La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.

Definir la función

diferenciaSimetrica :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]

tal que (diferenciaSimetrica xs ys) es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,

diferenciaSimetrica [2,5,3] [4,2,3,7]    ==  [5,4,7]
diferenciaSimetrica [2,5,3] [5,2,3]      ==  []
diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,3,7]    ==  [5,4,3,7]
diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,4,7]    ==  [5,4,4,7]
diferenciaSimetrica [2,5,2,4] [4,2,4,7]  ==  [5,

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Definir la función

tieneRepeticiones :: Eq a => [a] -> Bool

tal que (tieneRepeticiones xs) se verifica si xs tiene algún elemento repetido. Por ejemplo,

tieneRepeticiones [3,2,5,2,7]          ==  True
tieneRepeticiones [3,2,5,4,7]          ==  False
tieneRepeticiones (5:[1..2000000000])  ==  True
tieneRepeticiones [1..20000]           ==  False

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El resultado de dividir un número n por un divisor d es un cociente q y un resto r.

Definir la función

mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])

tal que (mayorResto n d) es el par (m,xs) tal que m es el mayor resto de dividir n entre x (con 1 ≤ x < d) y xs es la lista de números x menores que d tales que el resto de n entre x es m. Por ejemplo,

mayorResto 20 10  ==  (6,[7])
mayorResto 50 8   ==  (2,[3,4,6])

Nota: Se supone que d > 1.

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El 6 de octubre, se propuso en el blog Gaussianos el siguiente problema

Demostrar que para todo entero positivo n, existe otro entero positivo que tiene las siguientes propiedades:

1. Tiene exactamente n dígitos.
2. Ninguno de sus dígitos es 0.
3. Es divisible por la suma de sus dígitos.

Definir la función

especiales :: Integer -> [Integer]

tal que (especiales n) es la lista de los números enteros que cumplen las 3 propiedades anteriores para n. Por ejemplo,

take 3 (especiales 2)  ==  [12,18,21]
take 3 (especiales 3)  ==  [111,112,114]
head (especiales 30)   ==  111111111111111111111111111125
length (especiales 3)  ==  108
null (especiales 1000) ==  False

En el primer ejemplo, 12 es un número especial para 2 ya que tiene exactamente 2 dígitos, ninguno de sus dígitos es 0 y 12 es divisible por la suma de sus dígitos.

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El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.

Representamos un conjunto de n masas en el plano mediante una lista de n pares de la forma ((a(i),b(i)),m(i)) donde (a(i),b(i)) es la posición y m(i) la masa puntual. Las coordenadas del centro de masas (a,b) se calculan por

a = (a(1)·m(1) + a(2)·m(2) + ... + a(n)·m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n))
b = (b(1)·m(1) + b(2)·m(2) + ... + b(n)·m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n))

Definir la función

centrodeMasas :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float)

tal que (centrodeMasas xs) es las coordenadas del centro de masas del sistema discreto xs. Por ejemplo:

centrodeMasas [((-1,3),2),((0,0),5),((1,3),3)] == (0.1,1.5)

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Definir la función

refinada :: [Float] -> [Float]

tal que (refinada xs) es la lista obtenida intercalando entre cada dos elementos consecutivos de xs su media aritmética. Por ejemplo,

refinada [2,7,1,8]  ==  [2.0,4.5,7.0,4.0,1.0,4.5,8.0]
refinada [2]        ==  [2.0]
refinada []         ==  []

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El número 4106357289 tiene la siguientes dos propiedades:

• es pandigital, porque tiene todos los dígitos del 0 al 9 exactamente una vez y
• es tridivisible, porque los sucesivos subnúmeros de tres dígitos (a partir del segundo) son divisibles por los sucesivos números primos; es decir, representado por d(i) el i-ésimo dígito, se tiene

d(2)d(3)d(4)  = 106 es divisible por 2
d(3)d(4)d(5)  = 063 es divisible por 3
d(4)d(5)d(6)  = 635 es divisible por 5
d(5)d(6)d(7)  = 357 es divisible por 7
d(6)d(7)d(8)  = 572 es divisible por 11
d(7)d(8)d(9)  = 728 es divisible por 13
d(8)d(9)d(10) = 289 es divisible por 17

Definir la constante

pandigitalesTridivisibles :: [Integer]

cuyos elementos son los números pandigitales tridivisibles. Por ejemplo,

head pandigitalesTridivisibles  ==  4106357289
sum pandigitalesTridivisibles   ==  16695334890

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Un número con n dígitos es pandigital si contiene todos los dígitos del 1 a n exactamente una vez. Por ejemplo, 2143 es un pandigital con 4 dígitos y, además, es primo.

Definir la constante

pandigitalesPrimos :: [Int]

tal que sus elementos son los números pandigitales, ordenados de mayor a menor. Por ejemplo,

take 3 pandigitalesPrimos       ==  [7652413,7642513,7641253]
2143 `elem` pandigitalesPrimos  ==  True
length pandigitalesPrimos       ==  538

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La codificación de Fibonacci de un número n es una cadena d = d(0)d(1)...d(k-1)d(k) de ceros y unos tal que

n = d(0)·F(2) + d(1)·F(3) +...+ d(k-1)·F(k+1)
d(k-1) = d(k) = 1

donde F(i) es el i-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

Por ejemplo. La codificación de Fibonacci de 4 es "1011" ya que los dos últimos elementos son iguales a 1 y

1·F(2) + 0·F(3) + 1·F(4) = 1·1 + 0·2 + 1·3 = 4

La codificación de Fibonacci de los primeros números se muestra en la siguiente tabla

