En este ejercicio, representamos las fracciones mediante pares de números de enteros.
Definir la función
fraccionesOrd :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (fraccionesOrd n) es la lista con las fracciones propias positivas ordenadas, con denominador menor o igual que n. Por ejemplo,
λ> fraccionesOrd 4 [(1,4),(1,3),(1,2),(2,3),(3,4)] λ> fraccionesOrd 5 [(1,5),(1,4),(1,3),(2,5),(1,2),(3,5),(2,3),(3,4),(4,5)]
En 1772, Euler publicó que el polinomio n² + n + 41 genera 40 números primos para todos los valores de n entre 0 y 39. Sin embargo, cuando n = 40, 40²+40+41 = 40(40+1)+41 es divisible por 41.
Usando ordenadores, se descubrió que el polinomio n² - 79n + 1601 genera 80 números primos para todos los valores de n entre 0 y 79.
Definir la función
generadoresMaximales :: Integer -> (Int,[(Integer,Integer)])
tal que (generadoresMaximales n) es el par (m,xs) donde
xs es la lista de pares (x,y) tales que n²+xn+y es uno de polinomios que genera un número máximo de números primos consecutivos a partir de cero entre todos los polinomios de la forma n²+an+b, con |a| ≤ n y |b| ≤ n ym es dicho número máximo.Por ejemplo,
generadoresMaximales 4 == ( 3,[(-2,3),(-1,3),(3,3)]) generadoresMaximales 6 == ( 5,[(-1,5),(5,5)]) generadoresMaximales 41 == (41,[(-1,41)]) generadoresMaximales 50 == (43,[(-5,47)]) generadoresMaximales 100 == (48,[(-15,97)]) generadoresMaximales 200 == (53,[(-25,197)]) generadoresMaximales 1650 == (80,[(-79,1601)])
El triángulo de Floyd, llamado así en honor a Robert Floyd, es un triángulo rectángulo formado con números naturales. Para crear un triángulo de Floyd, se comienza con un 1 en la esquina superior izquierda, y se continúa escribiendo la secuencia de los números naturales de manera que cada línea contenga un número más que la anterior. Las 5 primeras líneas del triángulo de Floyd son
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Definir la función
trianguloFloyd :: [[Integer]]
tal que trianguloFloyd es el triángulo de Floyd. Por ejemplo,
λ> take 4 trianguloFloyd [[1], [2,3], [4,5,6], [7,8,9,10]] (trianguloFloyd !! (10^5)) !! 0 == 5000050001 (trianguloFloyd !! (10^6)) !! 0 == 500000500001 (trianguloFloyd !! (10^7)) !! 0 == 50000005000001
La matriz zizagueante de orden n es la matriz cuadrada con n filas y n columnas y cuyos elementos son los n² primeros números naturales colocados de manera creciente a lo largo de las diagonales secundarias. Por ejemplo, La matriz zigzagueante de orden 5 es
0 1 5 6 14 2 4 7 13 15 3 8 12 16 21 9 11 17 20 22 10 18 19 23 24
La colocación de los elementos se puede ver gráficamente en este enlace.
Definir la función
zigZag :: Int -> Matrix Int
tal que (zigZag n) es la matriz zigzagueante de orden n. Por ejemplo,
λ> zigZag 5 ┌ ┐ │ 0 1 5 6 14 │ │ 2 4 7 13 15 │ │ 3 8 12 16 21 │ │ 9 11 17 20 22 │ │ 10 18 19 23 24 │ └ ┘ λ> zigZag 4 ┌ ┐ │ 0 1 5 6 │ │ 2 4 7 12 │ │ 3 8 11 13 │ │ 9 10 14 15 │ └ ┘ λ> maximum (zigZag 1500) 2249999
La n-ésima densidad de un tipo de número es el cociente entre la cantidad de los números entre 1 y n que son del tipo considerado y n. Por ejemplo, la 7-ésima densidad de los múltiplos de 3 es 2/7 ya que entre los 7 primeros números sólo 2 son múltiplos de 3.
Definir las funciones
densidades :: Int -> (Double,Double,Double) graficas :: Int -> IO ()
tales que
(densidades n) es la terna formada por la n-ésima densidad de los números abundantes (es decir, para que la suma de sus divisores propios es mayor que el número), de los números perfectos (es decir, para los que la suma de sus divisores propios es mayor que el número) y de los números deficientes (es decir, para los que la suma de sus divisores propios es menor que el número). Por ejemplo,densidades 100 == (0.22, 2.0e-2, 0.76) densidades 1000 == (0.246, 3.0e-3, 0.751) densidades 10000 == (0.2488, 4.0e-4, 0.7508) densidades 100000 == (0.24795, 4.0e-5, 0.75201) densidades 1000000 == (0.247545,4.0e-6, 0.752451)
(graficas n) dibuja las gráficas de las k-ésimas densidades (para k entre 1 y n) de los números abundantes, de los números perfectos y de los números deficientes. Por ejemplo, (graficas 100) dibuja
y (graficas 400) dibuja
Definir la función
sumaDivisoresHasta :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (sumaDivisoresHasta n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un número entre 1 y n y b es la suma de los divisores propios de a. Por ejemplo,
λ> sumaDivisoresHasta 12 [(1,0),(2,1),(3,1),(4,3),(5,1),(6,6),(7,1),(8,7),(9,4),(10,8),(11,1),(12,16)] λ> last (sumaDivisoresHasta2 (10^7)) (10000000,14902280)
Definir la función
divisoresHasta :: Int -> [(Int,Int)]
tal que (divisoresHasta n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un número entre 2 y n y b es un divisor propio de a. Por ejemplo,
λ> divisoresHasta 6 [(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(6,2),(6,3)] λ> divisoresHasta 8 [(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(7,1),(8,1),(4,2),(6,2),(8,2),(6,3),(8,4)] λ> length (divisoresHasta 1234567) 16272448
La conjetura de Waring sobre los números primos establece que todo número impar es primo o la suma de tres primos. La conjetura de Goldbach afirma que todo par mayor que 2 es la suma de dos números primos. Ambos ha estado abiertos durante más de 200 años. En este problema no se propone su solución, sino una tarea más simple: buscar una manera de expresar los enteros mayores que 7 como suma de exactamente cuatro números primos; es decir, definir la función
suma4primos :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer,Integer)]
tal que (suma4primos n) es la lista de las cuádruplas crecientes (a,b,c,d) de números primos cuya suma es n (que se supone mayor que 7). Por ejemplo,
suma4primos 18 == [(2,2,3,11),(2,2,7,7),(3,3,5,7),(3,5,5,5)] head (suma4primos (10^14)) == (2,2,23,99999999999973)
Comprobar con QuickCheck que todo entero mayor que 7 se puede escribir como suma de exactamente cuatro números primos.
Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.
Definir la sucesión
sumasDeDosAbundantes :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,
take 10 sumasDeDosAbundantes == [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50]
Definir la función
sumaDivisores :: Integer -> Integer
tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,
sumaDivisores 12 == 28 sumaDivisores 25 == 31 sumaDivisores (product [1..25]) == 93383273455325195473152000 length (show (sumaDivisores (product [1..30000]))) == 121289 maximum (map sumaDivisores [1..10^5]) == 403200
Definir la función
numeroDivisores :: Integer -> Integer
tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,
numeroDivisores 12 == 6 numeroDivisores 25 == 3 length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4]))) == 1948
Definir la función
divisores :: Integer -> [Integer]
tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,
divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30] length (divisores (product [1..10])) == 270 length (divisores (product [1..25])) == 340032
Definir la función
esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool
tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.
esPotenciaDeDos 1 == True esPotenciaDeDos 2 == True esPotenciaDeDos 6 == False esPotenciaDeDos 8 == True esPotenciaDeDos 1024 == True esPotenciaDeDos 1026 == False esPotenciaDeDos (2^(10^8)) == True
Una [partición)(https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition) de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.
Definir la función
particiones :: Int -> [[Int]]
tal que (particiones n) es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,
particiones 4 == [[4],[3,1],[2,2],[2,1,1],[1,1,1,1]] particiones 5 == [[5],[4,1],[3,2],[3,1,1],[2,2,1],[2,1,1,1],[1,1,1,1,1]] length (particiones 50) == 204226
El producto escalar de los vectores [a1,a2,...,an] y [b1,b2,..., bn] es
a1 * b1 + a2 * b2 + ··· + an * bn.
