Misceláneas

Definir, por simulación, la función

distanciaEsperada :: Int -> Double

tal que (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos del cuadrado unitario de vértices opuestos (0,0) y (1,1), elegidos aleatoriamente. Por ejemplo,

distanciaEsperada 10    ==  0.4815946544198219
distanciaEsperada 10    ==  0.5558438642543654
distanciaEsperada 100   ==  0.5699663553203216
distanciaEsperada 100   ==  0.5085629461572269
distanciaEsperada 1000  ==  0.5376963424746385
distanciaEsperada 1000  ==  0.523432374720393

Nota. El valor exacto de la distancia esperada es

(sqrt(2) + 2 + 5*log(1+sqrt(2)))/15 = 0.5214054331647207

Caminos en un grafo

José A. Alonso

02-06-2015

Misceláneas

Definir las funciones

grafo   :: [(Int,Int)] -> Grafo Int Int
caminos :: Grafo Int Int -> Int -> Int -> [[Int]]

tales que

(grafo as) es el grafo no dirigido definido cuyas aristas son as. Por ejemplo,

λ> grafo [(2,4),(4,5)]
G ND (array (2,5) [(2,[(4,0)]),(3,[]),(4,[(2,0),(5,0)]),(5,[(4,0)])])

(caminos g a b) es la lista los caminos en el grafo g desde a hasta b sin pasar dos veces por el mismo nodo. Por ejemplo,

λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 7)
[[1,3,5,7],[1,3,7]]
λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 2 7)
[[2,5,3,7],[2,5,7]]
λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 2)
[[1,3,5,2],[1,3,7,5,2]]
λ> caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 4
[]
λ> length (caminos (grafo [(i,j) | i <- [1..10], j <- [i..10]]) 1 10)
109601

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo).

Problema de las bolas de Dijkstra

José A. Alonso

01-06-2015

Misceláneas

En el juego de las bolas de Dijkstra se dispone de una bolsa con bolas blancas y negras. El juego consiste en elegir al azar dos bolas de la bolsa y añadir una bola negra si las dos bolas elegidas son del mismo color o una bola blanca en caso contrario. El juego termina cuando queda sólo una bola en la bolsa.

Vamos a representar las bolas blancas por 0, las negras por 1 y la bolsa la representaremos por una lista cuyos elementos son 0 ó 1.

Definir las funciones

juego  :: [Int] -> [[Int]]
ultima :: [Int] -> Int

tales que

(juego xs) es la lista de los pasos aleatorios de un juego de Dijkstra a partir de la lista xs. Por ejemplo,

juego [1,1,0,0,1]  ==  [[1,1,0,0,1],[1,1,0,0],[1,1,1],[1,1],[1]]
juego [1,1,0,0,1]  ==  [[1,1,0,0,1],[0,1,1,0],[0,0,1],[1,1],[1]]
juego [1,0,0,0,1]  ==  [[1,0,0,0,1],[0,0,0,1],[0,1,1],[1,0],[0]]
juego [1,0,1,1,1]  ==  [[1,0,1,1,1],[1,1,0,1],[1,0,1],[0,1],[0]]

(ultima xs) es la bola que queda en la bolsa al final del juego de Dijkstra a partir de xs. Por ejemplo,

ultima [1,1,0,0,1]  ==  1
ultima [1,0,0,0,1]  ==  0
ultima [1,0,1,1,1]  ==  0

Comprobar con QuickCheck que la bola que queda en la bolsa al final del juego de Dijkstra es blanca si, y sólo si, el número de bolas blancas en la bolsa inicial es impar.

Matrices latinas

José A. Alonso

29-05-2015

Misceláneas

Una matriz latina de orden n es una matriz cuadrada de orden n tal que todos sus elementos son cero salvo los de su fila y columna central, si n es impar; o los de sus dos filas y columnas centrales, si n es par.

Definir la función

latina :: Int -> Array (Int,Int) Int

tal que (latina n) es la siguiente matriz latina de orden n:

Para n impar:

| 0  0... 0 1   0 ... 0   0|
| 0  0... 0 2   0 ... 0   0|
| 0  0... 0 3   0 ... 0   0|
| .........................|
| 1  2..............n-1   n|
| .........................|
| 0  0... 0 n-2 0 ... 0   0|
| 0  0... 0 n-1 0 ... 0   0|
| 0  0... 0 n   0 ... 0   0|

Para n par:

| 0  0... 0 1   n    0 ...   0   0|
| 0  0... 0 2   n-1  0 ...   0   0|
| 0  0... 0 3   n-2  0 ...   0   0|
| ................................|
| 1  2.....................n-1   n|
| n n-1 .................... 2   1|
| ................................|
| 0  0... 0 n-2  3   0 ...   0   0|
| 0  0... 0 n-1  2   0 ...   0   0|
| 0  0... 0 n    1   0 ...   0   0|

Por ejemplo,

λ> elems (latina 5)
[0,0,1,0,0,
 0,0,2,0,0,
 1,2,3,4,5,
 0,0,4,0,0,
 0,0,5,0,0]
λ> elems (latina 6)
[0,0,1,6,0,0,
 0,0,2,5,0,0,
 1,2,3,4,5,6,
 6,5,4,3,2,1,
 0,0,5,2,0,0,
 0,0,6,1,0,0]

Refinamiento de montículos

José A. Alonso

28-05-2015

Misceláneas

Definir la función

refina :: Ord a => Monticulo a -> [a -> Bool] -> Monticulo a

tal que (refina m ps) es el montículo formado por los elementos del montículo m que cumplen todos los predicados de la lista ps. Por ejemplo,

λ> refina (foldr inserta vacio [1..22]) [(<7), even]
M 2 1 (M 4 1 (M 6 1 Vacio Vacio) Vacio) Vacio
λ> refina (foldr inserta vacio [1..22]) [(<1), even]
Vacio

Cálculo de aprobados

José A. Alonso

27-05-2015

Misceláneas

La notas de un examen se pueden representar mediante un vector en el que los valores son los pares formados por los nombres de los alumnos y sus notas.

Definir la función

aprobados :: (Num a, Ord a) => Array Int (String,a) -> Maybe [String]

tal que (aprobados p) es la lista de los nombres de los alumnos que han aprobado y Nothing si todos están suspensos. Por ejemplo,

λ> aprobados (listArray (1,3) [("Ana",5),("Pedro",3),("Lucia",6)])
Just ["Ana","Lucia"]
λ> aprobados (listArray (1,3) [("Ana",4),("Pedro",3),("Lucia",4.9)])
Nothing

Reparto de escaños por la ley d'Hont

José A. Alonso

26-05-2015

Misceláneas

El sistema D'Hondt es una fórmula electoral, creada por Victor d'Hondt, que permite obtener el número de cargos electos asignados a las candidaturas, en proporción a los votos conseguidos.

Tras el recuento de los votos, se calcula una serie de divisores para cada partido. La fórmula de los divisores es V/N, donde V representa el número total de votos recibidos por el partido, y N representa cada uno de los números enteros desde 1 hasta el número de cargos electos de la circunscripción objeto de escrutinio. Una vez realizadas las divisiones de los votos de cada partido por cada uno de los divisores desde 1 hasta N, la asignación de cargos electos se hace ordenando los cocientes de las divisiones de mayor a menor y asignando a cada uno un escaño hasta que éstos se agoten

Definir la función

reparto :: Int -> [Int] -> [(Int,Int)]

tal que (reparto n vs) es la lista de los pares formados por los números de los partidos y el número de escaño que les corresponden al repartir n escaños en función de la lista de sus votos. Por ejemplo,

λ> reparto 7 [340000,280000,160000,60000,15000]
[(1,3),(2,3),(3,1)]
λ> reparto 21 [391000,311000,184000,73000,27000,12000,2000]
[(1,9),(2,7),(3,4),(4,1)]

es decir, en el primer ejemplo,

al 1º partido (que obtuvo 340000 votos) le corresponden 3 escaños,
al 2º partido (que obtuvo 280000 votos) le corresponden 3 escaños,
al 3º partido (que obtuvo 160000 votos) le corresponden 1 escaño.

Inversiones de un número

José A. Alonso

25-05-2015

Misceláneas

Un número tiene una inversión cuando existe un dígito x a la derecha de otro dígito de forma que x es menor que y. Por ejemplo, en el número 1745 hay dos inversiones ya que 4 es menor que 7 y 5 es menor que 7 y están a la derecha de 7.

Definir la función

nInversiones :: Integer -> Int

tal que (nInversiones n) es el número de inversiones de n. Por ejemplo,

nInversiones 1745  ==  2

Números comenzando con un dígito dado

José A. Alonso

22-05-2015

Misceláneas

Definir la función

comienzanCon :: [Int] -> Int -> [Int]

tal que (comienzanCon xs d) es la lista de los elementos de xs que empiezan por el dígito d. Por ejemplo,

comienzanCon [123,51,11,711,52] 1 == [123,11]
comienzanCon [123,51,11,711,52] 5 == [51,52]
comienzanCon [123,51,11,711,52] 6 == []

Matrices marco y transiciones

José A. Alonso

21-05-2015

Misceláneas

Las posiciones frontera de una matriz de orden mxn son aquellas que están en la fila 1 o la fila m o la columna 1 o la columna n. El resto se dirán posiciones interiores. Observa que cada elemento en una posición interior tiene exactamente 8 vecinos en la matriz.

Dada una matriz, un paso de transición genera una nueva matriz de la misma dimensión pero en la que se ha sustituido cada elemento interior por la suma de sus 8 vecinos. Los elementos frontera no varían.

Definir las funciones

marco      :: Int -> Int -> Integer -> Matrix Integer
paso       :: Matrix Integer -> Matrix Integer
itPasos    :: Int -> Matrix Integer -> Matrix Integer
pasosHasta :: Integer -> Int

tales que

(marco m n z) genera la matriz de dimensión mxn que contiene el entero z en las posiciones frontera y 0 en las posiciones interiores. Por ejemplo,

λ> marco 5 5 1
( 1 1 1 1 1 )
( 1 0 0 0 1 )
( 1 0 0 0 1 )
( 1 0 0 0 1 )
( 1 1 1 1 1 )

(paso t) calcula la matriz generada tras aplicar un paso de transición a la matriz t. Por ejemplo,

λ> paso (marco 5 5 1)
( 1 1 1 1 1 )
( 1 5 3 5 1 )
( 1 3 0 3 1 )
( 1 5 3 5 1 )
( 1 1 1 1 1 )

(itPasos k t) es la matriz obtenida tras aplicar k pasos de transición a partir de la matriz t. Por ejemplo,

λ> itPasos 10 (marco 5 5 1)
(       1       1       1       1       1 )
(       1 4156075 5878783 4156075       1 )
(       1 5878783 8315560 5878783       1 )
(       1 4156075 5878783 4156075       1 )
(       1       1       1       1       1 )

(pasosHasta k) es el número de pasos de transición a partir de la matriz (marco 5 5 1) necesarios para que en la matriz resultante aparezca un elemento mayor que k. Por ejemplo,

pasosHasta 4         ==  1
pasosHasta 6         ==  2
pasosHasta (2^2015)  ==  887

Parte par de un polinomio

José A. Alonso

20-05-2015

Misceláneas

La parte par de un polinomio de coeficientes enteros es el polinomio formado por sus monomios cuyos coeficientes son números pares. Por ejemplo, la parte par de 4x^3+x^2-7x+6 es 4x^3+6.

