Definir la función
disjuntas :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool
tal que (disjuntas xs ys) se verifica si las listas ordenadas crecientemente xs e ys son disjuntas. Por ejemplo,
disjuntas [2,5] [1,4,7] == True disjuntas [2,5,7] [1,4,7] == False disjuntas [1..1000000] [3000000..4000000] == True
Un triángulo de Herón es un triángulo tal que sus lados y su área son números enteros. Su nombre se debe al matemático griego Herón de Alejandría que descubrió la fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados.
La fórmula de Herón dice que el área de un triángulo cuyos lados miden \(a\), \(b\) y \(c\) es \[\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] donde \(s\) es el semiperímetro del triángulo; es decir, \[s=\frac{a+b+c}{2}\]
Un ejemplo de triángulo de Herón es el triángulo de lados 3, 4 y 5 cuya área es 6. Se puede observar que cualquier triángulo cuyos lados sean múltiplos de 3, 4 y 5 también es de Herón; por ejemplo, el de lados 6, 8 y 10 también lo es.
Se dice que un triángulo de Herón es primitivo si el máximo común divisor de sus lados es 1. Por ejemplo, el de lados 3, 4 y 5 es primitivo; pero el de lados 6, 8 y 10 no lo es.
Definir la sucesión
triangulosHeronPrimitivos :: [(Int,Int,Int)]
tal que sus elementos son los triángulos de Herón primitivos ordenados por su perímetro. Por ejemplo,
λ> take 7 triangulosHeronPrimitivos [(3,4,5),(5,5,6),(5,5,8),(5,12,13),(4,13,15),(10,13,13),(9,10,17)] λ> triangulosHeronPrimitivos !! 1000 (212,225,247)
Un número pitagórico es un número natural cuyo cuadrado se puede escribir como la suma de los cuadrados de dos números naturales no nulos; es decir, el número natural a es pitagórico si existen dos números naturales b y c distintos de cero tales que a² = b²+c². Por ejemplo, 5 es un número pitagórico ya que 5² = 3²+4² y también lo es 2015 ya que 2015² = 1612²+1209².
Definir la sucesión
pitagoricos :: [Integer]
cuyos elementos son los números pitagóricos. Por ejemplo,
λ> take 20 pitagoricos [5,10,13,15,17,20,25,26,29,30,34,35,37,39,40,41,45,50,51,52] λ> pitagoricos !! 50000 73035
Calcular la posición de 2015 en la sucesión.
Definir la función
cuadrados :: Int -> Float -> Picture
de forma que (cuadrados n) sea la animación obtenida rotando n cuadrados encajados como se muestra a continuación.
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla
import Graphics.Gloss import System.IO main :: IO () main = do hSetBuffering stdout NoBuffering putStr "Introduce el numero de cuadrados [1..10]: " n <- readLn animate (InWindow (show n ++ " cuadrados encajados rotando" ) (600,600) (20,20)) white (cuadrados n) cuadrados :: Int -> Float -> Picture cuadrados n t = undefined
Definir la función
cuadrados :: Int -> Picture
tal que (cuadrados n) dibuje n cuadrados encajados como se muestra en las siguientes figuras:
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla
import Graphics.Gloss import System.IO main :: IO () main = do hSetBuffering stdout NoBuffering putStr "Introduce el numero de cuadrados [1..10]: " n <- readLn display (InWindow (show n ++ " cuadrados encajados" ) (600,600) (20,20)) white (cuadrados n) cuadrados :: Int -> Picture cuadrados n = undefined
El siguiente tipo de dato algebraico representa las fórmulas proposicionales construidas con una variable (X), las constantes verdadera (V) y falsa (F), la negación (Neg) y la disyunción (Dis):
data Form = X | V | F | Neg Form | Dis Form Form deriving (Eq, Ord, Show)
Por ejemplo, la fórmula (¬X v V) se representa por (Dis (Neg X) V).
Definir las funciones
valor :: Form -> Bool -> Bool simplifica :: Form -> Form
tales que
(valor p i) es el valor de la fórmula p cuando se le asigna a X el valor i. Por ejemplo,valor (Neg X) True == False valor (Neg F) True == True valor (Dis X (Neg X)) True == True valor (Dis X (Neg X)) False == True
(simplifica p) es una forma obtenida aplicándole a p las siguientes reglas de simplificación:Neg V = F Neg F = V Neg (Neg q) = q Dis V q = V Dis F q = q Dis q V = V Dis q F = F Dis q q = q
Por ejemplo,
simplifica (Dis X (Neg (Neg X))) == X simplifica (Neg (Dis (Neg (Neg X)) F)) == Neg X simplifica (Dis (Neg F) F) == V simplifica (Dis (Neg V) (Neg (Dis (Neg X) F))) == X simplifica (Dis (Neg V) (Neg (Dis (Neg (Neg X)) F))) == Neg X
Comprobar con QuickCheck que para cualquier fórmula p y cualquier booleano i se verifica que (valor (simplifica p) i) es igual a (valor p i).
Un número tiene factorización capicúa si puede escribir como un producto de números primos tal que la concatenación de sus dígitos forma un número capicúa. Por ejemplo, el 2015 tiene factorización capicúa ya que \(2015 = 13 \times 5 \times 31\), los factores son primos y su concatenación es 13531 que es capicúa.
Definir la sucesión
conFactorizacionesCapicuas :: [Int]
formada por los números que tienen factorización capicúa. Por ejemplo,
λ> take 20 conFactorizacionesCapicuas [1,2,3,4,5,7,8,9,11,12,16,18,20,25,27,28,32,36,39,44] λ> conFactorizacionesCapicuas !! 3000 91019
Usando conFactorizacionesCapicuas escribir expresiones cuyos valores sean las respuestas a las siguientes preguntas y calcularlas
El período de una lista xs es la lista más corta ys tal que xs se puede obtener concatenando varias veces la lista ys. Por ejemplo, el período "abababab" es "ab" ya que "abababab" se obtiene repitiendo tres veces la lista "ab".
Definir la función
periodo :: Eq a => [a] -> [a]
tal que (periodo xs) es el período de xs. Por ejemplo,
periodo "ababab" == "ab" periodo "buenobueno" == "bueno" periodo "oooooo" == "o" periodo "sevilla" == "sevilla"
La función suelo asigna a cada número real el número entero más próximo por defecto; es decir, el mayor número entero igual o menor que ese número real. Por ejemplo, al -2.4 le asigna el -3 y al 1.7 el 1.
Haskell tiene una implementación de la función suelo llamada floor. El objetivo de este ejercicio es redefinir dicha función; es decir, definir la función
suelo :: Float -> Integer
tal que (suelo x) es el suelo de x. Por ejemplo,
suelo (-2.7) == -3 suelo (-2.4) == -3 suelo (-2) == -2 suelo 0 == 0 suelo 2 == 2 suelo 2.4 == 2 suelo 2.7 == 2
Comprobar con QuickCheck que las funciones suelo y floor son equivalentes.
Los pares de los números naturales se pueden ordenar por la suma de sus componentes y entres los pares con la misma suma elegir antes al que tiene mayor su primera componente.
Definir las funciones
pares :: [(Int,Int)] posicion :: (Int,Int) -> Int
tales que
pares es la lista de los pares de números naturales con el orden anterior. Por ejemplo,λ> take 10 pares [(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)]
(posicion p) es la posición del par p en la lista pares. Por ejemplo,posicion (0,0) == 0 posicion (2,0) == 3
Definir la función
masFrecuentes :: Ord a => Int -> [a] -> [(Int,a)]
tal que (masFrecuentes n xs) es la lista de los pares formados por n elementos de xs que aparecen más veces junto con el número de veces que aparecen. Por ejemplo,
λ> masFrecuentes 2 "trianera" [(2,'r'),(2,'a')] λ> masFrecuentes 2 "interdisciplinariedad" [(5,'i'),(3,'d')] λ> masFrecuentes 3 (show (product [1..10000])) [(5803,'0'),(3416,'2'),(3341,'4')]
Los puntos se puede representar mediante pares de números
type Punto = (Float,Float)
y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato
data Region = Rectangulo Punto Punto | Union Region Region | Diferencia Region Region deriving (Eq, Show)
donde
(Rectangulo p1 p2) es la región formada por un rectángulo cuyo vértice superior izquierdo es p1 y su vértice inferior derecho es p2.(Union r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a alguna de las regiones r1 o r2.(Diferencia r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a la región r1 pero no pertenecen a la r2.Definir la función
enRegion :: Punto -> Region -> Bool
tal que (enRegion p r) se verifica si el punto p pertenece a la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por
r0021, r3051, r4162 :: Region r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1) r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1) r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2)
se tiene
enRegion (1.6,0.7) r0021 == True enRegion (3.6,0.7) r0021 == False enRegion (1,1) (Union r0021 r3051) == True enRegion (4,0) (Union r0021 r3051) == True enRegion (4,2) (Union r0021 r3051) == False enRegion (3,1) (Diferencia r3051 r4162) == True enRegion (4,1) (Diferencia r3051 r4162) == False enRegion (4,2) (Diferencia r3051 r4162) == False enRegion (4,2) (Union (Diferencia r3051 r4162) r4162) == True
Comprobar con QuickCheck que si el punto p está en la región r1, entonces, para cualquier región r2, p está en (Union r1 r2) y en (Union r2 r1), pero no está en (Diferencia r2 r1).