 1  = 1     = F(2)           ≡       11
 2  = 2     = F(3)           ≡      011
 3  = 3     = F(4)           ≡     0011
 4  = 1+3   = F(2)+F(4)      ≡     1011
 5  = 5     = F(5)           ≡    00011
 6  = 1+5   = F(2)+F(5)      ≡    10011
 7  = 2+5   = F(3)+F(5)      ≡    01011
 8  = 8     = F(6)           ≡   000011
 9  = 1+8   = F(2)+F(6)      ≡   100011
10  = 2+8   = F(3)+F(6)      ≡   010011
11  = 3+8   = F(4)+F(6)      ≡   001011
12  = 1+3+8 = F(2)+F(4)+F(6) ≡   101011
13  = 13    = F(7)           ≡  0000011
14  = 1+13  = F(2)+F(7)      ≡  1000011

Definir la función

codigoFib :: Integer -> String

tal que (codigoFib n) es la codificación de Fibonacci del número n. Por ejemplo,

λ> codigoFib 65
"0100100011"
λ> [codigoFib n | n <- [1..7]]
["11","011","0011","1011","00011","10011","01011"]

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Definir la función

particion :: [a] -> [Int] -> [[a]]

tal que (particion xs ns) es la partición de xs donde la longitud de cada parte está determinada por los elementos de ns. Por ejemplo,

particion [1..10] [2,5,0,3]  ==  [[1,2],[3,4,5,6,7],[],[8,9,10]]
particion [1..10] [1,4,2,3]  ==  [[1],[2,3,4,5],[6,7],[8,9,10]]

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Definir la función

maximos :: Ord a => [a] -> [a]

tal que (maximos xs) es la lista de los elementos de xs que son mayores que todos sus anteriores. Por ejemplo,

maximos [1,-3,5,2,3,4,7,6,7]                         ==  [1,5,7]
maximos "bafcdegag"                                  ==  "bfg"
maximos (concat (replicate (10^6) "adxbcde")++"yz")  ==  "adxyz"
length (maximos [1..10^6])                           ==  1000000

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La cadena infinita "1234321234321234321...", formada por la repetición de los dígitos 123432, tiene una propiedad (en la que se basa el funcionamiento del reloj astronómico de Praga: la cadena se puede partir en una sucesión de números, de forma que la suma de los dígitos de dichos números es la serie de los números naturales, como se observa a continuación:

1, 2, 3, 4, 32, 123, 43, 2123, 432, 1234, 32123, ...
1, 2, 3, 4,  5,   6,  7,    8,   9,   10,    11, ...

Definir la lista

reloj :: [Integer]

cuyos elementos son los términos de la sucesión anterior. Por ejemplo,

λ> take 11 reloj
[1,2,3,4,32,123,43,2123,432,1234,32123]

Nota: La relación entre la sucesión y el funcionamiento del reloj se puede ver en The Mathematics Behind Prague's Horloge Introduction.

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Sea p(n) el n-ésimo primo y sea r el resto de dividir (p(n)-1)^n + (p(n)+1)^n por p(n)^2. Por ejemplo,

si n = 3, entonces p(3) =  5 y r = ( 4^3 +  6^3) mod  (5^2) =   5
si n = 7, entonces p(7) = 17 y r = (16^7 + 18^7) mod (17^2) = 238

Definir la función

menorPR :: Integer -> Integer

tal que (menorPR x) es el menor n tal que el resto de dividir (p(n)-1)^n + (p(n)+1)^n por p(n)^2 es mayor que x. Por ejemplo,

menorPR 100     == 5
menorPR 345     == 9
menorPR 1000    == 13
menorPR (10^9)  == 7037
menorPR (10^10) == 21035
menorPR (10^12) == 191041

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El polinomio cromático de un grafo calcula el número de maneras en las cuales puede ser coloreado el grafo usando un número de colores dado, de forma que dos vértices adyacentes no tengan el mismo color.

En el caso del grafo completo de n vértices, su polinomio cromático es

P(n,x) = x(x-1)(x-2) ... (x-(n-1))

Por ejemplo,

P(3,x) = x(x-1)(x-2)      = x^3 - 3·x^2 + 2·x
P(4,x) = x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4 - 6·x^3 + 11·x^2 - 6·x

Lo que significa que P(4)(x) es el número de formas de colorear el grafo completo de 4 vértices con x colores. Por tanto,

P(4,2) =  0 (no se puede colorear con 2 colores)
P(4,4) = 24 (hay 24 formas de colorearlo con 4 colores)

Definir la función

polGC:: Int -> Polinomio Int

tal que (polGC n) es el polinomio cromático del grafo completo de n vértices. Por ejemplo,

polGC 4  ==  x^4 + -6*x^3 + 11*x^2 + -6*x
polGC 5  ==  x^5 + -10*x^4 + 35*x^3 + -50*x^2 + 24*x

Comprobar con QuickCheck que si el número de colores (x) coincide con el número de vértices del grafo (n), el número de maneras de colorear el grafo es n!.

Nota 1. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como se indica a continuación

λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_polGC
+++ OK, passed 100 tests.

Nota 2: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de polinomios (I1M.PolOperaciones) que aquí.

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Definir la función

sumaPosteriores :: [Int] -> [Int]

tal que (sumaPosteriores xs) es la lista obtenida sustituyendo cada elemento de xs por la suma de los elementos posteriores. Por ejemplo,

sumaPosteriores [1..8]        == [35,33,30,26,21,15,8,0]
sumaPosteriores [1,-3,2,5,-8] == [-4,-1,-3,-8,0]

Comprobar con QuickCheck que el último elemento de la lista (sumaPosteriores xs) siempre es 0.

