El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1972 es

Demostrar que cada n ≢ 0 (mod 10) posee algún múltiplo sin el dígito 0.

Definir la función

   multiplosSinCeros :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosSinCeros n) es la lista de los múltiplos de n sin el dígito 0. Por ejemplo,

   λ> take 10 (multiplosSinCeros 101)
   [1111,1212,1313,1414,1515,1616,1717,1818,1919,2121]

Comprobar con QuickCheck que si n es un número entero positivo no divisible por 10, entonces n posee algún múltiplo sin el dígito 0.

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El enunciado de un problema para la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO) de 1970 es

Sean x1, x2, x3, x4, x5, x6 enteros no divisibles por 7. Demostrar que alguna de las sumas ±x1 ± x2 ± x3 ± x4 ± x5 ± x6 es divisible por 7, donde los signos se seleccionan de todas las manera posibles. (Generalizar la propiedad para todos los primos).

Definir la función

   sumas :: [Integer] -> [Integer]

tal que (sumas xs) es la lista de los valores de las sumas

   ±x(1) ± x(2) ± ··· ± x(n)

donde [x(1),x(2),...,x(n)] = xs y los signos se seleccionan de todas las manera posibles. Por ejemplo,

   sort (sumas [3])      ==  [-3,3]
   sort (sumas [2,3])    ==  [-5,-1,1,5]
   sort (sumas [1,2,3])  ==  [-6,-4,-2,0,2,4,6]

Comprobar con QuickCheck que para todo número primo impar p y toda lista xs de longitud (p-1) de elementos no divisibles por p se verifica que la lista (sumas xs) tiene algún elemento divisible por p.

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El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1968 es

Sean a(0), a(1), ..., a(n) (con n ≥ 1) números enteros positivos. Encontrar todos los números enteros y tales que

a(0) | y; (a(0)+a(1)) | (y+a(1)); ... ; (a(0)+a(n)) | (y+a(n)).

donde "x | y" significa que "y es divisible por x".

Se dice que un número y es divisible respecto de la sucesión a(0), a(1), ..., a(n) si verifica la propiedad anterior; es decir,

      a(0) | y; (a(0)+a(1)) | (y+a(1)); ... ; (a(0)+a(n)) | (y+a(n)).

Definir la función

   divisiblesSucesion :: [Integer] -> [Integer]

tal que (divisiblesSucesion xs) es la lista de los números enteros divisibles respecto de xs. Por ejemplo,

   take 6 (divisiblesSucesion [2,5,3])     ==  [2,72,142,212,282,352]
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^5)  ==  144144000003
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^6)  ==  1441440000003
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^7)  ==  14414400000003

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El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1966 es

• (a) Calcular el número de maneras de expresar 500 como suma de números naturales consecutivos.
• (b) Calcular el número de tales representaciones para n = 2^x·3^y·5^z, con x, y, z ∈ ℕ. ¿Cuántas de ellas están formadas por un único elemento?
• (c) Calcular el número de tales representaciones para un número natural n.

Definir las funciones

   consecutivosConSuma    :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   nDeConsecutivosConSuma :: Integer -> Integer

tales que

• (consecutivosConSuma n) es la lista de los extremos de las sucesiones de números naturales consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo,

     consecutivosConSuma 3  ==  [(0,2),(1,2),(3,3)]
     consecutivosConSuma 4  ==  [(4,4)]
     consecutivosConSuma 5  ==  [(2,3),(5,5)]
     consecutivosConSuma 6  ==  [(0,3),(1,3),(6,6)]
     consecutivosConSuma 15 ==  [(0,5),(1,5),(4,6),(7,8),(15,15)]
     maximum [length (consecutivosConSuma n) | n <- [1..1000]] == 16

• (nDeConsecutivosConSuma n) es la cantidad de sucesiones de números naturales consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo,

     nDeConsecutivosConSuma 3  ==  3
     nDeConsecutivosConSuma 4  ==  1
     nDeConsecutivosConSuma 5  ==  2
     nDeConsecutivosConSuma 6  ==  3
     nDeConsecutivosConSuma 15 ==  5
     maximum [nDeConsecutivosConSuma n | n <- [1..10^5]] == 49
     nDeConsecutivosConSuma (product [1..17])            == 672

Usando las funciones anteriores, calcular las respuestas del problema de la Olimpiada.

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El enunciado del problema 1 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 1960 es el siguiente

Encontrar todos los números de tres cifras para los que al dividir el número entre 11 se obtiene la suma de los cuadrados de las cifras del número inicial.

Diremos que un número x es especial si al dividir x entre 11 se obtiene la suma de los cuadrados de las cifras de x.

Definir la función

   esEspecial :: Integer -> Bool

tal que (esEspecial x) se verifica si x es especial. Por ejemplo,

   esEspecial 550          ==  True
   esEspecial 22           ==  False
   esEspecial 241          ==  False
   esEspecial (11^(10^8))  ==  False

Usando la función esEspecial, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.

Calculando los números especiales menores que 10⁶, conjeturar que el conjunto de los números especiales es finito y comprobar la conjetura con QuickCheck.

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El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2000 es

Considérese la sucesión definida como a(1) = 3, y a(n+1) = a(n) + a(n)². Determínense las dos últimas cifras de a(2000).

Definir las sucesiones

   sucesionA :: [Integer]
   sucesionB :: [Integer]

tales que

• sucesionA es la lista de los términos de la sucesión a(n). Por ejemplo,

     take 4 sucesionA  ==  [3,12,156,24492]

• sucesionB es la lista de los dos últimos dígitos de los término de la sucesión a(n). Por ejemplo,

     take 4 sucesionB     ==  [3,12,56,92]
     sucesionB !! (10^6)  ==  56

Usando la sucesionB, calcular la respuesta a la pregunta del problema de la Olimpiada.

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El enunciado de un problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2000 es

¿Cuántos números, comprendidos entre 1.000 y 9.999, verifican que la suma de sus cuatro dígitos es mayor o igual que el producto de los mismos? ¿Para cuántos de ellos se verifica la igualdad?

