Definir la función
actualiza :: [a] -> [(Int,a)] -> [a]
tal que (actualiza xs ps) es la lista obtenida sustituyendo en xs los elementos cuyos índices son las primeras componentes de ps por las segundas. Por ejemplo,
actualiza [3,5,2,4] [(2,1),(0,7)] == [7,5,1,4] sum (actualiza2 [1..10^4] [(i,2*i) | i <- [0..10^4-1]]) == 99990000
El orden de divisibilidad de un número x es el mayor n tal que para todo i menor o igual que n, los i primeros dígitos de n es divisible por i. Por ejemplo, el orden de divisibilidad de 74156 es 3 porque
7 es divisible por 1 74 es divisible por 2 741 es divisible por 3 7415 no es divisible por 4
Definir la función
ordenDeDivibilidad :: Integer -> Int
tal que (ordenDeDivibilidad x) es el orden de divisibilidad de x. Por ejemplo,
ordenDeDivibilidad 74156 == 3 ordenDeDivibilidad 3608528850368400786036725 == 25
Una propiedad del número 24 es que entre los números menores o iguales que 24 hay la misma cantidad de números con el dígito 1 que sin el 1; en efecto, los que tienen 1 son
[1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21]
y los que no lo tienen son
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 22, 23, 24]
Diremos que un número es especial si cumple dicha propiedad.
Definir la sucesión
especiales :: [Integer]
cuyos elementos son los números especiales. Por ejemplo,
take 10 especiales == [2,16,24,160,270,272,1456,3398,3418,3420]
Los caminos en los árboles binarios
. .
/ \ / \
. . / \
/ \ . .
. . / \ / \
. . . .
son [[I,I],[I,D],[D]] y [[I,I],[I,D],[D,I],[D,D]], donde I indica un movimiento hacia la izquierda y D uno hacia la derecha.
Los árboles binarios se pueden representar por
data Arbol = H | N Arbol Arbol
los movimientos por
data Mov = I | D deriving Show
y los caminos por
type Camino = [Mov]
Definir la función
caminos :: Arbol -> [Camino]
tal que (caminos a) es la lista de los caminos en el árbol binario a. Por ejemplo,
caminos (N (N H H) H) == [[I,I],[I,D],[D]] caminos (N (N H H) (N H H)) == [[I,I],[I,D],[D,I],[D,D]] caminos (N H (N (N H H) (N H H))) == [[I],[D,I,I],[D,I,D],[D,D,I],[D,D,D]]
Sea S un conjunto de números. Las listas de ceros emparejados de S son las listas formadas con los elementos de S y en las cuales los ceros aparecen en sublistas de longitud par. Por ejemplo, si S = {0,1,2} entonces [1], [2], [2,1], [2,0,0,2,0,0,1] y [0,0,0,0,1,2] son listas de ceros emparejados de S; pero [0,0,0,2,1,0,0] y [0,0,1,0,1] no lo son.
Definir las funciones
cerosEmparejados :: Integer -> Integer -> [[Integer]] nCerosEmparejados :: Integer -> Integer -> Integer
tales que + (cerosEmparejados m n) es la lista de las listas de longitud n de ceros emparejados con los números 0, 1, 2,..., m. Por ejemplo,
λ> cerosEmparejados 2 0 [[]] λ> cerosEmparejados 2 1 [[1],[2]] λ> cerosEmparejados 3 1 [[1],[2],[3]] λ> cerosEmparejados 2 2 [[1,1],[1,2],[2,1],[2,2],[0,0]] λ> cerosEmparejados 2 3 [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[1,0,0],[2,1,1],[2,1,2], [2,2,1],[2,2,2],[2,0,0],[0,0,1],[0,0,2]] λ> cerosEmparejados 2 4 [[1,1,1,1],[1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,1,2,2],[1,1,0,0],[1,2,1,1], [1,2,1,2],[1,2,2,1],[1,2,2,2],[1,2,0,0],[1,0,0,1],[1,0,0,2], [2,1,1,1],[2,1,1,2],[2,1,2,1],[2,1,2,2],[2,1,0,0],[2,2,1,1], [2,2,1,2],[2,2,2,1],[2,2,2,2],[2,2,0,0],[2,0,0,1],[2,0,0,2], [0,0,1,1],[0,0,1,2],[0,0,2,1],[0,0,2,2],[0,0,0,0]]
nCerosEmparejados 2 2 == 5 nCerosEmparejados 2 3 == 12 nCerosEmparejados 2 4 == 29 nCerosEmparejados 9 27 == 79707842493701635611689499
Definir la función
productos :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
tal que (productos n x) es las listas de n elementos consecutivos cuyo producto es x. Por ejemplo,
productos 2 6 == [[2,3]] productos 3 6 == [[1,2,3]] productos 4 1680 == [[5,6,7,8]] productos 2 5 == []
Comprobar con QuickCheck que si n > 0 y x > 0, entonces
productos n (product [x..x+n-1]) == [[x..x+n-1]]
Usando productos, definir la función
productosDe2y3consecutivos :: [Integer]
cuyos elementos son los números naturales (no nulos) que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos. Por ejemplo,
head productosDe2y3consecutivos == 6
Nota. Según demostró Mordell en 1962, productosDe2y3consecutivos sólo tiene dos elementos.
En este problema se consideran matrices cuyos elementos son 0 y 1. Los valores 1 aparecen en forma de islas rectangulares separadas por 0 de forma que como máximo las islas son diagonalmente adyacentes. Por ejemplo,
ej1, ej2 :: Array (Int,Int) Int ej1 = listArray ((1,1),(6,3)) [0,0,0, 1,1,0, 1,1,0, 0,0,1, 0,0,1, 1,1,0] ej2 = listArray ((1,1),(6,6)) [1,0,0,0,0,0, 1,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0, 1,1,1,0,1,1, 1,1,1,0,1,1, 0,0,0,0,1,1]
Definir la función
numeroDeIslas :: Array (Int,Int) Int -> Int
tal que (numeroDeIslas p) es el número de islas de la matriz p. Por ejemplo,
numeroDeIslas ej1 == 3 numeroDeIslas ej2 == 4
Sea \(\{b_i \mid i \geq 1\}\) una sucesión infinita de números enteros mayores que 1. Entonces, todo entero \(x\) mayor que cero se puede escribir de forma única como \[ x = x_0 + x_1 b_1 + x_2 b_1 b_2 + \dots + x_n b_1 b_2 \dotsm b_n, \] donde cada \(x_i\) satisface la condición \(0 \leq x_i < b_{i+1}\). Se dice que \([x_n, x_{n-1}, \dots, x_2, x_1, x_0]\) es la representación de \(x\) en la base \((b_i).
Por ejemplo, la representación de 377 en la base \((2i)_{i \geq 1}\) es \([7,5,0,1]\), ya que \[ 377 = 1 + 0 \times 2 + 5 \times 2 \times 4 + 7 \times 2 \times 4 \times 6, \] y además: \[ 0 \leq 1 < 2, \quad 0 \leq 0 < 4, \quad 0 \leq 5 < 6, \quad 0 \leq 7 < 8. \]
Definir las funciones
decimalAmultiple :: [Int] -> Int -> [Int] multipleAdecimal :: [Int] -> [Int] -> Int
tales que (decimalAmultiple bs x) es la representación del número x en la base bs y (multipleAdecimal bs cs) es el número decimal cuya representación en la base bs es cs. Por ejemplo,
decimalAmultiple [2,4..] 377 == [7,5,0,1] multipleAdecimal [2,4..] [7,5,0,1] == 377 decimalAmultiple [2,5..] 377 == [4,5,3,1] multipleAdecimal [2,5..] [4,5,3,1] == 377 decimalAmultiple [2^n | n <- [1..]] 2015 == [1,15,3,3,1] multipleAdecimal [2^n | n <- [1..]] [1,15,3,3,1] == 2015 decimalAmultiple (repeat 10) 2015 == [2,0,1,5] multipleAdecimal (repeat 10) [2,0,1,5] == 2015
Comprobar con QuickCheck que se verifican las siguientes propiedades
prop_inversas :: [Int] -> Int -> Property prop_inversas bs x = x > 0 ==> multipleAdecimal bs (decimalAmultiple bs x) == x prop_coeficientes :: [Int] -> Int -> Property prop_coeficientes bs x = x > 0 ==> and [0 <= c && c < b | (c,b) <- zip cs bs] where cs = reverse (decimalAmultiple bs x)
para distintas bases dadas. Por ejemplo,
λ> quickCheck (prop_inversas [2,4..]) +++ OK, passed 100 tests. λ> quickCheck (prop_inversas [3,5..]) +++ OK, passed 100 tests. λ> quickCheck (prop_coeficientes [2,4..]) +++ OK, passed 100 tests. λ> quickCheck (prop_coeficientes [3,5..]) +++ OK, passed 100 tests.