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Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b es triangular inferior si todos los elementos de la matriz A que están por encima de la diagonal principal son nulos; es decir, es de la forma

a(1,1)·x(1)                                               = b(1)
a(2,1)·x(1) + a(2,2)·x(2)                                 = b(2)
a(3,1)·x(1) + a(3,2)·x(2) + a(3,3)·x(3)                   = b(3)
...
a(n,1)·x(1) + a(n,2)·x(2) + a(n,3)·x(3) +...+ a(x,x)·x(n) = b(n)

El sistema es compatible si, y sólo si, el producto de los elementos de la diagonal principal es distinto de cero. En este caso, la solución se puede calcular mediante el algoritmo de bajada:

x(1) = b(1) / a(1,1)
x(2) = (b(2) - a(2,1)·x(1)) / a(2,2)
x(3) = (b(3) - a(3,1)·x(1) - a(3,2)·x(2)) / a(3,3)
...
x(n) = (b(n) - a(n,1)·x(1) - a(n,2)·x(2) -...- a(n,n-1)·x(n-1)) / a(n,n)

Definir la función

bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double

tal que (bajada a b) es la solución, mediante el algoritmo de bajada, del sistema compatible triangular superior ax = b. Por ejemplo,

λ> let a = fromLists [[2,0,0],[3,1,0],[4,2,5.0]]
λ> let b = fromLists [[3],[6.5],[10]]
λ> bajada a b
( 1.5 )
( 2.0 )
( 0.0 )

Es decir, la solución del sistema

2x            = 3
3x + y        = 6.5
4x + 2y + 5 z = 10

es x=1.5, y=2 y z=0.

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Definir la función

mayorProductoAdyacentes :: (Num a, Ord a) => Int -> Matriz a -> [[a]]

tal que (mayorProductoAdyacentes n p) es la lista de los segmentos formados por n elementos adyacentes en la misma fila, columna o diagonal de la matriz p cuyo productos son máximo. Por ejemplo,

λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12])
[[10,11,12]]
λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1,3,4,5, 0,7,2,1, 3,9,2,1])
[[3,7,9]]
λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,3,4, 0,3,2])
[[3,4],[4,3]]
λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,1, 3,0,3])
[[2,3],[2,3]]
λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,1, 3,4,3])
[[3,4],[4,3]]
λ> mayorProductoAdyacentes 2 (listArray ((1,1),(2,3)) [1,5,1, 3,4,3])
[[5,4]]
λ> mayorProductoAdyacentes 3 (listArray ((1,1),(3,4)) [1,3,4,5, 0,7,2,1, 3,9,2,1])
[[3,7,9]]

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El método de bisección para calcular un cero de una función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c en (a, b) para el que f(c) = 0".

El método para calcular un cero de la función f en el intervalo [a,b] con un error menor que e consiste en tomar el punto medio del intervalo c = (a+b)/2 y considerar los siguientes casos:

• Si |f(c)| < e, hemos encontrado una aproximación del punto que anula f en el intervalo con un error aceptable.
• Si f(c) tiene signo distinto de f(a), repetir el proceso en el intervalo [a,c].
• Si no, repetir el proceso en el intervalo [c,b].

Definir la función

biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double

tal que (biseccion f a b e) es una aproximación del punto del intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo,

biseccion (\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01             ==  1.7333984375
biseccion (\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01         ==  1.521484375
biseccion cos 0 2 0.01                         ==  1.5625
biseccion (\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01  ==  -5.125

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Un número n es especial si mcm(1,2,...,n-1) = mcm(1,2,...,n). Por ejemplo, el 6 es especial ya que

mcm(1,2,3,4,5) = 60 = mcm(1,2,3,4,5,6)

Definir la sucesión

especiales :: [Integer]

cuyos términos son los números especiales. Por ejemplo,

take 10 especiales     ==  [1,6,10,12,14,15,18,20,21,22]
especiales !! 50       ==  84
especiales !! 500      ==  638
especiales !! 5000     ==  5806
especiales !! 50000    ==  55746

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Definir la función

suma :: Integer -> Integer

tal que (suma n) es la suma 1 * 1! + 2 * 2! + 3 * 3! + ... + n * n!. Por ejemplo,

suma 1  ==  1
suma 2  ==  5
suma 3  ==  23
suma 4  ==  119
suma 5  ==  719
take 9 (show (suma (70000)))  ==  "823780458"

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La integral definida de una función f entre los límites a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo usando la fórmula \[ h \cdot \left( f\left(a + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + h + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + 2h + \frac{h}{2}\right) + \dots + f\left(a + nh + \frac{h}{2}\right) \right) \] con \[ a + n h + \frac{h}{2} \leq b < a + (n+1) h + \frac{h}{2} \] y usando valores pequeños para \(h\).

Definir la función

integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con paso 0.01, es

integral 0 1 (^3) 0.01  ==  0.24998750000000042

Otros ejemplos son

integral 0 1 (^4) 0.01                   ==  0.19998333362500048
integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01  ==  1.9999250000000026
log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01         ==  3.124931644782336e-6
pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01  ==  -8.333333331389525e-6

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El menor número con 2¹ divisores es el 2, ya que tiene 2 divisores (el 1 y el 2) y el anterior al 2 (el 1) sólo tiene 1 divisor (el 1).

El menor número con 2² divisores es el 6, ya que tiene 4 divisores (el 1, 2, 3 y 6) y sus anteriores (el 1, 2, 3, 4 y 5) tienen menos de 4 divisores (tienen 1, 1, 1, 3 y 1, respectivamente).

El menor número con 2³ divisores es el 24, ya que tiene 8 divisores (el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24) y sus anteriores (del 1 al 23) tienen menos de 8 divisores.

El menor número con 2⁴ divisores es el 120, ya que tiene 16 divisores (el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120) y sus anteriores (del 1 al 119) tienen menos de 16 divisores.

El menor número, módulo 100, con 2⁴ divisores es el 20, ya que el menor número con 16 divisores es el 120 y 120 módulo 100 es 20.

