pandigitalesTridivisibles == 4106357289 sum pandigitalesTridivisibles == 16695334890
Un número con n dígitos es pandigital si contiene todos los dígitos del 1 a n exactamente una vez. Por ejemplo, 2143 es un pandigital con 4 dígitos y, además, es primo.
Definir la constante
pandigitalesPrimos :: [Int]
tal que sus elementos son los números pandigitales, ordenados de mayor a menor. Por ejemplo,
take 3 pandigitalesPrimos == [7652413,7642513,7641253] 2143 `elem` pandigitalesPrimos == True length pandigitalesPrimos == 538
La codificación de Fibonacci de un número n es una cadena d = d(0)d(1)...d(k-1)d(k) de ceros y unos tal que
n = d(0)·F(2) + d(1)·F(3) +...+ d(k-1)·F(k+1) d(k-1) = d(k) = 1
donde F(i) es el i-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
Por ejemplo. La codificación de Fibonacci de 4 es "1011" ya que los dos últimos elementos son iguales a 1 y
1·F(2) + 0·F(3) + 1·F(4) = 1·1 + 0·2 + 1·3 = 4
La codificación de Fibonacci de los primeros números se muestra en la siguiente tabla
1 = 1 = F(2) ≡ 11 2 = 2 = F(3) ≡ 011 3 = 3 = F(4) ≡ 0011 4 = 1+3 = F(2)+F(4) ≡ 1011 5 = 5 = F(5) ≡ 00011 6 = 1+5 = F(2)+F(5) ≡ 10011 7 = 2+5 = F(3)+F(5) ≡ 01011 8 = 8 = F(6) ≡ 000011 9 = 1+8 = F(2)+F(6) ≡ 100011 10 = 2+8 = F(3)+F(6) ≡ 010011 11 = 3+8 = F(4)+F(6) ≡ 001011 12 = 1+3+8 = F(2)+F(4)+F(6) ≡ 101011 13 = 13 = F(7) ≡ 0000011 14 = 1+13 = F(2)+F(7) ≡ 1000011
Definir la función
codigoFib :: Integer -> String
tal que (codigoFib n) es la codificación de Fibonacci del número n. Por ejemplo,
λ> codigoFib 65 "0100100011" λ> [codigoFib n | n <- [1..7]] ["11","011","0011","1011","00011","10011","01011"]
Definir la función
particion :: [a] -> [Int] -> [[a]]
tal que (particion xs ns) es la partición de xs donde la longitud de cada parte está determinada por los elementos de ns. Por ejemplo,
particion [1..10] [2,5,0,3] == [[1,2],[3,4,5,6,7],[],[8,9,10]] particion [1..10] [1,4,2,3] == [[1],[2,3,4,5],[6,7],[8,9,10]]
Definir la función
maximos :: Ord a => [a] -> [a]
tal que (maximos xs) es la lista de los elementos de xs que son mayores que todos sus anteriores. Por ejemplo,
maximos [1,-3,5,2,3,4,7,6,7] == [1,5,7] maximos "bafcdegag" == "bfg" maximos (concat (replicate (10^6) "adxbcde")++"yz") == "adxyz" length (maximos [1..10^6]) == 1000000
La cadena infinita "1234321234321234321...", formada por la repetición de los dígitos 123432, tiene una propiedad (en la que se basa el funcionamiento del reloj astronómico de Praga: la cadena se puede partir en una sucesión de números, de forma que la suma de los dígitos de dichos números es la serie de los números naturales, como se observa a continuación:
1, 2, 3, 4, 32, 123, 43, 2123, 432, 1234, 32123, ... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Definir la lista
reloj :: [Integer]
cuyos elementos son los términos de la sucesión anterior. Por ejemplo,
λ> take 11 reloj [1,2,3,4,32,123,43,2123,432,1234,32123]
Nota: La relación entre la sucesión y el funcionamiento del reloj se puede ver en The Mathematics Behind Prague's Horloge Introduction.
Sea p(n) el n-ésimo primo y sea r el resto de dividir (p(n)-1)^n + (p(n)+1)^n por p(n)^2. Por ejemplo,
si n = 3, entonces p(3) = 5 y r = ( 4^3 + 6^3) mod (5^2) = 5 si n = 7, entonces p(7) = 17 y r = (16^7 + 18^7) mod (17^2) = 238
Definir la función
menorPR :: Integer -> Integer
tal que (menorPR x) es el menor n tal que el resto de dividir (p(n)-1)^n + (p(n)+1)^n por p(n)^2 es mayor que x. Por ejemplo,
menorPR 100 == 5 menorPR 345 == 9 menorPR 1000 == 13 menorPR (10^9) == 7037 menorPR (10^10) == 21035 menorPR (10^12) == 191041
El polinomio cromático de un grafo calcula el número de maneras en las cuales puede ser coloreado el grafo usando un número de colores dado, de forma que dos vértices adyacentes no tengan el mismo color.
En el caso del grafo completo de n vértices, su polinomio cromático es
P(n,x) = x(x-1)(x-2) ... (x-(n-1))
Por ejemplo,
P(3,x) = x(x-1)(x-2) = x^3 - 3·x^2 + 2·x P(4,x) = x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4 - 6·x^3 + 11·x^2 - 6·x
Lo que significa que P(4)(x) es el número de formas de colorear el grafo completo de 4 vértices con x colores. Por tanto,
P(4,2) = 0 (no se puede colorear con 2 colores) P(4,4) = 24 (hay 24 formas de colorearlo con 4 colores)
Definir la función
polGC:: Int -> Polinomio Int
tal que (polGC n) es el polinomio cromático del grafo completo de n vértices. Por ejemplo,
polGC 4 == x^4 + -6*x^3 + 11*x^2 + -6*x polGC 5 == x^5 + -10*x^4 + 35*x^3 + -50*x^2 + 24*x
Comprobar con QuickCheck que si el número de colores (x) coincide con el número de vértices del grafo (n), el número de maneras de colorear el grafo es n!.