Definir la función

partePar :: Integral a => Polinomio a -> Polinomio a

tal que (partePar p) es la parte par de p. Por ejemplo,

λ> partePar (consPol 3 4 (consPol 2 1 (consPol 0 6 polCero)))
4*x^3 + 6

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería I1M.Pol que se encuentra aquí y se describe aquí.

Aplicación de funciones a nodos y hojas

José A. Alonso

19-05-2015

Misceláneas

Representamos los árboles binarios con elementos en las hojas y en los nodos mediante el tipo de dato

data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show

Definir la función

aplica :: (a -> a) -> (a -> a) -> Arbol a -> Arbol a

tal que (aplica f g a) devuelve el árbol obtenido al aplicar la función f a las hojas del árbol a y la función g a los nodos interiores. Por ejemplo,

λ> aplica (+1)(*2) (N 5 (N 2 (H 1) (H 2)) (N 3 (H 4) (H 2)))
N 10 (N 4 (H 2) (H 3)) (N 6 (H 5) (H 3))

Ciclos de un grafo

José A. Alonso

18-05-2015

Misceláneas

Un ciclo en un grafo G es una secuencia [v(1),v(2),v(3),...,v(n)] de nodos de G tal que:

(v(1),v(2)), (v(2),v(3)), (v(3),v(4)), ..., (v(n-1),v(n)) son aristas de G,
v(1) = v(n), y
salvo v(1) = v(n), todos los v(i) son distintos entre sí.

Definir la función

ciclos :: Grafo Int Int -> [[Int]]

tal que (ciclos g) es la lista de ciclos de g. Por ejemplo, si g1 y g2 son los grafos definidos por

g1, g2 :: Grafo Int Int
g1 = creaGrafo D (1,4) [(1,2,0),(2,3,0),(2,4,0),(4,1,0)]
g2 = creaGrafo D (1,4) [(1,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(4,1,0)]

entonces

ciclos g1  ==  [[1,2,4,1],[2,4,1,2],[4,1,2,4]]
ciclos g2  ==  [[1,2,1],[1,2,4,1],[2,1,2],[2,4,1,2],[4,1,2,4]]

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo) que se describe aquí y se encuentra aquí.

Números alternados

José A. Alonso

15-05-2015

Misceláneas

Decimos que un número es alternado si no tiene dos cifras consecutivas iguales ni tres cifras consecutivas en orden creciente no estricto o decreciente no estricto. Por ejemplo, los números 132425 y 92745 son alternados, pero los números 12325 y 29778 no. Las tres primeras cifras de 12325 están en orden creciente y 29778 tiene dos cifras iguales consecutivas.

Definir la constante

alternados :: [Integer]

cuyo valor es la lista infinita de los números alternados. Por ejemplo,

take 10 alternados                      ==  [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
length (takeWhile (< 1000) alternados)  ==  616
alternados !! 1234567                   ==  19390804

Visibilidad de listas y matrices

José A. Alonso

14-05-2015

Misceláneas

La visibilidad de una lista es el número de elementos que son estrictamente mayores que todos los anteriores. Por ejemplo, la visibilidad de la lista [1,2,5,2,3,6] es 4.

La visibilidad de una matriz P es el par formado por las visibilidades de las filas de P y las visibilidades de las columnas de P. Por ejemplo, dada la matriz

    ( 4 2 1 )
Q = ( 3 2 5 )
    ( 6 1 8 )

la visibilidad de Q es ([1,2,2],[2,1,3]).

Definir las funciones

visibilidadLista  :: [Int] -> Int
visibilidadMatriz :: Matrix Int -> ([Int],[Int])