Definir la función
desemparejada :: [(a,b)] -> ([a],[b])
tal que (desemparejada ps) es el par de lista (xs,ys) tal que al emparejar (con zip) xs e ys devuelve ps. Por ejemplo,
λ> desemparejada [(3,'l'),(2,'u'),(5,'i'),(9,'s')] ([3,2,5,9],"luis")
Comprobar con QuickCheck que
unzip.(desemparejada ps) es (xs,ys), entonces (zip xs ys) es igual a ps.Una propiedad del 2015 es que la suma de sus dígitos coincide con el número de sus divisores; en efecto, la suma de sus dígitos es 2+0+1+5=8 y tiene 8 divisores (1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 y 2015).
Definir la sucesión
especiales :: [Int]
formada por los números n tales que la suma de los dígitos de n coincide con el número de divisores de n. Por ejemplo,
λ> take 15 especiales [1,2,11,22,36,84,101,152,156,170,202,208,225,228,288] λ> length (takeWhile (<300000) especiales) 4305
Usar la sucesión para responder las siguientes cuestiones
Nota: La sucesión especiales es la misma que la A057531 de la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).
Todos los años, en las proximidades del final de año suelen aparecer cuestiones con propiedades del número del nuevo año. Una sobre el 2015 es la publicada el martes en la entrada 2015 como raíz de la suma de tres cubos del blog Números y algo más en la que se pide calcular tres números tales que 2015 sea igual a la raíz cuadrada de la suma de dichos tres números.
A partir de dicha entrada, se propone el siguiente problema: Definir la sucesión
raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como raíces cuadradas de sumas de tres cubos. Por ejemplo,
λ> take 9 raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos [6,9,15,27,48,53,59,71,72] λ> raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos !! 100 672
El 6 está en la sucesión porque 1³+2³+3³ = 36 y la raíz cuadrada de36 es 6 y el 9 está porque 3³+3³+3³ = 81 y la raíz cuadrada de 81 es 9. Algunos números tienen varias descomposiones como raíz cuadrada de suma de tres cubos; por ejemplo, el 71 se puede escribir como la raíz cuadrada de la suma de los cubos de 6, 9 y 16 y también como la de 4, 4, y 17.
A partir de la sucesión se plantean las siguientes cuestiones:
La curva del dragón es un fractal que se construye siguiendo los siguientes pasos:
La siguiente figura muestra los trece primeros pasos:
El ejercicio consiste en definir (en CodeWorld) la función
dragon :: Number -> Picture
tal que (dragon n) es el dibujo correspondiente al paso n de la construcción de la curva del dragón. Por ejemplo, el dibujo de dragon(20) es
Nota: La descripción de la curva dragón es la que se encuentra en el artículo de la Wikipedia.
Definir la función
adicionales :: Ord a => Int -> [a] -> [a] -> [a]
tal que (adicionales n xs ys) es la lista de los n elementos de xs que no pertenecen a ys (se supone que n es el número de elementos de xs que no pertenecen a ys, que las listas xs e ys están estrictamente ordenadas y que pueden ser infinitas). Por ejemplo,
adicionales 0 [1,3] [1,3] == [] adicionales 1 [1,3] [1] == [3] adicionales 2 [1,3,5] [1] == [3,5] adicionales 2 [1,3,5,7,9] [1,5,7] == [3,9] adicionales 2 ([1,3,5]++[7..]) ([1]++[7..]) == [3,5]
Las matrices se pueden representar de distintas formas. Por ejemplo, la matriz
|7 5 6| |1 9 4|
se puede representar como la terna
([7,5,6,1,9,4],2,3)
(donde la primera componente es la lista de los elementos de matriz, la segunda es su número de filas y la tercera es su número de columnas) y también se puede representar como una lista de listas
[[[7,5,6],[1,9,4]]
(donde cada elemento es una de las filas de la matriz).
Definir las funciones
ternaAlistas :: ([a],Int,Int) -> [[a]] listasAterna :: [[a]] -> ([a],Int,Int)
tales que ternaAlistas pase de la primera representación a la segunda y listasAterna pase de la segunda a la primera. Por ejemplo,
ternaAlistas ([7,5,6,1,9,4],2,3) == [[7,5,6],[1,9,4]] listasAterna [[7,5,6],[1,9,4]] == ([7,5,6,1,9,4],2,3) ternaAlistas ([7,5,6,1,9,4],3,2) == [[7,5],[6,1],[9,4]] listasAterna [[7,5],[6,1],[9,4]] == ([7,5,6,1,9,4],3,2)
Definir la función
permutaConsecutivos :: [a] -> [a]
tal que (permutaConsecutivos xs) es la lista obtenida permutando los elementos consecutivos de xs. Por ejemplo,
permutaConsecutivos [1..8] == [2,1,4,3,6,5,8,7] permutaConsecutivos [1..9] == [2,1,4,3,6,5,8,7,9] permutaConsecutivos "simplemente" == "ispmelemtne"
Para el juego de los bloques se dispone de un conjunto de bloques con una letra en cada una de sus dos caras. El objetivo del juego consiste en formar palabras sin que se pueda usar un bloque más de una vez y sin diferenciar mayúsculas de minúsculas. Por ejemplo, si se tiene tres bloques de forma que el 1º tiene las letras A y B, el 2ª la N y la O y el 3º la O y la A entonces se puede obtener la palabra ANA de dos formas: una con los bloques 1, 2 y 3 y otra con los 3, 2 y 1.
Definir la función
soluciones :: [String] -> String -> [[String]]
tal que (soluciones bs cs) es la lista de las soluciones del juego de los bloque usando los bloques bs (cada bloque es una cadena de dos letras mayúsculas) para formar la palabra cs. Por ejemplo,
λ> soluciones ["AB","NO","OA"] "ANA" [["AB","NO","OA"],["OA","NO","AB"]] λ> soluciones ["AB","NE","OA"] "Bea" [["AB","NE","OA"]] λ> soluciones ["AB","NE","OA"] "EvA" [] λ> soluciones ["AB","NO","OA","NC"] "ANA" [["AB","NO","OA"],["AB","NC","OA"],["OA","NO","AB"],["OA","NC","AB"]] λ> soluciones ["AB","NO","OA","NC"] "Anca" [["AB","NO","NC","OA"],["OA","NO","NC","AB"]]
La Enciclopedia electrónica de sucesiones de enteros (OEIS por sus siglas en inglés, de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) es una base de datos que registra sucesiones de números enteros. Está disponible libremente en Internet, en la dirección http://oeis.org.
La semana pasada Antonio Roldán añadió una nueva sucesión a la OEIS, la A249624 que sirve de base para el problema de hoy.
Definir la sucesión
a249624 :: [Integer]
tal que sus elementos son los números x tales que la suma de x y el primo que le sigue es un número primo. Por ejemplo,
λ> take 20 a249624 [0,1,2,6,8,14,18,20,24,30,34,36,38,48,50,54,64,68,78,80]
El número 8 está en la sucesión porque su siguiente primo es 11 y 8+11=19 es primo. El 12 no está en la sucesión porque su siguiente primo es 13 y 12+13=25 no es primo.
El siguiente tipo de dato representa expresiones construidas con variables, sumas y productos
data Expr = V String | S Expr Expr | P Expr Expre deriving (Eq, Show)
Por ejemplo, x*(y+z) se representa por (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))
Una expresión es un término si es un producto de variables. Por ejemplo, x*(y*z) es un término pero x+(y*z) ni x*(y+z) lo son.
Una expresión está en forma normal si es una suma de términos. Por ejemplo, x*(y*z) y x+(y*z) están en forma normal; pero x*(y+z) y (x+y)*(x+z) no lo están.
