Definir la función
optimos :: Eq b => (b -> b -> Bool) -> (a -> b) -> [a] -> [a]
tal que (optimos r f xs) es la lista de los elementos de xs donde la función f alcanza sus valores óptimos respecto de la relación r. Por ejemplo,
optimos (<) length ["ab","c","de","f"] == ["c","f"] optimos (>) length ["ab","c","de","f"] == ["ab","de"]
Definir la función
maximales :: Eq a => (a -> a -> Bool) -> [a] -> [a]
tal que (maximales r xs) es la lista de los elementos de xs para los que no hay ningún otro elemento de xs mayor según la relación r. Por ejemplo,
maximales (>) [2,3,4,6] == [6] maximales (<) [2,3,4,6] == [2] maximales (\x y -> mod x y == 0) [2,3,4,6] == [4,6] maximales (\x y -> mod y x == 0) [2,3,4,6] == [2,3]
Definir la función
esAnterior :: Eq a => [a] -> a -> a -> Bool
tal que (esAnterior xs y z) se verifica si y ocurre en xs antes que z (que puede no pertenecer a xs). Por ejemplo,
esAnterior [1,3,7,2] 3 2 == True esAnterior [1,3,7,2] 3 1 == False esAnterior [1,3,7,2] 3 5 == True esAnterior [1,3,7,2] 5 3 == False
Definir la función
todosPares :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
tal que (todosPares f xs ys) es el resultado de aplicar la operación f a todos los pares de xs e ys. Por ejemplo,
todosPares (*) [2,3,5] [7,11] == [14,22,21,33,35,55] todosPares (\x y -> x:show y) "ab" [7,5] == ["a7","a5","b7","b5"]
Definir la función
inserta :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
tal que (inserta xs yss) es la lista obtenida insertando
y así sucesivamente. Por ejemplo,
inserta [1,2,3] [[4,7],[6],[9,5,8]] == [[1,4,7],[6,2],[9,5,3,8]] inserta [1,2,3] [[4,7],[] ,[9,5,8]] == [[1,4,7],[], [9,5,3,8]] inserta [1,2] [[4,7],[6],[9,5,8]] == [[1,4,7],[6,2],[9,5,8]] inserta [1,2,3] [[4,7],[6]] == [[1,4,7],[6,2]] inserta "tad" ["odo","pra","naa"] == ["todo","para","nada"]
Definir el procedimiento
arbol :: Int -> IO ()
tal que (arbol n) dibuja el árbol de Navidad con una copa de altura n y un tronco de altura la mitad de n. Por ejemplo,
λ> arbol 5 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX X X λ> arbol 6 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX XXXXXXXXXXX X X X λ> arbol 7 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXX X X X
Definir la función
siembra :: [Int] -> [Int]
tal que (siembra xs) es la lista ys obtenida al repartir cada elemento x de la lista xs poniendo un 1 en las x siguientes posiciones de la lista ys. Por ejemplo,
siembra [4] == [0,1,1,1,1] siembra [0,2] == [0,0,1,1] siembra [4,2] == [0,1,2,2,1]
El tercer ejemplo se obtiene sumando la siembra de 4 en la posición 0 (como el ejemplo 1) y el 2 en la posición 1 (como el ejemplo 2). Otros ejemplos son
siembra [0,4,2] == [0,0,1,2,2,1] siembra [3] == [0,1,1,1] siembra [3,4,2] == [0,1,2,3,2,1] siembra [3,2,1] == [0,1,2,3] sum $ siembra [1..2500] == 3126250
Comprobar con QuickCheck que la suma de los elementos de (siembra xs) es igual que la suma de los de xs.
Nota: Se supone que el argumento es una lista de números no negativos y que se puede ampliar tanto como sea necesario para repartir los elementos.
Definir la función
productoInfinito :: [Int] -> [Int]
tal que (productoInfinito xs) es la lista infinita que en la posición N tiene el producto de los N primeros elementos de la lista infinita xs. Por ejemplo,
take 5 (productoInfinito [1..]) == [1,2,6,24,120] take 5 (productoInfinito [2,4..]) == [2,8,48,384,3840] take 5 (productoInfinito [1,3..]) == [1,3,15,105,945]
Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.
Una lista hermanada es una lista de números estrictamente positivos en la que cada elemento tiene algún factor primo en común con el siguiente, en caso de que exista, o alguno de los dos es un 1. Por ejemplo,
Definir la función
hermanada :: [Int] -> Bool
tal que (hermanada xs) se verifica si la lista xs es hermanada según la definición anterior. Por ejemplo,
hermanada [2,6,3,9,1,5] == True hermanada [2,3,5] == False hermanada [2,4..1000000] == True
Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.
Un número natural n es una potencia perfecta si existen dos números naturales m > 1 y k > 1 tales que n = m^k. Las primeras potencias perfectas son
4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 16 = 2⁴, 25 = 5², 27 = 3³, 32 = 2⁵, 36 = 6², 49 = 7², 64 = 2⁶, ...
Definir la sucesión
potenciasPerfectas :: [Integer]
cuyos términos son las potencias perfectas. Por ejemplo,
take 10 potenciasPerfectas == [4,8,9,16,25,27,32,36,49,64] potenciasPerfectas !! 100 == 6724
Definir el procedimiento
grafica :: Int -> IO ()
tal que (grafica n) es la representación gráfica de las n primeras potencias perfectas. Por ejemplo, para (grafica 30) dibuja
!Potencias perfectas](/images/Potencias_perfectas.png)
Definir la función
sumaEnPosicion :: [Int] -> [Int] -> Int
tal que (sumaEnPosicion xs ys) es la suma de todos los elementos de xs cuyas posiciones se indican en ys. Por ejemplo,
sumaEnPosicion [1,2,3] [0,2] == 4 sumaEnPosicion [4,6,2] [1,3] == 6 sumaEnPosicion [3,5,1] [0,1] == 8
Definir la función
factorizable :: Integer -> [Integer] -> Bool
tal que (factorizable x ys) se verifica si x se puede escribir como producto de potencias de elementos de ys. Por ejemplo,
factorizable 1 [2,5,6] == True factorizable 12 [2,5,3] == True factorizable 12 [2,5,6] == True factorizable 12 [7,5,12] == True factorizable 12 [2,3,1] == True factorizable 12 [2,3,0] == True factorizable 24 [12,4,6] == True factorizable 0 [2,3,0] == True factorizable 12 [5,6] == False factorizable 12 [2,5,1] == False factorizable 0 [2,3,5] == False factorizable (product [1..3000]) [1..100000] == True factorizable (1 + product [1..3000]) [1..100000] == False
El año 2016 será un año cúbico porque se puede escribir como la suma de los cubos de 7 números consecutivos; en efecto,
2016 = 3³+ 4³ +...+ 9³
Definir la función
esCubico :: Integer -> Bool
tal que (esCubico x) se verifica si x se puede escribir como la suma de los cubos de 7 números consecutivos. Por ejemplo,
esCubico 2016 == True esCubico 2017 == False esCubico 189005670081900441 == True esCubico 189005670081900442 == False
Un primo con cubo es un número primo p para el que existe algún entero positivo n tal que la expresión n³ + n²p es un cubo perfecto. Por ejemplo, 19 es un primo con cubo ya que 8³ + 8²×19 = 12³.
Definir la sucesión
primosConCubos :: [Integer]
tal que sus elementos son los primos con cubo. Por ejemplo,
λ> take 6 primosConCubos [7,19,37,61,127,271] λ> length (takeWhile (< 1000000) primosConCubos) 173
Un primo cubano es un número primo que se puede escribir como diferencia de dos cubos consecutivos. Por ejemplo, el 61 es un primo cubano porque es primo y 61 = 5³-4³.
Definir la sucesión
cubanos :: [Integer]
tal que sus elementos son los números cubanos. Por ejemplo,
λ> take 15 cubanos [7,19,37,61,127,271,331,397,547,631,919,1657,1801,1951,2269]
La clausura transitiva de una relación binaria R es la menor relación transitiva que contiene a R. Se puede calcular usando la composición de relaciones. Veamos un ejemplo, en el que (R ∘ S) representa la composición de R y S (definida en el ejercicio del lunes): sea
R = [(1,2),(2,5),(5,6)]
la relación R no es transitiva ya que (1,2) y (1,5) pertenecen a R pero (1,5) no pertenece; sea
R1 = R ∪ (R ∘ R) = [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6)]
la relación R1 tampoco es transitiva ya que (1,2) y (2,6) pertenecen a R pero (1,6) no pertenece; sea
R2 = R1 ∪ (R1 ∘ R1) = [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6),(1,6)]
La relación R2 es transitiva y contiene a R. Además, R2 es la clausura transitiva de R.