tales que

(visibilidadLista xs) es la visibilidad de la lista xs. Por ejemplo,

visibilidadLista [1,2,5,2,3,6]   ==  4
visibilidadLista [0,-2,5,1,6,6]  ==  3
+ (visibilidadMatriz p) es la visibilidad de la matriz p. Por ejemplo,
~~~haskell
λ> visibilidadMatriz (fromLists [[4,2,1],[3,2,5],[6,1,8]])
([1,2,2],[2,1,3])
λ> visibilidadMatriz (fromLists [[0,2,1],[0,2,5],[6,1,8]])
([2,3,2],[2,1,3])

Reconocimiento de camino en un grafo

José A. Alonso

13-05-2015

Misceláneas

Dado un grafo no dirigido G, un camino en G es una secuencia de nodos [v(1),v(2),v(3),...,v(n)] tal que para todo i entre 1 y n-1, (v(i),v(i+1)) es una arista de G. Por ejemplo, dados los grafos

g1, g2 :: Grafo Int Int
g1 = creaGrafo ND (1,3) [(1,2,0),(1,3,0),(2,3,0)]
g2 = creaGrafo ND (1,4) [(1,2,0),(1,3,0),(1,4,0),(2,4,0),(3,4,0)]

la lista [1,2,3] es un camino en g1, pero no es un camino en g2 puesto que la arista (2,3) no existe en g2.

Definir la función

camino :: Grafo Int Int -> [Int] -> Bool

tal que (camino g vs) se verifica si la lista de nodos vs es un camino en el grafo g. Por ejemplo,

camino g1 [1,2,3]  ==  True
camino g2 [1,2,3]  ==  False

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo) que se describe aquí y se encuentra aquí.

El teorema de Midy

José A. Alonso

12-05-2015

Misceláneas

El ejercicio de hoy tiene como objetivo comprobar la veracidad del Teorema de Midy:

Sea a/p una fracción, donde a < p y p > 5 es un número primo. Si esta fracción tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el período es par, entonces podemos partir el período en dos mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves.

Por ejemplo, 2/7 = 0'285714285714... El período es 285714, cuya longitud es par (6). Lo partimos por la mitad y las sumamos: 285+714 = 999.

Definir la función

teoremaMidy :: Integer -> Bool

tal que (teoremaMidy n) se verifica si para todo todo número primo p menor que n y mayor que 5 y todo número natural menor que p tales que la cantidad de dígitos en el período de a/p es par, entonces podemos partir el período de a/p en dos mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves. Por ejemplo,

teoremaMidy 200  ==  True

Además, comprobar el teorema de Midy usando QuickCheck.

Representación decimal de números racionales

José A. Alonso

11-05-2015

Misceláneas

Los números decimales se representan por ternas, donde el primer elemento es la parte entera, el segundo es el anteperíodo y el tercero es el período. Por ejemplo,

 6/2  = 3                  se representa por (3,[],[])
 1/2  = 0.5                se representa por (0,[5],[])
 1/3  = 0.333333...        se representa por (0,[],[3])
23/14 = 1.6428571428571... se representa por (1,[6],[4,2,8,5,7,1])

Su tipo es

type Decimal = (Integer,[Integer],[Integer])

Los números racionales se representan por un par de enteros, donde el primer elemento es el numerador y el segundo el denominador. Por ejemplo, el número 2/3 se representa por (2,3). Su tipo es

type Racional = (Integer,Integer)

Definir las funciones

decimal  :: Racional -> Decimal
racional :: Decimal -> Racional

tales que

(decimal r) es la representación decimal del número racional r. Por ejemplo,

decimal (1,4)    ==  (0,[2,5],[])
decimal (1,3)    ==  (0,[],[3])
decimal (23,14)  ==  (1,[6],[4,2,8,5,7,1])

(racional d) es el número racional cuya representación decimal es d. Por ejemplo,

racional (0,[2,5],[])           ==  (1,4)
racional (0,[],[3])             ==  (1,3)
racional (1,[6],[4,2,8,5,7,1])  ==  (23,14)

Con la función decimal se puede calcular los períodos de los números racionales. Por ejemplo,

λ> let (_,_,p) = decimal (23,14) in concatMap show p
"428571"
λ> let (_,_,p) = decimal (1,47) in concatMap show p
"0212765957446808510638297872340425531914893617"
λ> let (_,_,p) = decimal (1,541) in length (concatMap show p)
540

Comprobar con QuickCheck si las funciones decimal y racional son inversas.

Potencias de primos con exponentes potencias de dos

José A. Alonso

08-05-2015

Misceláneas

Se llaman potencias de Fermi-Dirac a los números de la forma p^(2^k), donde p es un número primo y k es un número natural.

Definir la sucesión

potencias :: [Integer]

cuyos términos sean las potencias de Fermi-Dirac ordenadas de menor a mayor. Por ejemplo,

take 14 potencias    ==  [2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,25,29]
potencias !! 60      ==  241
potencias !! (10^6)  ==  15476303

Múltiplos especiales

José A. Alonso

07-05-2015

Misceláneas

Dado dos números n y m, decimos que m es un múltiplo especial de n si m es un múltiplo de n y m no tiene ningún factor primo que sea congruente con 1 módulo 3.

Definir la función

multiplosEspecialesCota :: Int -> Int -> [Int]

tal que (multiplosEspecialesCota n k) es la lista ordenada de todos los múltiplos especiales de n que son menores o iguales que k. Por ejemplo,

multiplosEspecialesCota 5 50  ==  [5,10,15,20,25,30,40,45,50]
multiplosEspecialesCota 7 50  ==  []

Mínimo y máximo de un montículo

José A. Alonso

06-05-2015

Misceláneas

Definir la función

minMax :: Ord a => Monticulo a -> Maybe (a,a)

tal que (minMax m) es justamente el par formado por el menor y el mayor elemento de m, si el montículo m es no vacío. Por ejemplo,

minMax (foldr inserta vacio [4,8,2,1,5])  ==  Just (1,8)
minMax (foldr inserta vacio [4])          ==  Just (4,4)
minMax vacio                              ==  Nothing

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de montículo (I1M.Monticulo) que se encuentra aquí.

Representación matricial de relaciones binarias

José A. Alonso

05-05-2015

Misceláneas

Dada una relación r sobre un conjunto de números enteros, la matriz asociada a r es una matriz booleana p (cuyos elementos son True o False), tal que p(i,j) = True si y sólo si i está relacionado con j mediante la relación r.

Las relaciones binarias homogéneas y las matrices booleanas se pueden representar por

type Relacion = ([Int],[(Int,Int)])
type Matriz = Array (Int,Int) Bool

Definir la función

matrizRB:: Relacion -> Matriz

tal que (matrizRB r) es la matriz booleana asociada a r. Por ejemplo,

λ> matrizRB ([1..3],[(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)])
array ((1,1),(3,3)) [((1,1),True) ,((1,2),False),((1,3),True),
                     ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False),
                     ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),True)]
λ> matrizRB ([1..3],[(1,3), (3,1)])
array ((1,1),(3,3)) [((1,1),False),((1,2),False),((1,3),True),
                     ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False),
                     ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),False)]
λ> let n = 10^4 in matrizRB3 ([1..n],[(1,n),(n,1)]) ! (n,n)
False

Números cuyos dígitos coinciden con los de sus factores primos

José A. Alonso

04-05-2015

Misceláneas

Un número n es especial si al unir los dígitos de sus factores primos, se obtienen exactamente los dígitos de n, aunque puede ser en otro orden. Por ejemplo, 1255 es especial, pues los factores primos de 1255 son 5 y 251.

Definir la función

esEspecial :: Integer -> Bool

tal que (esEspecial n) se verifica si un número n es especial. Por ejemplo,

esEspecial 1255 == True
esEspecial 125  == False

Comprobar con QuickCheck que todo número primo es especial.

Calcular los 5 primeros números especiales que no son primos.

Codificación de Gödel

José A. Alonso

01-05-2015

Misceláneas

Dada una lista de números naturales xs, la codificación de Gödel de xs se obtiene multiplicando las potencias de los primos sucesivos, siendo los exponentes los elementos de xs. Por ejemplo, si xs = [6,0,4], la codificación de xs es

2^6 * 3^0 * 5^4 = 64 * 1 * 625 = 40000.

Definir las funciones

codificaG   :: [Integer] -> Integer
decodificaG :: Integer -> [Integer]

tales que

(codificaG xs) es la codificación de Gödel de xs. Por ejemplo,

codificaG [6,0,4]           == 40000
codificaG [3,1,1]           == 120
codificaG [3,1,0,0,0,0,0,1] == 456
codificaG [1..6]            == 4199506113235182750

(decodificaG n) es la lista xs cuya codificación es n. Por ejemplo,

decodificaG 40000               == [6,0,4]
decodificaG 120                 == [3,1,1]
decodificaG 456                 == [3,1,0,0,0,0,0,1]
decodificaG 4199506113235182750 == [1,2,3,4,5,6]

Comprobar con QuickCheck que ambas funciones son inversas.

Rotaciones de un número

José A. Alonso

30-04-2015

Misceláneas

Definir la función

rotacionesNumero :: Integer -> [Integer]

(rotacionesNumero n) es la lista de las rotaciones obtenidas desplazando el primer dígito de n al final. Por ejemplo,

rotacionesNumero 325  ==  [325,253,532]

Agrupamiento de consecutivos iguales

José A. Alonso

29-04-2015

Misceláneas

Definir las funciones

agrupa  :: Eq a => [a] -> [(a,Int)]
expande :: [(a,Int)] -> [a]

tales que

(agrupa xs) es la lista obtenida agrupando las ocurrencias consecutivas de elementos de xs junto con el número de dichas ocurrencias. Por ejemplo:

agrupa "aaabzzaa" == [('a',3),('b',1),('z',2),('a',2)]

(expande xs) es la lista expandida correspondiente a ps (es decir, es la lista xs tal que la comprimida de xs es ps. Por ejemplo,

expande [('a',2),('b',3),('a',1)] == "aabbba"

Comprobar con QuickCheck que dada una lista de enteros, si se la agrupa y después se expande se obtiene la lista inicial.

Colinealidad de una lista de puntos

José A. Alonso

28-04-2015

Misceláneas

Una colección de puntos son colineales si esxiste una línea recta tal que todos están en dicha línea. Por ejemplo, los puntos (2,1), (5,7), (4,5) y (20,37) son colineales porque pertenecen a la línea y = 2*x-3.

Definir la función

colineales :: [(Int,Int)] -> Bool

tal que (colineales ps) se verifica si los puntos de la lista ps son colineales. Por ejemplo,

colineales [(2,1),(5,7),(4,5),(20,37)]  ==  True
colineales [(2,1),(5,7),(4,5),(21,37)]  ==  False

Distancia invierte y suma hasta capicúa

José A. Alonso

27-04-2015

Misceláneas

Un número es capicúa si es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, el 4884.

El transformado "invierte y suma" de un número x es la suma de x y su número invertido; es decir, el número resultante de la inversión del orden en el que aparecen sus dígitos. Por ejemplo, el transformado de 124 es 124 + 421 = 545.

Se aplica la transformación "invierte y suma" hasta obtener un capicúa. Por ejemplo, partiendo del número 87, el proceso es

  87 +   78 =  165
 165 +  561 =  726
 726 +  627 = 1353
1353 + 3531 = 4884

El número de pasos de dicho proceso es la distancia capicúa del número; por ejemplo, la distancia capicúa de 87 es 4.

Definir la función

distanciaIS :: Integer -> Integer

tal que (distanciaIS x) es la distancia capicúa de x. Por ejemplo,

distanciaIS 11                   ==    0
distanciaIS 10                   ==    1
distanciaIS 19                   ==    2
distanciaIS 59                   ==    3
distanciaIS 69                   ==    4
distanciaIS 166                  ==    5
distanciaIS 79                   ==    6
distanciaIS 89                   ==   24
distanciaIS 10911                ==   55
distanciaIS 1000000079994144385  ==  259

Primos circulares

José A. Alonso

24-04-2015

Misceláneas

Un primo circular es un número tal que todas las rotaciones de sus dígitos producen números primos. Por ejemplo, 195 es un primo circular ya que las rotaciones de sus dígitos son 197, 971 y 719 y los tres números son primos.