Definir la función
esTermino :: Expr -> Bool esNormal :: Expr -> Bool normal :: Expr -> Expr
tales que
(esTermino a) se verifica si a es un término. Por ejemplo,esTermino (V "x") == True esTermino (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esTermino (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False esTermino (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == False
(esNormal a) se verifica si a está en forma normal. Por ejemplo,esNormal (V "x") == True esNormal (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esNormal (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esNormal (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False esNormal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "y") (V "z"))) == False esNormal (S (P (V "x") (V "y")) (S (V "z") (V "x"))) == True
(normal e) es la forma normal de la expresión e obtenida aplicando, mientras que sea posible, las propiedades distributivas ((a+b)·c = a·c+b·c y c·(a+b) = c·a+c·b). Por ejemplo,λ> normal (P (S (V "x") (V "y")) (V "z")) S (P (V "x") (V "z")) (P (V "y") (V "z")) λ> normal (P (V "z") (S (V "x") (V "y"))) S (P (V "z") (V "x")) (P (V "z") (V "y")) λ> normal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "u") (V "v"))) S (S (P (V "x") (V "u")) (P (V "x") (V "v"))) (S (P (V "y") (V "u")) (P (V "y") (V "v"))) λ> normal (S (P (V "x") (V "y")) (V "z")) S (P (V "x") (V "y")) (V "z") λ> normal (V "x") V "x"
Comprobar con QuickCheck que para cualquier expresión e, (normal e) está en forma normal y que (normal (normal e)) es igual a (normal e).
Definir la función
sinConsecutivosRepetidos :: Eq a => [a] -> [a]
tal que (sinConsecutivosRepetidos xs) es la lista obtenida a partir de xs de forma que si hay dos o más elementos idénticos consecutivos, borra las repeticiones y deja un elemento. Por ejemplo,
λ> sinConsecutivosRepetidos "eesssooo essss toodddooo" "eso es todo"
Definir la función
busca :: Eq a => a -> [[(a,b)]] -> [b]
tal que (busca x pss) es la lista de los segundos componentes de los pares de la lista de listas de pares pss cuya primera componentes es x. Por ejemplo,
busca 3 [[(3,4)],[(5,4),(3,2),(3,5)],[(4,1),(7,3)]] == [4,2,5]
Un hotel dispone de n habitaciones y n camareros. Los camareros tienen la costumbre de cambiar de estado las puestas (es decir, abrir las cerradas y cerrar las abiertas). El proceso es el siguiente:
Por ejemplo, para n = 5
Pase | Puerta 1 | Puerta 2 | Puerta 3 | Puerta 4 | Puerta 5 --------+----------+----------+----------+----------+--------- Inicial | Cerrada | Cerrada | Cerrada | Cerrada | Cerrada Pase 1 | Abierta | Abierta | Abierta | Abierta | Abierta Pase 2 | Abierta | Cerrada | Abierta | Cerrada | Abierta Pase 3 | Abierta | Cerrada | Cerrada | Cerrada | Abierta Pase 4 | Abierta | Cerrada | Cerrada | Abierta | Abierta Pase 5 | Abierta | Cerrada | Cerrada | Abierta | Cerrada
Los estados de las puertas se representan por el siguiente tipo de datos
data Estado = Abierta | Cerrada deriving (Eq, Show)
Definir la función
final :: Int -> [Estado]
tal que (final n) es la lista de los estados de las n puertas después de que hayan pasado los n camareros. Por ejemplo,
λ> final 5 [Abierta,Cerrada,Cerrada,Abierta,Cerrada] λ> final 7 [Abierta,Cerrada,Cerrada,Abierta,Cerrada,Cerrada,Cerrada]
Una llanura de longitud n de una lista xs es una sublista de xs formada por n elementos iguales.
Definir la función
llanuras :: Eq a => Int -> [a] -> [[a]]
tal que (llanuras n xs) es la lista de las llanuras de xs que tienen n elementos como mínimo. Por ejemplo,
llanuras 3 "aabbbcddddffxffxx" == ["bbb","dddd"]
El siguiente tipo de dato define las expresiones vectoriales formadas por un vector, la suma de dos expresiones vectoriales o el producto de un entero por una expresión vectorial.
data ExpV = Vec Int Int | Sum ExpV ExpV | Mul Int ExpV deriving Show
Definir la función
valor :: ExpV -> (Int,Int)
tal que (valor e) es el valor de la expresión vectorial e. Por ejemplo,
valor (Vec 1 2) == (1,2) valor (Sum (Vec 1 2 ) (Vec 3 4)) == (4,6) valor (Mul 2 (Vec 3 4)) == (6,8) valor (Mul 2 (Sum (Vec 1 2 ) (Vec 3 4))) == (8,12) valor (Sum (Mul 2 (Vec 1 2)) (Mul 2 (Vec 3 4))) == (8,12)
El siguiente tipo de dato representa expresiones construidas con variables, sumas y productos
data Expr = Var String | S Expr Expr | P Expr Expre deriving Show
Por ejemplo, x.(y+z) se representa por (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))).
Una expresión es un término si es un producto de variables. Por ejemplo, x.(y.z) es un término pero x+(y.z) ni x.(y+z) lo son.
Una expresión está en forma normal si es una suma de términos. Por ejemplo, x.(y,z) y x+(y.z) está en forma normal; pero x.(y+z) y (x+y).(x+z) no lo están.
Definir las funciones
esTermino :: Expr -> Bool esNormal :: Expr -> Bool
tales que
(esTermino a) se verifica si a es un término. Por ejemplo,esTermino (V "x") == True esTermino (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esTermino (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False esTermino (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == False
(esNormal a) se verifica si a está en forma normal. Por ejemplo,esNormal (V "x") == True esNormal (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esNormal (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True esNormal (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False esNormal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "y") (V "z"))) == False
A partir de una palabra de puede formar un acrónimo uniendo un prefijo de la primera con un sufijo de la segunda. Por ejemplo,
Definir la función
esAcronimo :: String -> String -> String -> Bool
tal que (esAcronimo xs ys zs) se verifica si xs es un acrónimo de ys y zs. Por ejemplo,
esAcronimo "ofimatica" "oficina" "informatica" == True esAcronimo "informatica" "informacion" "automatica" == True
Definir la función
particionesFijas :: Int -> Int -> [[Int]]
tal que (particionesFijas n k) es la lista de listas de k números enteros positivos no crecientes cuya suma es el número entero positivo n. Por ejemplo,
λ> particionesFijas 8 2 [[4,4],[5,3],[6,2],[7,1]] λ> particionesFijas 8 3 [[3,3,2],[4,2,2],[4,3,1],[5,2,1],[6,1,1]] λ> particionesFijas 9 3 [[3,3,3],[4,3,2],[4,4,1],[5,2,2],[5,3,1],[6,2,1],[7,1,1]] λ> length (particionesFijas 67 5) 8056
Las expresiones aritméticas se pueden representar como árboles con números en las hojas y operaciones en los nodos. Por ejemplo, la expresión 9-2*4 se puede representar por el árbol
-
/ \
9 *
/ \
2 4
Definiendo el tipo de dato Arbol por
data Arbol = H Int | N (Int -> Int -> Int) Arbol Arbol
la representación del árbol anterior es
N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))
Definir la función
valor :: Arbol -> Int
tal que (valor a) es el valor de la expresión aritmética correspondiente al árbol a. Por ejemplo,
valor (N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))) == 1 valor (N (+) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))) == 17 valor (N (+) (H 9) (N div (H 4) (H 2))) == 11 valor (N (+) (H 9) (N max (H 4) (H 2))) == 13
Definir la función
alternativa :: (a -> b) -> (a -> b) -> [a] -> [b]
tal que (alternativa f g xs) es la lista obtenida aplicando alternativamente las funciones f y g a los elementos de xs. Por ejemplo,
alternativa (+1) (+10) [1,2,3,4] == [2,12,4,14] alternativa (+10) (*10) [1,2,3,4,5] == [11,20,13,40,15]
Definir la función
ciclica :: [a] -> [a]
tal que (ciclica xs) es la lista obtenida repitiendo cíclicamente los elementos de la lista no vacía xs. Por ejemplo,
take 10 (ciclica [3,5]) == [3,5,3,5,3,5,3,5,3,5] take 10 (ciclica [3,5,7]) == [3,5,7,3,5,7,3,5,7,3] take 10 (ciclica [3,5..]) == [3,5,7,9,11,13,15,17,19,21]
Definir la función
elemento :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
tal que (elemento xs ys) es la lista formada por el elemento común a xs e ys con la menor posición global (considerando su posición en ambas listas). Por ejemplo.
elemento [3,7,6,9,8,0] [5,4,2,7,8,6,9] == [7] elemento [3,7,6,9] [9,5,6] == [9] elemento [5,3,6] [7,6,3] == [3] elemento [0,1,3] [3,1] == [3] elemento [0,3,2] [1,2,3] == [3] elemento [3,7,6,3,8,0] [5,4,9,1,4,2,1] == [] elemento [2,3,5] [7,4] == []
Nota: Como se observa en el 3ª ejemplo, en el caso de que un elemento x de xs pertenezca a ys y el elemento de ys en la misma posición que x pertenezca a xs, se elige como el de menor posición el de xs.