Definir las funciones

   conMayorSumaQueProducto :: Int -> Int -> [Int]
   conIgualSumaQueProducto :: Int -> Int -> [Int]

tales que

• (conMayorSumaQueProducto a b) es la lista de los números del intervalo [a,b] tales que la suma de sus dígitos es mayor o igual que el producto de los mismos. Por ejemplo,

     λ> conMayorSumaQueProducto 20 99
     [20,21,30,31,40,41,50,51,60,61,70,71,80,81,90,91]
     λ> conMayorSumaQueProducto 120 199
     [120,121,122,130,131,140,141,150,151,160,161,170,171,180,181,190,191]
     λ> conMayorSumaQueProducto 220 299
     [220,221,230,240,250,260,270,280,290]

• (conIgualSumaQueProducto a b) es la lista de los números del intervalo [a,b] tales que la suma de sus dígitos es igual que el producto de los mismos. Por ejemplo,

     λ> conIgualSumaQueProducto 10 99
     [22]
     λ> conIgualSumaQueProducto 100 999
     [123,132,213,231,312,321]

Usando las funciones anteriores, calcular las respuestas a las preguntas del problema de la Olimpiada.

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El enunciado de un problema 3.3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2004 es

Hallad todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros positivos.

Definir la sucesión

   sonSumaDosCuadrados :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden expresar como suma de los cuadrados de dos números naturales. Por ejemplo,

   take 6 sonSumaDosCuadrados      ==  [0,1,2,4,5,8]
   sonSumaDosCuadrados !! (10^4)   ==  39593

Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades:

• La sucesión sonSumaDosCuadrados es infinita.
• Los elementos de sonSumaDosCuadrados no son congruentes con 3 módulo 4 (es decir, sus restos al dividirlo por 4 son distintos de 3).

Usando sonSumaDosCuadrados, resolver el problema propuesto; es decir, calcular todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros positivos.

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El enunciado del problema C6 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es

Decimos que tres números naturales distintos forman una terna aditiva si la suma de los dos primeros de ellos es igual al tercero. Hallar, razonadamente, el máximo número de ternas aditivas que puede haber en un conjunto dado de 20 números naturales.

Definir las funciones

   ternasAditivas  :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
   nTernasAditivas :: Integer -> Integer

tales que

• (ternasAditivas n) es la lista de las ternas aditivas crecientes que se pueden formar con los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

     λ> ternasAditivas 7
     [(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(1,6,7),(2,3,5),(2,4,6),(2,5,7),(3,4,7)]
     λ> length (ternasAditivas (10^4))
     24995000

• (nTernasAditivas n) es el número de ternas aditivas crecientes que se pueden formar con los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

     nTernasAditivas 7                            ==  9
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^5))))  ==  200000
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^6))))  ==  2000000
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^7))))  ==  20000000

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El enunciado del problema C2 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es

¿Existe un conjunto infinito de números naturales que NO se pueden representar en la forma n³+p, siendo n natural y p primo? Razónese la contestación.

Definir la lista

   noSonCuadradoMasPrimo :: [Integer]

cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como un cuadrado más un primo. Por ejemplo,

   λ> take 15 noSonCuadradoMasPrimo
   [1,10,25,34,58,64,85,91,121,130,169,196,214,226,289]
   λ> noSonCuadradoMasPrimo2 !! 200
   78961

En la lista no está el 2 (porque 2 = 0²+2), el 3 (porque 3 = 1²+2), el 4 (porque 4 = 0²+4) ni el 11 (porque 11 = 3²+2).

Comprobar con QuickCheck que noSonCuadradoMasPrimo es infinita.

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El enunciado del problema B.5 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es

Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad: los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos impares (22 = 2¹·11¹, 23 = 23¹, 24 = 2³·3¹)

¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener esa propiedad?. Razónese la contestación.

Definir la lista

   consecutivosExponentesImpares :: [[Integer]]

cuyos elementos sean las sucesiones maximales de números enteros positivos tales que los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos impares. Por ejemplo,

   λ> take 7 consecutivosExponentesImpares
   [[1,2,3],[5,6,7,8],[10,11],[13,14,15],[17],[19],[21,22,23,24]]
   λ> consecutivosExponentesImpares !! (10^4)
   [43030,43031,43032,43033,43034,43035]

Usando la función consecutivosExponentesImpares conjeturar la respuesta a la pregunta del problema y comprobarla con QuickCheck.

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El enunciado de un problema B3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2007 es

Sea a(n) = 1 + n³ la sucesión {2,9,28,65,...} y b(n) = mcd(a(n),a(n+1)). Hallar el máximo valor que puede tomar b(n).

Definir las listas

   sucesionA :: [Integer]
   sucesionB :: [Integer]

tales que

• los elementos de sucesionA son los términos de la sucesión a(n). Por ejemplo,

     take 12 sucesionA  ==  [2,9,28,65,126,217,344,513,730,1001,1332,1729]

• los elementos de sucesionAB son los términos de la sucesión b(n). Por ejemplo,

   sucesionB !! 0       ==  1
   sucesionB !! 4       ==  7
   sucesionB !! (10^9)  ==  1

Usando sucesionB, conjeturar la respuesta del problema y comprobarla con QuickCheck.

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El enunciado de un problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2010 es

Sea I(n) el conjunto de los n primeros números naturales impares. Por ejemplo: I(3) = {1,3,5}, I(6) = {1,3,5,7,9,11}, etc.

¿Para qué números n el conjunto I(n) se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas?

