Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si x² + y² = z² y x < y < z.
Definir la función
pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]
tal que pitagoricas n es la lista de todas las ternas pitagóricas cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
pitagoricas 10 == [(3,4,5),(6,8,10)] pitagoricas 15 == [(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(9,12,15)]
El número π puede calcularse con la fórmula de Leibniz
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1) + ...
Definir las funciones
calculaPi :: Int -> Double errorPi :: Double -> Int
tales que
calculaPi n es la aproximación del número π calculada mediante la expresión4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))
Por ejemplo,
calculaPi 3 == 2.8952380952380956 calculaPi 300 == 3.1449149035588526
errorPi x es el menor número de términos de la serie necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,errorPi 0.1 == 9 errorPi 0.01 == 99 errorPi 0.001 == 999
El limite de sen(x)/x, cuando x tiende a cero, se puede calcular como el límite de la sucesión sen(1/n)/(1/n), cuando n tiende a infinito.
Definir las funciones
aproxLimSeno :: Int -> [Double] errorLimSeno :: Double -> Int
tales que
aproxLimSeno n es la lista de los n primeros términos de la sucesión sen(1/m)/(1/m). Por ejemplo,aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965] aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406]
errorLimSeno x es el menor número de términos de la sucesión sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,errorLimSeno 0.1 == 2 errorLimSeno 0.01 == 5 errorLimSeno 0.001 == 13 errorLimSeno 0.0001 == 41
El número e se define como el límite de la sucesión [latex]\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n[/latex].
Definir las funciones
aproxE :: Int -> [Double] errorAproxE :: Double -> Int
tales que
aproxE k es la lista de los k primeros términos de la sucesión. Por ejemplo,aproxE 4 == [2.0,2.25,2.37037037037037,2.44140625] last (aproxE (7*10^7)) == 2.7182818287372563
errorE x es el menor número de términos de la sucesión necesarios para obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,errorAproxE 0.1 == 13 errorAproxE 0.01 == 135 errorAproxE 0.001 == 1359
En el círculo de radio 2 hay 6 puntos cuyas coordenadas son puntos naturales:
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)
y en de radio 3 hay 11:
(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0)
Definir la función
circulo :: Int -> Int
tal que circulo n es el la cantidad de pares de números naturales (x,y) que se encuentran en el círculo de radio n. Por ejemplo,
circulo 1 == 3 circulo 2 == 6 circulo 3 == 11 circulo 4 == 17 circulo 100 == 7955
Definir la función
euler1 :: Integer -> Integer
tal que euler1 n es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que n. Por ejemplo,
euler1 10 == 23 euler1 (10^2) == 2318 euler1 (10^3) == 233168 euler1 (10^4) == 23331668 euler1 (10^5) == 2333316668 euler1 (10^10) == 23333333331666666668 euler1 (10^20) == 2333333333333333333316666666666666666668 euler1 (10^30) == 233333333333333333333333333333166666666666666666666666666668
Nota: Este ejercicio está basado en el problema 1 del Proyecto Euler
Definir la lista
abundantesImpares :: [Integer]
cuyos elementos son los números abundantes impares. Por ejemplo,
λ> take 12 abundantesImpares [945,1575,2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615]
Definir la función
todosPares :: Integer -> Bool
tal que todosPares n se verifica si todos los números abundantes menores o iguales que n son pares. Por ejemplo,
todosPares 10 == True todosPares 100 == True todosPares 1000 == False
Un número natural n se denomina abundante si es menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 es abundante ya que la suma de sus divisores propios es 16 (= 1 + 2 + 3 + 4 + 6), pero 5 y 28 no lo son.
Definir la función
numerosAbundantesMenores :: Integer -> [Integer]
tal que numerosAbundantesMenores n es la lista de números abundantes menores o iguales que n. Por ejemplo,
numerosAbundantesMenores 50 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] numerosAbundantesMenores 48 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] length (numerosAbundantesMenores (10^6)) == 247545
Un número natural n se denomina abundante si es menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 es abundante ya que la suma de sus divisores propios es 16 (= 1 + 2 + 3 + 4 + 6), pero 5 y 28 no lo son.
Definir la función
numeroAbundante :: Int -> Bool
tal que numeroAbundante n se verifica si n es un número abundante. Por ejemplo,
numeroAbundante 5 == False numeroAbundante 12 == True numeroAbundante 28 == False numeroAbundante 30 == True numeroAbundante 100000000 == True numeroAbundante 100000001 == False