Definir la función
menorProductoEscalar :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a
tal que (menorProductoEscalar xs ys) es el mínimo de los productos
escalares de las permutaciones de xs y de las permutaciones de
ys. Por ejemplo,
menorProductoEscalar [3,2,5] [1,4,6] == 29 menorProductoEscalar [3,2,5] [1,4,-6] == -19 menorProductoEscalar [1..10^2] [1..10^2] == 171700 menorProductoEscalar [1..10^3] [1..10^3] == 167167000 menorProductoEscalar [1..10^4] [1..10^4] == 166716670000 menorProductoEscalar [1..10^5] [1..10^5] == 166671666700000 menorProductoEscalar [1..10^6] [1..10^6] == 166667166667000000
Los puntos se puede representar mediante pares de números
type Punto = (Int,Int)
y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato
data Region = Rectangulo Punto Punto | Union Region Region | Diferencia Region Region deriving (Eq, Show)
donde
(Rectangulo p1 p2) es la región formada por un rectángulo cuyo vértice superior izquierdo es p1 y su vértice inferior derecho es p2.(Union r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a alguna de las regiones r1 y r2.(Diferencia r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a la región r1 pero no pertenecen a la r2.Definir la función
enRegion :: Punto -> Region -> Bool
tal que (enRegion p r) se verifica si el punto p pertenece a la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por
r0021, r3051, r4162 :: Region r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1) r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1) r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2)
se tiene
enRegion (1,0) r0021 == True enRegion (3,0) r0021 == False enRegion (1,1) (Union r0021 r3051) == True enRegion (4,0) (Union r0021 r3051) == True enRegion (4,2) (Union r0021 r3051) == False enRegion (3,1) (Diferencia r3051 r4162) == True enRegion (4,1) (Diferencia r3051 r4162) == False enRegion (4,2) (Diferencia r3051 r4162) == False enRegion (4,2) (Union (Diferencia r3051 r4162) r4162) == True
Comprobar con QuickCheck que si el punto p está en la región r1, entonces, para cualquier región r2, p está en (Union r1 r2) y en (Union r2 r1), pero no está en (Diferencia r2 r1).
Un conjunto A está cerrado respecto de una función f si para elemento x de A se tiene que f(x) pertenece a A. La clausura de un conjunto B respecto de una función f es el menor conjunto A que contiene a B y es cerrado respecto de f. Por ejemplo, la clausura de {0,1,2] respecto del opuesto es {-2,-1,0,1,2}.
Definir la función
clausura :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
tal que (clausura f xs) es la clausura de xs respecto de f. Por ejemplo,
clausura (\x -> -x) [0,1,2] == [-2,-1,0,1,2] clausura (\x -> (x+1) `mod` 5) [0] == [0,1,2,3,4] length (clausura (\x -> (x+1) `mod` (10^6)) [0]) == 1000000
Definir la lista
numerosConDigitosPrimos :: [Integer]
cuyos elementos son los números con todos sus dígitos primos. Por ejemplo,
λ> take 22 numerosConDigitosPrimos [2,3,5,7,22,23,25,27,32,33,35,37,52,53,55,57,72,73,75,77,222,223] λ> numerosConDigitosPrimos4 !! (10^7) 322732232572
Definir la función
producto :: [[a]] -> [[a]]
tal que (producto xss) es el producto cartesiano de los conjuntos xss. Por ejemplo,
λ> producto [[1,3],[2,5]] [[1,2],[1,5],[3,2],[3,5]] λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]] [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]] λ> producto [[1,3,5],[2,4]] [[1,2],[1,4],[3,2],[3,4],[5,2],[5,4]] λ> producto [] [[]]
Comprobar con QuickCheck que para toda lista de listas de números enteros, xss, se verifica que el número de elementos de (producto xss) es igual al producto de los números de elementos de cada una de las listas de xss.
Los primeros números de Fibonacci son
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
tales que los dos primeros son iguales a 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.
El teorema de Zeckendorf establece que todo entero positivo n se puede representar, de manera única, como la suma de números de Fibonacci no consecutivos decrecientes. Dicha suma se llama la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo, la representación de Zeckendorf de 100 es
100 = 89 + 8 + 3
Hay otras formas de representar 100 como sumas de números de Fibonacci; por ejemplo,
100 = 89 + 8 + 2 + 1 100 = 55 + 34 + 8 + 3
pero no son representaciones de Zeckendorf porque 1 y 2 son números de Fibonacci consecutivos, al igual que 34 y 55.
Definir la función
zeckendorf :: Integer -> [Integer]
tal que (zeckendorf n) es la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo,
zeckendorf 100 == [89,8,3] zeckendorf 200 == [144,55,1] zeckendorf 300 == [233,55,8,3,1] length (zeckendorf (10^50000)) == 66097
Se dice que una sucesión x(1), ..., x(n) está ordenada cíclicamente si existe un índice i tal que la sucesión
x(i), x(i+1), ..., x(n), x(1), ..., x(i-1)
está ordenada crecientemente de forma estricta.
Definir la función
ordenadaCiclicamente :: Ord a => [a] -> Maybe Int
tal que (ordenadaCiclicamente xs) es el índice a partir del cual está ordenada, si la lista está ordenado cíclicamente y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,
ordenadaCiclicamente [1,2,3,4] == Just 0 ordenadaCiclicamente [5,8,1,3] == Just 2 ordenadaCiclicamente [4,6,7,5,1,3] == Nothing ordenadaCiclicamente [1,0,3,2] == Nothing ordenadaCiclicamente [1,2,0] == Just 2 ordenadaCiclicamente "cdeab" == Just 3
Nota: Se supone que el argumento es una lista no vacía sin elementos repetidos.
Definir la función
eliminaAisladas :: Eq a => a -> [a] -> [a]
tal que (eliminaAisladas x ys) es la lista obtenida eliminando ys las ocurrencias aisladas de x (es decir, aquellas ocurrencias de x tales que su elemento anterior y posterior son distintos de x). Por ejemplo,
eliminaAisladas 'X' "" == "" eliminaAisladas 'X' "X" == "" eliminaAisladas 'X' "XX" == "XX" eliminaAisladas 'X' "XXX" == "XXX" eliminaAisladas 'X' "abcd" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "Xabcd" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "XXabcd" == "XXabcd" eliminaAisladas 'X' "XXXabcd" == "XXXabcd" eliminaAisladas 'X' "abcdX" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "abcdXX" == "abcdXX" eliminaAisladas 'X' "abcdXXX" == "abcdXXX" eliminaAisladas 'X' "abXcd" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "abXXcd" == "abXXcd" eliminaAisladas 'X' "abXXXcd" == "abXXXcd" eliminaAisladas 'X' "XabXcdX" == "abcd" eliminaAisladas 'X' "XXabXXcdXX" == "XXabXXcdXX" eliminaAisladas 'X' "XXXabXXXcdXXX" == "XXXabXXXcdXXX" eliminaAisladas 'X' "XabXXcdXeXXXfXx" == "abXXcdeXXXfx"
Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos
data Arbol a = N a [Arbol a] deriving (Show, Eq)
Por ejemplo, los árboles
1 3
/ \ /|\
6 3 / | \
| 5 4 7
5 | /\
6 2 1
se representan por
ej1, ej2 :: Arbol Int ej1 = N 1 [N 6 [],N 3 [N 5 []]] ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]
Definir la función
emparejaArboles :: (a -> b -> c) -> Arbol a -> Arbol b -> Arbol c
tal que (emparejaArboles f a1 a2) es el árbol obtenido aplicando la función f a los elementos de los árboles a1 y a2 que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo,
λ> emparejaArboles (+) (N 1 [N 2 [], N 3[]]) (N 1 [N 6 []]) N 2 [N 8 []] λ> emparejaArboles (+) ej1 ej2 N 4 [N 11 [],N 7 []] λ> emparejaArboles (+) ej1 ej1 N 2 [N 12 [],N 6 [N 10 []]]
Definir la función
particion :: [a] -> ([a],[a])
tal que (particion xs) es el par cuya primera componente son los elementos de xs en posiciones pares y su segunda componente son los restantes elementos. Por ejemplo,
particion [3,5,6,2] == ([3,6],[5,2]) particion [3,5,6,2,7] == ([3,6,7],[5,2]) particion "particion" == ("priin","atco")
Se dice que en una sucesión de números x(1), x(2), ..., x(n) hay una inversión cuando existe un par de números x(i) > x(j), siendo i < j. Por ejemplo, en la permutación 2, 1, 4, 3 hay dos inversiones (2 antes que 1 y 4 antes que 3) y en la permutación 4, 3, 1, 2 hay cinco inversiones (4 antes 3, 4 antes 1, 4 antes 2, 3 antes 1, 3 antes 2).