Definir la función
verificaP :: (a -> Bool) -> [[a]] -> Bool
tal que (verificaP p xs) se verifica si cada elemento de la lista xss contiene algún elemento que cumple el predicado p. Por ejemplo,
verificaP odd [[1,3,4,2], [4,5], [9]] == True verificaP odd [[1,3,4,2], [4,8], [9]] == False
Definir la función
inversa :: Int -> [a] -> [a]
tal que (inversa k xs) es la lista obtenida invirtiendo elementos de xs, k elementos cada vez. Si el número de elementos de xs no es un múltiplo de k, entonces los finales elementos de xs se dejen sin invertir. Por ejemplo,
inversa 3 [1..11] == [3,2,1,6,5,4,9,8,7,10,11] inversa 4 [1..11] == [4,3,2,1,8,7,6,5,9,10,11]
Comprobar con QuickCheck que la función inversa es involutiva; es decir, para todo número k > 0 y toda lista xs, se tiene que (inversa k (inversa k xs)) es igual a xs.
Un mínimo local de una lista es un elemento de la lista que es menor que su predecesor y que su sucesor en la lista. Por ejemplo, 1 es un mínimo local de [3,2,1,3,7,7,1,0,2] ya que es menor que 2 (su predecesor) y que 3 (su sucesor).
Definir la función
minimosLocales :: Ord a => [a] -> [a]
tal que (minimosLocales xs) es la lista de los mínimos locales de la lista xs. Por ejemplo,
minimosLocales [3,2,1,3,7,7,9,6,8] == [1,6] minimosLocales [1..100] == [] minimosLocales "mqexvzat" == "eva"
Recientemente se publicó en la Red un pequeño test de inteligencia cuyo objetivo consistía en descubrir una función a partir de una colección de ejemplos. Los ejemplos eran los siguientes
f 6 4 == 210 f 9 2 == 711 f 8 5 == 313 f 5 2 == 37 f 7 6 == 113 f 9 8 == 117 f 10 6 == 416 f 15 3 == 1218
Definir la función
f :: Int -> Int -> Int
tal que f cubra los ejemplos anteriores y la definición de f sea lo más corta posible (en número de palabras).
Las matrices se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, la matriz
|3 2 5| |4 9 7|
se puede representar por [[3,2,5],[4,9,7]].
Definir la función
mayores :: Ord a => Int -> [[a]] -> [(a,Int)]
tal que (mayores n xss) es la lista de los n mayores elementos de la matriz xss junto con sus correspondientes número de fila. Por ejemplo,
λ> mayores 4 [[4,26,9],[2,37,53],[41,1,8]] [(53,2),(41,3),(37,2),(26,1)]
Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de (mayores n xss) son mayores o iguales que los restantes elementos de xss.
El factorial de 7 es
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040
por tanto, el último dígito no nulo del factorial de 7 es 4.
Definir la función
ultimoNoNuloFactorial :: Integer -> Integer
tal que (ultimoNoNuloFactorial n) es el último dígito no nulo del factorial de n. Por ejemplo,
ultimoNoNuloFactorial 7 == 4 ultimoNoNuloFactorial 10 == 8 ultimoNoNuloFactorial 12 == 6 ultimoNoNuloFactorial 97 == 2 ultimoNoNuloFactorial 0 == 1
Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 4, entonces el último dígito no nulo del factorial de n es par.
Definir la función
repiteElementos :: Int -> [a] -> [a]
tal que (repiteElementos k xs) es la lista obtenida repitiendo k veces cada elemento de xs. Por ejemplo,
repiteElementos 3 [5,2,7,4] == [5,5,5,2,2,2,7,7,7,4,4,4]
Comprobar con QuickCheck que, para todo número natural k y toda lista xs, el número de elementos de (repiteElementos k xs) es k veces el número de elementos de xs.
Dos números enteros son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.
Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3
Definir la función
primosRelativos :: [Int] -> Bool
tal que (primosRelativos xs) se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,
primosRelativos [6,35] == True primosRelativos [6,27] == False primosRelativos [2,3,4] == False primosRelativos [6,35,11] == True primosRelativos [6,35,11,221] == True primosRelativos [6,35,11,231] == False
Una función de precio determina el precio de cada elemento; por ejemplo,
precioCI :: String -> Int precioCI "leche" = 10 precioCI "mantequilla" = 18 precioCI "patatas" = 22 precioCI "chocolate" = 16
Definir la función
precioTotal :: (String -> Int) -> [String] -> Int
tal que (precioTotal f xs) es el precio total de los elementos de xs respecto de la función de precio f. Por ejemplo,
precioTotal precioCI ["leche", "leche", "mantequilla"] == 38 precioTotal precioCI ["chocolate", "mantequilla"] == 34
La extensión de un fichero es la palabra a continuación del último punto en el nombre del fichero. Por ejemplo, la extensión de "documento.txt" es "txt"
Definir la función
extension :: String -> String
tal que (extension cs) es la extensión del fichero cs. Por ejemplo,
extension "ejercicio.hs" == "hs" extension "documento.txt" == "txt" extension "documento.txt.pdf" == "pdf" extension "resumen" == ""
La distancia de Hamming entre dos listas es el número de posiciones en que los correspondientes elementos son distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba" es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
Definir la función
distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
tal que (distancia xs ys) es la distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
distancia "romano" "comino" == 2 distancia "romano" "camino" == 3 distancia "roma" "comino" == 2 distancia "roma" "camino" == 3 distancia "romano" "ron" == 1 distancia "romano" "cama" == 2 distancia "romano" "rama" == 1
Comprobar con QuickCheck si la distancia de Hamming tiene la siguiente propiedad
distancia(xs,ys) = 0 si, y sólo si, xs = ys
y, en el caso de que no se verifique, modificar ligeramente propiedad para obtener una condición necesaria y suficiente de distancia(xs,ys) = 0.
Definir una función
f :: Int -> Int
tal que para todo n, f(f(n)) = -n y comprobar con QuickCheck que se cumple la propiedad
prop_f :: Int -> Bool prop_f n = f (f n) == -n
es decir,
λ> quickCheck prop_f +++ OK, passed 100 tests.
Definir la función
sumaAnteriores :: [Integer] -> Bool
tal que (sumaAnteriores xs) se verifica si cada elemento de la lista xs (excepto el primero) es la suma de sus anteriores elementos en la lista. Por ejemplo,
sumaAnteriores [3,3,6,12] == True sumaAnteriores [3,3,7,10] == False sumaAnteriores [3] == True sumaAnteriores [] == True
Se considera la siguiente función
g :: Integer -> Integer g n = if n < 10 then n*n else n
Definir la función
max_g :: Integer -> Integer
tal que (max_g n) es el punto i del intervalo [0,n] donde g alcanza el máximo de sus valores, si n es positivo y 0 en caso contrario. Por ejemplo,
max_g (-7) == 0 max_g 7 == 7 max_g 14 == 9 max_g 84 == 84
Comprobar con QuickCheck que la función max_g es equivalente a la función f definida por
f :: Integer -> Integer f n | n < 0 = 0 | n >= 10 && n < 81 = 9 | otherwise = n
Definir la función
mayusculaInicial :: String -> String
tal que (mayusculaInicial xs) es la palabra xs con la letra inicial en mayúscula y las restantes en minúsculas. Por ejemplo,
mayusculaInicial "sEviLLa" == "Sevilla"
Todo número entero \(n\) se puede escribir como \(m \times 2^k\), con \(m\) impar. Se dice que \(m\) es la parte impar de \(n\). Por ejemplo, la parte impar de 40 es 5 porque 40 = \(5 \times 2^3\).
Definir la función
parteImpar :: Int -> Int
tal que (parteImpar n) es la parte impar de n. Por ejemplo,
parteImpar 40 == 5
Definir la función
noRepetidos :: Eq a => [a] -> [a]
tal que (noRepetidos xs) es la lista de los elementos no repetidos de la lista xs. Por ejemplo,
noRepetidos [3,2,5,2,4,7,3] == [5,4,7] noRepetidos "noRepetidos" == "nRptids" noRepetidos "Roma" == "Roma"
Una lista de números naturales es equidigital si todos sus elementos tienen el mismo número de dígitos.
Definir la función
equidigital :: [Int] -> Bool
tal que (equidigital xs) se verifica si xs es una lista equidigital. Por ejemplo,
equidigital [343,225,777,943] == True equidigital [343,225,777,94,3] == False
Definir la función
divisiblesPorPrimero :: [Int] -> Bool
tal que (divisibles xs) se verifica si todos los elementos positivos de xs son divisibles por el primero. Por ejemplo,
divisiblesPorPrimero [2,6,-3,0,18,-17,10] == True divisiblesPorPrimero [-13] == True divisiblesPorPrimero [-3,6,1,-3,9,18] == False divisiblesPorPrimero [5,-2,-6,3] == False divisiblesPorPrimero [] == True divisiblesPorPrimero [0,2,4] == False divisiblesPorPrimero [0,-2,-4] == True
El problema del laberinto numérico consiste en, dados un par de números, encontrar la longitud del camino más corto entre ellos usando sólo las siguientes operaciones:
Por ejemplo, un camino mínimo
Definir la función
longitudCaminoMinimo :: Int -> Int -> Int
tal que (longitudCaminoMinimo x y) es la longitud del camino mínimo desde x hasta y en el laberinto numérico.
longitudCaminoMinimo 3 12 == 2 longitudCaminoMinimo 12 3 == 2 longitudCaminoMinimo 9 2 == 8 longitudCaminoMinimo 2 9 == 5
La expresiones aritméticas se pueden representar mediante el siguiente tipo
data Expr = C Int | V Char | S Expr Expr | P Expr Expr deriving (Eq, Show)
por ejemplo, la expresión "z*(3+x)" se representa por (P (V 'z') (S (C 3) (V 'x'))).
