Definir la función

   sumaCadenas :: String -> String -> String

tal que sumaCadenas xs ys es la cadena formada por el número que es la suma de los números enteros cuyas cadenas que lo representan son xs e ys; además, se supone que la cadena vacía representa al cero. Por ejemplo,

   sumaCadenas "2"   "6"  == "8"
   sumaCadenas "14"  "2"  == "16"
   sumaCadenas "14"  "-5" == "9"
   sumaCadenas "-14" "-5" == "-19"
   sumaCadenas "5"   "-5" == "0"
   sumaCadenas ""    "5"  == "5"
   sumaCadenas "6"   ""   == "6"
   sumaCadenas ""    ""   == "0"

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Definir la función

   cuadradoCercano :: Integer -> Integer

tal que cuadradoCercano n es el número cuadrado más cercano a n, donde n es un entero positivo. Por ejemplo,

   cuadradoCercano 2       == 1
   cuadradoCercano 6       == 4
   cuadradoCercano 8       == 9
   cuadradoCercano (10^46) == 10000000000000000000000000000000000000000000000

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Un primo cubano es un número primo que se puede escribir como diferencia de dos cubos consecutivos. Por ejemplo, el 61 es un primo cubano porque es primo y 61 = 5³-4³.

Definir la sucesión

   cubanos :: [Integer]

tal que sus elementos son los números cubanos. Por ejemplo,

   λ> take 15 cubanos
   [7,19,37,61,127,271,331,397,547,631,919,1657,1801,1951,2269]

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Definir la función

   cerosDelFactorial :: Integer -> Integer

tal que cerosDelFactorial n es el número de ceros en que termina el factorial de n. Por ejemplo,

   cerosDelFactorial 24                         == 4
   cerosDelFactorial 25                         == 6
   length (show (cerosDelFactorial (10^70000))) == 70000

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La indicatriz de Euler (también función φ de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Por ejemplo, φ(36) = 12 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.

Definir la función

   phi :: Integer -> Integer

tal que phi n es igual a φ(n). Por ejemplo,

   phi 36                          ==  12
   map phi [10..20]                ==  [4,10,4,12,6,8,8,16,6,18,8]
   phi (3^10^5) `mod` (10^9)       ==  681333334
   length (show (phi (10^(10^5)))) == 100000

Comprobar con QuickCheck que, para todo n > 0, φ(10^n) tiene n dígitos.

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El hueco de un número primo p es la distancia entre p y primo siguiente de p. Por ejemplo, el hueco de 7 es 4 porque el primo siguiente de 7 es 11 y 4 = 11-7. Los huecos de los primeros números son

   Primo Hueco
    2    1
    3    2
    7    4
   11    2

El hueco de un número primo p es maximal si es mayor que los huecos de todos los números menores que p. Por ejemplo, 4 es un hueco maximal de 7 ya que los huecos de los primos menores que 7 son 1 y 2 y ambos son menores que 4. La tabla de los primeros huecos maximales es

   Primo Hueco
     2    1
     3    2
     7    4
    23    6
    89    8
   113   14
   523   18
   887   20

Definir la sucesión

   primosYhuecosMaximales :: [(Integer,Integer)]

cuyos elementos son los números primos con huecos maximales junto son sus huecos. Por ejemplo,

   λ> take 8 primosYhuecosMaximales
   [(2,1),(3,2),(7,4),(23,6),(89,8),(113,14),(523,18),(887,20)]
   λ> primosYhuecosMaximales !! 20
   (2010733,148)

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La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son

   [0]
   [0,1]
   [0,1,1,0]
   [0,1,1,0,1,0,0,1]
   [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]

De esta forma se va formando una sucesión

   0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,...

que se conoce como la sucesión de Thue-Morse.

Definir la sucesión

   sucThueMorse :: [Int]

cuyos elementos son los de la sucesión de Thue-Morse. Por ejemplo,

   λ> take 30 sucThueMorse
   [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0]
   λ> map (sucThueMorse4 !!) [1234567..1234596]
   [1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
   λ> map (sucThueMorse4 !!) [4000000..4000030]
   [1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1]

Comprobar con QuickCheck que si s(n) representa el término n-ésimo de la sucesión de Thue-Morse, entonces

   s(2n)   = s(n)
   s(2n+1) = 1 - s(n)

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La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario (es decir, la lista obtenida cambiando el 0 por 1 y el 1 por 0). Los primeros términos de la serie son

   [0]
   [0,1]
   [0,1,1,0]
   [0,1,1,0,1,0,0,1]
   [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]

Definir la lista

   serieThueMorse :: [[Int]]

tal que sus elementos son los términos de la serie de Thue-Morse. Por ejemplo,

   λ> take 4 serieThueMorse
   [[0],[0,1],[0,1,1,0],[0,1,1,0,1,0,0,1]]

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Definir la función

   representaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que representaciones n es la lista de pares de números naturales (x,y) tales que n = x² + y². Por ejemplo.

   representaciones  20              ==  [(2,4)]
   representaciones  25              ==  [(0,5),(3,4)]
   representaciones 325              ==  [(1,18),(6,17),(10,15)]
   length (representaciones (10^14)) == 8

Comprobar con QuickCheck que un número natural n se puede representar como suma de dos cuadrados si, y sólo si, en la factorización prima de n todos los exponentes de sus factores primos congruentes con 3 módulo 4 son pares.

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Definir la sucesión

   sumasDeDosPrimos :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo,

   λ> take 23 sumasDeDosPrimos
   [4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,24,25,26,28,30,31]
   λ> sumasDeDosPrimos !! (5*10^5)
   862878

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