Definir las funciones

   biparticiones :: Integer -> [([Integer],[Integer])]
   tieneBiparticiones :: Integer -> Bool
   biparticionD :: Integer -> Maybe ([Integer],[Integer])

tales que

• (biparticiones n) es la lista de las biparticiones de I(n) con igual suma; es decir, la lista de los pares (xs,ys) tales que xs e ys son subconjuntos disjuntos de I(n) cuya unión es I(n) y la suma de los elementos de xs es igual que la de los de ys. Por ejemplo,

     λ> biparticiones 4
     [([1,7],[3,5])]
     λ> biparticiones 5
     []
     λ> biparticiones 8
     [([1,3,13,15],[5,7,9,11]),([1,5,11,15],[3,7,9,13]),([1,7,9,15],[3,5,11,13]),([1,7,11,13],[3,5,9,15])]

• (tieneBiparticiones n) se verifica si I(n) tiene alguna bipartición con igual suma. Por ejemplo,

     tieneBiparticiones 4  ==  True
     tieneBiparticiones 5  ==  False
     tieneBiparticiones (10^(10^7))  ==  True

• (biparticionD n) es una de las biparticiones de I(n) con igual suma, si tiene alguna y Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

     λ> biparticionD 6
     Just ([7,11],[1,3,5,9])
     λ> biparticionD 7
     Nothing
     λ> biparticionD 8
     Just ([1,7,9,15],[3,5,11,13])
     λ> biparticionD 10
     Just ([7,11,13,19],[1,3,5,9,15,17])
     λ> biparticionD 12
     Just ([1,7,9,15,17,23],[3,5,11,13,19,21])
     λ> biparticionD 30
     Just ([7,11,13,19,21,27,29,35,37,43,45,51,53,59],[1,3,5,9,15,17,23,25,31,33,39,41,47,49,55,57])
     λ> length (show (biparticionD (2*10^4)))
     114455

Usando tieneBiparticiones calcular los 10 primeros valores buscados (es decir, los 10 valores de n para los que I(n) se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas) y generalizar.

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El enunciado de un problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2012 es

Consideremos el número entero positivo

[latex]n = 2^r - 16^s[/latex] donde r y s son también enteros positivos. Hallar las condiciones que deben cumplir r y s para que el resto de la división de n por 7 sea 5. Hallar el menor número que cumple esta condición.

Definir la lista

   exponentes :: [(Integer,Integer)]

tal que sus elementos son los pares de enteros positivos (r,s) tales que [latex]2^r - 16^s[/latex] es un número entero positivo cuyo resto al dividirlo por 7 es 5. Por ejemplo,

   head exponentes       ==  (10,2)
   exponentes !! 23      ==  (43,8)
   exponentes !! (10^7)  ==  (26836,1826)

Usando la función exponentes, calcular la respuesta a la pregunta del problema; es decir, hallar el menor número que cumple la condición.

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El enunciado de un problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2011 es

Dado un entero positivo n, hallar la suma de todos los enteros positivos inferiores a 10n que no son múltiplos de 2 ni de 5.

Definir la función

   suma :: Integer -> Integer

tal que (suma n) es la suma de todos los enteros positivos inferiores a 10n que no son múltiplos de 2 ni de 5. Por ejemplo,

   suma 7  ==  980
   length (show (suma (10^(10^5))))  ==  200002
   length (show (suma (10^(10^6))))  ==  2000002
   length (show (suma (10^(10^7))))  ==  20000002

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El enunciado del problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2020 es

Sea n un entero positivo. Calcular la siguiente suma

         3           4           5                    n+2
     --------- + --------- + --------- + ··· + ---------------------
      1·2·4·5     2·3·5·6     3·4·6·7           n·(n+1)·(n+3)·(n+4)

Definir la función

   sumaSerie :: Integer -> Rational

tal que para cada entero positivo n, (sumaSerie n) es el valor de la siguiente sumaSerie

      3           4           5                    n+2
  --------- + --------- + --------- + ··· + ---------------------
   1·2·4·5     2·3·5·6     3·4·6·7           n·(n+1)·(n+3)·(n+4)

Por ejemplo,

   sumaSerie 1        ==  3 % 40
   sumaSerie 2        ==  7 % 72
   sumaSerie 3        ==  3 % 28
   sumaSerie (10^10)  ==  3125000001562500000 % 25000000012500000001

   length (show (sumaSerie (10^10)))      ==  42
   length (show (sumaSerie (10^(10^2))))  ==  402
   length (show (sumaSerie (10^(10^3))))  ==  4002
   length (show (sumaSerie (10^(10^4))))  ==  40002
   length (show (sumaSerie (10^(10^5))))  ==  400002
   length (show (sumaSerie (10^(10^6))))  ==  4000002

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El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2021 es

Determinar todos los números de cuatro cifras tales que al insertar un dígito 0 en cualquier posición se obtiene un múltiplo de 7.

Un número n se dice que es un múltiplo persistente de 7 si al insertar el dígito 0 en cualquier posición de n se obtiene un múltiplo de 7.

Definir las funciones

   esMultiploPersistente :: Integer -> Bool
   multiplosPersistentes :: Int -> [Integer]

tales que

• (esMultiploPersistente n) se verifica si n es un múltiplo persistente de n. Por ejemplo,

     esMultiploPersistente 7007  ==  True
     esMultiploPersistente 7107  ==  False

• (multiplosPersistentes k) es la lista de los números con k dígitos que son múltiplos persistentes de 7. Por ejemplo,

     take 2 (multiplosPersistentes 4)   ==  [7000,7007]
     length (multiplosPersistentes 20)  ==  524288

Usando la función multiplosPersistentes, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.

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El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1993 es

> Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de p de la forma 1111......1 (escrito sólo con unos).

Definir la función

   multiplosRepitunos :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosRepitunos p n) es la lista de los múltiplos repitunos de p (es decir, de la forma 1111...1 escrito sólo con unos), donde p es un número primo distinto de 2 y 5. Por ejemplo,

   take 2 (multiplosRepitunos 7) == [111111,111111111111]
   head (multiplosRepitunos 19)  == 111111111111111111
   length (show (head (multiplosRepitunos (primes !! (10^5))))) == 43324

Comprobar con QuickCheck que para todo primo p mayor que 5 y todo número entero positivo n, existe un mútiplo repituno de p mayor que n.

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El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1995 es

Siendo p un número primo, halla las soluciones enteras de la ecuación:

p.(x + y) = x.y

Definir la función

   soluciones :: Integer -> [(Integer, Integer)]

tal que (soluciones p) es la lista de los pares de enteros (x,y) tales que p.(x + y) = x.y. Por ejemplo,

   λ> take 3 (soluciones 7)
   [(0,0),(14,14),(-42,6)]
   λ> sum [x+y | (x,y) <- take 6 (soluciones (primes !! (10^6)))]
   185830404

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Los pares de números enteros se pueden ordenar por la suma de los valores absolutos de sus componentes. Los primeros pares en dicha ordenación son

   (0,0),
   (-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),
   (-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),(0,2),(1,-1),(1,1),(2,0), ...