Nota 1. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como se indica a continuación
λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_polGC +++ OK, passed 100 tests.
Nota 2: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de polinomios (I1M.PolOperaciones) que aquí.
Definir la función
sumaPosteriores :: [Int] -> [Int]
tal que (sumaPosteriores xs) es la lista obtenida sustituyendo cada elemento de xs por la suma de los elementos posteriores. Por ejemplo,
sumaPosteriores [1..8] == [35,33,30,26,21,15,8,0] sumaPosteriores [1,-3,2,5,-8] == [-4,-1,-3,-8,0]
Comprobar con QuickCheck que el último elemento de la lista (sumaPosteriores xs) siempre es 0.
Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b es triangular inferior si todos los elementos de la matriz A que están por encima de la diagonal principal son nulos; es decir, es de la forma
a(1,1)·x(1) = b(1) a(2,1)·x(1) + a(2,2)·x(2) = b(2) a(3,1)·x(1) + a(3,2)·x(2) + a(3,3)·x(3) = b(3) ... a(n,1)·x(1) + a(n,2)·x(2) + a(n,3)·x(3) +...+ a(x,x)·x(n) = b(n)
El sistema es compatible si, y sólo si, el producto de los elementos de la diagonal principal es distinto de cero. En este caso, la solución se puede calcular mediante el algoritmo de bajada:
x(1) = b(1) / a(1,1) x(2) = (b(2) - a(2,1)·x(1)) / a(2,2) x(3) = (b(3) - a(3,1)·x(1) - a(3,2)·x(2)) / a(3,3) ... x(n) = (b(n) - a(n,1)·x(1) - a(n,2)·x(2) -...- a(n,n-1)·x(n-1)) / a(n,n)
Definir la función
bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double
tal que (bajada a b) es la solución, mediante el algoritmo de bajada, del sistema compatible triangular superior ax = b. Por ejemplo,
λ> let a = fromLists [[2,0,0],[3,1,0],[4,2,5.0]] λ> let b = fromLists [[3],[6.5],[10]] λ> bajada a b ( 1.5 ) ( 2.0 ) ( 0.0 )
Es decir, la solución del sistema
2x = 3 3x + y = 6.5 4x + 2y + 5 z = 10
es x=1.5, y=2 y z=0.
Definir la función
mayorProductoAdyacentes :: (Num a, Ord a) => Int -> Matriz a -> [[a]]
tal que (mayorProductoAdyacentes n p) es la lista de los segmentos formados por n elementos adyacentes en la misma fila, columna o diagonal de la matriz p cuyo productos son máximo. Por ejemplo,
λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12]) [[10,11,12]] λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1,3,4,5, 0,7,2,1, 3,9,2,1]) [[3,7,9]] λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,3,4, 0,3,2]) [[3,4],[4,3]] λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,1, 3,0,3]) [[2,3],[2,3]] λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,1, 3,4,3]) [[3,4],[4,3]] λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,5,1, 3,4,3]) [[5,4]] λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1,3,4,5, 0,7,2,1, 3,9,2,1]) [[3,7,9]]
El método de bisección para calcular un cero de una función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c en (a, b) para el que f(c) = 0".
El método para calcular un cero de la función f en el intervalo [a,b] con un error menor que e consiste en tomar el punto medio del intervalo c = (a+b)/2 y considerar los siguientes casos:
Definir la función
biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double
tal que (biseccion f a b e) es una aproximación del punto del intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo,
biseccion (\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01 == 1.7333984375 biseccion (\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01 == 1.521484375 biseccion cos 0 2 0.01 == 1.5625 biseccion (\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01 == -5.125
Un número n es especial si mcm(1,2,...,n-1) = mcm(1,2,...,n). Por ejemplo, el 6 es especial ya que
mcm(1,2,3,4,5) = 60 = mcm(1,2,3,4,5,6)
Definir la sucesión
especiales :: [Integer]
cuyos términos son los números especiales. Por ejemplo,
take 10 especiales == [1,6,10,12,14,15,18,20,21,22] especiales !! 50 == 84 especiales !! 500 == 638 especiales !! 5000 == 5806 especiales !! 50000 == 55746
Definir la función
suma :: Integer -> Integer
tal que (suma n) es la suma 1 * 1! + 2 * 2! + 3 * 3! + ... + n * n!. Por ejemplo,
suma 1 == 1 suma 2 == 5 suma 3 == 23 suma 4 == 119 suma 5 == 719 take 9 (show (suma (70000))) == "823780458"
La integral definida de una función f entre los límites a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo usando la fórmula \[ h \cdot \left( f\left(a + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + h + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + 2h + \frac{h}{2}\right) + \dots + f\left(a + nh + \frac{h}{2}\right) \right) \] con \[ a + n h + \frac{h}{2} \leq b < a + (n+1) h + \frac{h}{2} \] y usando valores pequeños para \(h\).
Definir la función
integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con paso 0.01, es
integral 0 1 (^3) 0.01 == 0.24998750000000042
Otros ejemplos son
integral 0 1 (^4) 0.01 == 0.19998333362500048 integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01 == 1.9999250000000026 log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01 == 3.124931644782336e-6 pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01 == -8.333333331389525e-6