Definir la función
clausuraTransitiva :: Eq a => Rel a -> Rel a
tal que (clausuraTransitiva r) es la clausura transitiva de r. Por ejemplo,
λ> clausuraTransitiva [(1,2),(2,5),(5,6)] [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6),(1,6)] λ> clausuraTransitiva [(1,2),(2,5),(5,6),(6,3)] [(1,2),(2,5),(5,6),(6,3),(1,5),(2,6),(5,3),(1,6),(2,3),(1,3)]
Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple que siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el
Definir la función
transitiva :: Eq a => [(a,a)] -> Bool
tal que (transitiva r) se verifica si la relación r es transitiva. Por ejemplo,
transitiva [(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)] == True transitiva [(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)] == False
Las relaciones binarias en un conjunto A se pueden representar mediante conjuntos de pares de elementos de A. Por ejemplo, la relación de divisibilidad en el conjunto {1,2,3,6} se representa por
[(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(2,2),(2,6),(3,3),(3,6),(6,6)]
La composición de dos relaciones binarias R y S en el conjunto A es la relación binaria formada por los pares (x,y) para los que existe un z tal que (x,z) ∈ R y (z,y) ∈ S.
Definir la función
composicion :: Eq a => [(a,a)] -> [(a,a)] -> [(a,a)]
tal que (composicion r s) es la composición de las relaciones binarias r y s. Por ejemplo,
λ> composicion [(1,2)] [(2,3),(2,4)] [(1,3),(1,4)] λ> composicion [(1,2),(5,2)] [(2,3),(2,4)] [(1,3),(1,4),(5,3),(5,4)] λ> composicion [(1,2),(1,4),(1,5)] [(2,3),(4,3)] [(1,3)] λ> composicion [(0,1)] [(2,3)] []
Nota: Se supone que las relaciones binarias son listas sin elementos repetidos.
Un número de Smith es un número natural compuesto que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de todos sus factores primos (si tenemos algún factor primo repetido lo sumamos tantas veces como aparezca). Por ejemplo, el 22 es un número de Smith ya que
22 = 2*11 y 2+2 = 2+(1+1)
y el 4937775 también lo es ya que
4937775 = 3*5*5*65837 y 4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+(6+5+8+3+7)
Definir las funciones
esSmith :: Integer -> Bool smith :: [Integer]
tales que
esSmith 22 == True esSmith 29 == False esSmith 2015 == False esSmith 4937775 == True esSmith 4567597056 == True
λ> take 17 smith [4,22,27,58,85,94,121,166,202,265,274,319,346,355,378,382,391] λ> smith !! 2000 62158
Un número de n dígitos es un número de Armstrong si es igual a la suma de las n-ésimas potencias de sus dígitos. Por ejemplo, 371, 8208 y 4210818 son números de Armstrong ya que
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3 8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4 4210818 = 4^7 + 2^7 + 1^7 + 0^7 + 8^7 + 1^7 + 8^7
Definir las funciones
esArmstrong :: Integer -> Bool armstrong :: [Integer]
tales que
esArmstrong 371 == True esArmstrong 8208 == True esArmstrong 4210818 == True esArmstrong 2015 == False esArmstrong 115132219018763992565095597973971522401 == True esArmstrong 115132219018763992565095597973971522402 == False
λ> take 18 armstrong [1,2,3,4,5,6,7,8,9,153,370,371,407,1634,8208,9474,54748,92727]
Comprobar con QuickCheck que los números mayores que 115132219018763992565095597973971522401 no son números de Armstrong.
Definir la sucesión
raicesEnterasDePrimos :: [Integer]
cuyos elementos son las partes enteras de las raíces cuadradas de los números primos. Por ejemplo,
λ> take 30 raicesEnterasDePrimos [1,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10,10,10,10,10] λ> raicesEnterasDePrimos !! 9963 322 λ> raicesEnterasDePrimos !! 9964 323
Comprobar con QuickCheck que la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión es como máximo igual a 1.
Los árboles binarios con valores en las hojas y en los nodos se definen por
data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show
Por ejemplo, el árbol
5
/ \
/ \
9 7
/ \ / \
1 4 6 8
se puede representar por
N 5 (N 9 (H 1) (H 4)) (N 7 (H 6) (H 8))
Decimos que un árbol binario es par si la mayoría de sus nodos son pares e impar en caso contrario.
Para representar la paridad se define el tipo Paridad
data Paridad = Par | Impar deriving (Eq, Show)
Definir la función
paridad :: Arbol3 Int -> Paridad
tal que (paridad a) es la paridad del árbol a. Por ejemplo,
paridad (N 8 (N 6 (H 3) (H 4)) (H 5)) == Par paridad (N 8 (N 9 (H 3) (H 4)) (H 5)) == Impar
Definir las funciones
separacion :: [a] -> ([a],[a]) mezcla :: ([a],[a]) -> [a]
tales que (separacion xs) es el par formado eligiendo alternativamente elementos de xs mientras que mezcla intercala los elementos de las dos listas. Por ejemplo,
separacion [1..5] == ([1,3,5],[2,4]) mezcla ([1,3,5],[2,4]) == [1,2,3,4,5] separacion "Telescopio" == ("Tlsoi","eecpo") mezcla ("Tlsoi","eecpo") == "Telescopio" take 5 (fst (separacion [2,4..])) == [2,6,10,14,18] take 6 (mezcla ([2,4..],[7,14..])) == [2,7,4,14,6,21]
Comprobar con QuickCheck que
mezcla (separacion xs) == xs
Definir la función
particiones :: [a] -> Int -> [[[a]]]
tal que (particiones xs k) es la lista de las particiones de xs en k subconjuntos disjuntos. Por ejemplo,
λ> particiones [2,3,6] 2 [[[2],[3,6]],[[2,3],[6]],[[3],[2,6]]] λ> particiones [2,3,6] 3 [[[2],[3],[6]]] λ> particiones [4,2,3,6] 3 [[[4],[2],[3,6]],[[4],[2,3],[6]],[[4],[3],[2,6]], [[4,2],[3],[6]],[[2],[4,3],[6]],[[2],[3],[4,6]]] λ> particiones [4,2,3,6] 1 [[[4,2,3,6]]] λ> particiones [4,2,3,6] 4 [[[4],[2],[3],[6]]]
Definir la función
transformada :: [a] -> [a]
tal que (transformada xs) es la lista obtenida repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición en la lista. Por ejemplo,
transformada [7,2,5] == [7,2,2,5,5,5] transformada "eco" == "eccooo"
Comprobar con QuickCheck si la transformada de una lista de n números enteros, con n >= 2, tiene menos de n^3 elementos.
Un número semiprimo es un número natural que es producto de dos números primos no necesariamente distintos. Por ejemplo, 26 es semiprimo (porque ' 26 = 2*13' ) y 49 también lo es (porque 49 = 7*7).