Definir la función
numeroInversiones :: Ord a => [a] -> Int
tal que (numeroInversiones xs) es el número de inversiones de xs. Por ejemplo,
numeroInversiones [2,1,4,3] == 2 numeroInversiones [4,3,1,2] == 5
Los números triangulares se forman como sigue
* * * * * * * * * * 1 3 6
La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son
1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Definir la función
descomposicionesTriangulares :: Int -> [(Int, Int, Int)]
tal que (descomposicionesTriangulares n) es la lista de las ternas correspondientes a las descomposiciones de n en tres sumandos formados por números triangulares. Por ejemplo,
descomposicionesTriangulares 4 == [] descomposicionesTriangulares 5 == [(1,1,3)] descomposicionesTriangulares 12 == [(1,1,10),(3,3,6)] descomposicionesTriangulares 30 == [(1,1,28),(3,6,21),(10,10,10)] descomposicionesTriangulares 61 == [(1,15,45),(3,3,55),(6,10,45),(10,15,36)] descomposicionesTriangulares 52 == [(1,6,45),(1,15,36),(3,21,28),(6,10,36),(10,21,21)] descomposicionesTriangulares 82 == [(1,3,78),(1,15,66),(1,36,45),(6,10,66),(6,21,55),(10,36,36)]
Definir la función
indicesVerdaderos :: [Int] -> [Bool]
tal que (indicesVerdaderos xs) es la lista infinita de booleanos tal que sólo son verdaderos los elementos cuyos índices pertenecen a la lista estrictamente creciente xs. Por ejemplo,
λ> take 6 (indicesVerdaderos [1,4]) [False,True,False,False,True,False] λ> take 6 (indicesVerdaderos [0,2..]) [True,False,True,False,True,False] λ> take 3 (indicesVerdaderos []) [False,False,False] λ> take 6 (indicesVerdaderos [1..]) [False,True,True,True,True,True] λ> last (take (8*10^7) (indicesVerdaderos [0,5..])) False
Para la determinación de las alergia se utiliza los siguientes códigos para los alérgenos:
Huevos ........ 1 Cacahuetes .... 2 Mariscos ...... 4 Fresas ........ 8 Tomates ....... 16 Chocolate ..... 32 Polen ......... 64 Gatos ......... 128
Así, si Juan es alérgico a los cacahuetes y al chocolate, su puntuación es 34 (es decir, 2+32).
Los alérgenos se representan mediante el siguiente tipo de dato
data Alergeno = Huevos | Cacahuetes | Mariscos | Fresas | Tomates | Chocolate | Polen | Gatos deriving (Enum, Eq, Show, Bounded)
Definir la función
alergias :: Int -> [Alergeno]
tal que (alergias n) es la lista de alergias correspondiente a una puntuación n. Por ejemplo,
λ> alergias 1 [Huevos] λ> alergias 2 [Cacahuetes] λ> alergias 3 [Huevos,Cacahuetes] λ> alergias 5 [Huevos,Mariscos] λ> alergias 255 [Huevos,Cacahuetes,Mariscos,Fresas,Tomates,Chocolate,Polen,Gatos]
Definir la función
reiteracion :: (a -> a) -> Int -> a -> a
tal que (reiteracion f n x) es el resultado de aplicar n veces la función f a x. Por ejemplo,
reiteracion (+1) 10 5 == 15 reiteracion (+5) 10 0 == 50 reiteracion (*2) 4 1 == 16 reiteracion (5:) 4 [] == [5,5,5,5]
Las matrices pueden representarse mediante tablas cuyos índices son pares de números naturales. Su tipo se define por
type Matriz = Array (Int,Int) Int
Por ejemplo, la matriz
|9 4 6 5| |8 1 7 3| |4 2 5 4|
se define por
ej :: Matriz ej = listArray ((1,1),(3,4)) [9,4,6,5,8,1,7,3,4,2,5,4]
Los vecinos de un elemento son los que están a un paso en la misma fila, columna o diagonal. Por ejemplo, en la matriz anterior, el 1 tiene 8 vecinos (el 9, 4, 6, 8, 7, 4, 2 y 5) pero el 9 sólo tiene 3 vecinos (el 4, 8 y 1).
Definir la función
algunoMenor :: Matriz -> [Int]
tal que (algunoMenor p) es la lista de los elementos de p que tienen algún vecino menor que él. Por ejemplo,
algunoMenor ej == [9,4,6,5,8,7,4,2,5,4]
pues sólo el 1 y el 3 no tienen ningún vecino menor en la matriz.
Los árboles binarios se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por
data Arbol a = H a | N (Arbol a) a (Arbol a) deriving Show
Por ejemplo, el árbol
"B"
/ \
/ \
/ \
"B" "A"
/ \ / \
"A" "B" "C" "C"
se puede definir por
ej1 :: Arbol String ej1 = N (N (H "A") "B" (H "B")) "B" (N (H "C") "A" (H "C"))
Definir la función
enumeraArbol :: Arbol t -> Arbol Int
tal que (enumeraArbol a) es el árbol obtenido numerando las hojas y los nodos de a desde la hoja izquierda hasta la raíz. Por ejemplo,
λ> enumeraArbol ej1 N (N (H 0) 1 (H 2)) 3 (N (H 4) 5 (H 6))
Gráficamente,
3
/ \
/ \
/ \
1 5
/ \ / \
0 2 4 6
Los números triangulares se forman como sigue
* * * * * * * * * * 1 3 6
La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son
1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Definir la función
triangularesConCifras :: Int -> [Integer]
tal que (triangulares n) es la lista de los números triangulares con n cifras distintas. Por ejemplo,
take 6 (triangularesConCifras 1) == [1,3,6,55,66,666] take 6 (triangularesConCifras 2) == [10,15,21,28,36,45] take 6 (triangularesConCifras 3) == [105,120,136,153,190,210] take 5 (triangularesConCifras 4) == [1035,1275,1326,1378,1485] take 2 (triangularesConCifras 10) == [1062489753,1239845706]
Definir la función
trenza :: [a] -> [a] -> [a]
tal que (trenza xs ys) es la lista obtenida intercalando los elementos de xs e ys. Por ejemplo,
trenza [5,1] [2,7,4] == [5,2,1,7] trenza [5,1,7] [2..] == [5,2,1,3,7,4] trenza [2..] [5,1,7] == [2,5,3,1,4,7] take 8 (trenza [2,4..] [1,5..]) == [2,1,4,5,6,9,8,13]
Definir la función
biparticiones :: [a] -> [([a],[a])]
tal que (biparticiones xs) es la lista de pares formados por un prefijo de xs y el resto de xs. Por ejemplo,
λ> biparticiones [3,2,5] [([],[3,2,5]),([3],[2,5]),([3,2],[5]),([3,2,5],[])] λ> biparticiones "Roma" [("","Roma"),("R","oma"),("Ro","ma"),("Rom","a"),("Roma","")]
Definir la función
listaCuadrada :: Int -> a -> [a] -> [[a]]
tal que (listaCuadrada n x xs) es una lista de n listas de longitud n formadas con los elementos de xs completada con x, si no xs no tiene suficientes elementos. Por ejemplo,
listaCuadrada 3 7 [0,3,5,2,4] == [[0,3,5],[2,4,7],[7,7,7]] listaCuadrada 3 7 [0..] == [[0,1,2],[3,4,5],[6,7,8]] listaCuadrada 2 'p' "eva" == ["ev","ap"] listaCuadrada 2 'p' ['a'..] == ["ab","cd"]
Un máximo local de una lista es un elemento de la lista que es que su predecesor y que su sucesor en la lista. Por ejemplo, 5 es un máximo local de [3,2,5,3,7,7,1,6,2] ya que es mayor que 2 (su predecesor) y que 3 (su sucesor).
Definir la función
maximosLocales :: Ord a => [a] -> [a]
tal que (maximosLocales xs) es la lista de los máximos locales de la lista xs. Por ejemplo,
maximosLocales [3,2,5,3,7,7,1,6,2] == [5,6] maximosLocales [1..100] == [] maximosLocales "adbpmqexyz" == "dpq"
Una matriz de Toeplitz es una matriz cuadrada que es constante a lo largo de las diagonales paralelas a la diagonal principal. Por ejemplo,
|2 5 1 6| |2 5 1 6| |4 2 5 1| |4 2 6 1| |7 4 2 5| |7 4 2 5| |9 7 4 2| |9 7 4 2|
la primera es una matriz de Toeplitz y la segunda no lo es.
Las anteriores matrices se pueden definir por
ej1, ej2 :: Array (Int,Int) Int ej1 = listArray ((1,1),(4,4)) [2,5,1,6,4,2,5,1,7,4,2,5,9,7,4,2] ej2 = listArray ((1,1),(4,4)) [2,5,1,6,4,2,6,1,7,4,2,5,9,7,4,2]
Definir la función
esToeplitz :: Eq a => Array (Int,Int) a -> Bool
tal que (esToeplitz p) se verifica si la matriz p es de Toeplitz. Por ejemplo,
esToeplitz ej1 == True esToeplitz ej2 == False
La lista de las diagonales principales de la matriz
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
es
[[9],[5,10],[1,6,11],[2,7,12],[3,8],[4]]
Definir la función
diagonalesPrincipales :: Array (Int,Int) a -> [[a]]
tal que (diagonalesPrincipales p) es la lista de las diagonales principales de p. Por ejemplo,
λ> diagonalesPrincipales (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12]) [[9],[5,10],[1,6,11],[2,7,12],[3,8],[4]]
Nota: Escribir las soluciones en Haskell, en Python y en Common Lisp.