La diferencia progresiva entre dos elementos de una lista es la resta entre el que ocupa la mayor posición y la menor. Por ejemplo, en la lista [1,5,8,2,9] la diferencia entre los elementos 5 y 8 es 3 y entre 5 y 2 es -3.
Definir la función
mayorDiferencia :: [Int] -> Int
tal que (mayorDiferencia xs) es la mayor diferencia progresiva entre los elementos de xs. Por ejemplo,
mayorDiferencia [1,5,8,2,9] == 8 mayorDiferencia [9,5,8,2,1] == 3 mayorDiferencia [3,2,1] == 0 mayorDiferencia [1..10^7] == 9999999
Los conjuntos de polinomios se pueden representar por listas de listas de la misma longitud. Por ejemplo, los polinomios 3x²+5x+9, 10x³+9 y 8x³+5x²+x-1 se pueden representar por las listas [0,3,5,9], [10,0,0,9] y [8,5,1,-1].
Definir la función
sumaPolinomios :: Num a => [[a]] -> [a]
tal que (sumaPolinomios ps) es la suma de los polinomios ps. Por ejemplo,
λ> sumaPolinomios1 [[0,3,5,9],[10,0,0,9],[8,5,1,-1]] [18,8,6,17] λ> sumaPolinomios6 (replicate 1000000 (replicate 3 1)) [1000000,1000000,1000000]
La matriz zizagueante de orden n es la matriz cuadrada con n filas y n columnas y cuyos elementos son los n² primeros números naturales colocados de manera creciente a lo largo de las diagonales secundarias. Por ejemplo, La matriz zigzagueante de orden 5 es
0 1 5 6 14 2 4 7 13 15 3 8 12 16 21 9 11 17 20 22 10 18 19 23 24
La colocación de los elementos se puede ver gráficamente en
Definir la función
zigZag :: Int -> Array (Int,Int) Int
tal que (zigZag n) es la matriz zigzagueante de orden n. Por ejemplo,
λ> elems (zigZag 3) [0,1,5, 2,4,6, 3,7,8] λ> elems (zigZag 4) [0,1,5,6, 2,4,7,12, 3,8,11,13, 9,10,14,15] λ> elems (zigZag 5) [0,1,5,6,14, 2,4,7,13,15, 3,8,12,16,21, 9,11,17,20,22, 10,18,19,23,24] λ> take 15 (elems (zigZag 1000)) [0,1,5,6,14,15,27,28,44,45,65,66,90,91,119]
Definir la función
nMinimoCambios :: Ord a => [a] -> Int
tal que (nMinimoCambios xs) es el menor número de elementos de xs que hay que cambiar para que todos sean iguales. Por ejemplo,
nMinimoCambios [3,5,3,7,9,6] == 4 nMinimoCambios [3,5,3,7,3,3] == 2 nMinimoCambios "Salamanca" == 5 nMinimoCambios (4 : [1..500000]) == 499999
En el primer ejemplo, los elementos que hay que cambiar son 5, 7, 9 y 6.
Definir la función
diagonalesSecundarias :: Matriz a -> [[a]]
tal que (diagonalesSecundarias p) es la lista de las diagonales secundarias de p. Por ejemplo, para la matriz
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
la lista de sus diagonales secundarias es
[[1],[2,5],[3,6,9],[4,7,10],[8,11],[12]]
En Haskell,
λ> diagonalesSecundarias (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12]) [[1],[2,5],[3,6,9],[4,7,10],[8,11],[12]]
La n-ésima densidad de un tipo de número es el cociente entre la cantidad de los números entre 1 y n que son del tipo considerado y n. Por ejemplo, la 7-ésima densidad de los múltiplos de 3 es 2/7 ya que entre los 7 primeros números sólo 2 son múltiplos de 3.
Definir las funciones
densidades :: Int -> (Double,Double,Double) graficas :: Imt -> IO ()
tales que
densidades 100 == (0.22, 2.0e-2, 0.76) densidades 1000 == (0.246, 3.0e-3, 0.751) densidades 10000 == (0.2488, 4.0e-4, 0.7508) densidades 100000 == (0.24795, 4.0e-5, 0.75201)
y (graficas 400) dibuja
Definir la función
sumaDivisoresHasta :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (sumaDivisoresHasta n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un número entre 1 y n y b es la suma de los divisores propios de a. Por ejemplo,
λ> sumaDivisoresHasta 12 [(1,0),(2,1),(3,1),(4,3),(5,1),(6,6),(7,1),(8,7),(9,4),(10,8),(11,1),(12,16)] λ> maximum (map snd (sumaDivisoresHasta 123456)) 368640
Definir la función
divisoresHasta :: Int -> [(Int,Int)]
tal que (divisoresHasta n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un número entre 2 y n y b es un divisor propio de a. Por ejemplo,
λ> divisoresHasta 6 [(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(6,2),(6,3)] λ> divisoresHasta 8 [(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(7,1),(8,1),(4,2),(6,2),(8,2),(6,3),(8,4)] λ> length (divisoresHasta 1234567) 16272448
La conjetura de Waring sobre los números primos establece que todo número impar es primo o la suma de tres primos. La conjetura de Goldbach afirma que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos. Ambos problemas siguen abiertos después de más de 200 años. En este problema no se propone su solución, sino una tarea más simple: buscar una manera de expresar los enteros mayores que 7 como suma de exactamente cuatro números primos; es decir, definir la función
suma4primos :: Integer -> (Integer,Integer,Integer,Integer)
tal que (suma4primos n) es una cuádrupla (a,b,c,d) de números primos cuya suma es n (que se supone mayor que 7). Por ejemplo,
suma4primos 24 == (2,2,3,17) suma4primos 1234567890123 == (2,3,29,1234567890089)
Comprobar con QuickCheck que suma4primos es correcta; es decir si (suma4primos n) es (a,b,c,d) entonces los números a, b c y d son primos y su suma es n.
Nota: Para cada n pueden existir distintas cuádruplas que cumplan la especificación. Por ejemplo, para el 16 hay tres: (2,2,5,7), (3,3,3,7) y (3,3,5,5). Cualquiera de ellas se admite como solución.
Definir la función
mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]
tal que (mezclaTodas xss) es la mezcla ordenada de xss, donde tanto xss como sus elementos son listas infinitas ordenadas. Por ejemplo,
λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2..]]) [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11] λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2,9..]]) [2,4,6,8,9,10,12,14,16,18]
Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.
Definir la sucesión
sumasDeDosAbundantes :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,
take 10 sumasDeDosAbundantes == [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50]
Nota: La sucesión sumasDeDosAbundantes coincide con la sucesión A048260 de The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
Definir la función
diagonalesPrincipales :: Matriz a -> [[a]]
tal que (diagonalesPrincipales p) es la lista de las diagonales principales de p. Por ejemplo, para la matriz
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
la lista de sus diagonales principales es
[[9],[5,10],[1,6,11],[2,7,12],[3,8],[4]]
En Haskell,
λ> diagonalesPrincipales (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12]) [[9],[5,10],[1,6,11],[2,7,12],[3,8],[4]]
Definir la función
segmentos :: Int -> [a] -> [[a]]
tal que (segmentos n xs) es la lista de los segmentos de longitud n de la lista xs. Por ejemplo,
segmentos 3 [1..5] == [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]]
Definir la función
esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool
tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.
esPotenciaDeDos 1 == True esPotenciaDeDos 2 == True esPotenciaDeDos 6 == False esPotenciaDeDos 8 == True esPotenciaDeDos 1024 == True esPotenciaDeDos 1026 == False esPotenciaDeDos (2^100000) == True
Nota: Comprobar la definición para grandes potencias de 2.
La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 3 6 10 15
Así, el 7º número triangular es
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.
Los primeros 10 números triangulares son
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:
1: 1 3: 1,3 6: 1,2,3,6 10: 1,2,5,10 15: 1,3,5,15 21: 1,3,7,21 28: 1,2,4,7,14,28
Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5 divisores.
Definir la función
menorTriangularConAlMenosNDivisores :: Int -> Integer
tal que (menorTriangularConAlMenosNDivisores n) es el menor número triangular que tiene al menos n divisores. Por ejemplo,
menorTriangularConAlMenosNDivisores 5 == 28 menorTriangularConAlMenosNDivisores 50 == 25200 menorTriangularConAlMenosNDivisores 500 == 76576500
Definir la función
dosCuadrados :: Picture
que dibuje dos cuadrados encajados como se muestra en la siguiente figura
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla
import Graphics.Gloss main :: IO () main = display (InWindow "Dibujo" (500,300) (20,20)) white dosCuadrados dosCuadrados :: Picture dosCuadrados = undefined
Una partición de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.