Definir la función
mayorSemiprimoMenor :: Integer -> Integer
tal que (mayorSemiprimoMenor n) es el mayor semiprimo menor que n (suponiendo que n > 4). Por ejemplo,
mayorSemiprimoMenor 27 == 26 mayorSemiprimoMenor 50 == 49 mayorSemiprimoMenor 49 == 46 mayorSemiprimoMenor (10^6) == 999997
Los resultados de las votaciones a delegado en un grupo de clase se recogen mediante listas de asociación. Por ejemplo,
votos :: [(String,Int)] votos = [("Ana Perez",10),("Juan Lopez",7), ("Julia Rus", 27), ("Pedro Val",1), ("Pedro Ruiz",27),("Berta Gomez",11)]
Definir la función
ganadores :: [(String,Int)] -> [String]
tal que (ganadores xs) es la lista de los estudiantes con mayor número de votos en xs. Por ejemplo,
ganadores votos == ["Julia Rus","Pedro Ruiz"]
Definir la función
mismaLongitud :: [[a]] -> Bool
tal que (mismaLongitud xss) se verifica si todas las listas de la lista de listas xss tienen la misma longitud. Por ejemplo,
mismaLongitud [[1,2],[6,4],[0,0],[7,4]] == True mismaLongitud [[1,2],[6,4,5],[0,0]] == False
Definir la función
ternasAcotadas :: [Int] -> Int -> [(Int,Int,Int)]
tal que (ternasAcotadas xs n) es el conjunto de ternas de números naturales de xs cuya suma es menor que n. Por ejemplo,
ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 12 == [(1,3,4),(1,3,5),(1,3,7),(1,4,5)] ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 11 == [(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)] ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 10 == [(1,3,4),(1,3,5)] ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 9 == [(1,3,4)] ternasAcotadas [5,1,3,4,7] 8 == [] ternasAcotadas [1..10^6] 8 == [(1,2,3),(1,2,4)] ternasAcotadas [10^6,10^6-1..1] 8 == [(1,2,3),(1,2,4)]
Los árboles binarios con valores enteros se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por
data Arbol = H Int | N Int Arbol Arbol deriving Show
Por ejemplo, el árbol
7
/ \
/ \
/ \
4 9
/ \ / \
1 3 5 6
se puede representar por
N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))
Un árbol es monovalorado si todos sus elementos son iguales. Por ejemplo, de los siguientes árboles sólo son monovalorados los dos primeros
5 9 5 9
/ \ / \ / \ / \
5 5 9 9 5 6 9 7
/ \ / \
9 9 9 9
Definir la función
monovalorados :: Arbol -> [Arbol]
tal que (monovalorados a) es la lista de los subárboles monovalorados de a. Por ejemplo,
λ> monovalorados (N 5 (H 5) (H 5)) [N 5 (H 5) (H 5),H 5,H 5] λ> monovalorados (N 5 (H 5) (H 6)) [H 5,H 6] λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 9 (H 9) (H 9))) [N 9 (H 9) (N 9 (H 9) (H 9)),H 9,N 9 (H 9) (H 9),H 9,H 9] λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 7 (H 9) (H 9))) [H 9,H 9,H 9] λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 9 (H 7) (H 9))) [H 9,H 7,H 9]
Definir la función
interseccionParcial :: Eq a => Int -> [[a]] -> [a]
tal que (interseccionParcial n xss) es la lista de los elementos que pertenecen al menos a n conjuntos de xss. Por ejemplo,
interseccionParcial 1 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [3,4,5,9,7] interseccionParcial 2 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [4,5] interseccionParcial 3 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [4] interseccionParcial 4 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == []
La semana pasada se planteó en Twitter el siguiente problema
Se observa que
1x2x3x4 = 2x3x4 2x3x4x5 = 4x5x6
¿Existen ejemplos de otros productos de cuatro enteros consecutivos iguales a un producto de tres enteros consecutivos?
Definir la función
esProductoDeNconsecutivos :: Integer -> Integer -> Maybe Integer
tal que (esProductoDeNconsecutivos n x) es (Just m) si x es el producto de n enteros consecutivos a partir de m y es Nothing si x no es el producto de n enteros consecutivos. Por ejemplo,
esProductoDeNconsecutivos 3 6 == Just 1 esProductoDeNconsecutivos 4 6 == Nothing esProductoDeNconsecutivos 4 24 == Just 1 esProductoDeNconsecutivos 3 24 == Just 2 esProductoDeNconsecutivos 3 120 == Just 4 esProductoDeNconsecutivos 4 120 == Just 2
Para ejemplos mayores,
λ> esProductoDeNconsecutivos 3 (product [10^20..2+10^20]) Just 100000000000000000000 λ> esProductoDeNconsecutivos2 4 (product [10^20..2+10^20]) Nothing λ> esProductoDeNconsecutivos2 4 (product [10^20..3+10^20]) Just 100000000000000000000
Usando la función esProductoDeNconsecutivos resolver el problema.
Una cadena clave es una cadena que contiene dígitos visibles y ocultos. Los dígitos se ocultan mediante las primeras letras minúsculas: la 'a' oculta el '0', la 'b' el '1' y así sucesivamente hasta la 'j' que oculta el '9'. Los restantes símbolos de la cadena no tienen significado y se pueden ignorar.
Definir la función
numeroOculto :: String -> Maybe Integer
tal que (numeroOculto cs) es justo el número formado por los dígitos visibles u ocultos de la cadena clave cs, si cs tiene dígitos y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,
numeroOculto "jihgfedcba" == Just 9876543210 numeroOculto "JIHGFEDCBA" == Nothing numeroOculto "el 23 de Enero" == Just 423344 numeroOculto "El 23 de Enero" == Just 23344 numeroOculto "El 23 de enero" == Just 233444 numeroOculto "Todo para nada" == Just 300030
Un entero positivo x es muy par si tanto x como x² sólo contienen cifras pares. Por ejemplo, 200 es muy par porque todas las cifras de 200 y 200² = 40000 son pares; pero 26 no lo es porque 26² = 767 tiene cifras impares.
Definir la función
siguienteMuyPar :: Integer -> Integer
tal que (siguienteMuyPar x) es menor número mayor que x que es muy par. Por ejemplo,
siguienteMuyPar 300 == 668 siguienteMuyPar 668 == 680 siguienteMuyPar 828268400000 == 828268460602
Definir las funciones
unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] interseccionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
tales que + (unionGeneral xs) es la unión de los conjuntos de la lista de conjuntos xs (es decir, el conjunto de los elementos que pertenecen a alguno de los elementos de xs). Por ejemplo,
unionGeneral [] == [] unionGeneral [[1]] == [1] unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]] == [1,2,3] unionGeneral ([[x] | x <- [1..9]]) == [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
interseccionGeneral [[1]] == [1] interseccionGeneral [[2],[1,2],[2,3]] == [2] interseccionGeneral [[2,7,5],[1,5,2],[5,2,3]] == [2,5] interseccionGeneral ([[x] | x <- [1..9]]) == []
Definir la función
cerosDelFactorial :: Integer -> Integer
tal que (cerosDelFactorial n) es el número de ceros en que termina el factorial de n. Por ejemplo,
cerosDelFactorial 24 == 4 cerosDelFactorial 25 == 6 length (show (cerosDelFactorial (1234^5678))) == 17552
Definir la función
listasDecrecientesDesde :: Int -> [[Int]]
tal que (listasDecrecientesDesde n) es la lista de las sucesiones estrictamente decrecientes cuyo primer elemento es n. Por ejemplo,
λ> listasDecrecientesDesde 2 [[2],[2,1],[2,1,0],[2,0]] λ> listasDecrecientesDesde 3 [[3],[3,2],[3,2,1],[3,2,1,0],[3,2,0],[3,1],[3,1,0],[3,0]]
Un número n es autodescriptivo cuando para cada posición k de n (empezando a contar las posiciones a partir de 0), el dígito en la posición k es igual al número de veces que ocurre k en n. Por ejemplo, 1210 es autodescriptivo porque tiene 1 dígito igual a "0", 2 dígitos iguales a "1", 1 dígito igual a "2" y ningún dígito igual a "3".
Definir la función
autodescriptivo :: Integer -> Bool
tal que (autodescriptivo n) se verifica si n es autodescriptivo. Por ejemplo,
λ> autodescriptivo 1210 True λ> [x | x <- [1..100000], autodescriptivo x] [1210,2020,21200] λ> autodescriptivo 9210000001000 True
Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.
Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6n-1,6n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6·3-1,6·3+1).
Definir las funciones
primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tales que
primosGemelos 50 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43)] primosGemelos 43 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50 == [(3,5)] length (primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' (10^9)) == 1
El número 9009 es capicúa y es producto de dos números de dos dígitos, pues 9009 = 91*99.
Definir la lista
capicuasP2N2D :: [Int]
cuyos elementos son los números capicúas que son producto de 2 números de dos dígitos. Por ejemplo,
take 5 capicuasP2N2D == [121,242,252,272,323] length capicuasP2N2D == 74 drop 70 capicuasP2N2D == [8008,8118,8448,9009]
Se dice que un número n es muy divisible por 3 si es divisible por 3 y sigue siendo divisible por 3 si vamos quitando dígitos por la derecha. Por ejemplo, 96060 es muy divisible por 3 porque 96060, 9606, 960, 96 y 9 son todos divisibles por 3.
Definir las funciones
muyDivPor3 :: Integer -> Bool numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer
tales que
muyDivPor3 96060 == True muyDivPor3 90616 == False
numeroMuyDivPor3Cifras 5 == 768 numeroMuyDivPor3Cifras 7 == 12288 numeroMuyDivPor3Cifras (10^6) `rem` (10^6) == 332032
Un número es libre de cuadrados si no es divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2^2.