Las posiciones de una matriz con 3 filas y 4 columnas son
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
Las posiciones de sus 6 diagonales principales son
[(3,1)] [(2,1),(3,2)] [(1,1),(2,2),(3,3)] [(1,2),(2,3),(3,4)] [(1,3),(2,4)] [(1,4)]
Definir la función
posicionesDiagonalesPrincipales :: Int -> Int -> [[(Int, Int)]]
tal que (posicionesdiagonalesprincipales m n) es la lista de las posiciones de las diagonales principales de una matriz con m filas y n columnas. Por ejemplo,
λ> mapM_ print (posicionesDiagonalesPrincipales 3 4) [(3,1)] [(2,1),(3,2)] [(1,1),(2,2),(3,3)] [(1,2),(2,3),(3,4)] [(1,3),(2,4)] [(1,4)] λ> mapM_ print (posicionesDiagonalesPrincipales 4 4) [(4,1)] [(3,1),(4,2)] [(2,1),(3,2),(4,3)] [(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)] [(1,2),(2,3),(3,4)] [(1,3),(2,4)] [(1,4)] λ> mapM_ print (posicionesDiagonalesPrincipales 4 3) [(4,1)] [(3,1),(4,2)] [(2,1),(3,2),(4,3)] [(1,1),(2,2),(3,3)] [(1,2),(2,3)] [(1,3)]
Definir la función
primosEquidistantes :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (primosEquidistantes k) es la lista de los pares de primos cuya diferencia es k. Por ejemplo,
take 3 (primosEquidistantes 2) == [(3,5),(5,7),(11,13)] take 3 (primosEquidistantes 4) == [(7,11),(13,17),(19,23)] take 3 (primosEquidistantes 6) == [(23,29),(31,37),(47,53)] take 3 (primosEquidistantes 8) == [(89,97),(359,367),(389,397)] primosEquidistantes 4 !! (10^5) == (18467047,18467051)
Una palabra es una anagrama de otra si se puede obtener permutando sus letras. Por ejemplo, "mora" y "roma" son anagramas de "amor".
Definir la función
anagramas :: String -> [String] -> [String]
tal que (anagramas x ys) es la lista de los elementos de ys que son anagramas de x. Por ejemplo,
λ> anagramas "amor" ["Roma","mola","loma","moRa", "rama"] ["Roma","moRa"] λ> anagramas "rama" ["aMar","amaRa","roMa","marr","aRma"] ["aMar","aRma"]
Nota: Escribir las soluciones en Haskell, en Python y en Common Lisp.
El problema de la bandera tricolor consiste en lo siguiente: Dada un lista de objetos xs que pueden ser rojos, amarillos o morados, se pide devolver una lista que contiene los elementos de xs, primero los rojos, luego los amarillos y por último los morados.
Definir el tipo de dato Color para representar los colores con los constructores R, A y M correspondientes al rojo, azul y morado y la función
banderaTricolor :: [Color] -> [Color]
tal que (banderaTricolor xs) es la bandera tricolor formada con los elementos de xs. Por ejemplo,
banderaTricolor [M,R,A,A,R,R,A,M,M] == [R,R,R,A,A,A,M,M,M] banderaTricolor [M,R,A,R,R,A] == [R,R,R,A,A,M]
Definir la función
ordenadosPorMaximo :: Ord a => [[a]] -> [[a]]
tal que (ordenadosPorMaximo xss) es la lista de los elementos de xss ordenada por sus máximos (se supone que los elementos de xss son listas no vacía) y cuando tiene el mismo máximo se conserva el orden original. Por ejemplo,
λ> ordenadosPorMaximo [[0,8],[9],[8,1],[6,3],[8,2],[6,1],[6,2]] [[6,3],[6,1],[6,2],[0,8],[8,1],[8,2],[9]] λ> ordenadosPorMaximo ["este","es","el","primero"] ["el","primero","es","este"]
Definir la función
igualesAlSiguiente :: Eq a => [a] -> [a]
tal que (igualesAlSiguiente xs) es la lista de los elementos de xs que son iguales a su siguiente. Por ejemplo,
igualesAlSiguiente [1,2,2,2,3,3,4] == [2,2,3] igualesAlSiguiente [1..10] == []
Nota: Escribir las soluciones en Haskell y en Python.
Definir la list
primosConsecutivosConMediaCapicua :: [(Int,Int,Int)]
formada por las ternas (x,y,z) tales que x e y son primos consecutivos cuya media, z, es capicúa. Por ejemplo,
λ> take 5 primosConsecutivosConMediaCapicua [(3,5,4),(5,7,6),(7,11,9),(97,101,99),(109,113,111)] λ> primosConsecutivosConMediaCapicua !! 500 (5687863,5687867,5687865)
Nota: Escribir las soluciones en Haskell y en Python.
El Mastermind es un juego que consiste en deducir un código numérico formado por una lista de números. Cada vez que se una partida, el programa debe elegir un código, que será lo que el jugador debe adivinar en la menor cantidad de intentos posibles. Cada intento consiste en una propuesta de un código posible que propone el jugador, y una respuesta del programa. Las respuestas le darán pistas al jugadorpara que pueda deducir el código.
Estas pistas indican lo cerca que estuvo el número propuesto de la solución a través de dos valores: la cantidad de aciertos es la cantidad de dígitos que propuso el jugador que también están en el código en la misma posición. La cantidad de coincidencias es la cantidad de dígitos que propuso el jugador que también están en el código pero en una posición distinta.
Por ejemplo, si el código que eligió el programa es el [2,6,0,7] y el jugador propone el [1,4,0,6], el programa le debe responder un acierto (el 0, que está en el código original en el mismo lugar, el tercero), y una coincidencia (el 6, que también está en el código original, pero en la segunda posición, no en el cuarto como fue propuesto). Si el jugador hubiera propuesto el [3,5,9,1], habría obtenido como respuesta ningún acierto y ninguna coincidencia, ya que no hay números en común con el código original. Si se obtienen cuatro aciertos es porque el jugador adivinó el código y ganó el juego.
Definir la función
mastermind :: [Int] -> [Int] -> (Int, Int)
tal que (mastermind xs ys) es el par formado por los números de aciertos y de coincidencias entre xs e ys. Por ejemplo,
mastermind [3,3] [3,2] == (1,0) mastermind [3,5,3] [3,2,5] == (1,1) mastermind [3,5,3,2] [3,2,5,3] == (1,3) mastermind [3,5,3,3] [3,2,5,3] == (2,1) mastermind [1..10^6] [1..10^6] == (1000000,0)
Nota: Escribir las soluciones en Haskell y en Python.
Definir la función
minimales :: Ord a => [[a]] -> [[a]]
tal que (minimales xss) es la lista de los elementos de xss que no están contenidos en otros elementos de xss. Por ejemplo,
minimales [[1,3],[2,3,1],[3,2,5]] == [[2,3,1],[3,2,5]] minimales [[1,3],[2,3,1],[3,2,5],[3,1]] == [[2,3,1],[3,2,5]] map sum (minimales [[1..n] | n <- [1..300]]) == [45150]
Nota: Escribir las soluciones en Haskell y en Python.
Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la función
sumaAmigosMenores :: Integer -> Integer
tal que (sumaAmigosMenores n) es la suma de los números amigos menores que n. Por ejemplo,
sumaAmigosMenores 2000 == 2898 sumaAmigosMenores (10^5) == 852810
Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la lista
sucesionAmigos :: [(Integer,Integer)]
cuyos elementos son los pares de números amigos con la primera componente menor que la segunda. Por ejemplo,
take 4 sucesionAmigos == [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] sucesionAmigos6 !! 20 == (185368,203432)
Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la función
amigos :: Integer -> Integer -> Bool
tal que (amigos x y) se verifica si los números x e y son amigos. Por ejemplo,
amigos 220 284 == True amigos 220 23 == False amigos 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 == True
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
3 7 4 2 4 6 8 5 9 3
se representa por
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
Definir la función
maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer
tal que (maximaSuma xss) es el máximo de las sumas de los elementos de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
maximaSuma [[3],[7,4]] == 10 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]] == 14 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] == 23 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]] == 10100 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]] == 1001000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]] == 4002000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]] == 9003000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]] == 16004000
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
3
7 4
2 4 6
8 5 9 3
se representa por
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
Definir la función
caminos :: [[a]] -> [[a]]
tal que (caminos xss) es la lista de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
λ> caminos [[3],[7,4]] [[3,7],[3,4]] λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6]] [[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]] λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] [[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],[3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]]
Se considera la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:
Dado un número cualquiera, podemos calcular su órbita; es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita de 13 es
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...
Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número con el que comencemos. Ejemplos:
Definir la función
mayoresGeneradores :: Integer -> [Integer]
tal que (mayoresGeneradores n) es la lista de los números menores o iguales que n cuyas órbitas de Collatz son las de mayor longitud. Por ejemplo,
mayoresGeneradores 20 == [18,19] mayoresGeneradores (10^6) == [837799]
Una terna pitagórica es una terna de números naturales \((a,b,c)\) tal que \(a<b<c\) y \(a^2+b^2=c^2\). Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica.
Definir la función
ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
tal que (ternasPitagoricas x) es la lista de las ternas pitagóricas cuya suma es x. Por ejemplo,
ternasPitagoricas 12 == [(3,4,5)] ternasPitagoricas 60 == [(10,24,26),(15,20,25)] ternasPitagoricas (10^6) == [(218750,360000,421250),(200000,375000,425000)]
Los números naturales menores que 10 que son múltiplos de 3 ó 5 son 3, 5, 6 y 9. La suma de estos múltiplos es 23.
Definir la función
sumaMultiplos :: Integer -> Integer
tal que (sumaMultiplos n) es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que n. Por ejemplo,
sumaMultiplos 10 == 23 sumaMultiplos (10^2) == 2318 sumaMultiplos (10^3) == 233168 sumaMultiplos (10^4) == 23331668 sumaMultiplos (10^5) == 2333316668 sumaMultiplos (10^6) == 233333166668 sumaMultiplos (10^7) == 23333331666668
Definir la función
exponente :: Integer -> Integer -> Int
tal que (exponente x n) es el exponente de x en la factorización prima de n (se supone que x > 1 y n > 0). Por ejemplo,
exponente 2 24 == 3 exponente 3 24 == 1 exponente 6 24 == 0 exponente 7 24 == 0
Definir la función
ocurrenciasElementos :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]
tal que (ocurrencias xs) es el conjunto de los elementos de xs junto con sus números de ocurrencias. Por ejemplo,
ocurrenciasElementos [3,2,3,1,2,3,5,3] == [(3,4),(2,2),(1,1),(5,1)]
ocurrenciasElementos "tictac" == [('t',2),('i',1),('c',2),('a',1)]
Definir la función
esPotenciaDe4 :: Integral a => a -> Bool
tal que (esPotenciaDe4 n) se verifica si n es una potencia de 4. Por ejemplo,
esPotenciaDe4 16 == True esPotenciaDe4 17 == False esPotenciaDe4 (4^(4*10^5)) == True esPotenciaDe4 (1 + 4^(4*10^5)) == False
Las matrices se pueden representar como lista de listas de la misma longitud, donde cada uno de sus elementos representa una fila de la matriz.
Definir la función
productoDiagonalPrincipal :: Num a => [[a]] -> a
tal que (productoDiagonalPrincipal xss) es el producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz cuadrada xss. Por ejemplo,
productoDiagonal [[3,5,2],[4,7,1],[6,9,8]] == 168 productoDiagonal (replicate 5 [1..5]) == 120 length (show (productoDiagonal (replicate 30000 [1..30000]))) == 121288
La reiteración de la suma de los elementos consecutivos de la lista [1,5,3] es 14 como se explica en el siguiente diagrama
1 + 5 = 6
\
==> 14
/
5 + 3 = 8
y la de la lista [1,5,3,4] es 29 como se explica en el siguiente diagrama
1 + 5 = 6
\
==> 14
/ \
5 + 3 = 8 ==> 29
\ /
==> 15
/
3 + 4 = 7
Definir la función
sumaReiterada :: Num a => [a] -> a
tal que (sumaReiterada xs) es la suma reiterada de los elementos consecutivos de la lista no vacía xs. Por ejemplo,
sumaReiterada [1,5,3] == 14 sumaReiterada [1,5,3,4] == 29
Una palabra es una anagrama de otra si se puede obtener permutando sus letras. Por ejemplo, "mora" y "roma" son anagramas de "amor".
Definir la función
anagramas :: String -> [String] -> [String]
tal que (anagramas x ys) es la lista de los elementos de ys que son anagramas de x. Por ejemplo,
λ> anagramas "amor" ["Roma","mola","loma","moRa", "rama"] ["Roma","moRa"] λ> anagramas "rama" ["aMar","amaRa","roMa","marr","aRma"] ["aMar","aRma"]
Nota: Escribir las soluciones en Haskell, en Python y en Common Lisp.
Se considera el siguiente triángulo de números impares
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
...
Definir la función
sumaFilaTrianguloImpares :: Integer -> Integer
tal que (sumaFilaTrianguloImpares n) es la suma de la n-ésima fila del triángulo de los números impares. Por ejemplo,
sumaFilaTrianguloImpares 1 == 1 sumaFilaTrianguloImpares 2 == 8 length (show (sumaFilaTrianguloImpares (10^500))) == 1501 length (show (sumaFilaTrianguloImpares (10^5000))) == 15001 length (show (sumaFilaTrianguloImpares (10^50000))) == 150001
Definir la función
duplicaElementos :: [a] -> [a]
tal que (duplicaElementos xs) es la lista obtenida duplicando cada elemento de xs. Por ejemplo,
duplicaElementos [3,2,5] == [3,3,2,2,5,5] duplicaElementos "Haskell" == "HHaasskkeellll"
El sistema factorádico es un sistema numérico basado en factoriales en el que el n-ésimo dígito, empezando desde la derecha, debe ser multiplicado por n! Por ejemplo, el número "341010" en el sistema factorádico es 463 en el sistema decimal ya que
3×5! + 4×4! + 1×3! + 0×2! + 1×1! + 0×0! = 463
En este sistema numérico, el dígito de más a la derecha es siempre 0, el segundo 0 o 1, el tercero 0,1 o 2 y así sucesivamente.
Con los dígitos del 0 al 9 el mayor número que podemos codificar es el 10!-1 = 3628799. En cambio, si lo ampliamos con las letras A a Z podemos codificar hasta 36!-1 = 37199332678990121746799944815083519999999910.
Definir las funciones
factoradicoAdecimal :: String -> Integer decimalAfactoradico :: Integer -> String
tales que
λ> factoradicoAdecimal "341010" 463 λ> factoradicoAdecimal "2441000" 2022 λ> factoradicoAdecimal "A0000000000" 36288000 λ> map factoradicoAdecimal ["10","100","110","200","210","1000","1010","1100","1110","1200"] [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10] λ> factoradicoAdecimal "3KXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9876543210" 37199332678990121746799944815083519999999
λ> decimalAfactoradico 463 "341010" λ> decimalAfactoradico 2022 "2441000" λ> decimalAfactoradico 36288000 "A0000000000" λ> map decimalAfactoradico [1..10] ["10","100","110","200","210","1000","1010","1100","1110","1200"] λ> decimalAfactoradico 37199332678990121746799944815083519999999 "3KXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9876543210"
Comprobar con QuickCheck que, para cualquier entero positivo n,
factoradicoAdecimal (decimalAfactoradico n) == n
Definir la función
sumaCadenas :: String -> String -> String
tal que (sumaCadenas xs ys) es la cadena formada por el número entero que es la suma de los números enteros cuyas cadenas que lo representan son xs e ys; además, se supone que la cadena vacía representa al cero. Por ejemplo,
sumaCadenas "2" "6" == "8" sumaCadenas "14" "2" == "16" sumaCadenas "14" "-5" == "9" sumaCadenas "-14" "-5" == "-19" sumaCadenas "5" "-5" == "0" sumaCadenas "" "5" == "5" sumaCadenas "6" "" == "6" sumaCadenas "" "" == "0"
Definir la función
cuadradoCercano :: Integer -> Integer
tal que (cuadradoCercano n) es el número cuadrado más cercano a n, donde n es un entero positivo. Por ejemplo,
cuadradoCercano 2 == 1 cuadradoCercano 6 == 4 cuadradoCercano 8 == 9 cuadradoCercano (10^46) == 10000000000000000000000000000000000000000000000
El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1984 es
Sea c un entero positivo. La sucesión f(n) está definida por
f(1) = 1, f(2) = c, f(n+1) = 2f(n) - f(n-1) + 2 (n ≥ 2).
Demostrar que para cada k ∈ N exist un r ∈ N tal que f(k)f(k+1) = f(r).
