Definir la función
listasDecrecientesDesde :: Int -> [[Int]]
tal que (listasDecrecientesDesde n) es la lista de las sucesiones estrictamente decrecientes cuyo primer elemento es n. Por ejemplo,
λ> listasDecrecientesDesde 2 [[2],[2,1],[2,1,0],[2,0]] λ> listasDecrecientesDesde 3 [[3],[3,2],[3,2,1],[3,2,1,0],[3,2,0],[3,1],[3,1,0],[3,0]]
Un número n es autodescriptivo cuando para cada posición k de n (empezando a contar las posiciones a partir de 0), el dígito en la posición k es igual al número de veces que ocurre k en n. Por ejemplo, 1210 es autodescriptivo porque tiene 1 dígito igual a "0", 2 dígitos iguales a "1", 1 dígito igual a "2" y ningún dígito igual a "3".
Definir la función
autodescriptivo :: Integer -> Bool
tal que (autodescriptivo n) se verifica si n es autodescriptivo. Por ejemplo,
λ> autodescriptivo 1210 True λ> [x | x <- [1..100000], autodescriptivo x] [1210,2020,21200] λ> autodescriptivo 9210000001000 True
Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.
Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6n-1,6n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6·3-1,6·3+1).
Definir las funciones
primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tales que
primosGemelos 50 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43)] primosGemelos 43 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50 == [(3,5)] length (primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' (10^9)) == 1
El número 9009 es capicúa y es producto de dos números de dos dígitos, pues 9009 = 91*99.
Definir la lista
capicuasP2N2D :: [Int]
cuyos elementos son los números capicúas que son producto de 2 números de dos dígitos. Por ejemplo,
take 5 capicuasP2N2D == [121,242,252,272,323] length capicuasP2N2D == 74 drop 70 capicuasP2N2D == [8008,8118,8448,9009]
Se dice que un número n es muy divisible por 3 si es divisible por 3 y sigue siendo divisible por 3 si vamos quitando dígitos por la derecha. Por ejemplo, 96060 es muy divisible por 3 porque 96060, 9606, 960, 96 y 9 son todos divisibles por 3.
Definir las funciones
muyDivPor3 :: Integer -> Bool numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer
tales que
muyDivPor3 96060 == True muyDivPor3 90616 == False
numeroMuyDivPor3Cifras 5 == 768 numeroMuyDivPor3Cifras 7 == 12288 numeroMuyDivPor3Cifras (10^6) `rem` (10^6) == 332032
Un número es libre de cuadrados si no es divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2^2.
Definir la función
libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,
libreDeCuadrados 70 == True libreDeCuadrados 40 == False libreDeCuadrados 510510 == True libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10) == False
Una forma de aproximar el número π es usando la siguiente igualdad: \[ \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \cdots \] Es decir, la serie cuyo término general n-ésimo es el cociente entre el producto de los primeros n números y los primeros n números impares: \[s(n) = \frac{\prod_{i=1}^{n} i}{\prod_{i=1}^{n} (2i + 1)}\]
Definir la función
aproximaPi :: Double -> Double
tal que (aproximaPi n) es la aproximación del número π calculada con la serie anterior hasta el término n-ésimo. Por ejemplo,
aproximaPi 10 == 3.141106021601377 aproximaPi 30 == 3.1415926533011587 aproximaPi 50 == 3.1415926535897922
Se dice que un número n tiene un factorial especial si el número de dígitos de n! es igual a n. Por ejemplo, 22 tiene factorial especial porque 22! es 1124000727777607680000 que tiene 22 dígitos.
Definir la función
factorialesEspeciales :: [Integer]
tal que su valor es la lista de los números que tienen factoriales especiales. Por ejemplo,
take 2 factorialesEspeciales == [1,22]
Nota: Si factorialesEspeciales es una lista finita, argumentar porqué no puede tener más elementos.
Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6*n-1,6*n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6*3-1,6*3+1).
Definir la función
proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool
tal que (proximosAmultiplosDe6 (x,y)) se verifica si el par (x,y) está próximo a un múltiplo de 6. Por ejemplo,
proximosAmultiplosDe6 (17,19) == True proximosAmultiplosDe6 (18,20) == False proximosAmultiplosDe6 (5,19) == False proximosAmultiplosDe6 (1,3) == False proximosAmultiplosDe6 (74074073407403,74074073407405) == True proximosAmultiplosDe6 (86419752308637,86419752308639) == False
La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.
Definir la función
diferenciaSimetrica :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
tal que (diferenciaSimetrica xs ys) es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,
diferenciaSimetrica [2,5,3] [4,2,3,7] == [5,4,7] diferenciaSimetrica [2,5,3] [5,2,3] == [] diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,3,7] == [5,4,3,7] diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,4,7] == [5,4,4,7] diferenciaSimetrica [2,5,2,4] [4,2,4,7] == [5,