Definir la función
libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,
libreDeCuadrados 70 == True libreDeCuadrados 40 == False libreDeCuadrados 510510 == True libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10) == False
Una forma de aproximar el número π es usando la siguiente igualdad: \[ \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \cdots \] Es decir, la serie cuyo término general n-ésimo es el cociente entre el producto de los primeros n números y los primeros n números impares: \[s(n) = \frac{\prod_{i=1}^{n} i}{\prod_{i=1}^{n} (2i + 1)}\]
Definir la función
aproximaPi :: Double -> Double
tal que (aproximaPi n) es la aproximación del número π calculada con la serie anterior hasta el término n-ésimo. Por ejemplo,
aproximaPi 10 == 3.141106021601377 aproximaPi 30 == 3.1415926533011587 aproximaPi 50 == 3.1415926535897922
Se dice que un número n tiene un factorial especial si el número de dígitos de n! es igual a n. Por ejemplo, 22 tiene factorial especial porque 22! es 1124000727777607680000 que tiene 22 dígitos.
Definir la función
factorialesEspeciales :: [Integer]
tal que su valor es la lista de los números que tienen factoriales especiales. Por ejemplo,
take 2 factorialesEspeciales == [1,22]
Nota: Si factorialesEspeciales es una lista finita, argumentar porqué no puede tener más elementos.
Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6*n-1,6*n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6*3-1,6*3+1).
Definir la función
proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool
tal que (proximosAmultiplosDe6 (x,y)) se verifica si el par (x,y) está próximo a un múltiplo de 6. Por ejemplo,
proximosAmultiplosDe6 (17,19) == True proximosAmultiplosDe6 (18,20) == False proximosAmultiplosDe6 (5,19) == False proximosAmultiplosDe6 (1,3) == False proximosAmultiplosDe6 (74074073407403,74074073407405) == True proximosAmultiplosDe6 (86419752308637,86419752308639) == False
La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.
Definir la función
diferenciaSimetrica :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
tal que (diferenciaSimetrica xs ys) es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,
diferenciaSimetrica [2,5,3] [4,2,3,7] == [5,4,7] diferenciaSimetrica [2,5,3] [5,2,3] == [] diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,3,7] == [5,4,3,7] diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,4,7] == [5,4,4,7] diferenciaSimetrica [2,5,2,4] [4,2,4,7] == [5,
Definir la función
tieneRepeticiones :: Eq a => [a] -> Bool
tal que (tieneRepeticiones xs) se verifica si xs tiene algún elemento repetido. Por ejemplo,
tieneRepeticiones [3,2,5,2,7] == True tieneRepeticiones [3,2,5,4,7] == False tieneRepeticiones (5:[1..2000000000]) == True tieneRepeticiones [1..20000] == False
El resultado de dividir un número n por un divisor d es un cociente q y un resto r.
Definir la función
mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])
tal que (mayorResto n d) es el par (m,xs) tal que m es el mayor resto de dividir n entre x (con 1 ≤ x < d) y xs es la lista de números x menores que d tales que el resto de n entre x es m. Por ejemplo,
mayorResto 20 10 == (6,[7]) mayorResto 50 8 == (2,[3,4,6])
Nota: Se supone que d > 1.
El 6 de octubre, se propuso en el blog Gaussianos el siguiente problema
Demostrar que para todo entero positivo n, existe otro entero positivo que tiene las siguientes propiedades:
- Tiene exactamente n dígitos.
- Ninguno de sus dígitos es 0.
- Es divisible por la suma de sus dígitos.
Definir la función
especiales :: Integer -> [Integer]
tal que (especiales n) es la lista de los números enteros que cumplen las 3 propiedades anteriores para n. Por ejemplo,
take 3 (especiales 2) == [12,18,21] take 3 (especiales 3) == [111,112,114] head (especiales 30) == 111111111111111111111111111125 length (especiales 3) == 108 null (especiales 1000) == False
En el primer ejemplo, 12 es un número especial para 2 ya que tiene exactamente 2 dígitos, ninguno de sus dígitos es 0 y 12 es divisible por la suma de sus dígitos.
El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.
Representamos un conjunto de n masas en el plano mediante una lista de n pares de la forma ((a(i),b(i)),m(i)) donde (a(i),b(i)) es la posición y m(i) la masa puntual. Las coordenadas del centro de masas (a,b) se calculan por
a = (a(1)·m(1) + a(2)·m(2) + ... + a(n)·m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n)) b = (b(1)·m(1) + b(2)·m(2) + ... + b(n)·m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n))
Definir la función
centrodeMasas :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float)
tal que (centrodeMasas xs) es las coordenadas del centro de masas del sistema discreto xs. Por ejemplo:
centrodeMasas [((-1,3),2),((0,0),5),((1,3),3)] == (0.1,1.5)
Definir la función
refinada :: [Float] -> [Float]
tal que (refinada xs) es la lista obtenida intercalando entre cada dos elementos consecutivos de xs su media aritmética. Por ejemplo,
refinada [2,7,1,8] == [2.0,4.5,7.0,4.0,1.0,4.5,8.0] refinada [2] == [2.0] refinada [] == []
El número 4106357289 tiene la siguientes dos propiedades:
d(2)d(3)d(4) = 106 es divisible por 2 d(3)d(4)d(5) = 063 es divisible por 3 d(4)d(5)d(6) = 635 es divisible por 5 d(5)d(6)d(7) = 357 es divisible por 7 d(6)d(7)d(8) = 572 es divisible por 11 d(7)d(8)d(9) = 728 es divisible por 13 d(8)d(9)d(10) = 289 es divisible por 17
Definir la constante
pandigitalesTridivisibles :: [Integer]
cuyos elementos son los números pandigitales tridivisibles. Por ejemplo,
head pandigitalesTridivisibles == 4106357289 sum pandigitalesTridivisibles == 16695334890
Un número con n dígitos es pandigital si contiene todos los dígitos del 1 a n exactamente una vez. Por ejemplo, 2143 es un pandigital con 4 dígitos y, además, es primo.
Definir la constante
pandigitalesPrimos :: [Int]
tal que sus elementos son los números pandigitales, ordenados de mayor a menor. Por ejemplo,
take 3 pandigitalesPrimos == [7652413,7642513,7641253] 2143 `elem` pandigitalesPrimos == True length pandigitalesPrimos == 538
La codificación de Fibonacci de un número n es una cadena d = d(0)d(1)...d(k-1)d(k) de ceros y unos tal que
n = d(0)·F(2) + d(1)·F(3) +...+ d(k-1)·F(k+1) d(k-1) = d(k) = 1
donde F(i) es el i-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
Por ejemplo. La codificación de Fibonacci de 4 es "1011" ya que los dos últimos elementos son iguales a 1 y
1·F(2) + 0·F(3) + 1·F(4) = 1·1 + 0·2 + 1·3 = 4
La codificación de Fibonacci de los primeros números se muestra en la siguiente tabla
1 = 1 = F(2) ≡ 11 2 = 2 = F(3) ≡ 011 3 = 3 = F(4) ≡ 0011 4 = 1+3 = F(2)+F(4) ≡ 1011 5 = 5 = F(5) ≡ 00011 6 = 1+5 = F(2)+F(5) ≡ 10011 7 = 2+5 = F(3)+F(5) ≡ 01011 8 = 8 = F(6) ≡ 000011 9 = 1+8 = F(2)+F(6) ≡ 100011 10 = 2+8 = F(3)+F(6) ≡ 010011 11 = 3+8 = F(4)+F(6) ≡ 001011 12 = 1+3+8 = F(2)+F(4)+F(6) ≡ 101011 13 = 13 = F(7) ≡ 0000011 14 = 1+13 = F(2)+F(7) ≡ 1000011
Definir la función
codigoFib :: Integer -> String
tal que (codigoFib n) es la codificación de Fibonacci del número n. Por ejemplo,
λ> codigoFib 65 "0100100011" λ> [codigoFib n | n <- [1..7]] ["11","011","0011","1011","00011","10011","01011"]
Definir la función
particion :: [a] -> [Int] -> [[a]]
tal que (particion xs ns) es la partición de xs donde la longitud de cada parte está determinada por los elementos de ns. Por ejemplo,
particion [1..10] [2,5,0,3] == [[1,2],[3,4,5,6,7],[],[8,9,10]] particion [1..10] [1,4,2,3] == [[1],[2,3,4,5],[6,7],[8,9,10]]
Definir la función
maximos :: Ord a => [a] -> [a]
tal que (maximos xs) es la lista de los elementos de xs que son mayores que todos sus anteriores. Por ejemplo,
maximos [1,-3,5,2,3,4,7,6,7] == [1,5,7] maximos "bafcdegag" == "bfg" maximos (concat (replicate (10^6) "adxbcde")++"yz") == "adxyz" length (maximos [1..10^6]) == 1000000
La cadena infinita "1234321234321234321...", formada por la repetición de los dígitos 123432, tiene una propiedad (en la que se basa el funcionamiento del reloj astronómico de Praga: la cadena se puede partir en una sucesión de números, de forma que la suma de los dígitos de dichos números es la serie de los números naturales, como se observa a continuación:
1, 2, 3, 4, 32, 123, 43, 2123, 432, 1234, 32123, ... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Definir la lista
reloj :: [Integer]
cuyos elementos son los términos de la sucesión anterior. Por ejemplo,
λ> take 11 reloj [1,2,3,4,32,123,43,2123,432,1234,32123]
Nota: La relación entre la sucesión y el funcionamiento del reloj se puede ver en The Mathematics Behind Prague's Horloge Introduction.