Definir la función

menor :: Integer -> Integer -> Integer

tal que (menor n m) es el menor número, módulo m, con 2^n divisores; es decir, es el resto de dividir entre m el menor número con 2^n divisores. Por ejemplo,

menor 4 1000                    ==  120
menor 4 100                     ==  20
[menor n (10^9) | n <- [1..8]]  ==  [2,6,24,120,840,7560,83160,1081080]
menor 500500 500500506          ==  8728302

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Definir la función

sumaDePrimos :: Int -> [[Int]]

tal que (sumaDePrimos x) es la lista de las listas no crecientes de números primos que suman x. Por ejemplo,

sumaDePrimos 10  ==  [[7,3],[5,5],[5,3,2],[3,3,2,2],[2,2,2,2,2]]
sumaDePrimos 0   ==  []
sumaDePrimos 1   ==  []

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Definir, por simulación, la función

distanciaEsperada :: Int -> Double

tal que (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos del cuadrado unitario de vértices opuestos (0,0) y (1,1), elegidos aleatoriamente. Por ejemplo,

distanciaEsperada 10    ==  0.4815946544198219
distanciaEsperada 10    ==  0.5558438642543654
distanciaEsperada 100   ==  0.5699663553203216
distanciaEsperada 100   ==  0.5085629461572269
distanciaEsperada 1000  ==  0.5376963424746385
distanciaEsperada 1000  ==  0.523432374720393

Nota. El valor exacto de la distancia esperada es

(sqrt(2) + 2 + 5*log(1+sqrt(2)))/15 = 0.5214054331647207

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Definir las funciones

grafo   :: [(Int,Int)] -> Grafo Int Int
caminos :: Grafo Int Int -> Int -> Int -> [[Int]]

tales que

• (grafo as) es el grafo no dirigido definido cuyas aristas son as. Por ejemplo,

λ> grafo [(2,4),(4,5)]
G ND (array (2,5) [(2,[(4,0)]),(3,[]),(4,[(2,0),(5,0)]),(5,[(4,0)])])

• (caminos g a b) es la lista los caminos en el grafo g desde a hasta b sin pasar dos veces por el mismo nodo. Por ejemplo,

λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 7)
[[1,3,5,7],[1,3,7]]
λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 2 7)
[[2,5,3,7],[2,5,7]]
λ> sort (caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 2)
[[1,3,5,2],[1,3,7,5,2]]
λ> caminos (grafo [(1,3),(2,5),(3,5),(3,7),(5,7)]) 1 4
[]
λ> length (caminos (grafo [(i,j) | i <- [1..10], j <- [i..10]]) 1 10)
109601

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo).

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En el juego de las bolas de Dijkstra se dispone de una bolsa con bolas blancas y negras. El juego consiste en elegir al azar dos bolas de la bolsa y añadir una bola negra si las dos bolas elegidas son del mismo color o una bola blanca en caso contrario. El juego termina cuando queda sólo una bola en la bolsa.

Vamos a representar las bolas blancas por 0, las negras por 1 y la bolsa la representaremos por una lista cuyos elementos son 0 ó 1.

Definir las funciones

juego  :: [Int] -> [[Int]]
ultima :: [Int] -> Int

tales que

• (juego xs) es la lista de los pasos aleatorios de un juego de Dijkstra a partir de la lista xs. Por ejemplo,

juego [1,1,0,0,1]  ==  [[1,1,0,0,1],[1,1,0,0],[1,1,1],[1,1],[1]]
juego [1,1,0,0,1]  ==  [[1,1,0,0,1],[0,1,1,0],[0,0,1],[1,1],[1]]
juego [1,0,0,0,1]  ==  [[1,0,0,0,1],[0,0,0,1],[0,1,1],[1,0],[0]]
juego [1,0,1,1,1]  ==  [[1,0,1,1,1],[1,1,0,1],[1,0,1],[0,1],[0]]

• (ultima xs) es la bola que queda en la bolsa al final del juego de Dijkstra a partir de xs. Por ejemplo,

ultima [1,1,0,0,1]  ==  1
ultima [1,0,0,0,1]  ==  0
ultima [1,0,1,1,1]  ==  0

Comprobar con QuickCheck que la bola que queda en la bolsa al final del juego de Dijkstra es blanca si, y sólo si, el número de bolas blancas en la bolsa inicial es impar.

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Una matriz latina de orden n es una matriz cuadrada de orden n tal que todos sus elementos son cero salvo los de su fila y columna central, si n es impar; o los de sus dos filas y columnas centrales, si n es par.

Definir la función

latina :: Int -> Array (Int,Int) Int

tal que (latina n) es la siguiente matriz latina de orden n:

• Para n impar:

| 0  0... 0 1   0 ... 0   0|
| 0  0... 0 2   0 ... 0   0|
| 0  0... 0 3   0 ... 0   0|
| .........................|
| 1  2..............n-1   n|
| .........................|
| 0  0... 0 n-2 0 ... 0   0|
| 0  0... 0 n-1 0 ... 0   0|
| 0  0... 0 n   0 ... 0   0|

• Para n par:

| 0  0... 0 1   n    0 ...   0   0|
| 0  0... 0 2   n-1  0 ...   0   0|
| 0  0... 0 3   n-2  0 ...   0   0|
| ................................|
| 1  2.....................n-1   n|
| n n-1 .................... 2   1|
| ................................|
| 0  0... 0 n-2  3   0 ...   0   0|
| 0  0... 0 n-1  2   0 ...   0   0|
| 0  0... 0 n    1   0 ...   0   0|

Por ejemplo,

λ> elems (latina 5)
[0,0,1,0,0,
 0,0,2,0,0,
 1,2,3,4,5,
 0,0,4,0,0,
 0,0,5,0,0]
λ> elems (latina 6)
[0,0,1,6,0,0,
 0,0,2,5,0,0,
 1,2,3,4,5,6,
 6,5,4,3,2,1,
 0,0,5,2,0,0,
 0,0,6,1,0,0]

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Definir la función

refina :: Ord a => Monticulo a -> [a -> Bool] -> Monticulo a

tal que (refina m ps) es el montículo formado por los elementos del montículo m que cumplen todos los predicados de la lista ps. Por ejemplo,

λ> refina (foldr inserta vacio [1..22]) [(<7), even]
M 2 1 (M 4 1 (M 6 1 Vacio Vacio) Vacio) Vacio
λ> refina (foldr inserta vacio [1..22]) [(<1), even]
Vacio

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La notas de un examen se pueden representar mediante un vector en el que los valores son los pares formados por los nombres de los alumnos y sus notas.