Definir la lista

   pares :: [(Integer, Integer)]

cuyos elementos son los pares de números enteros con la ordenación anterior. Por ejemplo,

   λ> take 38 pares
   [(0,0),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),
    (0,2),(1,-1),(1,1),(2,0),(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),
    (0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),(2,-1),(2,1),(3,0),(-4,0),(-3,-1),
    (-3,1),(-2,-2),(-2,2),(-1,-3),(-1,3),(0,-4),(0,4),(1,-3),(1,3),
    (2,-2),(2,2)]

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El número 2401 es una potencia de la suma de sus dígitos, ya que dicha suma es 7 y 7^4 = 2401.

Definir la lista

   potenciaSumaDigitos :: [Integer]

cuyos elementos son los números que son potencias de las sumas de sus dígitos. Por ejemplo,

   λ> take 17 potenciaSumaDigitos
   [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,81,512,2401,4913,5832,17576,19683]

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El enunciado del problema 2 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1998 es

Sea p un número primo. Determinar todos los enteros k tales que sqrt(k² - k*p) es natural.

Definir las funciones

   orbita        :: Integer -> [Integer]
   orbitaDePrimo :: Integer -> [Integer]

tales que

• (orbita n) es la lista de todos los enteros k tales que sqrt(k² - k*n) es natural. Por ejemplo,

     take 4  (orbita 6)   == [0,-2,6,8]
     take 5  (orbita 36)  == [0,-12,36,48,-64]
     take 6  (orbita 9)   == [0,-3,9,12,-16,25]
     take 8  (orbita 27)  == [0,-9,27,36,-48,75,-169,196]
     take 10 (orbita 111) == [0,-37,111,148,-289,400,-972,1083,-3025,3136]

• (orbitaDePrimo p) es la lista de todos los enteros k tales que sqrt(k² - k*p) es natural, suponiendo que p es un número primo. Por ejemplo,

     orbitaDePrimo 5                  == [0,-4,5,9]
     orbitaDePrimo (primes !! (10^6)) == [0,15485867,-59953011442489,59953026928356]

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El enunciado del problema 2 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1998 es

Hallar todos los números naturales de 4 cifras, escritos en base 10, que sean iguales al cubo de la suma de sus cifras.

Definir la función

   especiales :: Integer -> Integer -> [Integer]

tal que (especiales a b) es la lista de los números de a cifras que son iguales la suma de sus cifras elevada a b. Por ejemplo,

   especiales 5 3  ==  [17576,19683]
   especiales 6 4  ==  [234256,390625,614656]

Usando la función anterior, calcular las soluciones del problema de la Olimpiada.

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El enunciado del problema 5 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2002 es

La función g se define sobre los números naturales y satisface las condiciones:

• g(1) = 1
• g(2n) = g(n)
• g(2n + 1) = g(2n) + 1

Sea n un número natural tal que 1 ≤ n ≤ 2002. Calcula el valor máximo M de g(n). Calcula también cuántos valores de n satisfacen g(n) = M.

Los valores de la función g para n de 1 a 30 son

   1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4

Definir la función

   maximoG :: Integer -> Integer

tal que (maximoG m) es el máximo de los valores de g(n) para n en {1, 2,..., m}. Por ejemplo,

   maximoG 30           ==  4
   maximoG (10^(10^5))  ==  332192

Usando la función maximoG, calcular los valores pedidos en el problema.

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El enunciado del problema 5 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2006 es

Probar que el producto de cuatro naturales consecutivos no puede ser ni cuadrado ni cubo perfecto.

Definir la lista

   productos :: [Integer]

cuyos elementos son los productos de cuatro enteros positivos consecutivos. Por ejemplo,

   λ> take 12 productos
   [24,120,360,840,1680,3024,5040,7920,11880,17160,24024,32760]

Comprobar con QuickCheck que los elementos de la lista anterior no son ni cuadrados ni cubos perfectos.

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El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2014 es

Sea {x(n)} la sucesión de enteros positivos definida por x(1) = 2 y x(n+1) = 2*x(n)^3+x(n) para todo n >= 1. Determinar la mayor potencia de 5 que divide al número x(2014)^2+1.

Definir la función

   mayorExponente :: Integer -> Integer

tal que (mayorExponente n) es el mayor m tal que 5^m divide al número x(n)^2+1.

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El enunciado del segundo problema de este mes de la RSME es el siguiente:

Un número de al menos tres cifras se denomina fibonacciano si sus cifras, a partir de la tercera, son iguales a la suma de las dos cifras anteriores. Por ejemplo, 5279 es un número fibonacciano, pues su tercera cifra, 7, es suma de las dos anteriores (5+2) y su cuarta cifra, 9, también (2+7).

Te daremos el problema por válido si respondes bien a estas dos cuestiones: a) ¿cuántas cifras como máximo puede tener un número fibonacciano? b) ¿cuántos números fibonaccianos hay?

En la definición de fibonacciano la suma de las cifras tiene que menor que 10, pero podemos generalizarlo sustituyendo 10 por número n. Dichos números de llaman fibonaccianos generalizados acotados por n. Por ejemplo, 571219315081 es un fibonacciano generalizado acotado por 100 ya que la sucesión de sus dígitos es 5, 7, 12 (= 5+7), 19 (= 7+12), 31 (= 12+19) 50 (=19+31) y 81 (=31+50).