Definir la constante

circulares :: [Integer]

cuyo valor es la lista de los números primos circulares. Por ejemplo,

take 12 circulares  ==  [2,3,5,7,11,13,17,31,37,71,73,79]
circulares !! 50    ==  939193

Diccionario de frecuencias

José A. Alonso

23-04-2015

Misceláneas

Definir la función

frecuencias :: Ord a => [a] -> Map a Int

tal que (frecuencias xs) es el diccionario formado por los elementos de xs junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo,

λ> frecuencias "sosos"
fromList [('o',2),('s',3)]
λ> frecuencias (show (10^100))
fromList [('0',100),('1',1)]
λ> frecuencias (take (10^6) (cycle "abc"))
fromList [('a',333334),('b',333333),('c',333333)]
λ> size (frecuencias (take (10^6) (cycle [1..10^6])))
1000000

Fracciones cancelativas

José A. Alonso

22-04-2015

Misceláneas

Una fracción x/y es cancelativa si se cumplen las siguientes condiciones:

x/y es propia (es decir, x < y),
ninguno de los números x e y son múltiplos de 10 y
existe un dígito d tal que al borrar una ocurrencia de d en x y otra en y se obtiene una fracción cuyo valor coincide con x/y.

Por ejemplo, 16/64 es cancelativa ya que borrando el 6 en el numerador y el denominador se obtiene 1/4 que es igual a la original: 16/64 = 1/4.

Definir la función

cancelativas :: Int -> Int -> [((Int, Int), (Int, Int))]

tal que (cancelativas m n) es la lista de las fracciones cancelativas con su denominador entre m y n. Por ejemplo,

λ> cancelativas 1 100
[((16,64),(1,4)),((26,65),(2,5)),((19,95),(1,5)),((49,98),(4,8))]
λ> cancelativas 101 150
[((22,121),(2,11)),((33,132),(3,12)),((34,136),(4,16)),((44,143),(4,13))]
λ> length (cancelativas 1 200)
18

Caminos reducidos

José A. Alonso

21-04-2015

Misceláneas

Un camino es una sucesión de pasos en una de las cuatros direcciones Norte, Sur, Este, Oeste. Ir en una dirección y a continuación en la opuesta es un esfuerzo que se puede reducir, Por ejemplo, el camino [Norte,Sur,Este,Sur] se puede reducir a [Este,Sur].

Un camino se dice que es reducido si no tiene dos pasos consecutivos en direcciones opuesta. Por ejemplo, [Este,Sur] es reducido y [Norte,Sur,Este,Sur] no lo es.

En Haskell, las direcciones y los caminos se pueden definir por

data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)
type Camino = [Direccion]

Definir la función

reducido :: Camino -> Camino

tal que (reducido ds) es el camino reducido equivalente al camino ds. Por ejemplo,

reducido []                              ==  []
reducido [N]                             ==  [N]
reducido [N,O]                           ==  [N,O]
reducido [N,O,E]                         ==  [N]
reducido [N,O,E,S]                       ==  []
reducido [N,O,S,E]                       ==  [N,O,S,E]
reducido [S,S,S,N,N,N]                   ==  []
reducido [N,S,S,E,O,N]                   ==  []
reducido [N,S,S,E,O,N,O]                 ==  [O]
reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) ==  []

Nótese que en el penúltimo ejemplo las reducciones son

    [N,S,S,E,O,N,O]
--> [S,E,O,N,O]
--> [S,N,O]
--> [O]

Con mínimo común denominador

José A. Alonso

20-04-2015

Misceláneas

Los números racionales se pueden representar como pares de enteros:

type Racional a = (a,a)

Definir la función

reducida :: Integral a => [Racional a] -> [Racional a]

tal que (reducida xs) es la lista de los números racionales donde cada uno es igual al correspondiente elemento de xs y el denominador de todos los elementos de (reducida xs) es el menor número que cumple dicha condición; es decir, si xs es la lista

[(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)]

entonces (reducida xs) es

[(z_1, d), ..., (z_n, d)]

tales que

z_1/d = x_1/y_1, ..., z_n/d = x_n/y_n

y d es el menor posible. Por ejemplo,

reducida [(1,2),(1,3),(1,4)]  ==  [(6,12),(4,12),(3,12)]
reducida [(1,2),(1,3),(6,4)]  ==  [(3,6),(2,6),(9,6)]
reducida [(-7,6),(-10,-8)]    ==  [(-14,12),(15,12)]
reducida [(8,12)]             ==  [(2,3)]

Descomposiciones con sumandos 1 ó 2

José A. Alonso

17-04-2015

Misceláneas

Definir la funciones

sumas  :: Int -> [[Int]]
nSumas :: Int -> Integer

tales que

(sumas n) es la lista de las descomposiciones de n como sumas cuyos sumandos son 1 ó 2. Por ejemplo,

sumas 1            ==  [[1]]
sumas 2            ==  [[1,1],[2]]
sumas 3            ==  [[1,1,1],[1,2],[2,1]]
sumas 4            ==  [[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1],[2,2]]
length (sumas 26)  ==  196418
length (sumas 33)  ==  5702887

(nSumas n) es el número de descomposiciones de n como sumas cuyos sumandos son 1 ó 2. Por ejemplo,

nSumas 4                      ==  5
nSumas 123                    ==  36726740705505779255899443
length (show (nSumas 123456)) ==  25801

Primos hereditarios

José A. Alonso

16-04-2015

Misceláneas

Un número primo es hereditario si todos los números obtenidos eliminando dígitos por la derecha o por la izquierda son primos. Por ejemplo, 3797 es hereditario ya que los números obtenidos eliminando dígitos por la derecha son 3797, 379, 37 y 3 y los obtenidos eliminando dígitos por la izquierda son 3797, 797, 97 y 7 y todos ellos son primos.

Definir la sucesión

hereditarios :: [Integer]

cuyos elementos son los números hereditarios. Por ejemplo,

λ> take 15 hereditarios
[2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397]

Constante de Champernowne

José A. Alonso

15-04-2015

Misceláneas

La constante de Champernowne es el número irracional

0.12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334 ...

cuya parte entera es 0 y la parte decimal se obtiene concatenado los números naturales a partir de 1.

Definir la función

productoChampernowne :: [Int] -> Int

tal que (productoChampernowne ns) es el producto de los dígitos de la constante de Champernowne que ocupan las posiciones ns. Por ejemplo,

productoChampernowne [0,1,2]                 ==  6
productoChampernowne [8,20]                  ==  45
productoChampernowne [10^i-1 | i <- [0..7]]  ==  1470

Casas con números equilibrados

José A. Alonso

14-04-2015

Misceláneas

Se tiene una calle en la que las casas sólo están en un lado de ésta y las casas están numeradas de 1 hasta n, donde n es el número total de casas en la calle. Se dice que el número de una casa es equilibrado si y solamente si la suma de los números de las casas anteriores es igual a la suma de los números posteriores a la casa. Por ejemplo, el número de la 6ª casa, en una calle con 8 casas, es equilibrado ya que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8

Definir la función

soluciones :: Integer -> Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (soluciones x y) es la lista de pares (a,n) tales que a es el número equilibrado de una casa en una calle con n casas y n está entre x e y. Por ejemplo,

soluciones 1 500          ==  [(1,1),(6,8),(35,49),(204,288)]
soluciones 1000 3000      ==  [(1189,1681)]
soluciones (10^5) (10^6)  ==  [(235416,332928)]
soluciones (10^6) (10^7)  ==  [(1372105,1940449)]
(fst $ head $ soluciones (10^100) (10^101))  `mod` (10^9)  ==  763728460
(fst $ head $ soluciones (10^800) (10^1000)) `mod` (10^9)  ==  311156546

Las torres de Hanói

José A. Alonso

13-04-2015

Misceláneas

Las torres de Hanói es un rompecabeza que consta de tres postes que llamaremos A, B y C. Hay N discos de distintos tamaños en el poste A, de forma que no hay un disco situado sobre otro de menor tamaño. Los postes B y C están vacíos. Sólo puede moverse un disco a la vez y todos los discos deben de estar ensartados en algún poste. Ningún disco puede situarse sobre otro de menor tamaño. El problema consiste en colocar los N discos en el poste C.

Definir la función

hanoi :: Int -> [String]

tal que (hanoi n) es la lista de los movimientos para resolver el problema de las torres de hanoi con n discos. Por ejemplo,

λ> hanoi 1
["Mueve el disco 1 de A a C"]
λ> hanoi 2
["Mueve el disco 1 de A a B","Mueve el disco 2 de A a C","Mueve el disco 1 de B a C"]
λ> mapM_ putStrLn (hanoi 2)
Mueve el disco 1 de A a B
Mueve el disco 2 de A a C
Mueve el disco 1 de B a C
λ> mapM_ putStrLn (hanoi 3)
Mueve el disco 1 de A a C
Mueve el disco 2 de A a B
Mueve el disco 1 de C a B
Mueve el disco 3 de A a C
Mueve el disco 1 de B a A
Mueve el disco 2 de B a C
Mueve el disco 1 de A a C

Suma de los elementos de las diagonales matrices espirales

José A. Alonso

10-04-2015

Misceláneas

Empezando con el número 1 y moviéndose en el sentido de las agujas del reloj se obtienen las matrices espirales

|1 2|   |7 8 9|   | 7  8  9 10|   |21 22 23 24 25|
|4 3|   |6 1 2|   | 6  1  2 11|   |20  7  8  9 10|
        |5 4 3|   | 5  4  3 12|   |19  6  1  2 11|
                  |16 15 14 13|   |18  5  4  3 12|
                                  |17 16 15 14 13|

La suma los elementos de sus diagonales es

en la 2x2: 1+3+2+4 = 10
en la 3x3: 1+3+5+7+9 = 25
en la 4x4: 1+2+3+4+7+10+13+16 = 56
en la 5x5: 1+3+5+7+9+13+17+21+25 = 101

Definir la función

sumaDiagonales :: Integer -> Integer

tal que (sumaDiagonales n) es la suma de los elementos en las diagonales de la matriz espiral de orden nxn. Por ejemplo.

sumaDiagonales 1         ==  1
sumaDiagonales 2         ==  10
sumaDiagonales 3         ==  25
sumaDiagonales 4         ==  56
sumaDiagonales 5         ==  101
sumaDiagonales (1+10^6)  ==  666669166671000001
sumaDiagonales (10^2)    ==         671800
sumaDiagonales (10^3)    ==        667168000
sumaDiagonales (10^4)    ==       666716680000
sumaDiagonales (10^5)    ==      666671666800000
sumaDiagonales (10^6)    ==     666667166668000000
sumaDiagonales (10^7)    ==    666666716666680000000
sumaDiagonales (10^8)    ==   666666671666666800000000
sumaDiagonales (10^9)    ==  666666667166666668000000000

Comprobar con QuickCheck que el último dígito de (sumaDiagonales n) es 0, 4 ó 6 si n es par y es 1, 5 ó 7 en caso contrario.

Pandigitales múltiplos de un número por una lista de números

José A. Alonso

09-04-2015

Misceláneas

Un número pandigital es un número que contiene todos los dígitos del 1 al 9 sólo una vez. Por ejemplo, 192384576 es un número pandigital.

El producto de un número natural x por una lista de números naturales ys es el número obtenido concatenando los productos de x por cada uno de los elementos de ys. Por ejemplo, el producto de 2 por [3,2,5] es 6410.

Un número pandigital x es un múltiplo si existe un y y un n > 1 tales que x es el producto de y por [1,2,3,...,n]. Por ejemplo, 192384576 es un pandigital múltiplo ya que

192 × 1 = 192
192 × 2 = 384
192 × 3 = 576

por tanto, 192384576 es el producto de 192 por [1,2,3]. Otro pandgital múltiplo es el 918273645 ya que es el producto de 9 por [1,2,3,4,5].

Definir la sucesión

pandigitalesMultiplos :: [Integer]

tal que sus elementos son los números pandigitales múltiplos. Por ejemplo,

λ> take 5 pandigitalesMultiplos
[123456789,192384576,219438657,273546819,327654981]

Producto de un número por una lista de números

José A. Alonso

08-04-2015

Misceláneas

El producto de un número natural x por una lista de números naturales ys es el número obtenido concatenando los productos de x por cada uno de los elementos de ys. Por ejemplo, el producto de 2 por [3,2,5] es 26410.

Definir la función

producto :: Integer -> [Integer] -> Integer