Definir la función
particiones :: Int -> [[Int]]
tal que (particiones n) es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,
particiones 4 == [[4],[3,1],[2,2],[2,1,1],[1,1,1,1]] particiones 5 == [[5],[4,1],[3,2],[3,1,1],[2,2,1],[2,1,1,1],[1,1,1,1,1]] length (particiones 50) == 204226
El producto escalar de los vectores [latex][a_1,a_2,\dots,a_n][/latex] y [latex][b_1,b_2,\dots,b_n][/latex] es [latex]a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 + \dots + a_n \times b_n[/latex].
Definir la función
menorProductoEscalar :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a
tal que (menorProductoEscalar xs ys) es el mínimo de los productos escalares de las permutaciones de xs y de las permutaciones de ys. Por ejemplo,
menorProductoEscalar [3,2,5] [1,4,6] == 29 menorProductoEscalar [3,2,5] [1,4,-6] == -19 menorProductoEscalar [0..9] [0..9] == 120 menorProductoEscalar [0..99] [0..99] == 161700 menorProductoEscalar [0..999] [0..999] == 166167000
Un capicúa es un número que es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
Definir la función
mayorCapicuaP :: Integer -> Integer
tal que (mayorCapicuaP n) es el mayor capicúa que es el producto de dos números de n cifras. Por ejemplo,
mayorCapicuaP 2 == 9009 mayorCapicuaP 3 == 906609 mayorCapicuaP 4 == 99000099 mayorCapicuaP 5 == 9966006699
Definir la función
siguiente :: Eq a => a -> [a] -> Maybe a
tal que (siguiente x ys) es justo el elemento siguiente a la primera ocurrencia de x en ys o Nothing si x no pertenece a ys. Por ejemplo,
siguiente 5 [3,5,2,5,7] == Just 2 siguiente 9 [3,5,2,5,7] == Nothing siguiente 'd' "afdegdb" == Just 'e' siguiente "todo" ["En","todo","la","medida"] == Just "la" siguiente "nada" ["En","todo","la","medida"] == Nothing siguiente 999999 [1..1000000] == Just 1000000 siguiente 1000000 [1..1000000] == Nothing
Un número natural es polidivisible si cumple las siguientes condiciones:
Por ejemplo, el número 345654 es un número polidivisible ya que
pero 123456 no lo es, porque 1234 no es divisible por 4.
Definir las funciones
polidivisibles :: [Integer] polidivisiblesN :: Integer -> [Integer]
tales que
λ> take 20 polidivisibles [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30] λ> take 10 (dropWhile (<100) polidivisibles) [102,105,108,120,123,126,129,141,144,147]
λ> polidivisiblesN 2 [10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48, 50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88, 90,92,94,96,98]
Comprobar que, para n entre 1 y 5, la cantidad de números polidivisibles de n dígitos es 9*10^(n-1)/n!.
Definir la función
posicion :: Array Int Bool -> Maybe Int
tal que (posicion v) es la menor posición del vector de booleanos v cuyo valor es falso y es Nothing si todos los valores son verdaderos. Por ejemplo,
posicion (listArray (0,4) [True,True,False,True,False]) == Just 2 posicion (listArray (0,4) [i <= 2 | i <- [0..4]]) == Just 3 posicion (listArray (0,4) [i <= 7 | i <- [0..4]]) == Nothing
Definir la función
divideSegun :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]]
tal que (divideSegun p xs) es la lista de los segmentos de xs cuyos elementos cumplen la propiedad p. Por ejemplo,
divideSegun even [3,5,2,7,6,8,9,1] == [[3,5],[7],[9,1]] divideSegun odd [3,5,2,7,6,8,9,1] == [[2],[6,8]]
Comprobar con QuickCheck que, para cualquier lista xs de números enteros, la concatenación de los elementos de (divideSegun even xs) es la lista de los elementos de xs que no son pares.
Definir la función
particiones :: Int -> [a] -> [[[a]]]
tal que (particiones n xs) es la lista de lista de n elementos cuya concatenación es xs. Por ejemplo,
λ> particiones 2 "abc" [["","abc"],["a","bc"],["ab","c"],["abc",""]] λ> particiones 3 "abc" [["","","abc"],["","a","bc"],["","ab","c"],["","abc",""], ["a","","bc"],["a","b","c"],["a","bc",""],["ab","","c"], ["ab","c",""],["abc","",""]] λ> length (particiones 4 "abc") 20
Definir la sucesión
naturales0 :: [Int]
cuyos elementos son los números naturales separados por 0. Por ejemplo,
λ> take 25 naturales0 [0,0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,0,8,0,9,0,10,0,11,0,12]
Comprobar con QuickCheck que el n-ésimo término de la sucesión es n*(1+(-1)^n)/4.
Nota. En la comprobación usar
quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_naturales0
Definir la sucesión
enteros :: [Int]
tal que sus elementos son los números enteros comenzando en el 0 e intercalando los positivos y los negativos. Por ejemplo,
λ> take 23 enteros [0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,6,-6,7,-7,8,-8,9,-9,10,-10,11,-11]
Comprobar con QuickCheck que el n-ésimo término de la sucesión es (1-(2n+1)(-1)^n)/4.
Nota. En la comprobación usar
quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_naturales0
Definir la función
sustituye :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -> [a]
tal que (sustituye xs ys zs) es la lista obtenida sustituyendo las ocurrencias de xs en zs por ys. Por ejemplo,
sustituye "as" "_" "las casaderas" == "l_ c_ader_" sustituye "as" "es" "las casaderas" == "les cesaderes" sustituye "asa" "a" "las casaderas" == "las caderas" sustituye "asd" "a" "las casaderas" == "las casaderas"
Definir la función
triparticiones :: [a] -> [([a],[a],[a])]
tal que (triparticiones xs) es la lista de las ternas (xs1,xs2,xs3) tales que su concatenación es xs. Por ejemplo,
λ> triparticiones "abc" [("","","abc"),("","a","bc"),("","ab","c"),("","abc",""), ("a","","bc"),("a","b","c"),("a","bc",""),("ab","","c"), ("ab","c",""),("abc","","")]
Comprobar con QuickCheck que, suponiendo que xs es una lista de elementos comparables por igualdad, entonces para cada terna de (triparticiones xs) se cumple que la concatenación de sus elementos es xs.
Definir la función
conSuma :: (Eq a, Num a) => [a] -> [[a]] -> [[[a]]]
tal que (conSuma xs yss) es la lista de los vectores de xss cuya suma vectorial es xs. Por ejemplo,
λ> conSuma [9,10,12] [[4,7,3],[3,1,4],[5,3,9],[2,2,5]] [[[4,7,3],[5,3,9]],[[4,7,3],[3,1,4],[2,2,5]]] λ> conSuma [9,11,12] [[4,7,3],[3,1,4],[5,3,9],[2,2,5]] []
Definir la función
sumaVec :: Num a => [[a]] -> [a]
tal que (sumaVec xss) es la suma de los vectores de xss. Por ejemplo,
sumaVec [[4,7,3],[3,1,4],[2,2,5]] == [9,10,12] sumaVec [[4,7],[3,3],[1,4],[2,5]] == [10,19]
Definir la función
ordenaSegun :: Ord b => (a -> b) -> [a] -> [a]
tal que (ordenaSegun f xs) es la lista obtenida ordenando los elementos de xs según sus valores mediante la función f. Por ejemplo,
ordenaSegun abs [-3,2,5,-2] == [2,-2,-3,5] ordenaSegun abs [-3,-2,5,2] == [-2,2,-3,5] ordenaSegun length ["pq","x","mn"] == ["x","pq","mn"] [g 0 | g <- ordenaSegun (\f -> f 4) [(+5),(+2),(+3)]] == [2,3,5]
Comprobar con QuickCheck que (ordenaSegun id) es equivalente a sort.
Los puntos de una cuadrícula se puede representar mediante pares de números enteros
type Punto = (Int,Int)
y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato
data Region = Rectangulo Punto Punto | Union Region Region | Diferencia Region Region deriving (Eq, Show)
donde
Definir la función
puntos :: Region -> [Punto]
tal que (puntos r) es la lista de puntos de la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por
r0021, r3051, r4162 :: Region r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1) r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1) r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2)
se tiene
λ> puntos r0021 [(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)] λ> puntos r3051 [(3,0),(3,1),(4,0),(4,1),(5,0),(5,1)] λ> puntos r4162 [(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2)] λ> puntos (Union r0021 r3051) [(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(4,0),(4,1),(5,0),(5,1)] λ> puntos (Diferencia r3051 r4162) [(3,0),(3,1),(4,0),(5,0)] λ> puntos (Union (Diferencia r3051 r4162) r4162) [(3,0),(3,1),(4,0),(5,0),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2)]
Comprobar con QuickCheck, usando la función enRegion definida en el ejercicio "Puntos en regiones rectangulares" que (enRegion p r) es equivalente a (p elem puntos r).