Definir la función
sucesion :: Integer -> [Integer]
tal que los elementos de (sucesion c) son los términos de la suceción f(n) definida en el enunciado del problema. Por ejemplo,
take 7 (sucesion 2) == [1,2,5,10,17,26,37] take 7 (sucesion 3) == [1,3,7,13,21,31,43] take 7 (sucesion 4) == [1,4,9,16,25,36,49] sucesion 2 !! 30 == 901 sucesion 3 !! 30 == 931 sucesion 4 !! 30 == 961 sucesion 2 !! (10^2) == 10001 sucesion 2 !! (10^3) == 1000001 sucesion 2 !! (10^4) == 100000001 sucesion 2 !! (10^5) == 10000000001 sucesion 2 !! (10^6) == 1000000000001 sucesion 2 !! (10^7) == 100000000000001 sucesion 3 !! (10^7) == 100000010000001 sucesion 4 !! (10^7) == 100000020000001 sucesion 2 !! (10^8) == 10000000000000001 sucesion 3 !! (10^8) == 10000000100000001 sucesion 4 !! (10^8) == 10000000200000001 sucesion 2 !! (10^9) == 1000000000000000001
Comprobar con QuickCheck que para cada k ∈ N existe un r ∈ N tal que f(k)f(k+1) = f(r).
El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1983 es
Sea n un número entero positivo. Sea σ(n) la suma de los divisores positivos de n (incluyendo al 1 y al n). Se dice que un entero m ≥ 1 es superabundante (P. Erdös, 1944) si ∀k ∈ {1, 2, ..., m-1}, σ(m)/m > σ(k)/k. Demostrar que esisten infinitos números superabundantes.
Definir la lista
superabundantes :: [Integer]
cuyos elementos son los números superabundantes. Por ejemplo,
take 7 superabundantes == [1,2,4,6,12,24,36] superabundantes !! 25 == 166320
El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1982 es
Calcular una permutación (a(1),...,a(n)) de {1,2,...,n} que maximice el valor de
a(1)a(2) + a(2)a(3) + ··· + a(n)a(1)
Definir la función
maximoValorPermutaciones :: Integer -> Integer
tal que (maximoValorPermutaciones n) es el máximo valor de
a(1)a(2) + a(2)a(3) + ··· + a(n)a(1)
para todas las permutaciones (a(1),...,a(n)) de {1,2,...,n}. Por ejemplo,
maximoValorPermutaciones 4 == 25 maximoValorPermutaciones (10^7) == 333333383333315000003 maximoValorPermutaciones (10^8) == 333333338333333150000003 maximoValorPermutaciones (10^9) == 333333333833333331500000003 length (show (maximoValorPermutaciones (10^1000))) == 3000 length (show (maximoValorPermutaciones (10^2000))) == 6000 length (show (maximoValorPermutaciones (10^3000))) == 9000
Comprobar con QuickCheck que, para todo entero positivo n y toda permutación (a(1),...,a(n)) de {1,2,...,n},
maximoValorPermutaciones n >= a(1)a(2) + a(2)a(3) + ··· + a(n)a(1)
El enunciado del problema 3 de la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1981 es
Calcular el máximo valor de m² + n² donde m y n son números enteros tales que m, n ∈ {1, 2, ..., 1981} y (n² - mn - m²)² = 1.
Definir la función
maximoValor :: Integer -> Integer
tal que (maximoValor k) es el máximo valor de m² + n² donde m y n son números enteros tales que m, n ∈ {1, 2, ..., k} y (n² - mn - m²)² = 1. Por ejemplo,
maximoValor 10 == 89 maximoValor (10^20) == 9663391306290450775010025392525829059713 length (show (maximoValor (10^(4*10^4)))) == 80000
Usando la función maximoValor, calcular la respuesta del problema.
El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1978 es
Para cada número entero d ≥ 1, sea M(d) el conjunto de todos enteros positivos que no se pueden escribir como una suma de una progresión aritmética de diferencia d, teniendo al menos dos sumandos y formadas por enteros positivos. Sean A = M(1), B = M(2)-{2} y C = M(3). Demostrar que todo c ∈ C se puede escribir de una única manera como c = ab con a ∈ A, b ∈ B.
Definir las funciones
conjuntoA :: [Integer] conjuntoB :: [Integer] conjuntoC :: [Integer] productosAB :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tales que
conjuntoA !! 2 == 4 length (show (conjuntoA !! (10^7))) == 3010300
conjuntoB !! 3 == 5 conjuntoB !! (10^6) == 15485863
conjuntoC !! 4 == 6
productosAB 10 == [(2,5)] productosAB 15 == []
Comprobar con QuickCheck la propiedad del problema de la Olimpiada; es decir, para todo c ∈ C la lista (productosAB c) tiene exactamente un elemento.
El número 5 es la suma de números enteros positivos en progresión aritmética de diferencia tres (ya que es 1+4) y también lo es el 7 (ya que es 2+5) y el 12 (ya que es (1+4+7), pero el 6 no lo es.
Definir la función
noSonSumasDePADeDiferencia :: Integer -> [Integer]
tal que (noSonSumasDePADeDiferencia d) es la lista de los números no se pueden escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia d, con al menos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,
(noSonSumasDePADeDiferencia 3) !! 4 == 6 (noSonSumasDePADeDiferencia 3) !! 100 == 6848 (noSonSumasDePADeDiferencia 9) !! 200 == 6752
El número 4 es la suma de números enteros positivos en progresión aritmética de diferencia dos (ya que es 1+3) y también lo es el 6 (ya que es 2+4) y el 9 (ya que es (1+3+5), pero el 5 no lo es.
Definir la función
noSonSumasDePADeDiferenciaDos :: [Integer]
cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia dos, con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,
noSonSumasDePADeDiferenciaDos !! 3 == 5 noSonSumasDePADeDiferenciaDos !! (10^6) == 15485863
El número 3 es la suma de números enteros positivos en progresión aritmética de diferencia uno (ya que es 1+2) y también lo es el 5 (ya que es 2+3) y el 6 (ya que es (1+2+3), pero el 4 no lo es.
Definir la función
noSonSumasDePADeDiferenciaUno :: [Integer]
cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como de progresiones aritméticas de diferencia uno, con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,
noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! 2 == 4 length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! (10^7))) == 3010300
Definir la función
productos :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (productos as bs c) es la lista de pares (a,b) tales que a un elementos de as, b es un elemento de bs y su producto es x, donde as y bs son listas (posiblemente infinitas) ordenadas crecientes. Por ejemplo,
productos [3,5..] [2,4..] 2000 == [(5,400),(25,80),(125,16)] productos [3,5..] [2,4..] 2001 == [] length (productos [3,5..] [2,4..] (product [1..11])) == 59
El enunciado del primer problema de la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1978 es
Sean n > m ≥ 1 números naturales tales que los 3 últimos dígitos de 1978^m y 1978^n coinciden. Calcular el par (m,n) de dichos pares para el que m+n es mínimo.
Definir la función
potenciasMismoFinales :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (potenciasMismoFinales x) es la lista de los pares de naturales (m,n) tales que n > m ≥ 1 y los 3 últimos dígitos de x^m y x^n coinciden (además, la lista está ordenada por la suma de las componentes de sus elementos). Por ejemplo,
take 3 (potenciasMismoFinales 1001) == [(1,2),(1,3),(1,4)] take 3 (potenciasMismoFinales 1002) == [(3,103),(4,104),(5,105)] take 3 (potenciasMismoFinales 1003) == [(1,101),(2,102),(3,103)] take 3 (potenciasMismoFinales 1004) == [(2,52),(3,53),(4,54)] take 3 (potenciasMismoFinales 1005) == [(3,5),(3,7),(4,6)] take 3 (potenciasMismoFinales 1006) == [(3,28),(4,29),(5,30)] take 3 (potenciasMismoFinales 1007) == [(1,21),(2,22),(3,23)] take 3 (potenciasMismoFinales 1008) == [(1,101),(2,102),(3,103)] take 3 (potenciasMismoFinales 1009) == [(1,51),(2,52),(3,53)]
Usando la función potenciasMismoFinales, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.
El enunciado del 4º problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1976 es
Calcular el mayor número que se puede obtener multiplicando los enteros positivos cuya suma es 1976.
Definir la función
mayorProductoSumandos :: Integer -> Integer
tal que (mayorProductoSumandos n) el mayor número que se puede obtener multiplicando los enteros positivos cuya suma es n. Por ejemplo,
mayorProductoSumandos 5 == 6
ya que los posibles listas de sumandos con suma 5 son
[5], [2,3], [1,4], [1,2,2], [1,1,3], [1,1,1,2], [1,1,1,1,1]
sus productos son
5, 6, 4, 4, 3, 2, 1
y el mayor de dichos productos es 6.
Otros ejemplos son
mayorProductoSumandos 10 == 36 mayorProductoSumandos 100 == 7412080755407364 length (show (mayorProductoSumandos (10^8))) == 15904042
Usando la función mayorProductoSumandos, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.