Sea p(n) el n-ésimo primo y sea r el resto de dividir (p(n)-1)^n + (p(n)+1)^n por p(n)^2. Por ejemplo,
si n = 3, entonces p(3) = 5 y r = ( 4^3 + 6^3) mod (5^2) = 5 si n = 7, entonces p(7) = 17 y r = (16^7 + 18^7) mod (17^2) = 238
Definir la función
menorPR :: Integer -> Integer
tal que (menorPR x) es el menor n tal que el resto de dividir (p(n)-1)^n + (p(n)+1)^n por p(n)^2 es mayor que x. Por ejemplo,
menorPR 100 == 5 menorPR 345 == 9 menorPR 1000 == 13 menorPR (10^9) == 7037 menorPR (10^10) == 21035 menorPR (10^12) == 191041
El polinomio cromático de un grafo calcula el número de maneras en las cuales puede ser coloreado el grafo usando un número de colores dado, de forma que dos vértices adyacentes no tengan el mismo color.
En el caso del grafo completo de n vértices, su polinomio cromático es
P(n,x) = x(x-1)(x-2) ... (x-(n-1))
Por ejemplo,
P(3,x) = x(x-1)(x-2) = x^3 - 3·x^2 + 2·x P(4,x) = x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4 - 6·x^3 + 11·x^2 - 6·x
Lo que significa que P(4)(x) es el número de formas de colorear el grafo completo de 4 vértices con x colores. Por tanto,
P(4,2) = 0 (no se puede colorear con 2 colores) P(4,4) = 24 (hay 24 formas de colorearlo con 4 colores)
Definir la función
polGC:: Int -> Polinomio Int
tal que (polGC n) es el polinomio cromático del grafo completo de n vértices. Por ejemplo,
polGC 4 == x^4 + -6*x^3 + 11*x^2 + -6*x polGC 5 == x^5 + -10*x^4 + 35*x^3 + -50*x^2 + 24*x
Comprobar con QuickCheck que si el número de colores (x) coincide con el número de vértices del grafo (n), el número de maneras de colorear el grafo es n!.
Nota 1. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como se indica a continuación
λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_polGC +++ OK, passed 100 tests.
Nota 2: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de polinomios (I1M.PolOperaciones) que aquí.
Definir la función
sumaPosteriores :: [Int] -> [Int]
tal que (sumaPosteriores xs) es la lista obtenida sustituyendo cada elemento de xs por la suma de los elementos posteriores. Por ejemplo,
sumaPosteriores [1..8] == [35,33,30,26,21,15,8,0] sumaPosteriores [1,-3,2,5,-8] == [-4,-1,-3,-8,0]
Comprobar con QuickCheck que el último elemento de la lista (sumaPosteriores xs) siempre es 0.
Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b es triangular inferior si todos los elementos de la matriz A que están por encima de la diagonal principal son nulos; es decir, es de la forma
a(1,1)·x(1) = b(1) a(2,1)·x(1) + a(2,2)·x(2) = b(2) a(3,1)·x(1) + a(3,2)·x(2) + a(3,3)·x(3) = b(3) ... a(n,1)·x(1) + a(n,2)·x(2) + a(n,3)·x(3) +...+ a(x,x)·x(n) = b(n)
El sistema es compatible si, y sólo si, el producto de los elementos de la diagonal principal es distinto de cero. En este caso, la solución se puede calcular mediante el algoritmo de bajada:
x(1) = b(1) / a(1,1) x(2) = (b(2) - a(2,1)·x(1)) / a(2,2) x(3) = (b(3) - a(3,1)·x(1) - a(3,2)·x(2)) / a(3,3) ... x(n) = (b(n) - a(n,1)·x(1) - a(n,2)·x(2) -...- a(n,n-1)·x(n-1)) / a(n,n)
Definir la función
bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double
tal que (bajada a b) es la solución, mediante el algoritmo de bajada, del sistema compatible triangular superior ax = b. Por ejemplo,
λ> let a = fromLists [[2,0,0],[3,1,0],[4,2,5.0]] λ> let b = fromLists [[3],[6.5],[10]] λ> bajada a b ( 1.5 ) ( 2.0 ) ( 0.0 )
Es decir, la solución del sistema
2x = 3 3x + y = 6.5 4x + 2y + 5 z = 10
es x=1.5, y=2 y z=0.
Definir la función
mayorProductoAdyacentes :: (Num a, Ord a) => Int -> Matriz a -> [[a]]
tal que (mayorProductoAdyacentes n p) es la lista de los segmentos formados por n elementos adyacentes en la misma fila, columna o diagonal de la matriz p cuyo productos son máximo. Por ejemplo,
λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12]) [[10,11,12]] λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1,3,4,5, 0,7,2,1, 3,9,2,1]) [[3,7,9]] λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,3,4, 0,3,2]) [[3,4],[4,3]] λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,1, 3,0,3]) [[2,3],[2,3]] λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,1, 3,4,3]) [[3,4],[4,3]] λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,5,1, 3,4,3]) [[5,4]] λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1,3,4,5, 0,7,2,1, 3,9,2,1]) [[3,7,9]]
El método de bisección para calcular un cero de una función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c en (a, b) para el que f(c) = 0".
El método para calcular un cero de la función f en el intervalo [a,b] con un error menor que e consiste en tomar el punto medio del intervalo c = (a+b)/2 y considerar los siguientes casos:
Definir la función
biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double
tal que (biseccion f a b e) es una aproximación del punto del intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo,
biseccion (\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01 == 1.7333984375 biseccion (\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01 == 1.521484375 biseccion cos 0 2 0.01 == 1.5625 biseccion (\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01 == -5.125
Un número n es especial si mcm(1,2,...,n-1) = mcm(1,2,...,n). Por ejemplo, el 6 es especial ya que
mcm(1,2,3,4,5) = 60 = mcm(1,2,3,4,5,6)
Definir la sucesión
especiales :: [Integer]
cuyos términos son los números especiales. Por ejemplo,
take 10 especiales == [1,6,10,12,14,15,18,20,21,22] especiales !! 50 == 84 especiales !! 500 == 638 especiales !! 5000 == 5806 especiales !! 50000 == 55746
Definir la función
suma :: Integer -> Integer
tal que (suma n) es la suma 1 * 1! + 2 * 2! + 3 * 3! + ... + n * n!. Por ejemplo,
suma 1 == 1 suma 2 == 5 suma 3 == 23 suma 4 == 119 suma 5 == 719 take 9 (show (suma (70000))) == "823780458"
La integral definida de una función f entre los límites a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo usando la fórmula \[ h \cdot \left( f\left(a + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + h + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + 2h + \frac{h}{2}\right) + \dots + f\left(a + nh + \frac{h}{2}\right) \right) \] con \[ a + n h + \frac{h}{2} \leq b < a + (n+1) h + \frac{h}{2} \] y usando valores pequeños para \(h\).
Definir la función
integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con paso 0.01, es
integral 0 1 (^3) 0.01 == 0.24998750000000042
Otros ejemplos son
integral 0 1 (^4) 0.01 == 0.19998333362500048 integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01 == 1.9999250000000026 log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01 == 3.124931644782336e-6 pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01 == -8.333333331389525e-6
El menor número con 2¹ divisores es el 2, ya que tiene 2 divisores (el 1 y el 2) y el anterior al 2 (el 1) sólo tiene 1 divisor (el 1).