tal que (producto x ys) es el producto de x por ys. Por ejemplo,

producto  2 [3,2,5]  ==  6410
producto 10 [3,2,5]  ==  302050

Perímetro más frecuente de triángulos rectángulos

José A. Alonso

07-04-2015

Misceláneas

El grado perimetral de un número p es la cantidad de tres triángulos rectángulos de lados enteros cuyo perímetro es p. Por ejemplo, el grado perimetral de 120 es 3 ya que sólo hay 3 triángulos rectángulos de lados enteros cuyo perímetro es 120: {20,48,52}, {24,45,51} y {30,40,50}.

Definir la función

maxGradoPerimetral :: Int -> (Int,[Int])

tal que (maxGradoPerimetral n) es el par (m,ps) tal que m es el máximo grado perimetral de los números menores o iguales que n y ps son los perímetros, menores o iguales que n, cuyo grado perimetral es m. Por ejemplo,

maxGradoPerimetral   50  ==  (1,[12,24,30,36,40,48])
maxGradoPerimetral  100  ==  (2,[60,84,90])
maxGradoPerimetral  200  ==  (3,[120,168,180])
maxGradoPerimetral  400  ==  (4,[240,360])
maxGradoPerimetral  500  ==  (5,[420])
maxGradoPerimetral  750  ==  (6,[720])
maxGradoPerimetral  839  ==  (6,[720])
maxGradoPerimetral  840  ==  (8,[840])
maxGradoPerimetral 1500  ==  (8,[840,1260])
maxGradoPerimetral 2000  ==  (10,[1680])
maxGradoPerimetral 3000  ==  (12,[2520])

Término ausente en una progresión aritmética

José A. Alonso

06-04-2015

Misceláneas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la sucesión es constante.

Definir la función

ausente :: Integral a => [a] -> a

tal que (ausente xs) es el único término ausente de la progresión aritmética xs. Por ejemplo,

ausente [3,7,9,11]                ==  5
ausente [3,5,9,11]                ==  7
ausente [3,5,7,11]                ==  9
ausente ([1..9]++[11..])          ==  10
ausente2 ([1..10^6] ++ [2+10^6])  ==  1000001

Nota. Se supone que la lista tiene al menos 3 elementos, que puede ser infinita y que sólo hay exactamente un término de la progresión aritmética que no está en la lista.

Polinomios pares

José A. Alonso

03-04-2015

Misceláneas

Un polinomio de coeficientes enteros se dirá par si todos sus coeficientes son números pares. Por ejemplo, el polinomio 2x³ - 4x² + 8 es par y el x² + 2x + 10 no lo es.

Definir el predicado

parPol :: Integral a => Polinomio a -> Bool

tal que (parPol p) se verifica si p es un polinomio par. Por ejemplo,

λ> parPol (consPol 3 2 (consPol 2 (-4) (consPol 0 8 polCero)))
True
λ> parPol (consPol 2 1 (consPol 1 2 (consPol 0 10 polCero)))
False

Comprobar con QuickCheck que la suma de un polinomio con él mismo es un polinomio par.

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando la librería I1M.Pol que se encuentra aquí y se describe aquí.

Ampliación de una matriz sumando sus filas

José A. Alonso

02-04-2015

Misceláneas

Representamos las matrices mediante el tipo de dato

type Matriz a = Array (Int,Int) a

Por ejemplo,

ejM :: Matriz Int
ejM = listArray ((1,1),(2,4)) [1,2,3,0,4,5,6,7]

representa la matriz

|1 2 3 0|
|4 5 6 7|

Definir la función

ampliada :: Num a => Matriz a -> Matriz a

tal que (ampliada p) es la matriz obtenida al añadir una nueva fila a p cuyo elemento i-ésimo es la suma de la columna i-ésima de p. Por ejemplo,

|1 2 3 0|        |1 2 3 0|
|4 5 6 7| ==>    |4 5 6 7|
                 |5 7 9 7|

En Haskell,

λ> ampliada ejM
array ((1,1),(3,4)) [((1,1),1),((1,2),2),((1,3),3),((1,4),0),
                     ((2,1),4),((2,2),5),((2,3),6),((2,4),7),
                     ((3,1),5),((3,2),7),((3,3),9),((3,4),7)]

Ramas a las que pertenece un elemento

José A. Alonso

01-04-2015

Misceláneas

Representamos los árboles binarios con elementos en las hojas y en los nodos mediante el tipo de dato

data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show

Por ejemplo,

ej1 :: Arbol Int
ej1 = N 5 (N 2 (H 1) (H 2)) (N 3 (H 4) (H 2))

Definir la función

ramasCon :: Eq a => Arbol a -> a -> [[a]]

tal que (ramasCon a x) es la lista de las ramas del árbol a en las que aparece el elemento x. Por ejemplo,

ramasCon ej1 2 ==  [[5,2,1],[5,2,2],[5,3,2]]

Pares de enteros con sólo un factor primo común

José A. Alonso

31-03-2015

Misceláneas

Dos enteros positivos a y b se dirán relacionados si poseen, exactamente, un factor primo en común. Por ejemplo, 12 y 20 están relacionados, pero 6 y 30 no lo están.

Definir la lista infinita

paresRel :: [(Int,Int)]

tal que paresRel enumera todos los pares (a,b), con 1 ≤ a < b, tal que a y b están relacionados. Por ejemplo,

λ> take 10 paresRel
[(2,4),(2,6),(3,6),(4,6),(2,8),(4,8),(6,8),(3,9),(6,9),(2,10)]

¿Qué lugar ocupa el par (51,111) en la lista infinita paresRel?

Agrupamiento de consecutivos iguales

José A. Alonso

30-03-2015

Misceláneas

Definir las funciones

agrupa  :: Eq a => [a] -> [(a,Int)]
expande :: [(a,Int)] -> [a]

tales que

(agrupa xs) es la lista obtenida agrupando las ocurrencias consecutivas de elementos de xs junto con el número de dichas ocurrencias. Por ejemplo:

agrupa "aaabzzaa" == [('a',3),('b',1),('z',2),('a',2)]

(expande xs) es la lista expandida correspondiente a ps (es decir, es la lista xs tal que la comprimida de xs es ps. Por ejemplo,

expande [('a',2),('b',3),('a',1)] == "aabbba"

Comprobar con QuickCheck que dada una lista de enteros, si se la agrupa y después se expande se obtiene la lista inicial.

Números de suma prima hereditarios por la derecha

José A. Alonso

27-03-2015

Misceláneas

Decimos que un número es de suma prima si la suma de todos sus dígitos es un número primo. Por ejemplo el número 562 es de suma prima pues la suma de sus dígitos es el número primo 13; sin embargo, el número 514 no es de suma prima pues la suma de sus dígitos es 10, que no es primo.

Decimos que un número es de suma prima hereditario por la derecha si es de suma prima y los números que se obtienen eliminando sus últimas cifras también son de suma prima. Por ejemplo 7426 es de suma prima hereditario por la derecha pues 7426, 742, 74 y 7 son todos números de suma prima.

Definir la constante

listaSumaPrimaHD :: [Integer]

cuyo valor es la lista infinita de los números de suma prima hereditarios por la derecha. Por ejemplo,

take 10 listaSumaPrimaHD     ==  [2,3,5,7,20,21,23,25,29,30]
listaSumaPrimaHD !! 2000000  ==  3800024668046

Pares como sumas de pares

José A. Alonso

26-03-2015

Misceláneas

Todo número par se puede escribir como suma de números pares de varias formas. Por ejemplo,

8 = 8
  = 6 + 2
  = 4 + 4
  = 4 + 2 + 2
  = 2 + 2 + 2 + 2

Definir la función

descomposicionesDecrecientes:: Integer -> [[Integer]]

tal que (descomposicionesDecrecientes n) es la lista con las descomposiciones de n como suma de pares, en forma decreciente. Por ejemplo,

λ> descomposicionesDecrecientes 8
[[8],[6,2],[4,4],[4,2,2],[2,2,2,2]]
λ> descomposicionesDecrecientes 10
[[10],[8,2],[6,4],[6,2,2],[4,4,2],[4,2,2,2],[2,2,2,2,2]]
λ> length (descomposicionesDecrecientes 100)
204226

Polinomios de Bell

José A. Alonso

25-03-2015

Misceláneas

Los polinomios de Bell forman una sucesión de polinomios, definida como sigue:

B₀(x) = 1 (polinomio unidad)
Bₙ(x) = x·[Bₙ(x) + Bₙ'(x)]

donde Bₙ' es la derivada de Bₙ. Por ejemplo,

B₀(x) = 1                       = 1
B₁(x) = x·(1+0)                 = x
B₂(x) = x·(x+1)                 = x²+x
B₃(x) = x·(x²+x + 2x+1)         = x³+3x²+x
B₄(x) = x·(x³+3x²+x + 3x²+6x+1) = x⁴+6x³+7x²+x

Definir la función

polBell :: Integer -> Polinomio Integer

tal que (polBell n) es el polinomio de Bell de grado n. Por ejemplo,

polBell 4                    ==  x^4 + 6*x^3 + 7*x^2 + 1*x
coeficiente 2 (polBell 4)    ==  7
coeficiente 2 (polBell 30)   ==  536870911
coeficiente 1 (polBell 1000) == 1
length (show (coeficiente 9 (polBell 1000)))  ==  949

Notas: Se usa la librería I1M.PolOperaciones que se encuentra aquí y se describe aquí. Además, en el último ejemplo se usa la función coeficiente tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k en el polinomio p definida por

coeficiente :: Num a => Integer -> Polinomio a -> a
coeficiente k p | k == n                 = coefLider p
                | k > grado (restoPol p) = 0
                | otherwise              = coeficiente k (restoPol p)
                where n = grado p

Matrices cruzadas

José A. Alonso

24-03-2015

Misceláneas

Consideramos las matrices representadas como tablas cuyos índices son pares de números naturales.

type Matriz a = Array (Int,Int) a

Una matriz cruzada es una matriz cuadrada en la que sólo hay elementos distintos de 0 en las diagonales principal y secundaria. Por ejemplo,

| 1 0 0 0 3 |     | 1 0 0 3 |
| 0 2 0 1 0 |     | 0 2 3 0 |
| 0 0 3 0 0 |     | 0 4 5 0 |
| 0 2 0 1 0 |     | 2 0 0 3 |
| 1 0 0 0 3 |

Definir la función

creaCruzada :: Int -> Matriz Int

tal que (creaCruzada n) es la siguiente matriz cruzada con n filas y n columnas:

| 1  0   0  ...  0   0  1 |
| 0  2   0  ...  0   2  0 |
| 0  0   3  ...  3   0  0 |
| ....................... |
| 0  0  n-2 ... n-2  0  0 |
| 0 n-1  0  ...  0  n-1 0 |
| n  0   0  ...  0   0  n |

Es decir, los elementos de la diagonal principal son [1,...,n], en orden desde la primera fila hasta la última; y los elementos de la diagonal secundaria son [1,...,n], en orden desde la primera fila hasta la última. Por ejemplo,

λ> elems (creaCruzada 3)
[1,0,1, 0,2,0, 3,0,3]
λ> elems (creaCruzada 4)
[1,0,0,1, 0,2,2,0, 0,3,3,0, 4,0,0,4]
λ> elems (creaCruzada 5)
[1,0,0,0,1, 0,2,0,2,0, 0,0,3,0,0, 0,4,0,4,0, 5,0,0,0,5]

Caminos maximales en árboles binarios

José A. Alonso

23-03-2015

Misceláneas

Consideremos los árboles binarios con etiquetas en las hojas y en los nodos. Por ejemplo,

Un camino es una sucesión de nodos desde la raiz hasta una hoja. Por ejemplo, [5,2] y [5,4,1,2] son caminos que llevan a 2, mientras que [5,4,1] no es un camino, pues no lleva a una hoja.

Definimos el tipo de dato Arbol y el ejemplo por

data Arbol = H Int | N Arbol Int Arbol
             deriving Show

arb1:: Arbol
arb1 = N (H 2) 5 (N (H 7) 4 (N (H 2) 1 (H 3)))

Definir la función

maxLong :: Int -> Arbol -> Int

tal que (maxLong x a) es la longitud máxima de los caminos que terminan en x. Por ejemplo,

maxLong 3 arb1 == 4
maxLong 2 arb1 == 4
maxLong 7 arb1 == 3

Máximos locales de una matriz

José A. Alonso

20-03-2015

Misceláneas

Un elemento de una matriz es un máximo local si es mayor que todos sus vecinos. Por ejemplo, en la matriz

[[1,0,0,8],
 [0,2,0,3],
 [0,0,0,5],
 [3,5,7,6],
 [1,2,3,4]]

los máximos locales son 8 (en la posición (1,4)), 2 (en la posición (2,2)) y 7 (en la posición (4,3)).

Definimos el tipo de las matrices, mediante

type Matriz a = Array (Int,Int) Int

y el ejemplo anterior por

ej1 :: Matriz Int
ej1 = listArray ((1,1),(5,4)) (concat [[1,0,0,8],
                                       [0,2,0,3],
                                       [0,0,0,5],
                                       [3,5,7,6],
                                       [1,2,3,4]])

Definir la función

maximosLocales :: Matriz Int -> [((Int,Int),Int)]

tal que (maximosLocales p) es la lista de las posiciones en las que hay un máximo local, con el valor correspondiente. Por ejemplo,

maximosLocales ej1 == [((1,4),8),((2,2),2),((4,3),7)]

Árboles con todas sus ramas con algún elemento que cumple una propiedad

José A. Alonso

19-03-2015

Misceláneas