Definir la función
sustitucion :: Expr -> [(Char, Int)] -> Expr
tal que (sustitucion e s) es la expresión obtenida sustituyendo las variables de la expresión e según se indica en la sustitución s. Por ejemplo,
λ> sustitucion (P (V 'z') (S (C 3) (V 'x'))) [('x',7),('z',9)] P (C 9) (S (C 3) (C 7)) λ> sustitucion (P (V 'z') (S (C 3) (V 'y'))) [('x',7),('z',9)] P (C 9) (S (C 3) (V 'y'))
Un conjunto A está cerrado respecto de una función f si para todo elemento x de A se tiene que f(x) pertenece a A. La clausura de un conjunto B respecto de una función f es el menor conjunto A que contiene a B y es cerrado respecto de f. Por ejemplo, la clausura de {0,1,2} respecto del opuesto es {0,1,2,-1,-2}.
Definir la función
clausura :: Eq a => (a -> a) -> [a] -> [a]
tal que (clausura f xs) es la clausura de xs respecto de f. Por ejemplo,
clausura (\x -> -x) [0,1,2] == [0,1,2,-1,-2] clausura (\x -> (x+1) `mod` 5) [0] == [0,1,2,3,4]
Definir la constante
cadenasCerosUnos :: [String]
tal que cadenasCerosUnos es la lista de cadenas de ceros y unos,
ordenada lexicográficamente. Por ejemplo,
λ> take 15 cadenasCerosUnos1 ["","0","1","00","01","10","11","000","001","010","011","100", "101","110","111"]
Definir la lista
numerosConDigitosPrimos :: [Integer]
cuyos elementos son los números con todos sus dígitos primos. Por ejemplo,
λ> take 22 numerosConDigitosPrimos [2,3,5,7,22,23,25,27,32,33,35,37,52,53,55,57,72,73,75,77,222,223] λ> numerosConDigitosPrimos !! (10^7) 322732232572
Una matriz permutación es una matriz cuadrada con todos sus elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.
En este ejercicio se usará el tipo de las matrices definido por
type Matriz a = Array (Int,Int) a
y los siguientes ejemplos de matrices
q1, q2, q3 :: Matriz Int q1 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),1),((1,2),0),((2,1),0),((2,2),1)] q2 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),0),((1,2),1),((2,1),0),((2,2),1)] q3 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),3),((1,2),0),((2,1),0),((2,2),1)]
Definir la función
esMatrizPermutacion :: Num a => Matriz a -> Bool
tal que (esMatrizPermutacion p) se verifica si p es una matriz permutación. Por ejemplo.
esMatrizPermutacion q1 == True esMatrizPermutacion q2 == False esMatrizPermutacion q3 == False
Un árbol binario de búsqueda (ABB) es un árbol binario tal que el cada nodo es mayor que los valores de su subárbol izquierdo y menor que los valores de su subárbol derecho y, además, ambos subárboles son árboles binarios de búsqueda. Por ejemplo, al almacenar los valores de [8,4,2,6,3] en un ABB se puede obtener el siguiente ABB:
3
/ \
/ \
2 6
/ \
4 8
Los ABB se pueden representar como tipo de dato algebraico:
data ABB = V | N Int ABB ABB deriving (Eq, Show)
Por ejemplo, la definición del ABB anteriore es
ej :: ABB ej = N 3 (N 2 V V) (N 6 (N 4 V V) (N 8 V V))
Definir la función
inserta :: Int -> ABB -> ABB
tal que (inserta v a) es el árbol obtenido añadiendo el valor v al ABB a, si no es uno de sus valores. Por ejemplo,
λ> inserta 5 ej N 3 (N 2 V V) (N 6 (N 4 V (N 5 V V)) (N 8 V V)) λ> inserta 1 ej N 3 (N 2 (N 1 V V) V) (N 6 (N 4 V V) (N 8 V V)) λ> inserta 2 ej N 3 (N 2 V V) (N 6 (N 4 V V) (N 8 V V))
Comprobar con QuickCheck que al insertar un valor en un ABB se obtiene otro ABB.
Las matrices pueden representarse mediante una lista de listas donde cada una de las lista representa una fila de la matriz. Por ejemplo, la matriz
|1 0 -2| |0 3 -1|
puede representarse por [[1,0,-2],[0,3,-1]].
Definir la función
producto :: Num a => [[a]] -> [[a]] -> [[a]]
tal que (producto p q) es el producto de las matrices p y q. Por ejemplo,
λ> producto [[1,0,-2],[0,3,-1]] [[0,3],[-2,-1],[0,4]] [[0,-5],[-6,-7]]
En la Olimpiada de Matemática del 2010 se planteó el siguiente problema:
Una sucesión pucelana es una sucesión creciente de 16 números impares positivos consecutivos, cuya suma es un cubo perfecto. ¿Cuántas sucesiones pucelanas tienen solamente números de tres cifras?
Para resolverlo se propone el siguiente ejercicio.
Definir la función
pucelanasConNcifras :: Int -> [[Int]]
tal que (pucelanasConNcifras n) es la lista de las sucesiones pucelanas que tienen solamente números de n cifras. Por ejemplo,
λ> pucelanasConNcifras 2 [[17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47]]
Calcular cuántas sucesiones pucelanas tienen solamente números de tres cifras.
Definir la función
todasTienenPar :: [[Int]] -> Bool
tal que tal que todasTienenPar xss se verifica si cada elemento de la lista de listas xss contiene algún número par. Por ejemplo,
todasTienenPar [[1,2],[3,4,5],[8]] == True todasTienenPar [[1,2],[3,5]] == False
Definir la función
producto :: [[a]] -> [[a]]
tal que (producto xss) es el producto cartesiano de los conjuntos xss. Por ejemplo,
λ> producto [[2,5],[6,4]] [[2,6],[2,4],[5,6],[5,4]] λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]] [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]] λ> producto [[1,3,5],[2,4]] [[1,2],[1,4],[3,2],[3,4],[5,2],[5,4]] λ> producto [] [[]]
Comprobar con QuickCheck que para toda lista de listas de enteros, xss, se verifica que el número de elementos de (producto xss) es igual al producto de los números de elementos de cada una de las listas de xss.
El código Morse es un sistema de representación de letras y números mediante señales emitidas de forma intermitente.
A los signos (letras mayúsculas o dígitos) se le asigna un código como se muestra a continuación
+---+-------+---+-------+---+-------+---+-------+ | A | .- | J | .--- | S | ... | 1 | ..--- | | B | -... | K | -.- | T | - | 2 | ...-- | | C | -.-. | L | .-.. | U | ..- | 3 | ....- | | D | -.. | M | -- | V | ...- | 4 | ..... | | E | . | N | -. | W | .-- | 5 | -.... | | F | ..-. | O | --- | X | -..- | 6 | --... | | G | --. | P | .--. | Y | -.-- | 7 | ---.. | | H | .... | Q | --.- | Z | --.. | 8 | ----. | | I | .. | R | .-. | 0 | .---- | 9 | ----- | +---+-------+---+-------+---+-------+---+-------+
El código Morse de las palabras se obtiene a partir del de sus caracteres insertando un espacio entre cada uno. Por ejemplo, el código de "todo" es "- --- -.. ---"
El código Morse de las frase se obtiene a partir del de sus palabras insertando un espacio entre cada uno. Por ejemplo, el código de "todo o nada" es "- --- -.. --- --- -. .- -.. .-"
Definir las funciones
fraseAmorse :: String -> String morseAfrase :: String -> String
tales que
λ> fraseAmorse "En todo la medida" ". -. - --- -.. --- .-.. .- -- . -.. .. -.. .-"
λ> morseAfrase ". -. - --- -.. --- .-.. .- -- . -.. .. -.. .-" "EN TODO LA MEDIDA"
Nota: La lista de los códigos Morse de A, B, ..., Z, 0, 1, ..., 9 es
[".-","-...","-.-.","-..",".","..-.","--.","....","..",".---", "-.-",".-..","--","-.","---",".--.","--.-",".-.","...","-", "..-","...-",".--","-..-","-.--","--..",".----","..---","...--", "....-",".....","-....","--...","---..","----.","-----"]
Definir la función
cercano :: (a -> Bool) -> Int -> [a] -> Maybe a
tal que (cercano p n xs) es el elemento de xs cuya posición es la cercana a la posición n que verifica la propiedad p. La búsqueda comienza en n y los elementos se analizan en el siguiente orden: n, n+1, n-1, n+2, n-2,... Por ejemplo,
cercano (`elem` "aeiou") 6 "Sevilla" == Just 'a' cercano (`elem` "aeiou") 1 "Sevilla" == Just 'e' cercano (`elem` "aeiou") 2 "Sevilla" == Just 'i' cercano (`elem` "aeiou") 5 "Sevilla" == Just 'a' cercano (`elem` "aeiou") 9 "Sevilla" == Just 'a' cercano (`elem` "aeiou") (-3) "Sevilla" == Just 'e' cercano (>100) 4 [200,1,150,2,4] == Just 150 cercano even 5 [1,3..99] == Nothing
Los primeros números de Fibonacci son
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
tales que los dos primeros son iguales a 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.