El menor número con 2² divisores es el 6, ya que tiene 4 divisores (el 1, 2, 3 y 6) y sus anteriores (el 1, 2, 3, 4 y 5) tienen menos de 4 divisores (tienen 1, 1, 1, 3 y 1, respectivamente).
El menor número con 2³ divisores es el 24, ya que tiene 8 divisores (el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24) y sus anteriores (del 1 al 23) tienen menos de 8 divisores.
El menor número con 2⁴ divisores es el 120, ya que tiene 16 divisores (el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120) y sus anteriores (del 1 al 119) tienen menos de 16 divisores.
El menor número, módulo 100, con 2⁴ divisores es el 20, ya que el menor número con 16 divisores es el 120 y 120 módulo 100 es 20.
Definir la función
menor :: Integer -> Integer -> Integer
tal que (menor n m) es el menor número, módulo m, con 2^n divisores; es decir, es el resto de dividir entre m el menor número con 2^n divisores. Por ejemplo,
menor 4 1000 == 120 menor 4 100 == 20 [menor n (10^9) | n <- [1..8]] == [2,6,24,120,840,7560,83160,1081080] menor 500500 500500506 == 8728302
Definir la función
sumaDePrimos :: Int -> [[Int]]
tal que (sumaDePrimos x) es la lista de las listas no crecientes de números primos que suman x. Por ejemplo,
sumaDePrimos 10 == [[7,3],[5,5],[5,3,2],[3,3,2,2],[2,2,2,2,2]] sumaDePrimos 0 == [] sumaDePrimos 1 == []
Definir, por simulación, la función
distanciaEsperada :: Int -> Double
tal que (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos del cuadrado unitario de vértices opuestos (0,0) y (1,1), elegidos aleatoriamente. Por ejemplo,
distanciaEsperada 10 == 0.4815946544198219 distanciaEsperada 10 == 0.5558438642543654 distanciaEsperada 100 == 0.5699663553203216 distanciaEsperada 100 == 0.5085629461572269 distanciaEsperada 1000 == 0.5376963424746385 distanciaEsperada 1000 == 0.523432374720393
Nota. El valor exacto de la distancia esperada es
(sqrt(2) + 2 + 5*log(1+sqrt(2)))/15 = 0.5214054331647207
Definir las funciones
grafo :: [(Int,Int)] -> Grafo Int Int caminos :: Grafo Int Int -> Int -> Int -> [[Int]]
tales que
λ> grafo [(2,4),(4,5)] G ND (array (2,5) [(2,[(4,0)]),(3,[]),(4,[(2,0),(5,0)]),(5,[(4,0)])])
λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 7) [[1,3,5,7],[1,3,7]] λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 2 7) [[2,5,3,7],[2,5,7]] λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 2) [[1,3,5,2],[1,3,7,5,2]] λ> caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 4 [] λ> length (caminos (grafo [(i,j) | i <- [1..10], j <- [i..10]]) 1 10) 109601
Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo).
En el juego de las bolas de Dijkstra se dispone de una bolsa con bolas blancas y negras. El juego consiste en elegir al azar dos bolas de la bolsa y añadir una bola negra si las dos bolas elegidas son del mismo color o una bola blanca en caso contrario. El juego termina cuando queda sólo una bola en la bolsa.
Vamos a representar las bolas blancas por 0, las negras por 1 y la bolsa la representaremos por una lista cuyos elementos son 0 ó 1.
Definir las funciones
juego :: [Int] -> [[Int]] ultima :: [Int] -> Int
tales que
juego [1,1,0,0,1] == [[1,1,0,0,1],[1,1,0,0],[1,1,1],[1,1],[1]] juego [1,1,0,0,1] == [[1,1,0,0,1],[0,1,1,0],[0,0,1],[1,1],[1]] juego [1,0,0,0,1] == [[1,0,0,0,1],[0,0,0,1],[0,1,1],[1,0],[0]] juego [1,0,1,1,1] == [[1,0,1,1,1],[1,1,0,1],[1,0,1],[0,1],[0]]
ultima [1,1,0,0,1] == 1 ultima [1,0,0,0,1] == 0 ultima [1,0,1,1,1] == 0
Comprobar con QuickCheck que la bola que queda en la bolsa al final del juego de Dijkstra es blanca si, y sólo si, el número de bolas blancas en la bolsa inicial es impar.
Una matriz latina de orden n es una matriz cuadrada de orden n tal que todos sus elementos son cero salvo los de su fila y columna central, si n es impar; o los de sus dos filas y columnas centrales, si n es par.
Definir la función
latina :: Int -> Array (Int,Int) Int
tal que (latina n) es la siguiente matriz latina de orden n:
| 0 0... 0 1 0 ... 0 0| | 0 0... 0 2 0 ... 0 0| | 0 0... 0 3 0 ... 0 0| | .........................| | 1 2..............n-1 n| | .........................| | 0 0... 0 n-2 0 ... 0 0| | 0 0... 0 n-1 0 ... 0 0| | 0 0... 0 n 0 ... 0 0|
| 0 0... 0 1 n 0 ... 0 0| | 0 0... 0 2 n-1 0 ... 0 0| | 0 0... 0 3 n-2 0 ... 0 0| | ................................| | 1 2.....................n-1 n| | n n-1 .................... 2 1| | ................................| | 0 0... 0 n-2 3 0 ... 0 0| | 0 0... 0 n-1 2 0 ... 0 0| | 0 0... 0 n 1 0 ... 0 0|
Por ejemplo,
λ> elems (latina 5) [0,0,1,0,0, 0,0,2,0,0, 1,2,3,4,5, 0,0,4,0,0, 0,0,5,0,0] λ> elems (latina 6) [0,0,1,6,0,0, 0,0,2,5,0,0, 1,2,3,4,5,6, 6,5,4,3,2,1, 0,0,5,2,0,0, 0,0,6,1,0,0]
Definir la función
refina :: Ord a => Monticulo a -> [a -> Bool] -> Monticulo a
tal que (refina m ps) es el montículo formado por los elementos del montículo m que cumplen todos los predicados de la lista ps. Por ejemplo,
λ> refina (foldr inserta vacio [1..22]) [(<7), even] M 2 1 (M 4 1 (M 6 1 Vacio Vacio) Vacio) Vacio λ> refina (foldr inserta vacio [1..22]) [(<1), even] Vacio
La notas de un examen se pueden representar mediante un vector en el que los valores son los pares formados por los nombres de los alumnos y sus notas.
Definir la función
aprobados :: (Num a, Ord a) => Array Int (String,a) -> Maybe [String]
tal que (aprobados p) es la lista de los nombres de los alumnos que han aprobado y Nothing si todos están suspensos. Por ejemplo,
λ> aprobados (listArray (1,3) [("Ana",5),("Pedro",3),("Lucia",6)]) Just ["Ana","Lucia"] λ> aprobados (listArray (1,3) [("Ana",4),("Pedro",3),("Lucia",4.9)]) Nothing
El sistema D'Hondt es una fórmula electoral, creada por Victor d'Hondt, que permite obtener el número de cargos electos asignados a las candidaturas, en proporción a los votos conseguidos.
Tras el recuento de los votos, se calcula una serie de divisores para cada partido. La fórmula de los divisores es V/N, donde V representa el número total de votos recibidos por el partido, y N representa cada uno de los números enteros desde 1 hasta el número de cargos electos de la circunscripción objeto de escrutinio. Una vez realizadas las divisiones de los votos de cada partido por cada uno de los divisores desde 1 hasta N, la asignación de cargos electos se hace ordenando los cocientes de las divisiones de mayor a menor y asignando a cada uno un escaño hasta que éstos se agoten
Definir la función
reparto :: Int -> [Int] -> [(Int,Int)]
tal que (reparto n vs) es la lista de los pares formados por los números de los partidos y el número de escaño que les corresponden al repartir n escaños en función de la lista de sus votos. Por ejemplo,
λ> reparto 7 [340000,280000,160000,60000,15000] [(1,3),(2,3),(3,1)] λ> reparto 21 [391000,311000,184000,73000,27000,12000,2000] [(1,9),(2,7),(3,4),(4,1)]
es decir, en el primer ejemplo,
Un número tiene una inversión cuando existe un dígito x a la derecha de otro dígito de forma que x es menor que y. Por ejemplo, en el número 1745 hay dos inversiones ya que 4 es menor que 7 y 5 es menor que 7 y están a la derecha de 7.
