En el círculo de radio 2 hay 6 puntos cuyas coordenadas son puntos naturales:
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)
y en de radio 3 hay 11:
(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0)
Definir la función
circulo :: Int -> Int
tal que circulo n es el la cantidad de pares de números naturales (x,y) que se encuentran en el círculo de radio n. Por ejemplo,
circulo 1 == 3 circulo 2 == 6 circulo 3 == 11 circulo 4 == 17 circulo 100 == 7955
Definir la función
euler1 :: Integer -> Integer
tal que euler1 n es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que n. Por ejemplo,
euler1 10 == 23 euler1 (10^2) == 2318 euler1 (10^3) == 233168 euler1 (10^4) == 23331668 euler1 (10^5) == 2333316668 euler1 (10^10) == 23333333331666666668 euler1 (10^20) == 2333333333333333333316666666666666666668 euler1 (10^30) == 233333333333333333333333333333166666666666666666666666666668
Nota: Este ejercicio está basado en el problema 1 del Proyecto Euler
Definir la lista
abundantesImpares :: [Integer]
cuyos elementos son los números abundantes impares. Por ejemplo,
λ> take 12 abundantesImpares [945,1575,2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615]
Definir la función
todosPares :: Integer -> Bool
tal que todosPares n se verifica si todos los números abundantes menores o iguales que n son pares. Por ejemplo,
todosPares 10 == True todosPares 100 == True todosPares 1000 == False
Un número natural n se denomina abundante si es menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 es abundante ya que la suma de sus divisores propios es 16 (= 1 + 2 + 3 + 4 + 6), pero 5 y 28 no lo son.
Definir la función
numerosAbundantesMenores :: Integer -> [Integer]
tal que numerosAbundantesMenores n es la lista de números abundantes menores o iguales que n. Por ejemplo,
numerosAbundantesMenores 50 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] numerosAbundantesMenores 48 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] length (numerosAbundantesMenores (10^6)) == 247545
Un número natural n se denomina abundante si es menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 es abundante ya que la suma de sus divisores propios es 16 (= 1 + 2 + 3 + 4 + 6), pero 5 y 28 no lo son.
Definir la función
numeroAbundante :: Int -> Bool
tal que numeroAbundante n se verifica si n es un número abundante. Por ejemplo,
numeroAbundante 5 == False numeroAbundante 12 == True numeroAbundante 28 == False numeroAbundante 30 == True numeroAbundante 100000000 == True numeroAbundante 100000001 == False
Un números entero positivo es perfecto es igual a la suma de sus divisores, excluyendo el propio número. Por ejemplo, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3.
Definir la función
perfectos :: Integer -> [Integer]
tal que perfectos n es la lista de todos los números perfectos menores o iguales que n. Por ejemplo,
perfectos 500 == [6,28,496] perfectos (10^5) == [6,28,496,8128]
Definir la función
sumaDivisores :: Integer -> Integer
tal que sumaDivisores x es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,
sumaDivisores 12 == 28 sumaDivisores 25 == 31 sumaDivisores (product [1..25]) == 93383273455325195473152000 length (show (sumaDivisores (product [1..30000]))) == 121289 maximum (map sumaDivisores [1..2*10^6]) == 8851392
Los triángulos aritméticos se forman como sigue
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
Definir las funciones
linea :: Integer -> [Integer] triangulo :: Integer -> [[Integer]]
tales que
linea n es la línea n-ésima de los triángulos aritméticos. Por ejemplo,linea 4 == [7,8,9,10] linea 5 == [11,12,13,14,15] head (linea (10^20)) == 4999999999999999999950000000000000000001
triangulo n es el triángulo aritmético de altura n. Por ejemplo,triangulo 3 == [[1],[2,3],[4,5,6]] triangulo 4 == [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]]
Definir la función
euler6 :: Integer -> Integer
tal que euler6 n es la diferencia entre el cuadrado de la suma de los n primeros números y la suma de los cuadrados de los nprimeros números. Por ejemplo,
euler6 10 == 2640 euler6 (10^10) == 2500000000166666666641666666665000000000
Nota: Este ejercicio está basado en el problema 6 del proyecto Euler.