El teorema de Zeckendorf establece que todo entero positivo n se puede representar, de manera única, como la suma de números de Fibonacci no consecutivos decrecientes. Dicha suma se llama la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo, la representación de Zeckendorf de 100 es
100 = 89 + 8 + 3
Hay otras formas de representar 100 como sumas de números de Fibonacci; por ejemplo,
100 = 89 + 8 + 2 + 1 100 = 55 + 34 + 8 + 3
pero no son representaciones de Zeckendorf porque 1 y 2 son números de Fibonacci consecutivos, al igual que 34 y 55.
Definir la función
zeckendorf :: Integer -> [Integer]
tal que (zeckendorf n) es la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo,
zeckendorf 100 == [89,8,3] zeckendorf 2014 == [1597,377,34,5,1] zeckendorf 28656 == [17711,6765,2584,987,377,144,55,21,8,3,1] zeckendorf 14930396 == [14930352,34,8,2]
Definir la función
ventanas :: Int -> Int -> [a] -> [[a]]
tal que (ventanas x y zs) es la lista de ventanas de zs de tamaño x y deslizamiento y; es decir, listas de x elementos consecutivos de zs (salvo, posiblemente, la última que puede ser menor) tales que la diferencia de posiciones entre los primeros elementos de ventanas consecutivas es y. Por ejemplo,
ventanas 3 2 [5,1,9,2] == [[5,1,9],[9,2]] ventanas 3 3 [5,1,9,2] == [[5,1,9],[2]] ventanas 3 4 [5,1,9,2] == [[5,1,9]] ventanas 4 1 [1..7] == [[1,2,3,4],[2,3,4,5],[3,4,5,6],[4,5,6,7]] ventanas 4 2 [1..7] == [[1,2,3,4],[3,4,5,6],[5,6,7]] ventanas 4 3 [1..7] == [[1,2,3,4],[4,5,6,7]] ventanas 4 4 [1..7] == [[1,2,3,4],[5,6,7]] ventanas 4 5 [1..7] == [[1,2,3,4],[6,7]] ventanas 4 6 [1..7] == [[1,2,3,4],[7]] ventanas 4 7 [1..7] == [[1,2,3,4]] ventanas 4 8 [1..7] == [[1,2,3,4]] ventanas 3 2 "abcdef" == ["abc","cde","ef"] ventanas 3 3 "abcdef" == ["abc","def"] ventanas 3 4 "abcdef" == ["abc","ef"] ventanas 3 5 "abcdef" == ["abc","f"] ventanas 3 6 "abcdef" == ["abc"] ventanas 3 7 "abcdef" == ["abc"] ventanas 1 5 "abcdef" == ["a","f"]
Definir la función
divideSiTodosMultiplos :: Integral a => a -> [a] -> Maybe [a]
tal que (divideSiTodosMultiplos x ys) es justo la lista de los cocientes de los elementos de ys entre x si todos son múltiplos de de número no nulo x y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,
divideSiTodosMultiplos 2 [6,10,4] == Just [3,5,2] divideSiTodosMultiplos 2 [6,10,5] == Nothing
Los árboles binarios se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por
data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving (Show, Eq, Foldable, Functor)
Por ejemplo, el árbol
"C"
/ \
/ \
/ \
"B" "A"
/ \ / \
"A" "B" "B" "C"
se puede definir por
ej1 :: Arbol String ej1 = N "C" (N "B" (H "A") (H "B")) (N "A" (H "B") (H "C"))
Definir la función
renombraArbol :: Arbol t -> Arbol Int
tal que (renombraArbol a) es el árbol obtenido sustituyendo el valor de los nodos y hojas de a por números tales que tengan el mismo valor si y sólo si coincide su contenido. Por ejemplo,
λ> renombraArbol ej1 N 2 (N 1 (H 0) (H 1)) (N 0 (H 1) (H 2))
Gráficamente,
2
/ \
/ \
/ \
1 0
/ \ / \
0 1 1 2
Definir la función
conMayuscula :: String -> Int
tal que (conMayuscula cs) es el número de palabras de cs que empiezan con mayúscula. Por ejemplo.
conMayuscula "Juan vive en Sevilla o en Huelva" == 3
Definir la función
limite :: (Double -> Double) -> Double -> Double
tal que (limite f a) es el valor de f en el primer término x tal que, para todo y entre x+1 y x+100, el valor absoluto de la diferencia entre f(y) y f(x) es menor que a. Por ejemplo,
limite (\n -> (2*n+1)/(n+5)) 0.001 == 1.9900110987791344 limite (\n -> (1+1/n)**n) 0.001 == 2.714072874546881
Definir la función
elimina :: Int -> [a] -> [[a]]
tal que (elimina n xs) es la lista de las listas obtenidas eliminando n elementos de xs. Por ejemplo,
elimina 0 "abcd" == ["abcd"] elimina 1 "abcd" == ["bcd","acd","abd","abc"] elimina 2 "abcd" == ["cd","bd","bc","ad","ac","ab"] elimina 3 "abcd" == ["d","c","b","a"] elimina 4 "abcd" == [""] elimina 5 "abcd" == [] elimina 6 "abcd" == []
Definir la función
intercala :: Int -> a -> [a] -> [[a]]
tal que (intercala n x ys) es la lista de la listas obtenidas intercalando n copias de x en ys. Por ejemplo,
intercala 2 'a' "bc" == ["bcaa","baca","baac","abca","abac","aabc"] intercala 2 'a' "c" == ["caa","aca","aac"] intercala 1 'a' "c" == ["ca","ac"] intercala 0 'a' "c" == ["c"]
Las matrices se puede representar mediante tablas cuyos índices son pares de números naturales:
type Matriz a = Array (Int,Int) a
Definir la función
enLaSopa :: Eq a => [a] -> Matriz a -> Bool
tal que (enLaSopa c p) se verifica si c está en la matriz p en horizontal o en vertical. Por ejemplo, si ej1 es la matriz siguiente:
ej1 :: Matriz Char ej1 = listaMatriz ["mjtholueq", "juhoolauh", "dariouhyj", "rngkploaa"]
donde la función listaMatriz está definida por
listaMatriz :: [[a]] -> Matriz a listaMatriz xss = listArray ((1,1),(m,n)) (concat xss) where m = length xss n = length (head xss)
entonces,
enLaSopa "dar" p == True -- En horizontal a la derecha en la 3ª fila enLaSopa "oir" p == True -- En horizontal a la izquierda en la 3ª fila enLaSopa "juan" p == True -- En vertical descendente en la 2ª columna enLaSopa "kio" p == True -- En vertical ascendente en la 3ª columna enLaSopa "Juan" p == False enLaSopa "hola" p == False
Un n-grama de una sucesión es una subsucesión contigua de n elementos.
Definir la función
nGramas :: Int -> [a] -> [[a]]
tal que (nGramas k xs) es la lista de los n-gramas de xs de longitud k. Por ejemplo,
nGramas 0 "abcd" == [] nGramas 1 "abcd" == ["a","b","c","d"] nGramas 2 "abcd" == ["ab", "bc", "cd"] nGramas 3 "abcd" == ["abc", "bcd"] nGramas 4 "abcd" == ["abcd"] nGramas 5 "abcd" == []
Definir la función
enteroPositivo :: String -> Maybe Int
tal que (enteroPositivo cs) es justo el contenido de la cadena cs, si dicho contenido es un entero positivo, y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,
enteroPositivo "235" == Just 235 enteroPositivo "-235" == Nothing enteroPositivo "23.5" == Nothing enteroPositivo "235 " == Nothing enteroPositivo "cinco" == Nothing enteroPositivo "" == Nothing
Definir la función
filtroBooleano :: [Bool] -> [a] -> [Maybe a]
tal que (filtroBooleano xs ys) es la lista de los elementos de ys tales que el elemento de xs en la misma posición es verdadero. Por ejemplo,
λ> filtroBooleano [True,False,True] "Sevilla" [Just 'S',Nothing,Just 'v'] λ> filtroBooleano (repeat True) "abc" [Just 'a',Just 'b',Just 'c'] λ> take 3 (filtroBooleano (repeat True) [1..]) [Just 1,Just 2,Just 3] λ> take 3 (filtroBooleano (repeat False) [1..]) [Nothing,Nothing,Nothing] λ> take 3 (filtroBooleano (cycle [True,False]) [1..]) [Just 1,Nothing,Just 3]
La sucesión 3n+1 generada por un número entero positivo x es sucesión generada por el siguiente algoritmo: Se empieza con el número x. Si x es par, se divide entre 2. Si x es impar, se multiplica por 3 y se le suma 1. El proceso se repite con el número obtenido hasta que se alcanza el valor 1. Por ejemplo, la sucesión de números generadas cuando se empieza en 22 es
22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
Se ha conjeturado (aunque no demostrado) que este algoritmo siempre alcanza el 1 empezando en cualquier entero positivo.