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla que contiene un generador de regiones
import Test.QuickCheck import Control.Monad type Punto = (Int,Int) data Region = Rectangulo Punto Punto | Union Region Region | Diferencia Region Region deriving (Eq, Show) r0021, r3051, r4162 :: Region r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1) r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1) r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2) puntos :: Region -> [Punto] puntos = undefined -- La propiedad es prop_puntos :: Punto -> Region -> Bool prop_puntos p r = undefined -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_puntos -- +++ OK, passed 100 tests. enRegion :: Punto -> Region -> Bool enRegion (x,y) (Rectangulo (x1,y1) (x2,y2)) = x1 <= x && x <= x2 && y1 <= y && y <= y2 enRegion p (Union r1 r2) = enRegion p r1 || enRegion p r2 enRegion p (Diferencia r1 r2) = enRegion p r1 && not (enRegion p r2) -- Generador de regiones: instance Arbitrary Region where arbitrary = sized arb where arb 0 = liftM2 Rectangulo arbitrary arbitrary arb n | n > 0 = oneof [liftM2 Rectangulo arbitrary arbitrary, liftM2 Union sub sub, liftM2 Diferencia sub sub] where sub = arb (n `div` 2)
Un segmento de una lista xs es una sublista de xs formada por elementos consecutivos en la lista. El problema de la máxima suma de segmentos consiste en dada una lista de números enteros calcular el máximo de las sumas de todos los segmentos de la lista. Por ejemplo, para la lista [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6] la máxima suma de segmentos es 7 que es la suma del segmento [5,-2,1,3] y para la lista [-1,-2,-3] es 0 que es la suma de la lista vacía.
Definir la función
mss :: [Integer] -> Integer
tal que (mss xs) es la máxima suma de los segmentos de xs. Por ejemplo,
mss [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6] == 7 mss [-1,-2,-3] == 0 mss [1..500] == 125250 mss [1..1000] == 500500 mss [-500..3] == 6 mss [-1000..3] == 6
Definir la función
disjuntas :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool
tal que (disjuntas xs ys) se verifica si las listas ordenadas crecientemente xs e ys son disjuntas. Por ejemplo,
disjuntas [2,5] [1,4,7] == True disjuntas [2,5,7] [1,4,7] == False disjuntas [1..1000000] [3000000..4000000] == True
Un triángulo de Herón es un triángulo tal que sus lados y su área son números enteros. Su nombre se debe al matemático griego Herón de Alejandría que descubrió la fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados.
La fórmula de Herón dice que el área de un triángulo cuyos lados miden a, b y c es \[\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] donde s es el semiperímetro del triángulo; es decir, \[s=\frac{a+b+c}{2}\]
Un ejemplo de triángulo de Herón es el triángulo de lados 3, 4 y 5 cuya área es 6. Se puede observar que cualquier triángulo cuyos lados sean múltiplos de 3, 4 y 5 también es de Herón; por ejemplo, el de lados 6, 8 y 10 también lo es.
Se dice que un triángulo de Herón es primitivo si el máximo común divisor de sus lados es 1. Por ejemplo, el de lados 3, 4 y 5 es primitivo; pero el de lados 6, 8 y 10 no lo es.
Definir la sucesión
triangulosHeronPrimitivos :: [(Int,Int,Int)]
tal que sus elementos son los triángulos de Herón primitivos ordenados por su perímetro. Por ejemplo,
λ> take 7 triangulosHeronPrimitivos [(3,4,5),(5,5,6),(5,5,8),(5,12,13),(4,13,15),(10,13,13),(9,10,17)]
Un número pitagórico es un número natural cuyo cuadrado se puede escribir como la suma de los cuadrados de dos números naturales no nulos; es decir, el número natural a es pitagórico si existen dos números naturales b y c distintos de cero tales que a² = b²+c². Por ejemplo, 5 es un número pitagórico ya que 5² = 3²+4² y también lo es 2015 ya que 2015² = 1612²+1209².
Definir la sucesión
pitagoricos :: [Integer]
cuyos elementos son los números pitagóricos. Por ejemplo,
λ> take 20 pitagoricos [5,10,13,15,17,20,25,26,29,30,34,35,37,39,40,41,45,50,51,52]
Calcular la posición de 2015 en la sucesión.
Definir la función
cuadrados :: Int -> Float -> Picture
de forma que (cuadrados n) sea la animación obtenida rotando n cuadrados encajados como se muestra a continuación.
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla
import Graphics.Gloss import System.IO main :: IO () main = do hSetBuffering stdout NoBuffering putStr "Introduce el numero de cuadrados [1..10]: " n <- readLn animate (InWindow (show n ++ " cuadrados encajados rotando" ) (600,600) (20,20)) white (cuadrados n) cuadrados :: Int -> Float -> Picture cuadrados n t = undefined
Definir la función
cuadrados :: Int -> Picture
tal que (cuadrados n) dibuje n cuadrados encajados como se muestra en las siguientes figuras:
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla
import Graphics.Gloss import System.IO main :: IO () main = do hSetBuffering stdout NoBuffering putStr "Introduce el numero de cuadrados [1..10]: " n <- readLn display (InWindow (show n ++ " cuadrados encajados" ) (600,600) (20,20)) white (cuadrados n) cuadrados :: Int -> Picture cuadrados n = undefined
El siguiente tipo de dato algebraico representa las fórmulas proposicionales construidas con una variable (X), las constantes verdadera (V) y falsa (F), la negación (Neg) y la disyunción (Dis):
data Form = X | V | F | Neg Form | Dis Form Form deriving (Eq, Ord, Show)
Por ejemplo, la fórmula (¬X v V) se representa por (Dis (Neg X) V).
Definir las funciones
valor :: Form -> Bool -> Bool simplifica :: Form -> Form
tales que (valor p i) es el valor de la fórmula p cuando se le asigna a X el valor i. Por ejemplo,
valor (Neg X) True == False valor (Neg F) True == True valor (Dis X (Neg X)) True == True valor (Dis X (Neg X)) False == True
y (simplifica p) es una forma obtenida aplicándole a p las siguientes reglas de simplificación:
Neg V = F Neg F = V Neg (Neg q) = q Dis V q = V Dis F q = q Dis q V = V Dis q F = F Dis q q = q
Por ejemplo,
simplifica (Dis X (Neg (Neg X))) == X simplifica (Neg (Dis (Neg (Neg X)) F)) == Neg X simplifica (Dis (Neg F) F) == V simplifica (Dis (Neg V) (Neg (Dis (Neg X) F))) == X simplifica (Dis (Neg V) (Neg (Dis (Neg (Neg X)) F))) == Neg X
Comprobar con QuickCheck que para cualquier fórmula p y cualquier booleano i se verifica que (valor (simplifica p) i) es igual a (valor p i).
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla que contiene un generador de fórmulas proposicionales
import Test.QuickCheck import Control.Monad data Form = X | V | F | Neg Form | Dis Form Form deriving (Eq, Ord, Show) valor :: Form -> Bool -> Bool valor = undefined simplifica :: Form -> Form simplifica = undefined -- La propiedad es prop_simplifica :: Form -> Bool -> Bool prop_simplifica p i = undefined -- La comprobación es -- Generador de fórmulas instance Arbitrary Form where arbitrary = sized form where form n | n <= 0 = atom | otherwise = oneof [ atom , liftM Neg subform , liftM2 Dis subform subform ] where atom = oneof [elements [X,V,F]] subform = form (n `div` 2)
Un número tiene factorización capicúa si puede escribir como un producto de números primos tal que la concatenación de sus dígitos forma un número capicúa. Por ejemplo, el 2015 tiene factorización capicúa ya que 2015 = 13531, los factores son primos y su concatenación es 13531 que es capicúa.