Definir las funciones

   esFibonacciano :: Integer -> Bool
   fibonaccianos  :: [Integer]
   fibonaccianosG :: Integer -> [Integer]

tales que

• (esFibonacciano n) se verifica si n es un número fibonacciano. Por ejemplo,

     esFibonacciano 5279    ==  True
     esFibonacciano 527916  ==  False

• fibonaccianos es la lista de los números fibonaccianos. Por ejemplo,

     λ> take 60 fibonaccianos
     [101,112,123,134,145,156,167,178,189,202,213,224,235,246,257,268,
      279,303,314,325,336,347,358,369,404,415,426,437,448,459,505,516,
      527,538,549,606,617,628,639,707,718,729,808,819,909,1011,1123,
      1235,1347,1459,2022,2134,2246,2358,3033,3145,3257,3369,4044,4156]

• (fibonaccianosG n) es la lista de los números fibonaccianos generalizados acotados por n. Por ejemplo,

     λ> take 60 (fibonaccianosG 100)
     [101,112,123,134,145,156,167,178,189,202,213,224,235,246,257,268,
      279,303,314,325,336,347,358,369,404,415,426,437,448,459,505,516,
      527,538,549,606,617,628,639,707,718,729,808,819,909,1011,1123,
      1235,1347,1459,1910,2022,2134,2246,2358,2810,2911,3033,3145,3257]
     λ> take 12 (drop 60 (fibonaccianosG 10))
     [4268,5055,5167,5279,6066,6178,7077,7189,8088,9099,10112,11235]
     λ> take 12 (drop 60 (fibonaccianosG 100))
     [3369,3710,3811,3912,4044,4156,4268,4610,4711,4812,4913,5055]
     λ> length (fibonaccianosG (10^40))
     16888
     λ> length (show (last (fibonaccianosG (10^40))))
     3943

Usando las funciones anteriores, calcular cuántas cifras como máximo puede tener un número fibonacciano y cuántos números fibonaccianos hay.

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El enunciado del primer problema de este mes de la RSME es el siguiente:

Un entero positivo de dos o más cifras se denomina cuadriseguido si cada par de dígitos consecutivos que tenga es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, + 364 es cuadriseguido, pues 36 = 6^2 y 64 = 8^2 + 3642 no lo es porque 42 no es un cuadrado perfecto. Obtén todos los números cuadriseguidos posibles.

El concepto de cuadriseguido se puede generalizar como sigue: Un entero positivo n de dos o más cifras se denomina encadenado respecto de una lista de números de dos dígitos xs si cada par de dígitos consecutivos que tenga es un elemento distinto de xs. Por ejemplo,

• 364 es encadenado respecto de xs = [36,64,15], porque 36 y 64 pertenecen a xs
• 3642 no es encadenado respecto de xs = [36,64,15], porque 42 no pertenece a xs

Definir la función

   encadenados :: [Integer] -> [Integer]

tal que (encadenados xs) es la lista de los números encadenados respecto de xs. Por ejemplo,

   λ> encadenados [12,23,31]
   [12,23,31,123,231,312,1231,2312,3123]
   λ> encadenados [12,22,31]
   [12,22,31,122,312,3122]
   λ> take 14 (encadenados [n^2 | n <- [4..9]])
   [16,25,36,49,64,81,164,364,649,816,1649,3649,8164,81649]
   λ> length (encadenados [10..42])
   911208

Calcular todos los números cuadriseguidos posibles usando la función encadenados.

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En la librería Data.Tree se definen los árboles y los bosques como sigue

data Tree a   = Node a (Forest a)
type Forest a = [Tree a]

Se pueden definir árboles. Por ejemplo,

ej = Node 3 [Node 5 [Node 9 []], Node 7 []]

Y se pueden dibujar con la función drawTree. Por ejemplo,

λ> putStrLn (drawTree (fmap show ej))
3
|
+- 5
|  |
|  `- 9
|
`- 7

Una cadena con un conjunto de pares ps es una lista xs de elementos distintos de ps tales que la segunda componente de cada elemento de xs es igual a la primera componente de su siguiente elemento. Por ejemplo, si ps = [(1,6),(2,5),(3,6),(4,9),(6,4),(8,1)] entonces [(6,4)], [(8,1),(1,6)] y [(8,1),(1,6),(6,4),(4,9)] son cadenas con ps.

Definir la función

arbolCadenas :: Eq a => [(a,a)] -> Tree [(a,a)]

tal que (arbolCadenas ps) es el árbol de las cadenas formadas con los elementos de ps. Por ejemplo,

λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolCadenas [(1,2),(2,3),(3,1)])))
[]
|
+- [(1,2)]
|  |
|  `- [(3,1),(1,2)]
|     |
|     `- [(2,3),(3,1),(1,2)]
|
+- [(2,3)]
|  |
|  `- [(1,2),(2,3)]
|     |
|     `- [(3,1),(1,2),(2,3)]
|
`- [(3,1)]
   |
   `- [(2,3),(3,1)]
      |
      `- [(1,2),(2,3),(3,1)]

λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolCadenas [(1,6),(2,5),(3,6),(4,9),(6,4),(8,1)])))
[]
|
+- [(1,6)]
|  |
|  `- [(8,1),(1,6)]
|
+- [(2,5)]
|
+- [(3,6)]
|
+- [(4,9)]
|  |
|  `- [(6,4),(4,9)]
|     |
|     +- [(1,6),(6,4),(4,9)]
|     |  |
|     |  `- [(8,1),(1,6),(6,4),(4,9)]
|     |
|     `- [(3,6),(6,4),(4,9)]
|
+- [(6,4)]
|  |
|  +- [(1,6),(6,4)]
|  |  |
|  |  `- [(8,1),(1,6),(6,4)]
|  |
|  `- [(3,6),(6,4)]
|
`- [(8,1)]

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Definir la lista

   sucesion :: [Integer]

cuyos elementos son los términos de la sucesión

   107811/3, 110778111/3, 111077781111/3, 111107777811111/3, ...

Por ejemplo,

   λ> take 5 sucesion
   [35937,36926037,37025927037,37035925937037,37036925926037037]
   λ> length (show (sucesion2 !! (3*10^6)))
   9000005

Comprobar con QuickCheck que todos los términos de la sucesión son cubos perfectos.

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Un enlace primo de longitud n es una permutación de 1, 2, ..., n comienza con 1 y termina con n, tal que la suma de cada par de términos adyacentes es primo. Por ejemplo, para n = 6 la lista [1,4,3,2,5,6] es un enlace primo ua que las sumas de los pares de términos adyacentes son los números primos 5, 7, 5, 7, 11.

Definir la función

   enlacesPrimos :: Int -> [[Int]]

tal que (enlacesPrimos n) es la lista de los enlaces primos de longitud n. Por ejemplo,

   λ> enlacesPrimos 6
   [[1,4,3,2,5,6]]
   λ> enlacesPrimos 7
   [[1,4,3,2,5,6,7],[1,6,5,2,3,4,7]]
   λ> enlacesPrimos 8
   [[1,2,5,6,7,4,3,8],[1,4,7,6,5,2,3,8],[1,2,3,4,7,6,5,8],[1,6,7,4,3,2,5,8]]
   λ> length (enlacesPrimos 10)
   24
   λ> length (head (enlacesPrimos (5*10^4)))
   50000

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La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito que resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 2345 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.