Definir la función

aprobados :: (Num a, Ord a) => Array Int (String,a) -> Maybe [String]

tal que (aprobados p) es la lista de los nombres de los alumnos que han aprobado y Nothing si todos están suspensos. Por ejemplo,

λ> aprobados (listArray (1,3) [("Ana",5),("Pedro",3),("Lucia",6)])
Just ["Ana","Lucia"]
λ> aprobados (listArray (1,3) [("Ana",4),("Pedro",3),("Lucia",4.9)])
Nothing

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El sistema D'Hondt es una fórmula electoral, creada por Victor d'Hondt, que permite obtener el número de cargos electos asignados a las candidaturas, en proporción a los votos conseguidos.

Tras el recuento de los votos, se calcula una serie de divisores para cada partido. La fórmula de los divisores es V/N, donde V representa el número total de votos recibidos por el partido, y N representa cada uno de los números enteros desde 1 hasta el número de cargos electos de la circunscripción objeto de escrutinio. Una vez realizadas las divisiones de los votos de cada partido por cada uno de los divisores desde 1 hasta N, la asignación de cargos electos se hace ordenando los cocientes de las divisiones de mayor a menor y asignando a cada uno un escaño hasta que éstos se agoten

Definir la función

reparto :: Int -> [Int] -> [(Int,Int)]

tal que (reparto n vs) es la lista de los pares formados por los números de los partidos y el número de escaño que les corresponden al repartir n escaños en función de la lista de sus votos. Por ejemplo,

λ> reparto 7 [340000,280000,160000,60000,15000]
[(1,3),(2,3),(3,1)]
λ> reparto 21 [391000,311000,184000,73000,27000,12000,2000]
[(1,9),(2,7),(3,4),(4,1)]

es decir, en el primer ejemplo,

• al 1º partido (que obtuvo 340000 votos) le corresponden 3 escaños,
• al 2º partido (que obtuvo 280000 votos) le corresponden 3 escaños,
• al 3º partido (que obtuvo 160000 votos) le corresponden 1 escaño.

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Un número tiene una inversión cuando existe un dígito x a la derecha de otro dígito de forma que x es menor que y. Por ejemplo, en el número 1745 hay dos inversiones ya que 4 es menor que 7 y 5 es menor que 7 y están a la derecha de 7.

Definir la función

nInversiones :: Integer -> Int

tal que (nInversiones n) es el número de inversiones de n. Por ejemplo,

nInversiones 1745  ==  2

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Definir la función

comienzanCon :: [Int] -> Int -> [Int]

tal que (comienzanCon xs d) es la lista de los elementos de xs que empiezan por el dígito d. Por ejemplo,

comienzanCon [123,51,11,711,52] 1 == [123,11]
comienzanCon [123,51,11,711,52] 5 == [51,52]
comienzanCon [123,51,11,711,52] 6 == []

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Las posiciones frontera de una matriz de orden mxn son aquellas que están en la fila 1 o la fila m o la columna 1 o la columna n. El resto se dirán posiciones interiores. Observa que cada elemento en una posición interior tiene exactamente 8 vecinos en la matriz.

Dada una matriz, un paso de transición genera una nueva matriz de la misma dimensión pero en la que se ha sustituido cada elemento interior por la suma de sus 8 vecinos. Los elementos frontera no varían.

Definir las funciones

marco      :: Int -> Int -> Integer -> Matrix Integer
paso       :: Matrix Integer -> Matrix Integer
itPasos    :: Int -> Matrix Integer -> Matrix Integer
pasosHasta :: Integer -> Int

tales que

• (marco m n z) genera la matriz de dimensión mxn que contiene el entero z en las posiciones frontera y 0 en las posiciones interiores. Por ejemplo,

λ> marco 5 5 1
( 1 1 1 1 1 )
( 1 0 0 0 1 )
( 1 0 0 0 1 )
( 1 0 0 0 1 )
( 1 1 1 1 1 )

• (paso t) calcula la matriz generada tras aplicar un paso de transición a la matriz t. Por ejemplo,

λ> paso (marco 5 5 1)
( 1 1 1 1 1 )
( 1 5 3 5 1 )
( 1 3 0 3 1 )
( 1 5 3 5 1 )
( 1 1 1 1 1 )

• (itPasos k t) es la matriz obtenida tras aplicar k pasos de transición a partir de la matriz t. Por ejemplo,

λ> itPasos 10 (marco 5 5 1)
(       1       1       1       1       1 )
(       1 4156075 5878783 4156075       1 )
(       1 5878783 8315560 5878783       1 )
(       1 4156075 5878783 4156075       1 )
(       1       1       1       1       1 )

• (pasosHasta k) es el número de pasos de transición a partir de la matriz (marco 5 5 1) necesarios para que en la matriz resultante aparezca un elemento mayor que k. Por ejemplo,

pasosHasta 4         ==  1
pasosHasta 6         ==  2
pasosHasta (2^2015)  ==  887

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La parte par de un polinomio de coeficientes enteros es el polinomio formado por sus monomios cuyos coeficientes son números pares. Por ejemplo, la parte par de 4x^3+x^2-7x+6 es 4x^3+6.