Definir la sucesión
conFactorizacionesCapicuas :: [Int]
formada por los números que tienen factorización capicúa. Por ejemplo,
λ> take 20 conFactorizacionesCapicuas [1,2,3,4,5,7,8,9,11,12,16,18,20,25,27,28,32,36,39,44]
Usando conFactorizacionesCapicuas escribir expresiones cuyos valores sean las respuestas a las siguientes preguntas y calcularlas
import Data.List (permutations) conFactorizacionesCapicuas :: [Int] conFactorizacionesCapicuas = [n | n <- [1..], not (null (factorizacionesCapicua n))] -- (factorizacionesCapicua n) es la lista de las factorizaciones -- capicúas de n. Por ejemplo, -- factorizacionesCapicua 2015 == [[13,5,31],[31,5,13]] factorizacionesCapicua :: Int -> [[Int]] factorizacionesCapicua n = [xs | xs <- permutations (factorizacion n), esCapicuaConcatenacion xs] -- (factorizacion n) es la lista de todos los factores primos de n; es -- decir, es una lista de números primos cuyo producto es n. Por ejemplo, -- factorizacion 300 == [2,2,3,5,5] factorizacion :: Int -> [Int] factorizacion n | n == 1 = [] | otherwise = x : factorizacion (div n x) where x = menorFactor n -- (menorFactor n) es el menor factor primo de n. Por ejemplo, -- menorFactor 15 == 3 -- menorFactor 16 == 2 -- menorFactor 17 == 17 menorFactor :: Int -> Int menorFactor n = head [x | x <- [2..], rem n x == 0] -- (esCapicuaConcatenacion xs) se verifica si la concatenación de los -- números de xs es capicúa. Por ejemplo, -- esCapicuaConcatenacion [13,5,31] == True -- esCapicuaConcatenacion [135,31] == True -- esCapicuaConcatenacion [135,21] == False esCapicuaConcatenacion :: [Int] -> Bool esCapicuaConcatenacion xs = ys == reverse ys where ys = concat (map show xs) -- El cálculo de la 1ª respuesta es -- λ> length (takeWhile (<= 2015) conFactorizacionesCapicuas) -- 265 -- El cálculo de la 2ª respuesta es -- λ> last (takeWhile (<2015) conFactorizacionesCapicuas) -- 2001 -- El cálculo de la 3ª respuesta es -- λ> head (dropWhile (<=2015) conFactorizacionesCapicuas) -- 2023
El período de una lista xs es la lista más corta ys tal que xs se puede obtener concatenando varias veces la lista ys. Por ejemplo, el período "abababab" es "ab" ya que "abababab" se obtiene repitiendo tres veces la lista "ab".
Definir la función
periodo :: Eq a => [a] -> [a]
tal que (periodo xs) es el período de xs. Por ejemplo,
periodo "ababab" == "ab" periodo "buenobueno" == "bueno" periodo "oooooo" == "o" periodo "sevilla" == "sevilla"
La función suelo asigna a cada número real el número entero más próximo por defecto; es decir, el mayor número entero igual o menor que ese número real. Por ejemplo, al -2.4 le asigna el -3 y al 1.7 el 1.
Haskell tiene una implementación de la función suelo llamada floor. El objetivo de este ejercicio es redefinir dicha función; es decir, definir la función
suelo :: Float -> Integer
tal que (suelo x) es el suelo de x. Por ejemplo,
suelo (-2.7) == -3 suelo (-2.4) == -3 suelo (-2) == -2 suelo 0 == 0 suelo 2 == 2 suelo 2.4 == 2 suelo 2.7 == 2
Comprobar con QuickCheck que las funciones suelo y floor son equivalentes.
Los pares de los números naturales se pueden ordenar por la suma de sus componentes y entres los pares con la misma suma elegir antes al que tiene mayos su primera componente.
Definir la función
pares :: [(Int,Int)]
tal que pares es la lista de los pares de números naturales con el orden anterior. por ejemplo,
λ> take 10 pares [(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)]
Usando la definición de pares, definir la función
posicion :: (Int,Int) -> Int
tal que (posicion p) es la posición del par p en la lista pares. Por ejemplo,
posicion (0,0) == 0 posicion (2,0) == 3
Finalmente, comprobar con QuickCheck que para cualquier par (x,y) de números naturales, la (posicion (x,y)) es igual a (y + (x+y+1)*(x+y) div 2).
Nota. En la comprobación usar
quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_posicion
Definir la función
masFrecuentes :: Ord a => Int -> [a] -> [(Int,a)]
tal que (masFrecuentes n xs) es la lista de los pares formados por los elementos de xs que aparecen más veces junto con el número de veces que aparecen. Por ejemplo,
λ> masFrecuentes 2 "trianera" [(2,'r'),(2,'a')] λ> masFrecuentes 2 "interdisciplinariedad" [(5,'i'),(3,'d')] λ> masFrecuentes 3 (show (product [1..10000])) [(5803,'0'),(3416,'2'),(3341,'4')]
Los puntos se puede representar mediante pares de números
type Punto = (Float,Float)
y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato
data Region = Rectangulo Punto Punto | Union Region Region | Diferencia Region Region deriving (Eq, Show)
donde
Definir la función
enRegion :: Punto -> Region -> Bool
tal que (enRegion p r) se verifica si el punto p pertenece a la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por
r0021, r3051, r4162 :: Region r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1) r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1) r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2)
se tiene
enRegion (1.6,0.7) r0021 == True enRegion (3.6,0.7) r0021 == False enRegion (1,1) (Union r0021 r3051) == True enRegion (4,0) (Union r0021 r3051) == True enRegion (4,2) (Union r0021 r3051) == False enRegion (3,1) (Diferencia r3051 r4162) == True enRegion (4,1) (Diferencia r3051 r4162) == False enRegion (4,2) (Diferencia r3051 r4162) == False enRegion (4,2) (Union (Diferencia r3051 r4162) r4162) == True
Comprobar con QuickCheck que si el punto p está en la región r1, entonces, para cualquier región r2, p está en (Union r1 r2) y en (Union r2 r1), pero no está en (Diferencia r2 r1).
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla que contiene un generador de regiones
import Test.QuickCheck import Control.Monad type Punto = (Float,Float) data Region = Rectangulo Punto Punto | Union Region Region | Diferencia Region Region deriving (Eq, Show) r0021, r3051, r4162 :: Region r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1) r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1) r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2) enRegion :: Punto -> Region -> Bool enRegion = undefined -- La propiedad es prop_enRegion p r1 r2 = undefined -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxDiscardRatio=20}) prop_enRegion -- +++ OK, passed 100 tests. -- Generador de regiones: instance Arbitrary Region where arbitrary = sized arb where arb 0 = liftM2 Rectangulo arbitrary arbitrary arb n | n > 0 = oneof [liftM2 Rectangulo arbitrary arbitrary, liftM2 Union sub sub, liftM2 Diferencia sub sub] where sub = arb (n `div` 2)
Definir la función
desemparejada :: [(a,b)] -> ([a],[b])
tal que (desemparejada ps) es el par de lista (xs,ys) tal que al emparejar (con zip) xs e ys devuelve ps. Por ejemplo,
λ> desemparejada [(3,'l'),(2,'u'),(5,'i'),(9,'s')] ([3,2,5,9],"luis")
Comprobar con QuickCheck que
Una propiedad del 2015 es que la suma de sus dígitos coincide con el número de sus divisores; en efecto, la suma de sus dígitos es 2+0+1+5=8 y tiene 8 divisores (1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 y 2015).
Definir la sucesión
especiales :: [Int]
formada por los números n tales que la suma de los dígitos de n coincide con el número de divisores de n. Por ejemplo,
take 12 especiales == [1,2,11,22,36,84,101,152,156,170,202,208]
Usar la sucesión para responder las siguientes cuestiones
Nota: La sucesión especiales es la misma que la A057531 de la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).
Todos los años, en las proximidades del final de año suelen aparecer cuestiones con propiedades del número del nuevo año. Una sobre el 2015 es la publicada el martes en la entrada 2015 como raíz de la suma de tres cubos del blog Números y algo más en la que se pide calcular tres números tales que 2015 sea igual a la raíz cuadrada de la suma de dichos tres números.
A partir de dicha entrada, se propone el siguiente problema: Definir la sucesión
raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como raíces cuadradas de sumas de tres cubos. Por ejemplo,
take 9 raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos = [6,9,15,27,48,72,53,59,78]
El 6 está en la sucesión porque 1³+2³+3³ = 36 y la raíz cuadrada de36 es 6 y el 9 está porque 3³+3³+3³ = 81 y la raíz cuadrada de 81 es 9. Algunos números tienen varias descomposiones como raíz cuadrada de suma de tres cubos; por ejemplo, el 71 se puede escribir como la raíz cuadrada de la suma de los cubos de 6, 9 y 16 y también como la de 4, 4, y 17.