La sucesión de las raices digitales definida por un número a es la sucesión a(n) tal que a(0) = a y a(n+1) es la suma de a(n) y la raíz dígital de a(n). Por ejemplo, los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 1 son

   1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89,...

Definir la función

   raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]

tal que (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales a) es la lista de las raíces digitales de los elementos de la sucesión de raíces digitales definidas por a. Por ejemplo,

   λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 1)
   [1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2]
   λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 2021)
   [5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1]
   λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales (9^100) !! (10^9)
   9

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La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.

La sucesión de las raices digitales definida por un número a es la sucesión a(n) tal que a(0) = a y a(n+1) es la suma de a(n) y la raíz dígital de a(n). Por ejemplo, los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 1 son

   1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89,...

Se observa que el menor número que no pertenece a la sucesión anterior es 3. Los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 3 son

   3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87,93,96,...

Se observa que el menor número que no pertenece a las 2 sucesiones anteriores es 5. Los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 5 son

   5,10,11,13,17,25,32,37,38,40,44,52,59,64,65,67,71,79,86,91,92,94,...

Definir la función

   sucesionSucesionesRaicesDigitales :: [[Integer]]

tal que sus elementos son las sucesiones de raíces digitales tal el primer elemento de cada sucesión es el menor elemento que no pertenece a las sucesiones anteriores. Por ejemplo,

   λ> map (take 5) (take 4 sucesionSucesionesRaicesDigitales)
   [[1,2,4,8,16],[3,6,12,15,21],[5,10,11,13,17],[7,14,19,20,22]]

Comprobar con QuickCheck que sucesionSucesionesRaicesDigitales tiene exactamente 5 elementos.

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La sucesión Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

La sucesión comienza con los números 1 y 1 y, a partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores.

Definir la función

   raizDigitalFibonacci :: Integer -> Integer

tal que (raizDigitalFibonacci n) es la raíz digital del n-ésimo número de Fibonacci. Por ejemplo,

   raizDigitalFibonacci 6         ==  4
   raizDigitalFibonacci 7         ==  3
   raizDigitalFibonacci (3*10^7)  ==  1

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Los números de Fermat son los número de la forma F(n) = 2^(2^n) + 1, donde n esun número natural.

Definir la función

   raizDigitalFermat :: Integer -> Integer

tal que (raizDigitalFermat n) es la raíz digital del n-ésimo número de Fermat. Por ejemplo,

   raizDigitalFermat 3          ==  5
   raizDigitalFermat (10^2021)  ==  8

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La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.

La persistencia aditiva de un número entero positivo es el número de veces que hay sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital. Por ejemplo, la persistencia aditiva de 2718 es 2: primero encontramos que 2+7+1+8 = 18, luego que 1+8 = 9.

Definir la función

   persistencia :: Integer -> Integer

tal que (persistencia n) es la persistencia del número entero positivo n. Por ejemplo,

   persistencia 2718                     ==  2
   persistencia 199                      ==  3
   persistencia 19999999999999999999999  ==  4

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La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa por D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.

Definir la función

   raizDigitalPotencia :: Integer -> Integer

tal que (raizDigitalPotencia n) es la raíz digital de 2^n. Por ejemplo,

   raizDigitalPotencia 6            ==  1
   raizDigitalPotencia (10^(10^8))  ==  7

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La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito que resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.

Definir la función

   raizDigital :: Integer -> Integer

tal que (raizDigital n) es la raíz digital del entero positivo n. Por ejemplo,

   raizDigital 23451  ==  6

Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de la raíz digital:

• D(m + n) = D(D(m) + D(n)).
• D(mn) = D(D(m)D(n)).
• D(m^n) = D(D(m)^n).
• D(D(n)) = D(n).
• D(n + 9) = D(n).
• D(9n) = 9.

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Una función f de pares de números naturales en números naturales es estrictamente creciente en ambos argumentos si

• para x1 < x2, se tiene f(x1,y) < f(x1,y), para todo y y
• para y1 < y2, se tiene f(x,y1) < f(x,y2), para todo x.

Por ejemplo, la función f definida por f(x,y) = x^2+3^y escreciente en ambos argumentos.

Las antiimágenes por f de t son los pares (x,y) tales que f(x,y) = t. Por ejemplo, las antimágenes por f(x,y) = x^2+3^y de 82 son los pares (1,4) y (9,0).

Definir la función

   antiimagenes :: Integral a => ((a,a) -> a) -> a -> [(a,a)]

tal que (antiimagenes f t) es la lista de las antiimágenes por f de t, donde se supone que f es una función de pares de números naturales en números naturales que es estrictamente creciente en ambos argumentos. Por ejemplo,

   antiimagenes (\(x,y) -> x^2+3^y) 82        ==  [(1,4),(9,0)]
   antiimagenes (\(x,y) -> x^2+3^y) 387421785 == [(36,18)]

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Una función f de los números naturales en los números naturales es estrictamente creciente si para cualquier par de números x, y tales que x < y se verifica que f(x) < f(y). La antiimagen por f de un número natural t es el número natural x tal que f(x) = t. No todos los números tienen antiimiagen por f, pero en caso de tenerla es única.