Definir la función
mayorLongitud :: Integer -> Integer -> Integer
tal que (mayorLongitud i j) es el máximo de las longitudes de las sucesiones 3n+1 para todos los números comprendidos entre i y j, ambos inclusives. Por ejemplo,
mayorLongitud 1 10 == 20 mayorLongitud 100 200 == 125 mayorLongitud 201 210 == 89 mayorLongitud 900 1000 == 174
El buscaminas es un juego cuyo objetivo es despejar un campo de minas sin detonar ninguna.
El campo de minas se representa mediante un cuadrado con NxN casillas. Algunas casillas tienen un número, este número indica las minas que hay en todas las casillas vecinas. Cada casilla tiene como máximo 8 vecinas. Por ejemplo, el campo 4x4 de la izquierda contiene dos minas, cada una representada por el número 9, y a la derecha se muestra el campo obtenido anotando las minas vecinas de cada casilla
9 0 0 0 9 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 9 0 0 1 9 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
de la misma forma, la anotación del siguiente a la izquierda es el de la derecha
9 9 0 0 0 9 9 1 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 0 0 0 9 0 0 0 1 9 1 0 0
Utilizando la librería Data.Matrix, los campos de minas se representan mediante matrices:
type Campo = Matrix Int
Por ejemplo, los anteriores campos de la izquierda se definen por
ejCampo1, ejCampo2 :: Campo ejCampo1 = fromLists [[9,0,0,0], [0,0,0,0], [0,9,0,0], [0,0,0,0]] ejCampo2 = fromLists [[9,9,0,0,0], [0,0,0,0,0], [0,9,0,0,0]]
Definir la función
buscaminas :: Campo -> Campo
tal que buscaminas c es el campo obtenido anotando las minas vecinas de cada casilla. Por ejemplo,
λ> buscaminas ejCampo1 ( 9 1 0 0 ) ( 2 2 1 0 ) ( 1 9 1 0 ) ( 1 1 1 0 ) λ> buscaminas ejCampo2 ( 9 9 1 0 0 ) ( 3 3 2 0 0 ) ( 1 9 1 0 0 )
Definir la función
seleccionConFallo :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
tal que (seleccionConFallo p xs) es la lista de los elementos de xs que cumplen el predicado p hasta el primero que no lo cumple inclusive. Por ejemplo,
seleccionConFallo (<5) [3,2,5,7,1,0] == [3,2,5] seleccionConFallo odd [1..4] == [1,2] seleccionConFallo odd [1,3,5] == [1,3,5] seleccionConFallo (<5) [10..20] == [10]
Definir la función
sumas :: (Num a, Ord a) => Int -> [a] -> a -> [[a]]
tal que (sumas n ys x) es la lista de las descomposiciones de x como sumas de n sumandos en la lista ys. Por ejemplo,
sumas 2 [1,2] 3 == [[1,2]] sumas 2 [-1] (-2) == [[-1,-1]] sumas 2 [-1,3,-1] 2 == [[-1,3]] sumas 2 [1,2] 4 == [[2,2]] sumas 2 [1,2] 5 == [] sumas 3 [1,2] 5 == [[1,2,2]] sumas 3 [1,2] 6 == [[2,2,2]] sumas 2 [1,2,5] 6 == [[1,5]] sumas 2 [1,2,3,5] 4 == [[1,3],[2,2]] sumas 2 [1..5] 6 == [[1,5],[2,4],[3,3]] sumas 3 [1..5] 7 == [[1,1,5],[1,2,4],[1,3,3],[2,2,3]] sumas 3 [1..200] 4 == [[1,1,2]]
Definir la función
divisoresConFinal :: Integer -> Integer -> [Integer]
tal que (divisoresConFinal n m) es la lista de los divisores de n cuyos dígitos finales coincide con m. Por ejemplo,
divisoresConFinal 84 4 == [4,14,84] divisoresConFinal 720 20 == [20,120,720]
La órbita prima de un número n es la sucesión construida de la siguiente forma:
n es compuesto su órbita no tiene elementosn es primo, entonces n está en su órbita; además, sumamos n y sus dígitos, si el resultado es un número primo repetimos el proceso hasta obtener un número compuesto.Por ejemplo, con el 11 podemos repetir el proceso dos veces
13 = 11+1+1 17 = 13+1+3 25 = 17+1+7
Así, la órbita prima de 11 es 11, 13, 17.
Definir la función
orbita :: Integer -> [Integer]
tal que (orbita n) es la órbita prima de n. Por ejemplo,
orbita 11 == [11,13,17] orbita 59 == [59,73,83]
Calcular el menor número cuya órbita prima tiene más de 3 elementos.
Se dice que una sucesión x(1), ..., x(n) está ordenada cíclicamente si existe un índice i tal que la sucesión
x(i), x(i+1), ..., x(n), x(1), ..., x(i-1)
está ordenada creciente de forma estricta.
Definir la función
ordenadaCiclicamente :: Ord a => [a] -> Maybe Int
tal que (ordenadaCiclicamente xs) es el índice a partir del cual está ordenada, si la lista está ordenado cíclicamente y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,
ordenadaCiclicamente [1,2,3,4] == Just 0 ordenadaCiclicamente [5,8,1,3] == Just 2 ordenadaCiclicamente [4,6,7,5,1,3] == Nothing ordenadaCiclicamente [1,0,3,2] == Nothing ordenadaCiclicamente [1,2,0] == Just 2 ordenadaCiclicamente "cdeab" == Just 3
Nota: Se supone que el argumento es una lista no vacía sin elementos repetidos.
Definir la función
eliminaAisladas :: Eq a => a -> [a] -> [a]
tal que (eliminaAisladas x ys) es la lista obtenida eliminando de ys las ocurrencias aisladas de x (es decir, aquellas ocurrencias de x tales que su elemento anterior y posterior son distintos de x). Por ejemplo,
eliminaAisladas 'X' "" == "" eliminaAisladas 'X' "X" == "" eliminaAisladas 'X' "XX" == "XX" eliminaAisladas 'X' "XXX" == "XXX" eliminaAisladas 'X' "abcd" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "Xabcd" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "XXabcd" == "XXabcd" eliminaAisladas 'X' "XXXabcd" == "XXXabcd" eliminaAisladas 'X' "abcdX" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "abcdXX" == "abcdXX" eliminaAisladas 'X' "abcdXXX" == "abcdXXX" eliminaAisladas 'X' "abXcd" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "abXXcd" == "abXXcd" eliminaAisladas 'X' "abXXXcd" == "abXXXcd" eliminaAisladas 'X' "XabXcdX" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "XXabXXcdXX" == "XXabXXcdXX" eliminaAisladas 'X' "XXXabXXXcdXXX" == "XXXabXXXcdXXX" eliminaAisladas 'X' "XabXXcdXeXXXfXx" == "abXXcdeXXXfx"
Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos
data Arbol a = N a [Arbol a] deriving (Show, Eq)
Por ejemplo, los árboles
1 3
/ \ /|\
6 3 / | \
| 5 4 7
5 | /\
6 2 1
se representan por
ej1, ej2 :: Arbol Int ej1 = N 1 [N 6 [],N 3 [N 5 []]] ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]
Definir la función
emparejaArboles :: (a -> b -> c) -> Arbol a -> Arbol b -> Arbol c
tal que (emparejaArboles f a1 a2) es el árbol obtenido aplicando la función f a los elementos de los árboles a1 y a2 que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo,
λ> emparejaArboles (+) (N 1 [N 2 [], N 3[]]) (N 1 [N 6 []]) N 2 [N 8 []] λ> emparejaArboles (+) ej1 ej2 N 4 [N 11 [],N 7 []] λ> emparejaArboles (+) ej1 ej1 N 2 [N 12 [],N 6 [N 10 []]]
Definir la función
particion :: [a] -> ([a],[a])
tal que (particion xs) es el par cuya primera componente son los elementos de xs en posiciones pares y su segunda componente son los restantes elementos. Por ejemplo,
particion [3,5,6,2] == ([3,6],[5,2]) particion [3,5,6,2,7] == ([3,6,7],[5,2]) particion "particion" == ("priin","atco")
Se dice que en una sucesión de números x(1), x(2), ..., x(n) hay una inversión cuando existe un par de números x(i) > x(j), siendo i < j. Por ejemplo, en la permutación 2, 1, 4, 3 hay dos inversiones (2 antes que 1 y 4 antes que 3) y en la permutación 4, 3, 1, 2 hay cinco inversiones (4 antes 3, 4 antes 1, 4 antes 2, 3 antes 1, 3 antes 2).