Definir la función
nInversiones :: Integer -> Int
tal que (nInversiones n) es el número de inversiones de n. Por ejemplo,
nInversiones 1745 == 2
Definir la función
comienzanCon :: [Int] -> Int -> [Int]
tal que (comienzanCon xs d) es la lista de los elementos de xs que empiezan por el dígito d. Por ejemplo,
comienzanCon [123,51,11,711,52] 1 == [123,11] comienzanCon [123,51,11,711,52] 5 == [51,52] comienzanCon [123,51,11,711,52] 6 == []
Las posiciones frontera de una matriz de orden mxn son aquellas que están en la fila 1 o la fila m o la columna 1 o la columna n. El resto se dirán posiciones interiores. Observa que cada elemento en una posición interior tiene exactamente 8 vecinos en la matriz.
Dada una matriz, un paso de transición genera una nueva matriz de la misma dimensión pero en la que se ha sustituido cada elemento interior por la suma de sus 8 vecinos. Los elementos frontera no varían.
Definir las funciones
marco :: Int -> Int -> Integer -> Matrix Integer paso :: Matrix Integer -> Matrix Integer itPasos :: Int -> Matrix Integer -> Matrix Integer pasosHasta :: Integer -> Int
tales que
λ> marco 5 5 1 ( 1 1 1 1 1 ) ( 1 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 1 )
λ> paso (marco 5 5 1) ( 1 1 1 1 1 ) ( 1 5 3 5 1 ) ( 1 3 0 3 1 ) ( 1 5 3 5 1 ) ( 1 1 1 1 1 )
λ> itPasos 10 (marco 5 5 1) ( 1 1 1 1 1 ) ( 1 4156075 5878783 4156075 1 ) ( 1 5878783 8315560 5878783 1 ) ( 1 4156075 5878783 4156075 1 ) ( 1 1 1 1 1 )
pasosHasta 4 == 1 pasosHasta 6 == 2 pasosHasta (2^2015) == 887
La parte par de un polinomio de coeficientes enteros es el polinomio formado por sus monomios cuyos coeficientes son números pares. Por ejemplo, la parte par de 4x^3+x^2-7x+6 es 4x^3+6.
Definir la función
partePar :: Integral a => Polinomio a -> Polinomio a
tal que (partePar p) es la parte par de p. Por ejemplo,
λ> partePar (consPol 3 4 (consPol 2 1 (consPol 0 6 polCero))) 4*x^3 + 6
Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería I1M.Pol que se encuentra aquí y se describe aquí.
Representamos los árboles binarios con elementos en las hojas y en los nodos mediante el tipo de dato
data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show
Definir la función
aplica :: (a -> a) -> (a -> a) -> Arbol a -> Arbol a
tal que (aplica f g a) devuelve el árbol obtenido al aplicar la función f a las hojas del árbol a y la función g a los nodos interiores. Por ejemplo,
λ> aplica (+1)(*2) (N 5 (N 2 (H 1) (H 2)) (N 3 (H 4) (H 2))) N 10 (N 4 (H 2) (H 3)) (N 6 (H 5) (H 3))
Un ciclo en un grafo G es una secuencia [v(1),v(2),v(3),...,v(n)] de nodos de G tal que:
Definir la función
ciclos :: Grafo Int Int -> [[Int]]
tal que (ciclos g) es la lista de ciclos de g. Por ejemplo, si g1 y g2 son los grafos definidos por
g1, g2 :: Grafo Int Int g1 = creaGrafo D (1,4) [(1,2,0),(2,3,0),(2,4,0),(4,1,0)] g2 = creaGrafo D (1,4) [(1,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(4,1,0)]
entonces
ciclos g1 == [[1,2,4,1],[2,4,1,2],[4,1,2,4]] ciclos g2 == [[1,2,1],[1,2,4,1],[2,1,2],[2,4,1,2],[4,1,2,4]]
Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo) que se describe aquí y se encuentra aquí.
Decimos que un número es alternado si no tiene dos cifras consecutivas iguales ni tres cifras consecutivas en orden creciente no estricto o decreciente no estricto. Por ejemplo, los números 132425 y 92745 son alternados, pero los números 12325 y 29778 no. Las tres primeras cifras de 12325 están en orden creciente y 29778 tiene dos cifras iguales consecutivas.
Definir la constante
alternados :: [Integer]
cuyo valor es la lista infinita de los números alternados. Por ejemplo,
take 10 alternados == [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] length (takeWhile (< 1000) alternados) == 616 alternados !! 1234567 == 19390804
La visibilidad de una lista es el número de elementos que son estrictamente mayores que todos los anteriores. Por ejemplo, la visibilidad de la lista [1,2,5,2,3,6] es 4.
La visibilidad de una matriz P es el par formado por las visibilidades de las filas de P y las visibilidades de las columnas de P. Por ejemplo, dada la matriz
( 4 2 1 )
Q = ( 3 2 5 )
( 6 1 8 )
la visibilidad de Q es ([1,2,2],[2,1,3]).
Definir las funciones
visibilidadLista :: [Int] -> Int visibilidadMatriz :: Matrix Int -> ([Int],[Int])
tales que
visibilidadLista [1,2,5,2,3,6] == 4 visibilidadLista [0,-2,5,1,6,6] == 3 + (visibilidadMatriz p) es la visibilidad de la matriz p. Por ejemplo, ~~~haskell λ> visibilidadMatriz (fromLists [[4,2,1],[3,2,5],[6,1,8]]) ([1,2,2],[2,1,3]) λ> visibilidadMatriz (fromLists [[0,2,1],[0,2,5],[6,1,8]]) ([2,3,2],[2,1,3])
Dado un grafo no dirigido G, un camino en G es una secuencia de nodos [v(1),v(2),v(3),...,v(n)] tal que para todo i entre 1 y n-1, (v(i),v(i+1)) es una arista de G. Por ejemplo, dados los grafos
g1, g2 :: Grafo Int Int g1 = creaGrafo ND (1,3) [(1,2,0),(1,3,0),(2,3,0)] g2 = creaGrafo ND (1,4) [(1,2,0),(1,3,0),(1,4,0),(2,4,0),(3,4,0)]
la lista [1,2,3] es un camino en g1, pero no es un camino en g2 puesto que la arista (2,3) no existe en g2.
Definir la función
camino :: Grafo Int Int -> [Int] -> Bool
tal que (camino g vs) se verifica si la lista de nodos vs es un camino en el grafo g. Por ejemplo,
camino g1 [1,2,3] == True camino g2 [1,2,3] == False
Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo) que se describe aquí y se encuentra aquí.
El ejercicio de hoy tiene como objetivo comprobar la veracidad del Teorema de Midy:
Sea a/p una fracción, donde a < p y p > 5 es un número primo. Si esta fracción tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el período es par, entonces podemos partir el período en dos mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves.
Por ejemplo, 2/7 = 0'285714285714... El período es 285714, cuya longitud es par (6). Lo partimos por la mitad y las sumamos: 285+714 = 999.
Definir la función
teoremaMidy :: Integer -> Bool
tal que (teoremaMidy n) se verifica si para todo todo número primo p menor que n y mayor que 5 y todo número natural menor que p tales que la cantidad de dígitos en el período de a/p es par, entonces podemos partir el período de a/p en dos mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves. Por ejemplo,
teoremaMidy 200 == True
Además, comprobar el teorema de Midy usando QuickCheck.
Los números decimales se representan por ternas, donde el primer elemento es la parte entera, el segundo es el anteperíodo y el tercero es el período. Por ejemplo,
6/2 = 3 se representa por (3,[],[]) 1/2 = 0.5 se representa por (0,[5],[]) 1/3 = 0.333333... se representa por (0,[],[3]) 23/14 = 1.6428571428571... se representa por (1,[6],[4,2,8,5,7,1])
Su tipo es
type Decimal = (Integer,[Integer],[Integer])
Los números racionales se representan por un par de enteros, donde el primer elemento es el numerador y el segundo el denominador. Por ejemplo, el número 2/3 se representa por (2,3). Su tipo es
type Racional = (Integer,Integer)
Definir las funciones
decimal :: Racional -> Decimal racional :: Decimal -> Racional
tales que
decimal (1,4) == (0,[2,5],[]) decimal (1,3) == (0,[],[3]) decimal (23,14) == (1,[6],[4,2,8,5,7,1])
racional (0,[2,5],[]) == (1,4) racional (0,[],[3]) == (1,3) racional (1,[6],[4,2,8,5,7,1]) == (23,14)
Con la función decimal se puede calcular los períodos de los números racionales. Por ejemplo,
λ> let (_,_,p) = decimal (23,14) in concatMap show p "428571" λ> let (_,_,p) = decimal (1,47) in concatMap show p "0212765957446808510638297872340425531914893617" λ> let (_,_,p) = decimal (1,541) in length (concatMap show p) 540
Comprobar con QuickCheck si las funciones decimal y racional son inversas.