Definir la función

   antiimagen :: (Integer -> Integer) -> Integer -> Maybe Integer

tal que, suponiendo que f es una función creciente de los naturales en los naturales, (antiimagen f t) es justamente la antiimagen por f de t, si existe y es Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

   antiimagen (\x -> 2*x^2-3) 47  ==  Just 5
   antiimagen (\x -> 2*x^2-3) 48  ==  Nothing
   antiimagen (\x -> 2^x) 1024    ==  Just 10
   antiimagen (2^) 1024           ==  Just 10
   antiimagen (2^) (2^(10^7))     ==  Just 10000000
   antiimagen (2^) (1+2^(10^7))   ==  Nothing

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Definir la función

   reducida :: (a -> a -> Bool) -> [a] -> [a]

tal que (reducida r xs) obtenida elimando en xs las repeticiones de elementos consecutivos queverifican la relación r. Por ejemplo,

   reducida (==) [4,4,2,1,1,1,2,5]  ==  [4,2,1,2,5]
   reducida (<)  [4,4,2,1,1,1,2,5]  ==  [4,4,2,1,1,1]
   reducida (>=) [4,4,2,1,1,1,2,5]  ==  [4,5]
   reducida (>)  [4,4,2,1,1,1,2,5]  ==  [4,4,5]
   reducida (/=) [4,4,2,1,1,1,2,5]  ==  [4,4]

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Una lista de números es muy decreciente si cada elemento es menor que la suma de los restantes. Por ejemplo, [19,9,6,2] es muy decreciente ya que

• 19 > 9 + 6 + 2,
• 9 > 6 + 2 y
• 6 > 2

En cambio, [19,8,6,2] no lo es ya que 8 = 6 + 2.

Definir la función

   muyDecreciente :: [Integer] -> Bool

tal que (muyDecreciente xs) se verifica si xs es muy decreciente. Por ejemplo,

   muyDecreciente [19,9,6,2]  ==  True
   muyDecreciente [19,8,6,2]  ==  False
   muyDecreciente [2^k | k <- [60000,59999..0]]  ==  True

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Definir la función

   menorPrefijoSumaPositiva1 :: [[Int]] -> Maybe [[Int]]

tal que (menorPrefijoSumaPositiva1 xss) es justamente el menor prejijo de xss tal que la suma de lsas sumas de sus elementos es positivo y es Nothing si tal prefijo no existe. Por ejemplo,

   menorPrefijoSumaPositiva [[1],[-3],[2,4]]     == Just [[1]]
   menorPrefijoSumaPositiva [[-2,1],[-3],[2,4]]  == Just [[-2,1],[-3],[2,4]]
   menorPrefijoSumaPositiva [[-2,1],[3],[2,4]]   == Just [[-2,1],[3]]
   menorPrefijoSumaPositiva [[-2,1],[-3],[2,-4]] == Nothing
   menorPrefijoSumaPositiva [[-k..k] | k <- [1..5000]]              == Nothing
   fmap length (menorPrefijoSumaPositiva [[-3000..k] | k <- [0..]]) == Just 5198

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Un autonúmero es un número entero n tal que no existe ningún número entero positivo k tal que n sea igual a la suma de k y los dígitos de k. Por ejemplo, 5 es un autonúmero pero 21 no lo es ya que 21=15+1+5.

Definir la lista

   autonumeros :: [Integer]

cuyos elementos son los autonúmeros. Por ejemplo,

   λ> take 20 autonumeros
   [1,3,5,7,9,20,31,42,53,64,75,86,97,108,110,121,132,143,154,165]
   λ> autonumeros !! 1200
   12236

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La sucesión de las sumas digitales definida por un número a es sucesión a(n) tal que a(0) = a y a(n+1) es la suma de a(n) y los dígitos de a(n). Por ejemplo, los primeros términos de la sucesión de las sumas digitales definida por 1 son

   1,2,4,8,16,23,28,38,49,62,70,77,91,101,103,107,...

Se observa que el menor número que no pertenece a la sucesión anterior es 3. Los primeros términos de la sucesión de las sumas digitales definida por 3 son

   3,6,12,15,21,24,30,33,39,51,57,69,84,96,111,114,...

Se observa que el menor número que no pertenece a las 2 anteriores es 5. Los primeros términos de la sucesión de las sumas digitales definida por 5 son

   5,10,11,13,17,25,32,37,47,58,71,79,95,109,119,130,...

Se observa que el menor número que no pertenece a las 3 sucesiones anteriores es 7. Los primeros términos de la sucesión de las sumas digitales definida por 7 son

   7,14,19,29,40,44,52,59,73,83,94,107,115,122,127,137,...

Se observa que el menor número que no pertenece a las 4 anteriores es 9. Los primeros términos de la sucesión de las sumas digitales definida por 9 son

   9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,117,126,135,144,153,...

Se observa que el menor número que no pertenece a las 5 sucesiones anteriores es 20. Los primeros términos de la sucesión de las sumas digitales definida por 20 son

   20,22,26,34,41,46,56,67,80,88,104,109,119,130,134,142,...

Definir la función

   sucesionSucesionesSumasDigitales :: [[Integer]]

tal que sus elementos son las sucesiones de sumas parciales tal que el primer elemento de cada sucesión es el menor elemento que no pertenece a las sucesiones anteriores. Por ejemplo,

   λ> map (take 4) (take 8 sucesionSucesionesSumasDigitales)
   [[1,2,4,8],[3,6,12,15],[5,10,11,13],[7,14,19,29],
    [9,18,27,36],[20,22,26,34],[31,35,43,50],[42,48,60,66]]
   λ> take 10 (sucesionSucesionesSumasDigitales3 !! 1000)
   [10199,10219,10232,10240,10247,10261,10271,10282,10295,10312]

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El coste de visitar los elementos de la lista [4,3,2,5,1] de manera creciente empezando en el primer elemento y siendo el coste de dada paso el valor absoluto de la diferencia de las posiciones se calcula de la siguiente manera

• Coste de 4 a 1 = |0-4| = 4
• Coste de 1 a 2 = |4-2| = 2
• Coste de 2 a 3 = |2-1| = 1
• Coste de 3 a 4 = |1-0| = 1
• Coste de 4 a 5 = |0-3| = 3

Por tanto, el coste del recorrido es 4+2+1+1+3 = 11.