A partir de la sucesión se plantean las siguientes cuestiones:
La curva del dragón es un fractal que se construye siguiendo los siguientes pasos:
La siguiente figura muestra los trece primeros pasos:
El ejercicio consiste en definir (en CodeWorld) la función
dragon :: Number -> Picture
tal que (dragon n) es el dibujo correspondiente al paso n de la construcción de la curva del dragón. Por ejemplo, el dibujo de dragon(20) es
Nota: La descripción de la curva dragón es la que se encuentra en el artículo de la Wikipedia.
Definir la función
adicionales :: Ord a => Int -> [a] -> [a] -> [a]
tal que (adicionales n xs ys) es la lista de los n elementos de que no pertenecen a ys (se supone que las listas xs e ys están ordenadas y que pueden ser infinitas). Por ejemplo,
adicionales 0 [1,3] [1,3] == [] adicionales 1 [1,3] [1] == [3] adicionales 2 [1,3,5] [1] == [3,5] adicionales 2 [1,3,5,7,9] [1,5,7] == [3,9] adicionales 2 ([1,3,5]++[7..]) ([1]++[7..]) == [3,5]
Las matrices se pueden representar de distintas formas. Por ejemplo, la matriz
|7 5 6| |1 9 4|
se puede representar como la terna
([7,5,6,1,9,4],2,3)
(donde la primera componente es la lista de los elementos de matriz, la segunda es su número de filas y la tercera es su número de columnas) y también se puede representar como una lista de listas
[[[7,5,6],[1,9,4]]
(donde cada elemento es una de las filas de la matriz).
Definir las funciones
ternaAlistas :: ([a],Int,Int) -> [[a]] listasAterna :: [[a]] -> ([a],Int,Int)
tales que ternaAlistas pase de la primera representación a la segunda y listasAterna pase de la segunda a la primera. Por ejemplo,
ternaAlistas ([7,5,6,1,9,4],2,3) == [[7,5,6],[1,9,4]] listasAterna [[7,5,6],[1,9,4]] == ([7,5,6,1,9,4],2,3) ternaAlistas ([7,5,6,1,9,4],3,2) == [[7,5],[6,1],[9,4]] listasAterna [[7,5],[6,1],[9,4]] == ([7,5,6,1,9,4],3,2)
Definir la función
permutaConsecutivos :: [a] -> [a]
tal que (permutaConsecutivos xs) es la lista obtenida permutando los elementos consecutivos de xs. Por ejemplo,
permutaConsecutivos [1..8] == [2,1,4,3,6,5,8,7] permutaConsecutivos [1..9] == [2,1,4,3,6,5,8,7,9] permutaConsecutivos "simplemente" == "ispmelemtne"
Para el juego de los bloques se dispone de un conjunto de bloques con una letra en cada una de sus dos caras. El objetivo del juego consiste en formar palabras sin que se pueda usar un bloque más de una vez y sin diferenciar mayúsculas de minúsculas. Por ejemplo, si se tiene tres bloques de forma que el 1º tiene las letras A y B, el 2ª la N y la O y el 3º la O y la A entonces se puede obtener la palabra ANA de dos formas: una con los bloques 1, 2 y 3 y otra con los 3, 2 y 1.
Definir la función
soluciones :: [String] -> String -> [[String]]
tal que (soluciones bs cs) es la lista de las soluciones del juego de los bloque usando los bloques bs (cada bloque es una cadena de dos letras mayúsculas) para formar la palabra cs. Por ejemplo,
λ> soluciones ["AB","NO","OA"] "ANA" [["AB","NO","OA"],["OA","NO","AB"]] λ> soluciones ["AB","NE","OA"] "Bea" [["AB","NE","OA"]] λ> soluciones ["AB","NE","OA"] "EvA" [] λ> soluciones ["AB","NO","OA","NC"] "ANA" [["AB","NO","OA"],["AB","NC","OA"],["OA","NO","AB"],["OA","NC","AB"]] λ> soluciones ["AB","NO","OA","NC"] "Anca" [["AB","NO","NC","OA"],["OA","NO","NC","AB"]] λ> soluciones (["AB","NO","OA"] ++ replicate (10^6) "PQ") "ANA" [["AB","NO","OA"],["OA","NO","AB"]]
La Enciclopedia electrónica de sucesiones de enteros (OEIS por sus siglas en inglés, de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) es una base de datos que registra sucesiones de números enteros. Está disponible libremente en Internet, en la dirección http://oeis.org.
La semana pasada Antonio Roldán añadió una nueva sucesión a la OEIS, la A249624 que sirve de base para el problema de hoy.
Definir la sucesión
a249624 :: [Integer]
tal que sus elementos son los números x tales que la suma de x y el primo que le sigue es un número primo. Por ejemplo,
λ> take 20 a249624 [0,1,2,6,8,14,18,20,24,30,34,36,38,48,50,54,64,68,78,80]
El número 8 está en la sucesión porque su siguiente primo es 11 y 8+11=19 es primo. El 12 no está en la sucesión porque su siguiente primo es 13 y 12+13=25 no es primo.
El siguiente tipo de dato representa expresiones construidas con variables, sumas y productos
data Expr = Var String | S Expr Expr | P Expr Expre deriving (Eq, Show)
Por ejemplo, x*(y+z) se representa por (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))
Una expresión es un término si es un producto de variables. Por ejemplo, x*(y*z) es un término pero x+(y*z) ni x*(y+z) lo son.
Una expresión está en forma normal si es una suma de términos. Por ejemplo, x*(y*z) y x+(y*z) están en forma normal; pero x*(y+z) y (x+y)*(x+z) no lo están.
Definir la función
esTermino :: Expr -> Bool esTermino :: Expr -> Bool normal :: Expr -> Expr
tales que
esTermino (V "x") == True esTermino (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esTermino (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False esTermino (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == False
esNormal (V "x") == True esNormal (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esNormal (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esNormal (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False esNormal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "y") (V "z"))) == False esNormal (S (P (V "x") (V "y")) (S (V "z") (V "x"))) == True
(a+b)*c = a*c+b*c c*(a+b) = c*a+c*b
Por ejemplo,
λ> normal (P (S (V "x") (V "y")) (V "z")) S (P (V "x") (V "z")) (P (V "y") (V "z")) λ> normal (P (V "z") (S (V "x") (V "y"))) S (P (V "z") (V "x")) (P (V "z") (V "y")) λ> normal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "u") (V "v"))) S (S (P (V "x") (V "u")) (P (V "x") (V "v"))) (S (P (V "y") (V "u")) (P (V "y") (V "v"))) λ> normal (S (P (V "x") (V "y")) (V "z")) S (P (V "x") (V "y")) (V "z") λ> normal (V "x") V "x"
Comprobar con QuickCheck que para cualquier expresión e, (normal e) está en forma normal y que (normal (normal e)) es igual a (normal e).
Nota. Para la comprobación se usará el siguiente generador de expresiones aritméticas
import Test.QuickCheck import Control.Monad instance Arbitrary Expr where arbitrary = sized arb where arb 0 = liftM V arbitrary arb n | n > 0 = oneof [liftM V arbitrary, liftM2 S sub sub, liftM2 P sub sub] where sub = arb (n `div` 2)
Definir la función
sinConsecutivosRepetidos :: Eq a => [a] -> [a]
tal que (sinConsecutivosRepetidos xs) es la lista obtenida a partir de xs de forma que si hay dos o más elementos idénticos consecutivos, borra las repeticiones y deja sólo el primer elemento. Por ejemplo,
λ> sinConsecutivosRepetidos "eesssooo essss toodddooo" "eso es todo"
Definir la función
busca :: Eq a => a -> [[(a,b)]] -> [b]
tal que (busca x pss) es la lista de los segundos componentes de los pares de la lista de listas de pares pss cuya primera componentes es x. Por ejemplo,
busca 3 [[(3,4)],[(5,4),(3,2),(3,5)],[(4,1),(7,3)]] == [4,2,5]
Un hotel dispone de n habitaciones y n camareros. Los camareros tienen la costumbre de cambiar de estado las puestas (es decir, abrir las cerradas y cerrar las abiertas). El proceso es el siguiente:
Por ejemplo, para n = 5
Pase | Puerta 1 | Puerta 2 | Puerta 3 | Puerta 4 | Puerta 5 Inicial | Cerrada | Cerrada | Cerrada | Cerrada | Cerrada Pase 1 | Abierta | Abierta | Abierta | Abierta | Abierta Pase 2 | Abierta | Cerrada | Abierta | Cerrada | Abierta Pase 3 | Abierta | Cerrada | Cerrada | Cerrada | Abierta Pase 4 | Abierta | Cerrada | Cerrada | Abierta | Abierta Pase 5 | Abierta | Cerrada | Cerrada | Abierta | Cerrada
Los estados de las puertas se representan por el siguiente tipo de datos
data Estado = Abierta | Cerrada deriving (Eq, Show)
Definir la función
final :: Int -> [Estado]
tal que (final n) es la lista de los estados de las n puertas después de que hayan pasado los n camareros. Por ejemplo,
λ> final 5 [Abierta,Cerrada,Cerrada,Abierta,Cerrada] λ> final 7 [Abierta,Cerrada,Cerrada,Abierta,Cerrada,Cerrada,Cerrada]
El siguiente tipo de dato representa expresiones construidas con variables, sumas y productos
data Expr = Var String | S Expr Expr | P Expr Expre
Por ejemplo, x.(y+z) se representa por (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))
Una expresión es un término si es un producto de variables. Por ejemplo, x.(y.z) es un término pero x+(y.z) ni x.(y+z) lo son.