Definir la función

partePar :: Integral a => Polinomio a -> Polinomio a

tal que (partePar p) es la parte par de p. Por ejemplo,

λ> partePar (consPol 3 4 (consPol 2 1 (consPol 0 6 polCero)))
4*x^3 + 6

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería I1M.Pol que se encuentra aquí y se describe aquí.

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Representamos los árboles binarios con elementos en las hojas y en los nodos mediante el tipo de dato

data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show

Definir la función

aplica :: (a -> a) -> (a -> a) -> Arbol a -> Arbol a

tal que (aplica f g a) devuelve el árbol obtenido al aplicar la función f a las hojas del árbol a y la función g a los nodos interiores. Por ejemplo,

λ> aplica (+1)(*2) (N 5 (N 2 (H 1) (H 2)) (N 3 (H 4) (H 2)))
N 10 (N 4 (H 2) (H 3)) (N 6 (H 5) (H 3))

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Un ciclo en un grafo G es una secuencia [v(1),v(2),v(3),...,v(n)] de nodos de G tal que:

• (v(1),v(2)), (v(2),v(3)), (v(3),v(4)), ..., (v(n-1),v(n)) son aristas de G,
• v(1) = v(n), y
• salvo v(1) = v(n), todos los v(i) son distintos entre sí.

Definir la función

ciclos :: Grafo Int Int -> [[Int]]

tal que (ciclos g) es la lista de ciclos de g. Por ejemplo, si g1 y g2 son los grafos definidos por

g1, g2 :: Grafo Int Int
g1 = creaGrafo D (1,4) [(1,2,0),(2,3,0),(2,4,0),(4,1,0)]
g2 = creaGrafo D (1,4) [(1,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(4,1,0)]

entonces

ciclos g1  ==  [[1,2,4,1],[2,4,1,2],[4,1,2,4]]
ciclos g2  ==  [[1,2,1],[1,2,4,1],[2,1,2],[2,4,1,2],[4,1,2,4]]

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo) que se describe aquí y se encuentra aquí.

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Decimos que un número es alternado si no tiene dos cifras consecutivas iguales ni tres cifras consecutivas en orden creciente no estricto o decreciente no estricto. Por ejemplo, los números 132425 y 92745 son alternados, pero los números 12325 y 29778 no. Las tres primeras cifras de 12325 están en orden creciente y 29778 tiene dos cifras iguales consecutivas.

Definir la constante

alternados :: [Integer]

cuyo valor es la lista infinita de los números alternados. Por ejemplo,

take 10 alternados                      ==  [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
length (takeWhile (< 1000) alternados)  ==  616
alternados !! 1234567                   ==  19390804

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La visibilidad de una lista es el número de elementos que son estrictamente mayores que todos los anteriores. Por ejemplo, la visibilidad de la lista [1,2,5,2,3,6] es 4.

La visibilidad de una matriz P es el par formado por las visibilidades de las filas de P y las visibilidades de las columnas de P. Por ejemplo, dada la matriz

    ( 4 2 1 )
Q = ( 3 2 5 )
    ( 6 1 8 )

la visibilidad de Q es ([1,2,2],[2,1,3]).

Definir las funciones

visibilidadLista  :: [Int] -> Int
visibilidadMatriz :: Matrix Int -> ([Int],[Int])