En lógica temporal, la expresión AFp significa que en algún momento en el futuro se cumple la propiedad p. Trasladado a su interpretación en forma de árbol lo que quiere decir es que en todas las ramas (desde la raíz hasta una hoja) hay un nodo que cumple la propiedad p.

Consideramos el siguiente tipo algebraico de los árboles binarios:

data Arbol a = H a
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
               deriving (Show,Eq)

y el siguiente árbol

a1 :: Arbol Int
a1 = N 9 (N 3 (H 2) (N 4 (H 1) (H 5))) (H 8)

En este árbol se cumple (AF par); es decir, en todas las ramas hay un número par; pero no se cumple (AF primo); es decir, hay ramas en las que no hay ningún número primo. Donde una rama es la secuencia de nodos desde el nodo inicial o raíz hasta una hoja.

Definir la función

propiedadAF :: (a -> Bool) -> Arbol a -> Bool

tal que (propiedadAF p a) se verifica si se cumple (AF p) en el árbol a; es decir, si en todas las ramas hay un nodo (interno u hoja) que cumple la propiedad p. Por ejemplo

propiedadAF even a1     ==  True
propiedadAF isPrime a1  ==  False

Cociente entero de polinomios

José A. Alonso

18-03-2015

Misceláneas

El cociente entero de un polinomio P(x) por un monomio axⁿ es el polinomio que se obtiene a partir de los términos de P(x) con un grado mayor o igual que n, realizando la división entera entre sus coeficientes y el coeficiente del monomio divisor y restando el valor de n al de sus grados. Por ejemplo,

El cociente entero de 4x⁴ + 6x³ + 7x² + 5x + 2 por el monomio 3x² se obtiene a partir de los términos 4x⁴ + 6x³ + 7x² realizando la división entera entre sus coeficientes y el número 3 y restando 2 a sus grados. De esta forma se obtiene x² + 2x + 2
El cociente entero de 6x⁵ + 2x⁴ + 8x³ + 5x² + 8x + 4 por el monomio 4x³ se obtiene a partir de los términos 6x⁵ + 2x⁴ + 8x³ realizando la división entera entre sus coeficientes y el número 4 y restando 3 a sus grados. De esta forma se obtiene x² + 2

Definir la función

cocienteEntero :: Polinomio Int -> Int -> Int -> Polinomio Int

tal que (cocienteEntero p a n) es el cociente entero del polinomio p por el monomio de grado n y coeficiente a. Por ejemplo,

λ> let listaApol xs = foldr (\(n,b) -> consPol n b) polCero xs
λ> cocienteEntero (listaApol [(4,4),(3,6),(2,7),(1,5),(0,2)]) 3 2
x^2 + 2*x + 2
λ> cocienteEntero (listaApol [(5,6),(4,2),(3,8),(2,5),(1,8),(0,4)]) 4 3
x^2 + 2

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería I1M.Pol que se encuentra aquí y se describe aquí.

Sucesión de números parientes

José A. Alonso

17-03-2015

Misceláneas

Se dice que dos números naturales son parientes sitienen exactamente un factor primo en común, independientemente de su multiplicidad. Por ejemplo,

Los números 12 (2²·3) y 40 (2³·5) son parientes, pues tienen al 2 como único factor primo en común.
Los números 49 (7²) y 63 (3²·7) son parientes, pues tienen al 7 como único factor primo en común.
Los números 12 (2²·3) y 30 (2·3·5) no son parientes, pues tienen dos factores primos en común.
Los números 49 (7²) y 25 (5²) no son parientes, pues no tienen factores primos en común.

Se dice que una lista de números naturales es una secuencia de parientes si cada par de números consecutivos son parientes. Por ejemplo,

La lista [12,40,35,28] es una secuencia de parientes.
La lista [12,30,21,49] no es una secuencia de parientes.

Definir la función

secuenciaParientes :: [Integer] -> Bool

tal que (secuenciaParientes xs) se verifica si xs es una secuencia de parientes. Por ejemplo,

secuenciaParientes [12,40,35,28]           ==  True
secuenciaParientes [12,30,21,49]           ==  False
secuenciaParientes [2^n | n <- [1..2000]]  ==  True

Ordenación de los racionales

José A. Alonso

16-03-2015

Misceláneas

En este ejercicio, representamos las fracciones mediante pares de números de enteros.

Definir la función

fraccionesOrd :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (fraccionesOrd n) es la lista con las fracciones propias positivas ordenadas, con denominador menor o igual que n. Por ejemplo,

λ> fraccionesOrd 4
[(1,4),(1,3),(1,2),(2,3),(3,4)]
λ> fraccionesOrd 5
[(1,5),(1,4),(1,3),(2,5),(1,2),(3,5),(2,3),(3,4),(4,5)]

Polinomios cuadráticos generadores de primos

José A. Alonso

13-03-2015

Misceláneas

En 1772, Euler publicó que el polinomio n² + n + 41 genera 40 números primos para todos los valores de n entre 0 y 39. Sin embargo, cuando n=40, 40²+40+41 = 40(40+1)+41 es divisible por 41.

Usando ordenadores, se descubrió el polinomio n² - 79n + 1601 que genera 80 números primos para todos los valores de n entre 0 y 79.

Definir la función

generadoresMaximales :: Integer -> (Int,[(Integer,Integer)])

tal que (generadoresMaximales n) es el par (m,xs) donde

xs es la lista de pares (x,y) tales que n²+xn+y es uno de los polinomios que genera un número máximo de números primos consecutivos a partir de cero entre todos los polinomios de la forma n²+an+b, con |a| ≤ n y |b| ≤ n y
m es dicho número máximo.

Por ejemplo,

generadoresMaximales    4  ==  ( 3,[(-2,3),(-1,3),(3,3)])
generadoresMaximales    6  ==  ( 5,[(-1,5),(5,5)])
generadoresMaximales   50  ==  (43,[(-5,47)])
generadoresMaximales  100  ==  (48,[(-15,97)])
generadoresMaximales  200  ==  (53,[(-25,197)])
generadoresMaximales 1650  ==  (80,[(-79,1601)])

El triángulo de Floyd

José A. Alonso

12-03-2015

Misceláneas

El triángulo de Floyd, llamado así en honor a Robert Floyd, es un triángulo rectángulo formado con números naturales. Para crear un triángulo de Floyd, se comienza con un 1 en la esquina superior izquierda, y se continúa escribiendo la secuencia de los números naturales de manera que cada línea contenga un número más que la anterior. Las 5 primeras líneas del triángulo de Floyd son

 1
 2   3
 4   5   6
 7   8   9  10
11  12  13  14  15

Definir la función

trianguloFloyd :: [[Integer]]

tal que trianguloFloyd es el triángulo de Floyd. Por ejemplo,

λ> take 4 trianguloFloyd
[[1],
 [2,3],
 [4,5,6],
 [7,8,9,10]]

(trianguloFloyd !! (10^5)) !! 0  ==  5000050001
(trianguloFloyd !! (10^6)) !! 0  ==  500000500001
(trianguloFloyd !! (10^7)) !! 0  ==  50000005000001

Números como sumas de primos consecutivos

José A. Alonso

11-03-2015

Misceláneas

En el artículo Integers as a sum of consecutive primes in 2,3,4,.. ways se presentan números que se pueden escribir como sumas de primos consecutivos de varias formas. Por ejemplo, el 41 se puede escribir de dos formas distintas

41 =  2 +  3 +  5 + 7 + 11 + 13
41 = 11 + 13 + 17

el 240 se puede escribir de tres formas

240 =  17 +  19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43
240 =  53 +  59 + 61 + 67
240 = 113 + 127

y el 311 se puede escribir de 4 formas

311 =  11 +  13 +  17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47
311 =  31 +  37 +  41 + 43 + 47 + 53 + 59
311 =  53 +  59 +  61 + 67 + 71
311 = 101 + 103 + 107

Definir la función

sumas :: Integer -> [[Integer]]

tal que (sumas x) es la lista de las formas de escribir x como suma de dos o más números primos consecutivos. Por ejemplo,

λ> sumas 41
[[2,3,5,7,11,13],[11,13,17]]
λ> sumas 240
[[17,19,23,29,31,37,41,43],[53,59,61,67],[113,127]]
λ> sumas 311
[[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47],[31,37,41,43,47,53,59],[53,59,61,67,71],[101,103,107]]
λ> maximum [length (sumas n) | n <- [1..600]]
4

Actualización de una lista

José A. Alonso

10-03-2015

Misceláneas

Definir la función

actualiza :: [a] -> [(Int,a)] -> [a]

tal que (actualiza xs ps) es la lista obtenida sustituyendo en xs los elementos cuyos índices son las primeras componentes de ps por las segundas. Por ejemplo,

actualiza [3,5,2,4] [(2,1),(0,7)]  ==  [7,5,1,4]
sum (actualiza2 [1..10^4] [(i,2*i) | i <- [0..10^4-1]]) == 99990000

Orden de divisibilidad

José A. Alonso

09-03-2015

Misceláneas

El orden de divisibilidad de un número x es el mayor n tal que para todo i menor o igual que n, los i primeros dígitos de n es divisible por i. Por ejemplo, el orden de divisibilidad de 74156 es 3 porque

7       es divisible por 1
74      es divisible por 2
741     es divisible por 3
7415 no es divisible por 4

Definir la función

ordenDeDivibilidad :: Integer -> Int

tal que (ordenDeDivibilidad x) es el orden de divisibilidad de x. Por ejemplo,

ordenDeDivibilidad 74156                      ==  3
ordenDeDivibilidad 3608528850368400786036725  ==  25

Números con la misma cantidad de anteriores con 1 que sin 1

José A. Alonso

06-03-2015

Misceláneas

Una propiedad del número 24 es que entre los números menores o iguales que 24 hay la misma cantidad de números con el dígito 1 que sin el 1; en efecto, los que tienen 1 son

[1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21]

y los que no lo tienen son

[2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 20, 22, 23, 24]

Diremos que un número es especial si cumple dicha propiedad.

Definir la sucesión

especiales :: [Integer]

cuyos elementos son los números especiales. Por ejemplo,

take 10 especiales  ==  [2,16,24,160,270,272,1456,3398,3418,3420]

Caminos en un árbol binario

José A. Alonso

05-03-2015

Misceláneas

Los caminos en los árboles binarios

    .          .
   / \        / \
  .   .      /   \
 / \        .     .
.   .      / \   / \
          .   . .   .

son [[I,I],[I,D],[D]] y [[I,I],[I,D],[D,I],[D,D]], donde I indica un movimiento hacia la izquierda y D uno hacia la derecha.

Los árboles binarios se pueden representar por

data Arbol = H | N Arbol Arbol

los movimientos por

data Mov    = I | D deriving Show

y los caminos por

type Camino = [Mov]

Definir la función

caminos :: Arbol -> [Camino]

tal que (caminos a) es la lista de los caminos en el árbol binario a. Por ejemplo,

caminos (N (N H H) H)             == [[I,I],[I,D],[D]]
caminos (N (N H H) (N H H))       == [[I,I],[I,D],[D,I],[D,D]]
caminos (N H (N (N H H) (N H H))) == [[I],[D,I,I],[D,I,D],[D,D,I],[D,D,D]]

Listas con los ceros emparejados

José A. Alonso

04-03-2015

Misceláneas

Sea S un conjunto de números. Las listas de ceros emparejados de S son las listas formadas con los elementos de S y en las cuales los ceros aparecen en sublistas de longitud par. Por ejemplo, si S = {0,1,2} entonces [1], [2], [2,1], [2,0,0,2,0,0,1] y [0,0,0,0,1,2] son listas de ceros emparejados de S; pero [0,0,0,2,1,0,0] y [0,0,1,0,1] no lo son.

Definir las funciones

cerosEmparejados  :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
nCerosEmparejados :: Integer -> Integer -> Integer

tales que + (cerosEmparejados m n) es la lista de las listas de longitud n de ceros emparejados con los números 0, 1, 2,..., m. Por ejemplo,

λ> cerosEmparejados 2 0
[[]]
λ> cerosEmparejados 2 1
[[1],[2]]
λ> cerosEmparejados 3 1
[[1],[2],[3]]
λ> cerosEmparejados 2 2
[[1,1],[1,2],[2,1],[2,2],[0,0]]
λ> cerosEmparejados 2 3
[[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[1,0,0],[2,1,1],[2,1,2],
 [2,2,1],[2,2,2],[2,0,0],[0,0,1],[0,0,2]]
λ> cerosEmparejados 2 4
[[1,1,1,1],[1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,1,2,2],[1,1,0,0],[1,2,1,1],
 [1,2,1,2],[1,2,2,1],[1,2,2,2],[1,2,0,0],[1,0,0,1],[1,0,0,2],
 [2,1,1,1],[2,1,1,2],[2,1,2,1],[2,1,2,2],[2,1,0,0],[2,2,1,1],
 [2,2,1,2],[2,2,2,1],[2,2,2,2],[2,2,0,0],[2,0,0,1],[2,0,0,2],
 [0,0,1,1],[0,0,1,2],[0,0,2,1],[0,0,2,2],[0,0,0,0]]

(nCerosEmparejados m n) es el número de listas de longitud n de ceros emparejados con los números 0, 1, 2,..., m. Por ejemplo,