Se llaman potencias de Fermi-Dirac a los números de la forma p^(2^k), donde p es un número primo y k es un número natural.
Definir la sucesión
potencias :: [Integer]
cuyos términos sean las potencias de Fermi-Dirac ordenadas de menor a mayor. Por ejemplo,
take 14 potencias == [2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,25,29] potencias !! 60 == 241 potencias !! (10^6) == 15476303
Dado dos números n y m, decimos que m es un múltiplo especial de n si m es un múltiplo de n y m no tiene ningún factor primo que sea congruente con 1 módulo 3.
Definir la función
multiplosEspecialesCota :: Int -> Int -> [Int]
tal que (multiplosEspecialesCota n k) es la lista ordenada de todos los múltiplos especiales de n que son menores o iguales que k. Por ejemplo,
multiplosEspecialesCota 5 50 == [5,10,15,20,25,30,40,45,50] multiplosEspecialesCota 7 50 == []
Definir la función
minMax :: Ord a => Monticulo a -> Maybe (a,a)
tal que (minMax m) es justamente el par formado por el menor y el mayor elemento de m, si el montículo m es no vacío. Por ejemplo,
minMax (foldr inserta vacio [4,8,2,1,5]) == Just (1,8) minMax (foldr inserta vacio [4]) == Just (4,4) minMax vacio == Nothing
Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de montículo (I1M.Monticulo) que se encuentra aquí.
Dada una relación r sobre un conjunto de números enteros, la matriz asociada a r es una matriz booleana p (cuyos elementos son True o False), tal que p(i,j) = True si y sólo si i está relacionado con j mediante la relación r.
Las relaciones binarias homogéneas y las matrices booleanas se pueden representar por
type Relacion = ([Int],[(Int,Int)]) type Matriz = Array (Int,Int) Bool
Definir la función
matrizRB:: Relacion -> Matriz
tal que (matrizRB r) es la matriz booleana asociada a r. Por ejemplo,
λ> matrizRB ([1..3],[(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)]) array ((1,1),(3,3)) [((1,1),True) ,((1,2),False),((1,3),True), ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False), ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),True)] λ> matrizRB ([1..3],[(1,3), (3,1)]) array ((1,1),(3,3)) [((1,1),False),((1,2),False),((1,3),True), ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False), ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),False)] λ> let n = 10^4 in matrizRB3 ([1..n],[(1,n),(n,1)]) ! (n,n) False
Un número n es especial si al unir los dígitos de sus factores primos, se obtienen exactamente los dígitos de n, aunque puede ser en otro orden. Por ejemplo, 1255 es especial, pues los factores primos de 1255 son 5 y 251.
Definir la función
esEspecial :: Integer -> Bool
tal que (esEspecial n) se verifica si un número n es especial. Por ejemplo,
esEspecial 1255 == True esEspecial 125 == False
Comprobar con QuickCheck que todo número primo es especial.
Calcular los 5 primeros números especiales que no son primos.
Dada una lista de números naturales xs, la codificación de Gödel de xs se obtiene multiplicando las potencias de los primos sucesivos, siendo los exponentes los elementos de xs. Por ejemplo, si xs = [6,0,4], la codificación de xs es
2^6 * 3^0 * 5^4 = 64 * 1 * 625 = 40000.
Definir las funciones
codificaG :: [Integer] -> Integer decodificaG :: Integer -> [Integer]
tales que
codificaG [6,0,4] == 40000 codificaG [3,1,1] == 120 codificaG [3,1,0,0,0,0,0,1] == 456 codificaG [1..6] == 4199506113235182750
decodificaG 40000 == [6,0,4] decodificaG 120 == [3,1,1] decodificaG 456 == [3,1,0,0,0,0,0,1] decodificaG 4199506113235182750 == [1,2,3,4,5,6]
Comprobar con QuickCheck que ambas funciones son inversas.
Definir la función
rotacionesNumero :: Integer -> [Integer]
(rotacionesNumero n) es la lista de las rotaciones obtenidas desplazando el primer dígito de n al final. Por ejemplo,
rotacionesNumero 325 == [325,253,532]
Definir las funciones
agrupa :: Eq a => [a] -> [(a,Int)] expande :: [(a,Int)] -> [a]
tales que
agrupa "aaabzzaa" == [('a',3),('b',1),('z',2),('a',2)]
expande [('a',2),('b',3),('a',1)] == "aabbba"
Comprobar con QuickCheck que dada una lista de enteros, si se la agrupa y después se expande se obtiene la lista inicial.
Una colección de puntos son colineales si esxiste una línea recta tal que todos están en dicha línea. Por ejemplo, los puntos (2,1), (5,7), (4,5) y (20,37) son colineales porque pertenecen a la línea y = 2*x-3.
Definir la función
colineales :: [(Int,Int)] -> Bool
tal que (colineales ps) se verifica si los puntos de la lista ps son colineales. Por ejemplo,
colineales [(2,1),(5,7),(4,5),(20,37)] == True colineales [(2,1),(5,7),(4,5),(21,37)] == False
Un número es capicúa si es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, el 4884.
El transformado "invierte y suma" de un número x es la suma de x y su número invertido; es decir, el número resultante de la inversión del orden en el que aparecen sus dígitos. Por ejemplo, el transformado de 124 es 124 + 421 = 545.
Se aplica la transformación "invierte y suma" hasta obtener un capicúa. Por ejemplo, partiendo del número 87, el proceso es
87 + 78 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884
El número de pasos de dicho proceso es la distancia capicúa del número; por ejemplo, la distancia capicúa de 87 es 4.
Definir la función
distanciaIS :: Integer -> Integer
tal que (distanciaIS x) es la distancia capicúa de x. Por ejemplo,
distanciaIS 11 == 0 distanciaIS 10 == 1 distanciaIS 19 == 2 distanciaIS 59 == 3 distanciaIS 69 == 4 distanciaIS 166 == 5 distanciaIS 79 == 6 distanciaIS 89 == 24 distanciaIS 10911 == 55 distanciaIS 1000000079994144385 == 259
Un primo circular es un número tal que todas las rotaciones de sus dígitos producen números primos. Por ejemplo, 195 es un primo circular ya que las rotaciones de sus dígitos son 197, 971 y 719 y los tres números son primos.
Definir la constante
circulares :: [Integer]
cuyo valor es la lista de los números primos circulares. Por ejemplo,
take 12 circulares == [2,3,5,7,11,13,17,31,37,71,73,79] circulares !! 50 == 939193
Definir la función
frecuencias :: Ord a => [a] -> Map a Int
tal que (frecuencias xs) es el diccionario formado por los elementos de xs junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo,
λ> frecuencias "sosos" fromList [('o',2),('s',3)] λ> frecuencias (show (10^100)) fromList [('0',100),('1',1)] λ> frecuencias (take (10^6) (cycle "abc")) fromList [('a',333334),('b',333333),('c',333333)] λ> size (frecuencias (take (10^6) (cycle [1..10^6]))) 1000000
Una fracción x/y es cancelativa si se cumplen las siguientes condiciones:
Por ejemplo, 16/64 es cancelativa ya que borrando el 6 en el numerador y el denominador se obtiene 1/4 que es igual a la original: 16/64 = 1/4.
Definir la función
cancelativas :: Int -> Int -> [((Int, Int), (Int, Int))]
tal que (cancelativas m n) es la lista de las fracciones cancelativas con su denominador entre m y n. Por ejemplo,
λ> cancelativas 1 100 [((16,64),(1,4)),((26,65),(2,5)),((19,95),(1,5)),((49,98),(4,8))] λ> cancelativas 101 150 [((22,121),(2,11)),((33,132),(3,12)),((34,136),(4,16)),((44,143),(4,13))] λ> length (cancelativas 1 200) 18