tales que

• (visibilidadLista xs) es la visibilidad de la lista xs. Por ejemplo,

visibilidadLista [1,2,5,2,3,6]   ==  4
visibilidadLista [0,-2,5,1,6,6]  ==  3
+ (visibilidadMatriz p) es la visibilidad de la matriz p. Por ejemplo,
~~~haskell
λ> visibilidadMatriz (fromLists [[4,2,1],[3,2,5],[6,1,8]])
([1,2,2],[2,1,3])
λ> visibilidadMatriz (fromLists [[0,2,1],[0,2,5],[6,1,8]])
([2,3,2],[2,1,3])

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Dado un grafo no dirigido G, un camino en G es una secuencia de nodos [v(1),v(2),v(3),...,v(n)] tal que para todo i entre 1 y n-1, (v(i),v(i+1)) es una arista de G. Por ejemplo, dados los grafos

g1, g2 :: Grafo Int Int
g1 = creaGrafo ND (1,3) [(1,2,0),(1,3,0),(2,3,0)]
g2 = creaGrafo ND (1,4) [(1,2,0),(1,3,0),(1,4,0),(2,4,0),(3,4,0)]

la lista [1,2,3] es un camino en g1, pero no es un camino en g2 puesto que la arista (2,3) no existe en g2.

Definir la función

camino :: Grafo Int Int -> [Int] -> Bool

tal que (camino g vs) se verifica si la lista de nodos vs es un camino en el grafo g. Por ejemplo,

camino g1 [1,2,3]  ==  True
camino g2 [1,2,3]  ==  False

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de grafos (I1M.Grafo) que se describe aquí y se encuentra aquí.

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El ejercicio de hoy tiene como objetivo comprobar la veracidad del Teorema de Midy:

Sea a/p una fracción, donde a < p y p > 5 es un número primo. Si esta fracción tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el período es par, entonces podemos partir el período en dos mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves.

Por ejemplo, 2/7 = 0'285714285714... El período es 285714, cuya longitud es par (6). Lo partimos por la mitad y las sumamos: 285+714 = 999.

Definir la función

teoremaMidy :: Integer -> Bool

tal que (teoremaMidy n) se verifica si para todo todo número primo p menor que n y mayor que 5 y todo número natural menor que p tales que la cantidad de dígitos en el período de a/p es par, entonces podemos partir el período de a/p en dos mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves. Por ejemplo,

teoremaMidy 200  ==  True

Además, comprobar el teorema de Midy usando QuickCheck.

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Los números decimales se representan por ternas, donde el primer elemento es la parte entera, el segundo es el anteperíodo y el tercero es el período. Por ejemplo,

 6/2  = 3                  se representa por (3,[],[])
 1/2  = 0.5                se representa por (0,[5],[])
 1/3  = 0.333333...        se representa por (0,[],[3])
23/14 = 1.6428571428571... se representa por (1,[6],[4,2,8,5,7,1])

Su tipo es

type Decimal = (Integer,[Integer],[Integer])

Los números racionales se representan por un par de enteros, donde el primer elemento es el numerador y el segundo el denominador. Por ejemplo, el número 2/3 se representa por (2,3). Su tipo es

type Racional = (Integer,Integer)

Definir las funciones

decimal  :: Racional -> Decimal
racional :: Decimal -> Racional

tales que

• (decimal r) es la representación decimal del número racional r. Por ejemplo,

decimal (1,4)    ==  (0,[2,5],[])
decimal (1,3)    ==  (0,[],[3])
decimal (23,14)  ==  (1,[6],[4,2,8,5,7,1])

• (racional d) es el número racional cuya representación decimal es d. Por ejemplo,

racional (0,[2,5],[])           ==  (1,4)
racional (0,[],[3])             ==  (1,3)
racional (1,[6],[4,2,8,5,7,1])  ==  (23,14)

Con la función decimal se puede calcular los períodos de los números racionales. Por ejemplo,

λ> let (_,_,p) = decimal (23,14) in concatMap show p
"428571"
λ> let (_,_,p) = decimal (1,47) in concatMap show p
"0212765957446808510638297872340425531914893617"
λ> let (_,_,p) = decimal (1,541) in length (concatMap show p)
540

Comprobar con QuickCheck si las funciones decimal y racional son inversas.

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Se llaman potencias de Fermi-Dirac a los números de la forma p^(2^k), donde p es un número primo y k es un número natural.

Definir la sucesión

potencias :: [Integer]

cuyos términos sean las potencias de Fermi-Dirac ordenadas de menor a mayor. Por ejemplo,

take 14 potencias    ==  [2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,25,29]
potencias !! 60      ==  241
potencias !! (10^6)  ==  15476303

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Dado dos números n y m, decimos que m es un múltiplo especial de n si m es un múltiplo de n y m no tiene ningún factor primo que sea congruente con 1 módulo 3.

Definir la función

multiplosEspecialesCota :: Int -> Int -> [Int]

tal que (multiplosEspecialesCota n k) es la lista ordenada de todos los múltiplos especiales de n que son menores o iguales que k. Por ejemplo,

multiplosEspecialesCota 5 50  ==  [5,10,15,20,25,30,40,45,50]
multiplosEspecialesCota 7 50  ==  []

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Definir la función

minMax :: Ord a => Monticulo a -> Maybe (a,a)

tal que (minMax m) es justamente el par formado por el menor y el mayor elemento de m, si el montículo m es no vacío. Por ejemplo,

minMax (foldr inserta vacio [4,8,2,1,5])  ==  Just (1,8)
minMax (foldr inserta vacio [4])          ==  Just (4,4)
minMax vacio                              ==  Nothing

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de montículo (I1M.Monticulo) que se encuentra aquí.

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Dada una relación r sobre un conjunto de números enteros, la matriz asociada a r es una matriz booleana p (cuyos elementos son True o False), tal que p(i,j) = True si y sólo si i está relacionado con j mediante la relación r.

Las relaciones binarias homogéneas y las matrices booleanas se pueden representar por

type Relacion = ([Int],[(Int,Int)])
type Matriz = Array (Int,Int) Bool

Definir la función

matrizRB:: Relacion -> Matriz

tal que (matrizRB r) es la matriz booleana asociada a r. Por ejemplo,

λ> matrizRB ([1..3],[(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)])
array ((1,1),(3,3)) [((1,1),True) ,((1,2),False),((1,3),True),
                     ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False),
                     ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),True)]
λ> matrizRB ([1..3],[(1,3), (3,1)])
array ((1,1),(3,3)) [((1,1),False),((1,2),False),((1,3),True),
                     ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False),
                     ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),False)]
λ> let n = 10^4 in matrizRB3 ([1..n],[(1,n),(n,1)]) ! (n,n)
False

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Un número n es especial si al unir los dígitos de sus factores primos, se obtienen exactamente los dígitos de n, aunque puede ser en otro orden. Por ejemplo, 1255 es especial, pues los factores primos de 1255 son 5 y 251.

Definir la función

esEspecial :: Integer -> Bool

tal que (esEspecial n) se verifica si un número n es especial. Por ejemplo,

esEspecial 1255 == True