nCerosEmparejados 2 2   ==  5
nCerosEmparejados 2 3   ==  12
nCerosEmparejados 2 4   ==  29
nCerosEmparejados 9 27  ==  79707842493701635611689499

Productos simultáneos de dos y tres números consecutivos

José A. Alonso

03-03-2015

Misceláneas

Definir la función

productos :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

tal que (productos n x) es las listas de n elementos consecutivos cuyo producto es x. Por ejemplo,

productos 2 6     ==  [[2,3]]
productos 3 6     ==  [[1,2,3]]
productos 4 1680  ==  [[5,6,7,8]]
productos 2 5     ==  []

Comprobar con QuickCheck que si n > 0 y x > 0, entonces

productos n (product [x..x+n-1]) == [[x..x+n-1]]

Usando productos, definir la función

productosDe2y3consecutivos :: [Integer]

cuyos elementos son los números naturales (no nulos) que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos. Por ejemplo,

head productosDe2y3consecutivos  ==  6

Nota. Según demostró Mordell en 1962, productosDe2y3consecutivos sólo tiene dos elementos.

Cálculo del número de islas rectangulares en una matriz

José A. Alonso

02-03-2015

Misceláneas

En este problema se consideran matrices cuyos elementos son 0 y 1. Los valores 1 aparecen en forma de islas rectangulares separadas por 0 de forma que como máximo las islas son diagonalmente adyacentes. Por ejemplo,

ej1, ej2 :: Array (Int,Int) Int
ej1 = listArray ((1,1),(6,3))
                [0,0,0,
                 1,1,0,
                 1,1,0,
                 0,0,1,
                 0,0,1,
                 1,1,0]
ej2 = listArray ((1,1),(6,6))
                [1,0,0,0,0,0,
                 1,0,1,1,1,1,
                 0,0,0,0,0,0,
                 1,1,1,0,1,1,
                 1,1,1,0,1,1,
                 0,0,0,0,1,1]

Definir la función

numeroDeIslas :: Array (Int,Int) Int -> Int

tal que (numeroDeIslas p) es el número de islas de la matriz p. Por ejemplo,

numeroDeIslas ej1  ==  3
numeroDeIslas ej2  ==  4

Numeración con múltiples bases

José A. Alonso

27-02-2015

Misceláneas

Sea \(\{b_i \mid i \geq 1\}\) una sucesión infinita de números enteros mayores que 1. Entonces, todo entero \(x\) mayor que cero se puede escribir de forma única como \[ x = x_0 + x_1 b_1 + x_2 b_1 b_2 + \dots + x_n b_1 b_2 \dotsm b_n, \] donde cada \(x_i\) satisface la condición \(0 \leq x_i < b_{i+1}\). Se dice que \([x_n, x_{n-1}, \dots, x_2, x_1, x_0]\) es la representación de \(x\) en la base \((b_i).

Por ejemplo, la representación de 377 en la base \((2i)_{i \geq 1}\) es \([7,5,0,1]\), ya que \[ 377 = 1 + 0 \times 2 + 5 \times 2 \times 4 + 7 \times 2 \times 4 \times 6, \] y además: \[ 0 \leq 1 < 2, \quad 0 \leq 0 < 4, \quad 0 \leq 5 < 6, \quad 0 \leq 7 < 8. \]

Definir las funciones

decimalAmultiple :: [Int] -> Int -> [Int]
multipleAdecimal :: [Int] -> [Int] -> Int

tales que (decimalAmultiple bs x) es la representación del número x en la base bs y (multipleAdecimal bs cs) es el número decimal cuya representación en la base bs es cs. Por ejemplo,

decimalAmultiple [2,4..] 377                      ==  [7,5,0,1]
multipleAdecimal [2,4..] [7,5,0,1]                ==  377
decimalAmultiple [2,5..] 377                      ==  [4,5,3,1]
multipleAdecimal [2,5..] [4,5,3,1]                ==  377
decimalAmultiple [2^n | n <- [1..]] 2015          ==  [1,15,3,3,1]
multipleAdecimal [2^n | n <- [1..]] [1,15,3,3,1]  ==  2015
decimalAmultiple (repeat 10) 2015                 ==  [2,0,1,5]
multipleAdecimal (repeat 10) [2,0,1,5]            ==  2015

Comprobar con QuickCheck que se verifican las siguientes propiedades

prop_inversas :: [Int] -> Int -> Property
prop_inversas bs x =
    x > 0 ==> multipleAdecimal bs (decimalAmultiple bs x) == x

prop_coeficientes :: [Int] -> Int -> Property
prop_coeficientes bs x =
    x > 0 ==> and [0 <= c && c < b | (c,b) <- zip cs bs]
    where cs = reverse (decimalAmultiple bs x)

para distintas bases dadas. Por ejemplo,

λ> quickCheck (prop_inversas [2,4..])
+++ OK, passed 100 tests.
λ> quickCheck (prop_inversas [3,5..])
+++ OK, passed 100 tests.
λ> quickCheck (prop_coeficientes [2,4..])
+++ OK, passed 100 tests.
λ> quickCheck (prop_coeficientes [3,5..])
+++ OK, passed 100 tests.

Mayor diferencia progresiva

José A. Alonso

26-02-2015

Misceláneas

La diferencia progresiva entre dos elementos de una lista es la resta entre el que ocupa la mayor posición y la menor. Por ejemplo, en la lista [1,5,8,2,9] la diferencia entre los elementos 5 y 8 es 3 y entre 5 y 2 es -3.

Definir la función

mayorDiferencia :: [Int] -> Int

tal que (mayorDiferencia xs) es la mayor diferencia progresiva entre los elementos de xs. Por ejemplo,

mayorDiferencia [1,5,8,2,9]  ==  8
mayorDiferencia [9,5,8,2,1]  ==  3
mayorDiferencia [3,2,1]      ==  0
mayorDiferencia [1..10^7]    ==  9999999

Suma de conjuntos de polinomios

José A. Alonso

25-02-2015

Misceláneas

Los conjuntos de polinomios se pueden representar por listas de listas de la misma longitud. Por ejemplo, los polinomios 3x²+5x+9, 10x³+9 y 8x³+5x²+x-1 se pueden representar por las listas [0,3,5,9], [10,0,0,9] y [8,5,1,-1].

Definir la función

sumaPolinomios :: Num a => [[a]] -> [a]

tal que (sumaPolinomios ps) es la suma de los polinomios ps. Por ejemplo,

λ> sumaPolinomios1 [[0,3,5,9],[10,0,0,9],[8,5,1,-1]]
[18,8,6,17]
λ> sumaPolinomios6 (replicate 1000000 (replicate 3 1))
[1000000,1000000,1000000]

Matriz zigzagueante

José A. Alonso

24-02-2015

Misceláneas

La matriz zizagueante de orden n es la matriz cuadrada con n filas y n columnas y cuyos elementos son los n² primeros números naturales colocados de manera creciente a lo largo de las diagonales secundarias. Por ejemplo, La matriz zigzagueante de orden 5 es

 0  1  5  6 14
 2  4  7 13 15
 3  8 12 16 21
 9 11 17 20 22
10 18 19 23 24

La colocación de los elementos se puede ver gráficamente en Matriz zigzagueante

Definir la función

zigZag :: Int -> Array (Int,Int) Int

tal que (zigZag n) es la matriz zigzagueante de orden n. Por ejemplo,

λ> elems (zigZag 3)
[0,1,5, 2,4,6, 3,7,8]
λ> elems (zigZag 4)
[0,1,5,6, 2,4,7,12, 3,8,11,13, 9,10,14,15]
λ> elems (zigZag 5)
[0,1,5,6,14, 2,4,7,13,15, 3,8,12,16,21, 9,11,17,20,22, 10,18,19,23,24]
λ> take 15 (elems (zigZag 1000))
[0,1,5,6,14,15,27,28,44,45,65,66,90,91,119]

Mínimo número de cambios para igualar una lista

José A. Alonso

23-02-2015

Misceláneas

Definir la función

nMinimoCambios :: Ord a => [a] -> Int

tal que (nMinimoCambios xs) es el menor número de elementos de xs que hay que cambiar para que todos sean iguales. Por ejemplo,

nMinimoCambios [3,5,3,7,9,6]      ==  4
nMinimoCambios [3,5,3,7,3,3]      ==  2
nMinimoCambios "Salamanca"        ==  5
nMinimoCambios (4 : [1..500000])  ==  499999

En el primer ejemplo, los elementos que hay que cambiar son 5, 7, 9 y 6.

Diagonales secundarias de una matriz

José A. Alonso

20-02-2015

Misceláneas

Definir la función

diagonalesSecundarias :: Matriz a -> [[a]]

tal que (diagonalesSecundarias p) es la lista de las diagonales secundarias de p. Por ejemplo, para la matriz

1  2  3  4
5  6  7  8
9 10 11 12

la lista de sus diagonales secundarias es

[[1],[2,5],[3,6,9],[4,7,10],[8,11],[12]]

En Haskell,

λ> diagonalesSecundarias (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12])
[[1],[2,5],[3,6,9],[4,7,10],[8,11],[12]]

Densidades de números abundantes, perfectos y deficientes

José A. Alonso

19-02-2015

Misceláneas

La n-ésima densidad de un tipo de número es el cociente entre la cantidad de los números entre 1 y n que son del tipo considerado y n. Por ejemplo, la 7-ésima densidad de los múltiplos de 3 es 2/7 ya que entre los 7 primeros números sólo 2 son múltiplos de 3.

Definir las funciones

densidades :: Int -> (Double,Double,Double)
graficas   :: Imt -> IO ()

tales que

(densidades n) es la terna formada por la n-ésima densidad de los números abundantes (es decir, para los que la suma de sus divisores propios es mayor que el número), de los números perfectos (es decir, para los que la suma de sus divisores propios es mayor que el número) y de los números deficientes (es decir, para los que la suma de sus divisores propios es menor que el número). Por ejemplo,

densidades 100     ==  (0.22,    2.0e-2, 0.76)
densidades 1000    ==  (0.246,   3.0e-3, 0.751)
densidades 10000   ==  (0.2488,  4.0e-4, 0.7508)
densidades 100000  ==  (0.24795, 4.0e-5, 0.75201)

(graficas n) dibuja las gráficas de las k-ésimas densidades (para k entre 1 y n) de los números abundantes, de los números perfectos y de los números deficientes. Por ejemplo, (graficas 100) dibuja

Densidades de números abundantes, perfectos y deficientes

y (graficas 400) dibuja

Densidades de números abundantes, perfectos y deficientes

Sumas de divisores propios

José A. Alonso

18-02-2015

Misceláneas

Definir la función

sumaDivisoresHasta :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (sumaDivisoresHasta n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un número entre 1 y n y b es la suma de los divisores propios de a. Por ejemplo,

λ> sumaDivisoresHasta 12
[(1,0),(2,1),(3,1),(4,3),(5,1),(6,6),(7,1),(8,7),(9,4),(10,8),(11,1),(12,16)]
λ> maximum (map snd (sumaDivisoresHasta 123456))
368640

Parejas de números y divisores

José A. Alonso

17-02-2015

Misceláneas

Definir la función

divisoresHasta :: Int -> [(Int,Int)]

tal que (divisoresHasta n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un número entre 2 y n y b es un divisor propio de a. Por ejemplo,

λ> divisoresHasta 6
[(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(6,2),(6,3)]
λ> divisoresHasta 8
[(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(7,1),(8,1),(4,2),(6,2),(8,2),(6,3),(8,4)]
λ> length (divisoresHasta 1234567)
16272448

Sumas de 4 primos

José A. Alonso

16-02-2015

Misceláneas

La conjetura de Waring sobre los números primos establece que todo número impar es primo o la suma de tres primos. La conjetura de Goldbach afirma que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos. Ambos problemas siguen abiertos después de más de 200 años. En este problema no se propone su solución, sino una tarea más simple: buscar una manera de expresar los enteros mayores que 7 como suma de exactamente cuatro números primos; es decir, definir la función

suma4primos :: Integer -> (Integer,Integer,Integer,Integer)

tal que (suma4primos n) es una cuádrupla (a,b,c,d) de números primos cuya suma es n (que se supone mayor que 7). Por ejemplo,

suma4primos 24             ==  (2,2,3,17)
suma4primos 1234567890123  ==  (2,3,29,1234567890089)

Comprobar con QuickCheck que suma4primos es correcta; es decir si (suma4primos n) es (a,b,c,d) entonces los números a, b c y d son primos y su suma es n.

Nota: Para cada n pueden existir distintas cuádruplas que cumplan la especificación. Por ejemplo, para el 16 hay tres: (2,2,5,7), (3,3,3,7) y (3,3,5,5). Cualquiera de ellas se admite como solución.

Mezcla de infinitas listas infinitas

José A. Alonso

15-02-2015

Misceláneas

Definir la función

mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]

tal que (mezclaTodas xss) es la mezcla ordenada de xss, donde tanto xss como sus elementos son listas infinitas ordenadas. Por ejemplo,

λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2..]])
[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2,9..]])
[2,4,6,8,9,10,12,14,16,18]

Sucesión de sumas de dos números abundantes