Definir la función
numeroInversiones :: Ord a => [a] -> Int
tal que (numeroInversiones xs) es el número de inversiones de xs. Por
ejemplo,
numeroInversiones [2,1,4,3] == 2 numeroInversiones [4,3,1,2] == 5
Los números triangulares se forman como sigue
* * * * * * * * * * 1 3 6
La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son
1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Definir la función
descomposicionesTriangulares :: Int -> [(Int, Int, Int)]
tal que descomposicionesTriangulares n es la lista de las ternas correspondientes a las descomposiciones de n en tres sumandos, como máximo, formados por números triangulares. Por ejemplo,
λ> descomposicionesTriangulares 4 [] λ> descomposicionesTriangulares 5 [(1,1,3)] λ> descomposicionesTriangulares 12 [(1,1,10),(3,3,6)] λ> descomposicionesTriangulares 30 [(1,1,28),(3,6,21),(10,10,10)] λ> descomposicionesTriangulares 61 [(1,15,45),(3,3,55),(6,10,45),(10,15,36)] λ> descomposicionesTriangulares 52 [(1,6,45),(1,15,36),(3,21,28),(6,10,36),(10,21,21)] λ> descomposicionesTriangulares 82 [(1,3,78),(1,15,66),(1,36,45),(6,10,66),(6,21,55),(10,36,36)] λ> length (descomposicionesTriangulares (5*10^6)) 390
Definir la función
indicesVerdaderos :: [Int] -> [Bool]
tal que (indicesVerdaderos xs) es la lista infinita de booleanos tal que sólo son verdaderos los elementos cuyos índices pertenecen a la lista estrictamente creciente xs. Por ejemplo,
λ> take 6 (indicesVerdaderos [1,4]) [False,True,False,False,True,False] λ> take 6 (indicesVerdaderos [0,2..]) [True,False,True,False,True,False] λ> take 3 (indicesVerdaderos []) [False,False,False] λ> take 6 (indicesVerdaderos [1..]) [False,True,True,True,True,True] λ> last (take (8*10^7) (indicesVerdaderos [0,5..])) False
Para la determinación de las alergia se utiliza los siguientes códigos para los alérgenos:
Huevos ........ 1 Cacahuetes .... 2 Mariscos ...... 4 Fresas ........ 8 Tomates ....... 16 Chocolate ..... 32 Polen ......... 64 Gatos ......... 128
Así, si Juan es alérgico a los cacahuetes y al chocolate, su puntuación es 34 (es decir, 2+32).
Los alérgenos se representan mediante el siguiente tipo de dato
data Alergeno = Huevos | Cacahuetes | Mariscos | Fresas | Tomates | Chocolate | Polen | Gatos deriving (Enum, Eq, Show, Bounded)
Definir la función
alergias :: Int -> [Alergeno]
tal que (alergias n) es la lista de alergias correspondiente a una puntuación n. Por ejemplo,
λ> alergias 1 [Huevos] λ> alergias 2 [Cacahuetes] λ> alergias 3 [Huevos,Cacahuetes] λ> alergias 5 [Huevos,Mariscos] λ> alergias 255 [Huevos,Cacahuetes,Mariscos,Fresas,Tomates,Chocolate,Polen,Gatos]
Definir la función
sonido :: Int -> String
tal que (sonido n) escribe "Pim" si n es divisible por 3, además escribe "Pam" si n es divisible por 5 y también escribe "Pum" si n es divisible por 7. Por ejemplo,
sonido 3 == "Pim" sonido 5 == "Pam" sonido 7 == "Pum" sonido 8 == "" sonido 9 == "Pim" sonido 15 == "PimPam" sonido 21 == "PimPum" sonido 35 == "PamPum" sonido 105 == "PimPamPum"
Definir la función
reiteracion :: (a -> a) -> Int -> a -> a
tal que (reiteracion f n x) es el resultado de aplicar n veces la función f a x. Por ejemplo,
reiteracion (+1) 10 5 == 15 reiteracion (+5) 10 0 == 50 reiteracion (*2) 4 1 == 16 reiteracion (5:) 4 [] == [5,5,5,5]
Las matrices puede representarse mediante tablas cuyos índices son pares de números naturales. Su tipo se define por
type Matriz = Array (Int,Int) Int
Por ejemplo, la matriz
|9 4 6 5| |8 1 7 3| |4 2 5 4|
se define por
ej :: Matriz ej = listArray ((1,1),(3,4)) [9,4,6,5,8,1,7,3,4,2,5,4]
Los vecinos de un elemento son los que están a un paso en la misma fila, columna o diagonal. Por ejemplo, en la matriz anterior, el 1 tiene 8 vecinos (el 9, 4, 6, 8, 7, 4, 2 y 5) pero el 9 sólo tiene 3 vecinos (el 4, 8 y 1).
Definir la función
algunoMenor :: Matriz -> [Int]
tal que (algunoMenor p) es la lista de los elementos de p que tienen algún vecino menor que él. Por ejemplo,
algunoMenor ej == [9,4,6,5,8,7,4,2,5,4]
pues sólo el 1 y el 3 no tienen ningún vecino menor en la matriz.
Los árboles binarios se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por
data Arbol a = H a | N (Arbol a) a (Arbol a) deriving Show
Por ejemplo, el árbol
"B"
/ \
/ \
/ \
"B" "A"
/ \ / \
"A" "B" "C" "C"
se puede definir por
ej1 :: Arbol String ej1 = N (N (H "A") "B" (H "B")) "B" (N (H "C") "A" (H "C"))
Definir la función
enumeraArbol :: Arbol t -> Arbol Int
tal que (enumeraArbol a) es el árbol obtenido numerando las hojas y los nodos de a desde la hoja izquierda hasta la raíz. Por ejemplo,
λ> enumeraArbol ej1 N (N (H 0) 1 (H 2)) 3 (N (H 4) 5 (H 6))
Gráficamente,
3
/ \
/ \
/ \
1 5
/ \ / \
0 2 4 6
Los números triangulares se forman como sigue
* * * * * * * * * * 1 3 6
La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son
1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Definir la función
triangularesConCifras :: Int -> [Integer]
tal que triangularesConCifras n es la lista de los números triangulares con n cifras distintas. Por ejemplo,
take 6 (triangularesConCifras 1) == [1,3,6,55,66,666] take 6 (triangularesConCifras 2) == [10,15,21,28,36,45] take 6 (triangularesConCifras 3) == [105,120,136,153,190,210] take 5 (triangularesConCifras 4) == [1035,1275,1326,1378,1485] take 2 (triangularesConCifras 10) == [1062489753,1239845706]
Definir la función
trenza :: [a] -> [a] -> [a]
tal que (trenza xs ys) es la lista obtenida intercalando los elementos de xs e ys. Por ejemplo,
trenza [5,1] [2,7,4] == [5,2,1,7] trenza [5,1,7] [2..] == [5,2,1,3,7,4] trenza [2..] [5,1,7] == [2,5,3,1,4,7] take 8 (trenza [2,4..] [1,5..]) == [2,1,4,5,6,9,8,13]
Definir la función
biparticiones :: [a] -> [([a],[a])]
tal que (biparticiones xs) es la lista de pares formados por un prefijo de xs y el resto de xs. Por ejemplo,
λ> biparticiones [3,2,5]
[([],[3,2,5]),([3],[2,5]),([3,2],[5]),([3,2,5],[])]
λ> biparticiones "Roma"
[("","Roma"),("R","oma"),("Ro","ma"),("Rom","a"),("Roma","")]
Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos
data Arbol a = N a [Arbol a] deriving Show
Por ejemplo, los árboles
1 3
/ \ /|\
2 3 / | \
| 5 4 7
4 | /\
6 2 1
se representan por
ej1, ej2 :: Arbol Int ej1 = N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]] ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]
Definir la función
mayorProducto :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a
tal que (mayorProducto a) es el mayor producto de las ramas del árbol a. Por ejemplo,
λ> mayorProducto (N 1 [N 2 [], N 3 []]) 3 λ> mayorProducto (N 1 [N 8 [], N 4 [N 3 []]]) 12 λ> mayorProducto (N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]]) 12 λ> mayorProducto (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]) 90 λ> mayorProducto (N (-8) [N 0 [N (-9) []],N 6 []]) 0 λ> a = N (-4) [N (-7) [],N 14 [N 19 []],N (-1) [N (-6) [],N 21 []],N (-4) []] λ> mayorProducto a 84