Dados dos números naturales, a y b, es posible calcular su máximo común divisor mediante el Algoritmo de Euclides. Este algoritmo se puede resumir en la siguiente fórmula:

   mcd(a,b) = a,                   si b = 0
            = mcd (b, a módulo b), si b > 0

Definir la función

   mcd :: Integer -> Integer -> Integer

tal que mcd a b es el máximo común divisor de a y b calculado mediante el algoritmo de Euclides. Por ejemplo,

   mcd 30 45  ==  15
   mcd 45 30  ==  15

Comprobar con QuickCheck que el máximo común divisor de dos números a y b (ambos mayores que 0) es siempre mayor o igual que 1 y además es menor o igual que el menor de los números a y b.

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Definir la función

   potencia :: Integer -> Integer -> Integer

tal que potencia x n es x elevado al número natural n. Por ejemplo,

   potencia 2 3  ==  8

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Las bases de datos sobre actividades de personas pueden representarse mediante listas de elementos de la forma (a,b,c,d), donde a es el nombre de la persona, b su actividad, c su fecha de nacimiento y d la de su fallecimiento. Un ejemplo es la siguiente que usaremos a lo largo de este ejercicio,

   personas :: [(String,String,Int,Int)]
   personas = [("Cervantes","Literatura",1547,1616),
               ("Velazquez","Pintura",1599,1660),
               ("Picasso","Pintura",1881,1973),
               ("Beethoven","Musica",1770,1823),
               ("Poincare","Ciencia",1854,1912),
               ("Quevedo","Literatura",1580,1654),
               ("Goya","Pintura",1746,1828),
               ("Einstein","Ciencia",1879,1955),
               ("Mozart","Musica",1756,1791),
               ("Botticelli","Pintura",1445,1510),
               ("Borromini","Arquitectura",1599,1667),
               ("Bach","Musica",1685,1750)]

Definir las funciones

   nombres   :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
   musicos   :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
   seleccion :: [(String,String,Int,Int)] -> String -> [String]
   musicos'  :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
   vivas     :: [(String,String,Int,Int)] -> Int -> [String]

tales que

• nombres bd es la lista de los nombres de las personas de la base de datos bd. Por ejemplo,

     λ> nombres personas
     ["Cervantes","Velazquez","Picasso","Beethoven","Poincare",
      "Quevedo","Goya","Einstein","Mozart","Botticelli","Borromini",
      "Bach"]

• musicos bd es la lista de los nombres de los músicos de la base de datos bd. Por ejemplo,

     musicos personas  ==  ["Beethoven","Mozart","Bach"]

• seleccion bd m es la lista de los nombres de las personas de la base de datos bd cuya actividad es m. Por ejemplo,

     λ> seleccion personas "Pintura"
     ["Velazquez","Picasso","Goya","Botticelli"]
     λ> seleccion personas "Musica"
     ["Beethoven","Mozart","Bach"]

• musicos' bd es la lista de los nombres de los músicos de la base de datos bd. Por ejemplo,

     musicos' personas  ==  ["Beethoven","Mozart","Bach"]

• vivas bd a es la lista de los nombres de las personas de la base de datos bd que estaban vivas en el año a. Por ejemplo,

     λ> vivas personas 1600
     ["Cervantes","Velazquez","Quevedo","Borromini"]

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Los polinomios pueden representarse de forma dispersa o densa. Por ejemplo, el polinomio \(6x^4-5x^2+4x-7\) se puede representar de forma dispersa por [6,0,-5,4,-7] y de forma densa por [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)].

Definir la función

   densa :: [Int] -> [(Int,Int)]

tal que densa xs es la representación densa del polinomio cuya representación dispersa es xs. Por ejemplo,

   densa [6,0,-5,4,-7]  ==  [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)]
   densa [6,0,0,3,0,4]  ==  [(5,6),(2,3),(0,4)]
   densa [0]            ==  [(0,0)]

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Definir la función

   sumaConsecutivos :: [Integer] -> [Integer]

tal que sumaConsecutivos xs es la suma de los pares de elementos consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,

   sumaConsecutivos [3,1,5,2]  ==  [4,6,7]
   sumaConsecutivos [3]        ==  []
   last (sumaConsecutivos [1..10^8])  ==  199999999

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El producto escalar de dos listas de enteros xs y ys de longitud n viene dado por la suma de los productos de los elementos correspondientes.

Definir la función

   productoEscalar :: [Integer] -> [Integer] -> Integer

tal que productoEscalar xs ys es el producto escalar de las listas xs e ys. Por ejemplo,

   productoEscalar [1,2,3] [4,5,6]  ==  32

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Una terna pitagórica es una terna de números naturales (a,b,c) tal que a<b<c y a²+b²=c². Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica.

Definir la función

   ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

tal que ternasPitagoricas x es la lista de las ternas pitagóricas cuya suma es x. Por ejemplo,

   ternasPitagoricas 12     == [(3,4,5)]
   ternasPitagoricas 60     == [(10,24,26),(15,20,25)]
   ternasPitagoricas (10^6) == [(218750,360000,421250),(200000,375000,425000)]

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Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si x² + y² = z² y x < y < z.

Definir la función

   pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]

tal que pitagoricas n es la lista de todas las ternas pitagóricas cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,

   pitagoricas 10  ==  [(3,4,5),(6,8,10)]
   pitagoricas 15  ==  [(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(9,12,15)]

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El número π puede calcularse con la fórmula de Leibniz

   π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1) + ...

Definir las funciones

   calculaPi :: Int -> Double
   errorPi   :: Double -> Int

tales que

• calculaPi n es la aproximación del número π calculada mediante la expresión

     4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))

Por ejemplo,

     calculaPi 3    ==  2.8952380952380956
     calculaPi 300  ==  3.1449149035588526

• errorPi x es el menor número de términos de la serie necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorPi 0.1    ==    9
     errorPi 0.01   ==   99
     errorPi 0.001  ==  999

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El limite de sen(x)/x, cuando x tiende a cero, se puede calcular como el límite de la sucesión sen(1/n)/(1/n), cuando n tiende a infinito.

Definir las funciones

   aproxLimSeno :: Int -> [Double]
   errorLimSeno :: Double -> Int

tales que

• aproxLimSeno n es la lista de los n primeros términos de la sucesión sen(1/m)/(1/m). Por ejemplo,

     aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965]
     aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406]

• errorLimSeno x es el menor número de términos de la sucesión sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorLimSeno 0.1     ==   2
     errorLimSeno 0.01    ==   5
     errorLimSeno 0.001   ==  13
     errorLimSeno 0.0001  ==  41

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