José A. Alonso

13-02-2015

Misceláneas

Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.

Definir la sucesión

sumasDeDosAbundantes :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,

take 10 sumasDeDosAbundantes  ==  [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50]

Nota: La sucesión sumasDeDosAbundantes coincide con la sucesión A048260 de The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Mayor producto de n dígitos consecutivos de un número

José A. Alonso

12-02-2015

Misceláneas

Diagonales principales de una matriz

José A. Alonso

11-02-2015

Misceláneas

Definir la función

diagonalesPrincipales :: Matriz a -> [[a]]

tal que (diagonalesPrincipales p) es la lista de las diagonales principales de p. Por ejemplo, para la matriz

1  2  3  4
5  6  7  8
9 10 11 12

la lista de sus diagonales principales es

[[9],[5,10],[1,6,11],[2,7,12],[3,8],[4]]

En Haskell,

λ> diagonalesPrincipales (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12])
[[9],[5,10],[1,6,11],[2,7,12],[3,8],[4]]

Segmentos de longitud dada

José A. Alonso

10-02-2015

Misceláneas

Definir la función

segmentos :: Int -> [a] -> [[a]]

tal que (segmentos n xs) es la lista de los segmentos de longitud n de la lista xs. Por ejemplo,

segmentos 3 [1..5]  ==  [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]]

Reconocimiento de potencias de 2

José A. Alonso

09-02-2015

Misceláneas

Definir la función

esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool

tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.

esPotenciaDeDos    1        == True
esPotenciaDeDos    2        == True
esPotenciaDeDos    6        == False
esPotenciaDeDos    8        == True
esPotenciaDeDos 1024        == True
esPotenciaDeDos 1026        == False
esPotenciaDeDos (2^100000)  == True

Nota: Comprobar la definición para grandes potencias de 2.

Menor número triangular con más de n divisores

José A. Alonso

06-02-2015

Misceláneas

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

*     *      *        *         *
     * *    * *      * *       * *
           * * *    * * *     * * *
                   * * * *   * * * *
                            * * * * *
1     3      6        10        15

Así, el 7º número triangular es

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

Los primeros 10 números triangulares son

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5 divisores.

Definir la función

menorTriangularConAlMenosNDivisores :: Int -> Integer

tal que (menorTriangularConAlMenosNDivisores n) es el menor número triangular que tiene al menos n divisores. Por ejemplo,

menorTriangularConAlMenosNDivisores 5    ==  28
menorTriangularConAlMenosNDivisores 50   ==  25200
menorTriangularConAlMenosNDivisores 500  ==  76576500

Dos cuadrados encajados

José A. Alonso

05-02-2015

Misceláneas

Definir la función

dosCuadrados :: Picture

que dibuje dos cuadrados encajados como se muestra en la siguiente figura

Dos cuadrados encajados

Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla

import Graphics.Gloss

main :: IO ()
main = display (InWindow "Dibujo" (500,300) (20,20)) white dosCuadrados

dosCuadrados :: Picture
dosCuadrados = undefined

Particiones de enteros positivos

José A. Alonso

05-02-2015

Misceláneas

Una partición de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.

Definir la función

particiones :: Int -> [[Int]]

tal que (particiones n) es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,

particiones 4  ==  [[4],[3,1],[2,2],[2,1,1],[1,1,1,1]]
particiones 5  ==  [[5],[4,1],[3,2],[3,1,1],[2,2,1],[2,1,1,1],[1,1,1,1,1]]
length (particiones 50)  ==  204226

Mínimo producto escalar

José A. Alonso

04-02-2015

Misceláneas

El producto escalar de los vectores [latex][a_1,a_2,\dots,a_n][/latex] y [latex][b_1,b_2,\dots,b_n][/latex] es [latex]a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 + \dots + a_n \times b_n[/latex].

Definir la función

menorProductoEscalar :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a

tal que (menorProductoEscalar xs ys) es el mínimo de los productos escalares de las permutaciones de xs y de las permutaciones de ys. Por ejemplo,

menorProductoEscalar [3,2,5]  [1,4,6]   ==  29
menorProductoEscalar [3,2,5]  [1,4,-6]  ==  -19
menorProductoEscalar [0..9]   [0..9]    ==  120
menorProductoEscalar [0..99]  [0..99]   ==  161700
menorProductoEscalar [0..999] [0..999]  ==  166167000

Mayor capicúa producto de dos números de n cifras

José A. Alonso

03-02-2015

Misceláneas

Un capicúa es un número que es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Definir la función

mayorCapicuaP :: Integer -> Integer

tal que (mayorCapicuaP n) es el mayor capicúa que es el producto de dos números de n cifras. Por ejemplo,

mayorCapicuaP 2  ==  9009
mayorCapicuaP 3  ==  906609
mayorCapicuaP 4  ==  99000099
mayorCapicuaP 5  ==  9966006699

Siguiente elemento en una lista

José A. Alonso

02-02-2015

Misceláneas

Definir la función

siguiente :: Eq a => a -> [a] -> Maybe a

tal que (siguiente x ys) es justo el elemento siguiente a la primera ocurrencia de x en ys o Nothing si x no pertenece a ys. Por ejemplo,

siguiente 5 [3,5,2,5,7]                       ==  Just 2
siguiente 9 [3,5,2,5,7]                       ==  Nothing
siguiente 'd' "afdegdb"                       ==  Just 'e'
siguiente "todo" ["En","todo","la","medida"]  ==  Just "la"
siguiente "nada" ["En","todo","la","medida"]  ==  Nothing
siguiente 999999 [1..1000000]                 ==  Just 1000000
siguiente 1000000 [1..1000000]                ==  Nothing

Números polidivisibles

José A. Alonso

30-01-2015

Misceláneas

Un número natural es polidivisible si cumple las siguientes condiciones:

El número formado por sus dos primeros dígitos es divisible por 2.
El número formado por sus tres primeros dígitos es divisible por 3.
El número formado por sus cuatros primeros dígitos es divisible por 4.
etcétera.

Por ejemplo, el número 345654 es un número polidivisible ya que

34 es divisible por 2,
345 es divisible por 3,
3456 es divisible por 4,
34565 es divisible por 5 y
345654 es divisible por 6.

pero 123456 no lo es, porque 1234 no es divisible por 4.

Definir las funciones

polidivisibles :: [Integer]
polidivisiblesN :: Integer -> [Integer]

tales que

polidivisible es la sucesión cuyos elementos son los números polidivisibles. Por ejemplo,

λ> take 20 polidivisibles
[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30]
λ> take 10 (dropWhile (<100) polidivisibles)
[102,105,108,120,123,126,129,141,144,147]

(polidivisiblesN k) es la lista de los números polidivisibles con k dígitos. Por ejemplo,

λ> polidivisiblesN 2
[10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,
 50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,
 90,92,94,96,98]

Comprobar que, para n entre 1 y 5, la cantidad de números polidivisibles de n dígitos es 9*10^(n-1)/n!.

Posición del primer falso en un vector

José A. Alonso

29-01-2015

Misceláneas

Definir la función

posicion :: Array Int Bool -> Maybe Int

tal que (posicion v) es la menor posición del vector de booleanos v cuyo valor es falso y es Nothing si todos los valores son verdaderos. Por ejemplo,

posicion (listArray (0,4) [True,True,False,True,False]) == Just 2
posicion (listArray (0,4) [i <= 2 | i <- [0..4]])       == Just 3
posicion (listArray (0,4) [i <= 7 | i <- [0..4]])       == Nothing

División según una propiedad

José A. Alonso

28-01-2015

Misceláneas

Definir la función

divideSegun :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]]

tal que (divideSegun p xs) es la lista de los segmentos de xs cuyos elementos cumplen la propiedad p. Por ejemplo,

divideSegun even [3,5,2,7,6,8,9,1]  ==  [[3,5],[7],[9,1]]
divideSegun odd  [3,5,2,7,6,8,9,1]  ==  [[2],[6,8]]

Comprobar con QuickCheck que, para cualquier lista xs de números enteros, la concatenación de los elementos de (divideSegun even xs) es la lista de los elementos de xs que no son pares.

Particiones en listas de segmentos

José A. Alonso

27-01-2015

Misceláneas

Definir la función

particiones :: Int -> [a] -> [[[a]]]

tal que (particiones n xs) es la lista de lista de n elementos cuya concatenación es xs. Por ejemplo,

λ> particiones 2 "abc"
[["","abc"],["a","bc"],["ab","c"],["abc",""]]
λ> particiones 3 "abc"
[["","","abc"],["","a","bc"],["","ab","c"],["","abc",""],
 ["a","","bc"],["a","b","c"],["a","bc",""],["ab","","c"],
 ["ab","c",""],["abc","",""]]
λ> length (particiones 4 "abc")
20

Números naturales separados por ceros

José A. Alonso

26-01-2015

Misceláneas

Definir la sucesión

naturales0 :: [Int]

cuyos elementos son los números naturales separados por 0. Por ejemplo,

λ> take 25 naturales0
[0,0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,0,8,0,9,0,10,0,11,0,12]

Comprobar con QuickCheck que el n-ésimo término de la sucesión es n*(1+(-1)^n)/4.

Nota. En la comprobación usar

quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_naturales0

Enumeración de los números enteros

José A. Alonso

23-01-2015

Misceláneas

Definir la sucesión

enteros :: [Int]

tal que sus elementos son los números enteros comenzando en el 0 e intercalando los positivos y los negativos. Por ejemplo,

λ> take 23 enteros
[0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,6,-6,7,-7,8,-8,9,-9,10,-10,11,-11]

Comprobar con QuickCheck que el n-ésimo término de la sucesión es (1-(2n+1)(-1)^n)/4.

Nota. En la comprobación usar

quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_naturales0

Sustitución de listas

José A. Alonso

22-01-2015

Misceláneas

Definir la función

sustituye :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -> [a]

tal que (sustituye xs ys zs) es la lista obtenida sustituyendo las ocurrencias de xs en zs por ys. Por ejemplo,

sustituye "as" "_" "las casaderas"   ==  "l_ c_ader_"
sustituye "as" "es" "las casaderas"  ==  "les cesaderes"
sustituye "asa" "a" "las casaderas"  ==  "las caderas"
sustituye "asd" "a" "las casaderas"  ==  "las casaderas"

Triparticiones de una lista

José A. Alonso

21-01-2015

Misceláneas

Definir la función

triparticiones :: [a] -> [([a],[a],[a])]

tal que (triparticiones xs) es la lista de las ternas (xs1,xs2,xs3) tales que su concatenación es xs. Por ejemplo,

λ> triparticiones "abc"
[("","","abc"),("","a","bc"),("","ab","c"),("","abc",""),
 ("a","","bc"),("a","b","c"),("a","bc",""),("ab","","c"),
 ("ab","c",""),("abc","","")]

Comprobar con QuickCheck que, suponiendo que xs es una lista de elementos comparables por igualdad, entonces para cada terna de (triparticiones xs) se cumple que la concatenación de sus elementos es xs.

Listas con suma dada

José A. Alonso

20-01-2015

Misceláneas

Definir la función

conSuma :: (Eq a, Num a) => [a] -> [[a]] -> [[[a]]]

tal que (conSuma xs yss) es la lista de los vectores de xss cuya suma vectorial es xs. Por ejemplo,

λ> conSuma [9,10,12] [[4,7,3],[3,1,4],[5,3,9],[2,2,5]]
[[[4,7,3],[5,3,9]],[[4,7,3],[3,1,4],[2,2,5]]]
λ> conSuma [9,11,12] [[4,7,3],[3,1,4],[5,3,9],[2,2,5]]
[]

Suma de una lista de vectores

José A. Alonso

19-01-2015

Misceláneas

Definir la función

sumaVec :: Num a => [[a]] -> [a]

tal que (sumaVec xss) es la suma de los vectores de xss. Por ejemplo,

sumaVec [[4,7,3],[3,1,4],[2,2,5]]  ==  [9,10,12]
sumaVec [[4,7],[3,3],[1,4],[2,5]]  ==  [10,19]