Una expresión está en forma normal si es una suma de términos. Por ejemplo, x.(y,z) y x+(y.z) está en forma normal; pero x.(y+z) y (x+y).(x+z) no lo están.
Definir las funciones
esTermino, esNormal :: Expr -> Bool
tales que
esTermino (V "x") == True esTermino (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esTermino (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False esTermino (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == False
esNormal (V "x") == True esNormal (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esNormal (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esNormal (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False esNormal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "y") (V "z"))) == False
A partir de una palabra de puede formar un acrónimo uniendo un prefijo de la primera con un sufijo de la segunda. Por ejemplo,
Definir la función
esAcronimo :: String -> String -> String -> Bool
tal que (esAcronimo xs ys zs) se verifica si xs es un acrónimo de ys y zs. Por ejemplo,
esAcronimo "ofimatica" "oficina" "informatica" == True esAcronimo "informatica" "informacion" "automatica" == True
Definir la función
particionesFijas :: Int -> Int -> [[Int]]
tal que (particionesFijas n k) es la lista de listas de k números naturales no crecientes cuya suma es n. Por ejemplo,
λ> particionesFijas 8 2 [[4,4],[5,3],[6,2],[7,1]] λ> particionesFijas 8 3 [[3,3,2],[4,2,2],[4,3,1],[5,2,1],[6,1,1]] λ> particionesFijas 9 3 [[3,3,3],[4,3,2],[4,4,1],[5,2,2],[5,3,1],[6,2,1],[7,1,1]] λ> length (particionesFijas 67 5) 8056
Las expresiones aritméticas se pueden representar como árboles con números en las hojas y operaciones en los nodos. Por ejemplo, la expresión 9-2*4 se puede representar por el árbol
-
/ \
9 *
/ \
2 4
Definiendo el tipo de dato Arbol por
data Arbol = H Int | N (Int -> Int -> Int) Arbol Arbol
la representación del árbol anterior es
N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))
Definir la función
valor :: Arbol -> Int
tal que (valor a) es el valor de la expresión aritmética correspondiente al árbol a. Por ejemplo,
valor (N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))) == 1 valor (N (+) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))) == 17 valor (N (+) (H 9) (N div (H 4) (H 2))) == 11 valor (N (+) (H 9) (N max (H 4) (H 2))) == 13
Definir la función
alternativa :: (a -> b) -> (a -> b) -> [a] -> [b]
tal que (alternativa f g xs) es la lista obtenida aplicando alternativamente las funciones f y g a los elementos de xs. Por ejemplo,
alternativa (+1) (+10) [1,2,3,4] == [2,12,4,14] alternativa (+10) (*10) [1,2,3,4,5] == [11,20,13,40,15]
Definir la función
ciclica :: [a] -> [a]
tal que (ciclica xs) es la lista obtenida repitiendo cíclicamente los elementos de la lista no vacía xs. Por ejemplo,
take 10 (ciclica [3,5]) == [3,5,3,5,3,5,3,5,3,5] take 10 (ciclica [3,5,7]) == [3,5,7,3,5,7,3,5,7,3] take 10 (ciclica [3,5..]) == [3,5,7,9,11,13,15,17,19,21]
Definir la función
elemento :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
tal que (elemento xs ys) es la lista formada por el elemento común a xs e ys con la menor posición global (considerando su posición en ambas listas). Por ejemplo.
elemento [3,7,6,9,8,0] [5,4,2,7,8,6,9] == [7] elemento [3,7,6,9] [9,5,6] == [9] elemento [5,3,6] [7,6,3] == [3] elemento [0,1,3] [3,1] == [3] elemento [0,3,2] [1,2,3] == [3] elemento [3,7,6,3,8,0] [5,4,9,1,4,2,1] == [] elemento [2,3,5] [7,4] == []
Nota: Como se observa en el 3ª ejemplo, en el caso de que un elemento x de xs pertenezca a ys y el elemento de ys en la misma posición que x pertenezca a xs, se elige como el de menor posición el de xs.
Definir la función
verificaP :: (a -> Bool) -> [[a]] -> Bool
tal que (verificaP p xs) se verifica si cada elemento de la lista xss contiene algún elemento que cumple el predicado p. Por ejemplo,
verificaP odd [[1,3,4,2], [4,5], [9]] == True verificaP odd [[1,3,4,2], [4,8], [9]] == False
Definir la función
inversa :: Int -> [a] -> [a]
tal que (inversa k xs) es la lista obtenida invirtiendo elementos de xs, k elementos cada vez. Si el número de elementos de xs no es un múltiplo de k, entonces los finales elementos de xs se dejen sin invertir. Por ejemplo,
inversa 3 [1..11] == [3,2,1,6,5,4,9,8,7,10,11] inversa 4 [1..11] == [4,3,2,1,8,7,6,5,9,10,11]
Comprobar con QuickCheck que la función inversa es involutiva; es decir, para todo número k > 0 y toda lista xs, se tiene que (inversa k (inversa k xs)) es igual a xs.
Un mínimo local de una lista es un elemento de la lista que es menor que su predecesor y que su sucesor en la lista. Por ejemplo, 1 es un mínimo local de [3,2,1,3,7,7,1,0,2] ya que es menor que 2 (su predecesor) y que 3 (su sucesor).
Definir la función
minimosLocales :: Ord a => [a] -> [a]
tal que (minimosLocales xs) es la lista de los mínimos locales de la lista xs. Por ejemplo,
minimosLocales [3,2,1,3,7,7,9,6,8] == [1,6] minimosLocales [1..100] == [] minimosLocales "mqexvzat" == "eva"
Recientemente se publicó en la Red un pequeño test de inteligencia cuyo objetivo consistía en descubrir una función a partir de una colección de ejemplos. Los ejemplos eran los siguientes
f 6 4 == 210 f 9 2 == 711 f 8 5 == 313 f 5 2 == 37 f 7 6 == 113 f 9 8 == 117 f 10 6 == 416 f 15 3 == 1218
Definir la función
f :: Int -> Int -> Int
tal que f cubra los ejemplos anteriores y la definición de f sea lo más corta posible (en número de palabras).
Las matrices se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, la matriz
|3 2 5| |4 9 7|
se puede representar por [[3,2,5],[4,9,7]].
Definir la función
mayores :: Ord a => Int -> [[a]] -> [(a,Int)]
tal que (mayores n xss) es la lista de los n mayores elementos de la matriz xss junto con sus correspondientes número de fila. Por ejemplo,
λ> mayores 4 [[4,26,9],[2,37,53],[41,1,8]] [(53,2),(41,3),(37,2),(26,1)]
Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de (mayores n xss) son mayores o iguales que los restantes elementos de xss.
El factorial de 7 es
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040
por tanto, el último dígito no nulo del factorial de 7 es 4.
Definir la función
ultimoNoNuloFactorial :: Integer -> Integer
tal que (ultimoNoNuloFactorial n) es el último dígito no nulo del factorial de n. Por ejemplo,
ultimoNoNuloFactorial 7 == 4 ultimoNoNuloFactorial 10 == 8 ultimoNoNuloFactorial 12 == 6 ultimoNoNuloFactorial 97 == 2 ultimoNoNuloFactorial 0 == 1
Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 4, entonces el último dígito no nulo del factorial de n es par.
Definir la función
repiteElementos :: Int -> [a] -> [a]
tal que (repiteElementos k xs) es la lista obtenida repitiendo k veces cada elemento de xs. Por ejemplo,
repiteElementos 3 [5,2,7,4] == [5,5,5,2,2,2,7,7,7,4,4,4]
Comprobar con QuickCheck que, para todo número natural k y toda lista xs, el número de elementos de (repiteElementos k xs) es k veces el número de elementos de xs.
Dos números enteros son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.
Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3
Definir la función
primosRelativos :: [Int] -> Bool
tal que (primosRelativos xs) se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,
primosRelativos [6,35] == True primosRelativos [6,27] == False primosRelativos [2,3,4] == False primosRelativos [6,35,11] == True primosRelativos [6,35,11,221] == True primosRelativos [6,35,11,231] == False
Una función de precio determina el precio de cada elemento; por ejemplo,
precioCI :: String -> Int precioCI "leche" = 10 precioCI "mantequilla" = 18 precioCI "patatas" = 22 precioCI "chocolate" = 16
Definir la función
precioTotal :: (String -> Int) -> [String] -> Int
tal que (precioTotal f xs) es el precio total de los elementos de xs respecto de la función de precio f. Por ejemplo,
precioTotal precioCI ["leche", "leche", "mantequilla"] == 38 precioTotal precioCI ["chocolate", "mantequilla"] == 34
La extensión de un fichero es la palabra a continuación del último punto en el nombre del fichero. Por ejemplo, la extensión de "documento.txt" es "txt"
Definir la función
extension :: String -> String
tal que (extension cs) es la extensión del fichero cs. Por ejemplo,
extension "ejercicio.hs" == "hs" extension "documento.txt" == "txt" extension "documento.txt.pdf" == "pdf" extension "resumen" == ""
La distancia de Hamming entre dos listas es el número de posiciones en que los correspondientes elementos son distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba" es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
Definir la función
distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
tal que (distancia xs ys) es la distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
distancia "romano" "comino" == 2 distancia "romano" "camino" == 3 distancia "roma" "comino" == 2 distancia "roma" "camino" == 3 distancia "romano" "ron" == 1 distancia "romano" "cama" == 2 distancia "romano" "rama" == 1
Comprobar con QuickCheck si la distancia de Hamming tiene la siguiente propiedad
distancia(xs,ys) = 0 si, y sólo si, xs = ys
y, en el caso de que no se verifique, modificar ligeramente propiedad para obtener una condición necesaria y suficiente de distancia(xs,ys) = 0.
Definir una función
f :: Int -> Int
tal que para todo n, f(f(n)) = -n y comprobar con QuickCheck que se cumple la propiedad
prop_f :: Int -> Bool prop_f n = f (f n) == -n
es decir,
λ> quickCheck prop_f +++ OK, passed 100 tests.
Definir la función
sumaAnteriores :: [Integer] -> Bool
tal que (sumaAnteriores xs) se verifica si cada elemento de la lista xs (excepto el primero) es la suma de sus anteriores elementos en la lista. Por ejemplo,
sumaAnteriores [3,3,6,12] == True sumaAnteriores [3,3,7,10] == False sumaAnteriores [3] == True sumaAnteriores [] == True
Se considera la siguiente función
g :: Integer -> Integer g n = if n < 10 then n*n else n
Definir la función
max_g :: Integer -> Integer
tal que (max_g n) es el punto i del intervalo [0,n] donde g alcanza el máximo de sus valores, si n es positivo y 0 en caso contrario. Por ejemplo,
max_g (-7) == 0 max_g 7 == 7 max_g 14 == 9 max_g 84 == 84
Comprobar con QuickCheck que la función max_g es equivalente a la función f definida por
f :: Integer -> Integer f n | n < 0 = 0 | n >= 10 && n < 81 = 9 | otherwise = n
Definir la función
mayusculaInicial :: String -> String
tal que (mayusculaInicial xs) es la palabra xs con la letra inicial en mayúscula y las restantes en minúsculas. Por ejemplo,
mayusculaInicial "sEviLLa" == "Sevilla"
Todo número entero \(n\) se puede escribir como \(m \times 2^k\), con \(m\) impar. Se dice que \(m\) es la parte impar de \(n\). Por ejemplo, la parte impar de 40 es 5 porque 40 = \(5 \times 2^3\).
Definir la función
parteImpar :: Int -> Int
tal que (parteImpar n) es la parte impar de n. Por ejemplo,
parteImpar 40 == 5
Definir la función
noRepetidos :: Eq a => [a] -> [a]
tal que (noRepetidos xs) es la lista de los elementos no repetidos de la lista xs. Por ejemplo,
noRepetidos [3,2,5,2,4,7,3] == [5,4,7] noRepetidos "noRepetidos" == "nRptids" noRepetidos "Roma" == "Roma"
Una lista de números naturales es equidigital si todos sus elementos tienen el mismo número de dígitos.
Definir la función
equidigital :: [Int] -> Bool
tal que (equidigital xs) se verifica si xs es una lista equidigital. Por ejemplo,
equidigital [343,225,777,943] == True equidigital [343,225,777,94,3] == False
Definir la función
divisiblesPorPrimero :: [Int] -> Bool
tal que (divisibles xs) se verifica si todos los elementos positivos de xs son divisibles por el primero. Por ejemplo,
divisiblesPorPrimero [2,6,-3,0,18,-17,10] == True divisiblesPorPrimero [-13] == True divisiblesPorPrimero [-3,6,1,-3,9,18] == False divisiblesPorPrimero [5,-2,-6,3] == False divisiblesPorPrimero [] == True divisiblesPorPrimero [0,2,4] == False divisiblesPorPrimero [0,-2,-4] == True
El problema del laberinto numérico consiste en, dados un par de números, encontrar la longitud del camino más corto entre ellos usando sólo las siguientes operaciones:
Por ejemplo, un camino mínimo
Definir la función
longitudCaminoMinimo :: Int -> Int -> Int
tal que (longitudCaminoMinimo x y) es la longitud del camino mínimo desde x hasta y en el laberinto numérico.
longitudCaminoMinimo 3 12 == 2 longitudCaminoMinimo 12 3 == 2 longitudCaminoMinimo 9 2 == 8 longitudCaminoMinimo 2 9 == 5
La expresiones aritméticas se pueden representar mediante el siguiente tipo
data Expr = C Int | V Char | S Expr Expr | P Expr Expr deriving (Eq, Show)
por ejemplo, la expresión "z*(3+x)" se representa por (P (V 'z') (S (C 3) (V 'x'))).
Definir la función
sustitucion :: Expr -> [(Char, Int)] -> Expr
tal que (sustitucion e s) es la expresión obtenida sustituyendo las variables de la expresión e según se indica en la sustitución s. Por ejemplo,
λ> sustitucion (P (V 'z') (S (C 3) (V 'x'))) [('x',7),('z',9)] P (C 9) (S (C 3) (C 7)) λ> sustitucion (P (V 'z') (S (C 3) (V 'y'))) [('x',7),('z',9)] P (C 9) (S (C 3) (V 'y'))
Un conjunto A está cerrado respecto de una función f si para todo elemento x de A se tiene que f(x) pertenece a A. La clausura de un conjunto B respecto de una función f es el menor conjunto A que contiene a B y es cerrado respecto de f. Por ejemplo, la clausura de {0,1,2} respecto del opuesto es {0,1,2,-1,-2}.
Definir la función
clausura :: Eq a => (a -> a) -> [a] -> [a]
tal que (clausura f xs) es la clausura de xs respecto de f. Por ejemplo,
clausura (\x -> -x) [0,1,2] == [0,1,2,-1,-2] clausura (\x -> (x+1) `mod` 5) [0] == [0,1,2,3,4]
Definir la constante
cadenasCerosUnos :: [String]
tal que cadenasCerosUnos es la lista de cadenas de ceros y unos,
ordenada lexicográficamente. Por ejemplo,
λ> take 15 cadenasCerosUnos1 ["","0","1","00","01","10","11","000","001","010","011","100", "101","110","111"]
Definir la lista
numerosConDigitosPrimos :: [Integer]
cuyos elementos son los números con todos sus dígitos primos. Por ejemplo,
λ> take 22 numerosConDigitosPrimos [2,3,5,7,22,23,25,27,32,33,35,37,52,53,55,57,72,73,75,77,222,223] λ> numerosConDigitosPrimos !! (10^7) 322732232572
Una matriz permutación es una matriz cuadrada con todos sus elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.
En este ejercicio se usará el tipo de las matrices definido por
type Matriz a = Array (Int,Int) a
y los siguientes ejemplos de matrices
q1, q2, q3 :: Matriz Int q1 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),1),((1,2),0),((2,1),0),((2,2),1)] q2 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),0),((1,2),1),((2,1),0),((2,2),1)] q3 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),3),((1,2),0),((2,1),0),((2,2),1)]
Definir la función
esMatrizPermutacion :: Num a => Matriz a -> Bool
tal que (esMatrizPermutacion p) se verifica si p es una matriz permutación. Por ejemplo.
esMatrizPermutacion q1 == True esMatrizPermutacion q2 == False esMatrizPermutacion q3 == False