esEspecial 125  == False

Comprobar con QuickCheck que todo número primo es especial.

Calcular los 5 primeros números especiales que no son primos.

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Dada una lista de números naturales xs, la codificación de Gödel de xs se obtiene multiplicando las potencias de los primos sucesivos, siendo los exponentes los elementos de xs. Por ejemplo, si xs = [6,0,4], la codificación de xs es

2^6 * 3^0 * 5^4 = 64 * 1 * 625 = 40000.

Definir las funciones

codificaG   :: [Integer] -> Integer
decodificaG :: Integer -> [Integer]

tales que

• (codificaG xs) es la codificación de Gödel de xs. Por ejemplo,

codificaG [6,0,4]           == 40000
codificaG [3,1,1]           == 120
codificaG [3,1,0,0,0,0,0,1] == 456
codificaG [1..6]            == 4199506113235182750

• (decodificaG n) es la lista xs cuya codificación es n. Por ejemplo,

decodificaG 40000               == [6,0,4]
decodificaG 120                 == [3,1,1]
decodificaG 456                 == [3,1,0,0,0,0,0,1]
decodificaG 4199506113235182750 == [1,2,3,4,5,6]

Comprobar con QuickCheck que ambas funciones son inversas.

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Definir la función

rotacionesNumero :: Integer -> [Integer]

(rotacionesNumero n) es la lista de las rotaciones obtenidas desplazando el primer dígito de n al final. Por ejemplo,

rotacionesNumero 325  ==  [325,253,532]

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Definir las funciones

agrupa  :: Eq a => [a] -> [(a,Int)]
expande :: [(a,Int)] -> [a]

tales que

• (agrupa xs) es la lista obtenida agrupando las ocurrencias consecutivas de elementos de xs junto con el número de dichas ocurrencias. Por ejemplo:

agrupa "aaabzzaa" == [('a',3),('b',1),('z',2),('a',2)]

• (expande xs) es la lista expandida correspondiente a ps (es decir, es la lista xs tal que la comprimida de xs es ps. Por ejemplo,

expande [('a',2),('b',3),('a',1)] == "aabbba"

Comprobar con QuickCheck que dada una lista de enteros, si se la agrupa y después se expande se obtiene la lista inicial.

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Una colección de puntos son colineales si esxiste una línea recta tal que todos están en dicha línea. Por ejemplo, los puntos (2,1), (5,7), (4,5) y (20,37) son colineales porque pertenecen a la línea y = 2*x-3.

Definir la función

colineales :: [(Int,Int)] -> Bool

tal que (colineales ps) se verifica si los puntos de la lista ps son colineales. Por ejemplo,

colineales [(2,1),(5,7),(4,5),(20,37)]  ==  True
colineales [(2,1),(5,7),(4,5),(21,37)]  ==  False

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Un número es capicúa si es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, el 4884.

El transformado "invierte y suma" de un número x es la suma de x y su número invertido; es decir, el número resultante de la inversión del orden en el que aparecen sus dígitos. Por ejemplo, el transformado de 124 es 124 + 421 = 545.

Se aplica la transformación "invierte y suma" hasta obtener un capicúa. Por ejemplo, partiendo del número 87, el proceso es

  87 +   78 =  165
 165 +  561 =  726
 726 +  627 = 1353
1353 + 3531 = 4884

El número de pasos de dicho proceso es la distancia capicúa del número; por ejemplo, la distancia capicúa de 87 es 4.

Definir la función

distanciaIS :: Integer -> Integer

tal que (distanciaIS x) es la distancia capicúa de x. Por ejemplo,

distanciaIS 11                   ==    0
distanciaIS 10                   ==    1
distanciaIS 19                   ==    2
distanciaIS 59                   ==    3
distanciaIS 69                   ==    4
distanciaIS 166                  ==    5
distanciaIS 79                   ==    6
distanciaIS 89                   ==   24
distanciaIS 10911                ==   55
distanciaIS 1000000079994144385  ==  259

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Un primo circular es un número tal que todas las rotaciones de sus dígitos producen números primos. Por ejemplo, 195 es un primo circular ya que las rotaciones de sus dígitos son 197, 971 y 719 y los tres números son primos.

Definir la constante

circulares :: [Integer]

cuyo valor es la lista de los números primos circulares. Por ejemplo,

take 12 circulares  ==  [2,3,5,7,11,13,17,31,37,71,73,79]
circulares !! 50    ==  939193

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Definir la función

frecuencias :: Ord a => [a] -> Map a Int

tal que (frecuencias xs) es el diccionario formado por los elementos de xs junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo,

λ> frecuencias "sosos"
fromList [('o',2),('s',3)]
λ> frecuencias (show (10^100))
fromList [('0',100),('1',1)]
λ> frecuencias (take (10^6) (cycle "abc"))
fromList [('a',333334),('b',333333),('c',333333)]
λ> size (frecuencias (take (10^6) (cycle [1..10^6])))
1000000

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Una fracción x/y es cancelativa si se cumplen las siguientes condiciones:

• x/y es propia (es decir, x < y),
• ninguno de los números x e y son múltiplos de 10 y
• existe un dígito d tal que al borrar una ocurrencia de d en x y otra en y se obtiene una fracción cuyo valor coincide con x/y.

Por ejemplo, 16/64 es cancelativa ya que borrando el 6 en el numerador y el denominador se obtiene 1/4 que es igual a la original: 16/64 = 1/4.

Definir la función

cancelativas :: Int -> Int -> [((Int, Int), (Int, Int))]

tal que (cancelativas m n) es la lista de las fracciones cancelativas con su denominador entre m y n. Por ejemplo,

λ> cancelativas 1 100
[((16,64),(1,4)),((26,65),(2,5)),((19,95),(1,5)),((49,98),(4,8))]
λ> cancelativas 101 150
[((22,121),(2,11)),((33,132),(3,12)),((34,136),(4,16)),((44,143),(4,13))]
λ> length (cancelativas 1 200)
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Un camino es una sucesión de pasos en una de las cuatros direcciones Norte, Sur, Este, Oeste. Ir en una dirección y a continuación en la opuesta es un esfuerzo que se puede reducir, Por ejemplo, el camino [Norte,Sur,Este,Sur] se puede reducir a [Este,Sur].

Un camino se dice que es reducido si no tiene dos pasos consecutivos en direcciones opuesta. Por ejemplo, [Este,Sur] es reducido y [Norte,Sur,Este,Sur] no lo es.

En Haskell, las direcciones y los caminos se pueden definir por

data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)
type Camino = [Direccion]

Definir la función

reducido :: Camino -> Camino

tal que (reducido ds) es el camino reducido equivalente al camino ds. Por ejemplo,

reducido []                              ==  []
reducido [N]                             ==  [N]
reducido [N,O]                           ==  [N,O]
reducido [N,O,E]                         ==  [N]
reducido [N,O,E,S]                       ==  []
reducido [N,O,S,E]                       ==  [N,O,S,E]
reducido [S,S,S,N,N,N]                   ==  []
reducido [N,S,S,E,O,N]                   ==  []
reducido [N,S,S,E,O,N,O]                 ==  [O]
reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) ==  []