El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1972 es
Demostrar que cada n ≢ 0 (mod 10) posee algún múltiplo sin el dígito 0.
Definir la función
multiplosSinCeros :: Integer -> [Integer]
tal que (multiplosSinCeros n) es la lista de los múltiplos de n sin el dígito 0. Por ejemplo,
λ> take 10 (multiplosSinCeros 101) [1111,1212,1313,1414,1515,1616,1717,1818,1919,2121]
Comprobar con QuickCheck que si n es un número entero positivo no divisible por 10, entonces n posee algún múltiplo sin el dígito 0.
El enunciado de un problema para la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO) de 1970 es
Sean x1, x2, x3, x4, x5, x6 enteros no divisibles por 7. Demostrar que alguna de las sumas ±x1 ± x2 ± x3 ± x4 ± x5 ± x6 es divisible por 7, donde los signos se seleccionan de todas las manera posibles. (Generalizar la propiedad para todos los primos).
Definir la función
sumas :: [Integer] -> [Integer]
tal que (sumas xs) es la lista de los valores de las sumas
±x(1) ± x(2) ± ··· ± x(n)
donde [x(1),x(2),...,x(n)] = xs y los signos se seleccionan de todas las manera posibles. Por ejemplo,
sort (sumas [3]) == [-3,3] sort (sumas [2,3]) == [-5,-1,1,5] sort (sumas [1,2,3]) == [-6,-4,-2,0,2,4,6]
Comprobar con QuickCheck que para todo número primo impar p y toda lista xs de longitud (p-1) de elementos no divisibles por p se verifica que la lista (sumas xs) tiene algún elemento divisible por p.
El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1968 es
Sean a(0), a(1), ..., a(n) (con n ≥ 1) números enteros positivos. Encontrar todos los números enteros y tales que
a(0) | y; (a(0)+a(1)) | (y+a(1)); ... ; (a(0)+a(n)) | (y+a(n)).
donde "x | y" significa que "y es divisible por x".
Se dice que un número y es divisible respecto de la sucesión a(0), a(1), ..., a(n) si verifica la propiedad anterior; es decir,
a(0) | y; (a(0)+a(1)) | (y+a(1)); ... ; (a(0)+a(n)) | (y+a(n)).
Definir la función
divisiblesSucesion :: [Integer] -> [Integer]
tal que (divisiblesSucesion xs) es la lista de los números enteros divisibles respecto de xs. Por ejemplo,
take 6 (divisiblesSucesion [2,5,3]) == [2,72,142,212,282,352] divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^5) == 144144000003 divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^6) == 1441440000003 divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^7) == 14414400000003
El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1966 es
- (a) Calcular el número de maneras de expresar 500 como suma de números naturales consecutivos.
- (b) Calcular el número de tales representaciones para n = 2^x·3^y·5^z, con x, y, z ∈ ℕ. ¿Cuántas de ellas están formadas por un único elemento?
- (c) Calcular el número de tales representaciones para un número natural n.
Definir las funciones
consecutivosConSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)] nDeConsecutivosConSuma :: Integer -> Integer
tales que
consecutivosConSuma 3 == [(0,2),(1,2),(3,3)] consecutivosConSuma 4 == [(4,4)] consecutivosConSuma 5 == [(2,3),(5,5)] consecutivosConSuma 6 == [(0,3),(1,3),(6,6)] consecutivosConSuma 15 == [(0,5),(1,5),(4,6),(7,8),(15,15)] maximum [length (consecutivosConSuma n) | n <- [1..1000]] == 16
nDeConsecutivosConSuma 3 == 3 nDeConsecutivosConSuma 4 == 1 nDeConsecutivosConSuma 5 == 2 nDeConsecutivosConSuma 6 == 3 nDeConsecutivosConSuma 15 == 5 maximum [nDeConsecutivosConSuma n | n <- [1..10^5]] == 49 nDeConsecutivosConSuma (product [1..17]) == 672
Usando las funciones anteriores, calcular las respuestas del problema de la Olimpiada.
El enunciado del problema 1 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 1960 es el siguiente
Encontrar todos los números de tres cifras para los que al dividir el número entre 11 se obtiene la suma de los cuadrados de las cifras del número inicial.
Diremos que un número x es especial si al dividir x entre 11 se obtiene la suma de los cuadrados de las cifras de x.
Definir la función
esEspecial :: Integer -> Bool
tal que (esEspecial x) se verifica si x es especial. Por ejemplo,
esEspecial 550 == True esEspecial 22 == False esEspecial 241 == False esEspecial (11^(10^8)) == False
Usando la función esEspecial, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.
Calculando los números especiales menores que 10⁶, conjeturar que el conjunto de los números especiales es finito y comprobar la conjetura con QuickCheck.
El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2000 es
Considérese la sucesión definida como a(1) = 3, y a(n+1) = a(n) + a(n)². Determínense las dos últimas cifras de a(2000).
Definir las sucesiones
sucesionA :: [Integer] sucesionB :: [Integer]
tales que
take 4 sucesionA == [3,12,156,24492]
take 4 sucesionB == [3,12,56,92]
sucesionB !! (10^6) == 56
Usando la sucesionB, calcular la respuesta a la pregunta del problema de la Olimpiada.
El enunciado de un problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2000 es
¿Cuántos números, comprendidos entre 1.000 y 9.999, verifican que la suma de sus cuatro dígitos es mayor o igual que el producto de los mismos? ¿Para cuántos de ellos se verifica la igualdad?
Definir las funciones
conMayorSumaQueProducto :: Int -> Int -> [Int] conIgualSumaQueProducto :: Int -> Int -> [Int]
tales que
λ> conMayorSumaQueProducto 20 99
[20,21,30,31,40,41,50,51,60,61,70,71,80,81,90,91]
λ> conMayorSumaQueProducto 120 199
[120,121,122,130,131,140,141,150,151,160,161,170,171,180,181,190,191]
λ> conMayorSumaQueProducto 220 299
[220,221,230,240,250,260,270,280,290]
λ> conIgualSumaQueProducto 10 99
[22]
λ> conIgualSumaQueProducto 100 999
[123,132,213,231,312,321]
Usando las funciones anteriores, calcular las respuestas a las preguntas del problema de la Olimpiada.
El enunciado de un problema 3.3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2004 es
Hallad todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros positivos.
Definir la sucesión
sonSumaDosCuadrados :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden expresar como suma de los cuadrados de dos números naturales. Por ejemplo,
take 6 sonSumaDosCuadrados == [0,1,2,4,5,8] sonSumaDosCuadrados !! (10^4) == 39593
Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades:
Usando sonSumaDosCuadrados, resolver el problema propuesto; es decir, calcular todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros positivos.
El enunciado del problema C6 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es
Decimos que tres números naturales distintos forman una terna aditiva si la suma de los dos primeros de ellos es igual al tercero. Hallar, razonadamente, el máximo número de ternas aditivas que puede haber en un conjunto dado de 20 números naturales.
Definir las funciones
ternasAditivas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] nTernasAditivas :: Integer -> Integer
tales que
λ> ternasAditivas 7
[(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(1,6,7),(2,3,5),(2,4,6),(2,5,7),(3,4,7)]
λ> length (ternasAditivas (10^4))
24995000
nTernasAditivas 7 == 9 length (show (nTernasAditivas (10^(10^5)))) == 200000 length (show (nTernasAditivas (10^(10^6)))) == 2000000 length (show (nTernasAditivas (10^(10^7)))) == 20000000
El enunciado del problema C2 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es
¿Existe un conjunto infinito de números naturales que NO se pueden representar en la forma n³+p, siendo n natural y p primo? Razónese la contestación.
Definir la lista
noSonCuadradoMasPrimo :: [Integer]
cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como un cuadrado más un primo. Por ejemplo,
λ> take 15 noSonCuadradoMasPrimo [1,10,25,34,58,64,85,91,121,130,169,196,214,226,289] λ> noSonCuadradoMasPrimo2 !! 200 78961
En la lista no está el 2 (porque 2 = 0²+2), el 3 (porque 3 = 1²+2), el 4 (porque 4 = 0²+4) ni el 11 (porque 11 = 3²+2).
Comprobar con QuickCheck que noSonCuadradoMasPrimo es infinita.
El enunciado del problema B.5 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es
Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad: los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos impares (22 = 2¹·11¹, 23 = 23¹, 24 = 2³·3¹)
¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener esa propiedad?. Razónese la contestación.
Definir la lista
consecutivosExponentesImpares :: [[Integer]]
cuyos elementos sean las sucesiones maximales de números enteros positivos tales que los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos impares. Por ejemplo,
λ> take 7 consecutivosExponentesImpares [[1,2,3],[5,6,7,8],[10,11],[13,14,15],[17],[19],[21,22,23,24]] λ> consecutivosExponentesImpares !! (10^4) [43030,43031,43032,43033,43034,43035]
Usando la función consecutivosExponentesImpares conjeturar la respuesta a la pregunta del problema y comprobarla con QuickCheck.
El enunciado de un problema B3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2007 es
Sea a(n) = 1 + n³ la sucesión {2,9,28,65,...} y b(n) = mcd(a(n),a(n+1)). Hallar el máximo valor que puede tomar b(n).
Definir las listas
sucesionA :: [Integer] sucesionB :: [Integer]
tales que
take 12 sucesionA == [2,9,28,65,126,217,344,513,730,1001,1332,1729]
sucesionB !! 0 == 1 sucesionB !! 4 == 7 sucesionB !! (10^9) == 1
Usando sucesionB, conjeturar la respuesta del problema y comprobarla con QuickCheck.
El enunciado de un problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2010 es
Sea I(n) el conjunto de los n primeros números naturales impares. Por ejemplo: I(3) = {1,3,5}, I(6) = {1,3,5,7,9,11}, etc.
¿Para qué números n el conjunto I(n) se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas?
Definir las funciones
biparticiones :: Integer -> [([Integer],[Integer])] tieneBiparticiones :: Integer -> Bool biparticionD :: Integer -> Maybe ([Integer],[Integer])
tales que
λ> biparticiones 4
[([1,7],[3,5])]
λ> biparticiones 5
[]
λ> biparticiones 8
[([1,3,13,15],[5,7,9,11]),([1,5,11,15],[3,7,9,13]),([1,7,9,15],[3,5,11,13]),([1,7,11,13],[3,5,9,15])]
tieneBiparticiones 4 == True
tieneBiparticiones 5 == False
tieneBiparticiones (10^(10^7)) == True
λ> biparticionD 6
Just ([7,11],[1,3,5,9])
λ> biparticionD 7
Nothing
λ> biparticionD 8
Just ([1,7,9,15],[3,5,11,13])
λ> biparticionD 10
Just ([7,11,13,19],[1,3,5,9,15,17])
λ> biparticionD 12
Just ([1,7,9,15,17,23],[3,5,11,13,19,21])
λ> biparticionD 30
Just ([7,11,13,19,21,27,29,35,37,43,45,51,53,59],[1,3,5,9,15,17,23,25,31,33,39,41,47,49,55,57])
λ> length (show (biparticionD (2*10^4)))
114455
Usando tieneBiparticiones calcular los 10 primeros valores buscados (es decir, los 10 valores de n para los que I(n) se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas) y generalizar.
El enunciado de un problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2012 es
Consideremos el número entero positivo
[latex]n = 2^r - 16^s[/latex] donde r y s son también enteros positivos. Hallar las condiciones que deben cumplir r y s para que el resto de la división de n por 7 sea 5. Hallar el menor número que cumple esta condición.
Definir la lista
exponentes :: [(Integer,Integer)]
tal que sus elementos son los pares de enteros positivos (r,s) tales que [latex]2^r - 16^s[/latex] es un número entero positivo cuyo resto al dividirlo por 7 es 5. Por ejemplo,
head exponentes == (10,2) exponentes !! 23 == (43,8) exponentes !! (10^7) == (26836,1826)
Usando la función exponentes, calcular la respuesta a la pregunta del problema; es decir, hallar el menor número que cumple la condición.
El enunciado de un problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2011 es
Dado un entero positivo n, hallar la suma de todos los enteros positivos inferiores a 10n que no son múltiplos de 2 ni de 5.
Definir la función
suma :: Integer -> Integer
tal que (suma n) es la suma de todos los enteros positivos inferiores a 10n que no son múltiplos de 2 ni de 5. Por ejemplo,
suma 7 == 980 length (show (suma (10^(10^5)))) == 200002 length (show (suma (10^(10^6)))) == 2000002 length (show (suma (10^(10^7)))) == 20000002
El enunciado del problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2020 es
Sea n un entero positivo. Calcular la siguiente suma
3 4 5 n+2
--------- + --------- + --------- + ··· + ---------------------
1·2·4·5 2·3·5·6 3·4·6·7 n·(n+1)·(n+3)·(n+4)
Definir la función
sumaSerie :: Integer -> Rational
tal que para cada entero positivo n, (sumaSerie n) es el valor de la siguiente sumaSerie
3 4 5 n+2 --------- + --------- + --------- + ··· + --------------------- 1·2·4·5 2·3·5·6 3·4·6·7 n·(n+1)·(n+3)·(n+4)
Por ejemplo,
sumaSerie 1 == 3 % 40 sumaSerie 2 == 7 % 72 sumaSerie 3 == 3 % 28 sumaSerie (10^10) == 3125000001562500000 % 25000000012500000001 length (show (sumaSerie (10^10))) == 42 length (show (sumaSerie (10^(10^2)))) == 402 length (show (sumaSerie (10^(10^3)))) == 4002 length (show (sumaSerie (10^(10^4)))) == 40002 length (show (sumaSerie (10^(10^5)))) == 400002 length (show (sumaSerie (10^(10^6)))) == 4000002
El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2021 es
Determinar todos los números de cuatro cifras tales que al insertar un dígito 0 en cualquier posición se obtiene un múltiplo de 7.
Un número n se dice que es un múltiplo persistente de 7 si al insertar el dígito 0 en cualquier posición de n se obtiene un múltiplo de 7.
Definir las funciones
esMultiploPersistente :: Integer -> Bool multiplosPersistentes :: Int -> [Integer]
tales que
esMultiploPersistente 7007 == True
esMultiploPersistente 7107 == False
take 2 (multiplosPersistentes 4) == [7000,7007]
length (multiplosPersistentes 20) == 524288
Usando la función multiplosPersistentes, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.
El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1993 es
> Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de p de la forma 1111......1 (escrito sólo con unos).
Definir la función
multiplosRepitunos :: Integer -> [Integer]
tal que (multiplosRepitunos p n) es la lista de los múltiplos repitunos de p (es decir, de la forma 1111...1 escrito sólo con unos), donde p es un número primo distinto de 2 y 5. Por ejemplo,
take 2 (multiplosRepitunos 7) == [111111,111111111111] head (multiplosRepitunos 19) == 111111111111111111 length (show (head (multiplosRepitunos (primes !! (10^5))))) == 43324
Comprobar con QuickCheck que para todo primo p mayor que 5 y todo número entero positivo n, existe un mútiplo repituno de p mayor que n.
El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1995 es
Siendo p un número primo, halla las soluciones enteras de la ecuación:
p.(x + y) = x.y
Definir la función
soluciones :: Integer -> [(Integer, Integer)]
tal que (soluciones p) es la lista de los pares de enteros (x,y) tales que p.(x + y) = x.y. Por ejemplo,
λ> take 3 (soluciones 7) [(0,0),(14,14),(-42,6)] λ> sum [x+y | (x,y) <- take 6 (soluciones (primes !! (10^6)))] 185830404
Los pares de números enteros se pueden ordenar por la suma de los valores absolutos de sus componentes. Los primeros pares en dicha ordenación son
(0,0), (-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0), (-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),(0,2),(1,-1),(1,1),(2,0), ...
Definir la lista
pares :: [(Integer, Integer)]
cuyos elementos son los pares de números enteros con la ordenación anterior. Por ejemplo,
λ> take 38 pares
[(0,0),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),
(0,2),(1,-1),(1,1),(2,0),(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),
(0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),(2,-1),(2,1),(3,0),(-4,0),(-3,-1),
(-3,1),(-2,-2),(-2,2),(-1,-3),(-1,3),(0,-4),(0,4),(1,-3),(1,3),
(2,-2),(2,2)]
El número 2401 es una potencia de la suma de sus dígitos, ya que dicha suma es 7 y 7^4 = 2401.
Definir la lista
potenciaSumaDigitos :: [Integer]
cuyos elementos son los números que son potencias de las sumas de sus dígitos. Por ejemplo,
λ> take 17 potenciaSumaDigitos [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,81,512,2401,4913,5832,17576,19683]
El enunciado del problema 2 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1998 es
Sea p un número primo. Determinar todos los enteros k tales que sqrt(k² - k*p) es natural.
Definir las funciones
orbita :: Integer -> [Integer] orbitaDePrimo :: Integer -> [Integer]
tales que
take 4 (orbita 6) == [0,-2,6,8]
take 5 (orbita 36) == [0,-12,36,48,-64]
take 6 (orbita 9) == [0,-3,9,12,-16,25]
take 8 (orbita 27) == [0,-9,27,36,-48,75,-169,196]
take 10 (orbita 111) == [0,-37,111,148,-289,400,-972,1083,-3025,3136]
orbitaDePrimo 5 == [0,-4,5,9]
orbitaDePrimo (primes !! (10^6)) == [0,15485867,-59953011442489,59953026928356]