Definir la función coste :: Ord a => [a] -> Int tal que (coste xs) es el coste de visitar los elementos de xs de manera creciente empezando en el primer elemento y siendo el coste de dada paso el valor absoluto de la diferencia de las posiciones (se supone que los elementos de xs son distintos). Por ejemplo,

   coste [4,3,2,5,1] ==  11
   coste "betis"     ==  6

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En la librería Data.Tree se definen los árboles y los bosques como sigue

   data Tree a   = Node a (Forest a)
   type Forest a = [Tree a]

Por ejemplo, los árboles

     1               3
    / \             /|\
   6   3           / | \
       |          5  4  7
       1          |     /\
                  3    6  5

se representan por

   ej1, ej2 :: Tree Int
   ej1 = Node 1 [Node 6 [],Node 3 [Node 1 []]]
   ej2 = Node 3 [Node 5 [Node 3 []], Node 4 [], Node 7 [Node 6 [], Node 5 []]]

Definir la función

    minimaProfundidad :: Ord a => a -> Tree a -> Maybe Int

tal que (minimaProfundidad x ns) es justamente la mínima donde aparece x en el árbol ns, si aparece y Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

    minimaProfundidad 1 ej1  ==  Just 0
    minimaProfundidad 3 ej1  ==  Just 1
    minimaProfundidad 2 ej1  ==  Nothing
    minimaProfundidad 3 ej2  ==  Just 0
    minimaProfundidad 4 ej2  ==  Just 1
    minimaProfundidad 6 ej2  ==  Just 2
    minimaProfundidad 9 ej2  ==  Nothing

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En la librería Data.Tree se definen los árboles y los bosques como sigue

   data Tree a   = Node a (Forest a)
   type Forest a = [Tree a]

Se pueden definir árboles. Por ejemplo,

   ej = Node 3 [Node 5 [Node 9 []], Node 7 []]

Y se pueden dibujar con la función drawTree. Por ejemplo,

   λ> putStrLn (drawTree (fmap show ej))
   3
   |
   +- 5
   |  |
   |  `- 9
   |
   `- 7

Definir la función

   arbolDivisiones :: Int -> Tree Int

tal que (arbolDivisiones x) es el árbol de las divisiones enteras de x entre 2, 3 ó 5. Por ejemplo,

   λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolDivisiones 20)))
   20
   |
   +- 10
   |  |
   |  +- 5
   |  |  |
   |  |  `- 1
   |  |
   |  `- 2
   |     |
   |     `- 1
   |
   `- 4
      |
      `- 2
         |
         `- 1

   λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolDivisiones 30)))
   30
   |
   +- 15
   |  |
   |  +- 5
   |  |  |
   |  |  `- 1
   |  |
   |  `- 3
   |     |
   |     `- 1
   |
   +- 10
   |  |
   |  +- 5
   |  |  |
   |  |  `- 1
   |  |
   |  `- 2
   |     |
   |     `- 1
   |
   `- 6
      |
      +- 3
      |  |
      |  `- 1
      |
      `- 2
         |
         `- 1

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El pasado 12 de marzo se publicó en Twitter un mensaje con una fórmula de Beeler para el cálculo de pi:

Los primeros valores son

   λ> 2*1
   2
   λ> 2*(1+1/3)
   2.6666666666666665
   λ> 2*(1+1/3+(1*2)/(3*5))
   2.933333333333333
   λ> 2*(1+1/3+(1*2)/(3*5)+(1*2*3)/(3*5*7))
   3.0476190476190474
   λ> 2*(1+1/3+(1*2)/(3*5)+(1*2*3)/(3*5*7)+(1*2*3*4)/(3*5*7*9))
   3.098412698412698

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   grafica        :: [Int] -> IO ()

tales que

• (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi con la fórmula de Beeler. Por ejemplo,

     aproximacionPi 0    ==  2.0
     aproximacionPi 1    ==  2.6666666666666665
     aproximacionPi 2    ==  2.933333333333333
     aproximacionPi 3    ==  3.0476190476190474
     aproximacionPi 4    ==  3.098412698412698
     aproximacionPi 10   ==  3.141106021601377
     aproximacionPi 100  ==  3.1415926535897922
     pi                  ==  3.141592653589793

• (grafica xs) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi para k en xs. Por ejemplo, (grafica [0..99]) dibuja

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Un número es ordenado si cada uno de sus dígitos es menor o igual el siguiente dígito. Por ejemplo, 116 es un número creciente cuadrado es 13456 que también es ordenado. En cambio, 115 es ordenado pero su cuadrado es 13225 que no es ordenado.

Definir la lista

   numerosOrdenadosConCuadradosOrdenados :: [Integer]

cuyos elementos son los números ordenados cuyos cuadrados también lo son. Por ejemplo,

   λ> take 20 numerosOrdenadosConCuadradosOrdenados
   [0,1,2,3,4,5,6,7,12,13,15,16,17,34,35,37,38,67,116,117]
   λ> length (show (numerosOrdenadosConCuadradosOrdenados !! (10^6)))
   1411
   λ> length (show (numerosOrdenadosConCuadradosOrdenados !! (5*10^6)))
   3159

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Definir la lista

   numerosConCuadradosConDigitosPares :: [Integer]

cuyos elementos son los números cuyos cuadrados tienen todos sus dígitos pares. Por ejemplo,

   λ> take 20 numerosConCuadradosConDigitosPares
   [0,2,8,20,22,68,78,80,92,162,168,200,202,220,262,298,478,492,498,668]

Comprobar con QuickCheck que numerosConCuadradosConDigitosPares es infinita; es decir, para cualquier n posee algún elemento mayor que n.

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El pasado 10 de marzo se publicó en Twitter un mensaje con una [fórmula de Bauer}(https://en.wikipedia.org/wiki/Gustav_Conrad_Bauer#Footnotes_in_the_history_of_mathematics) para el cálculo de pi

Los primeros valores son

   λ> 2/1
   2.0
   λ> 2/(1 - 5*(1/2)^3)
   5.333333333333333
   λ> 2/(1 - 5*(1/2)^3 + 9*((1*3)/(2*4))^3)
   2.354022988505747
   λ> 2/(1 - 5*(1/2)^3 + 9*((1*3)/(2*4))^3 - 13*((1*3*5)/(2*4*6))^3)
   4.416172506738545

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   grafica        :: [Int] -> IO ()

tales que

• (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi con la fórmula de Bauer. Por ejemplo,

     aproximacionPi 0         ==  2.0
     aproximacionPi 1         ==  5.333333333333333
     aproximacionPi 2         ==  2.354022988505747
     aproximacionPi 3         ==  4.416172506738545
     aproximacionPi (10^2)    ==  2.974407762733626
     aproximacionPi (10^2+1)  ==  3.3277148010019233
     aproximacionPi (10^3)    ==  3.0865454975585744
     aproximacionPi (10^3+1)  ==  3.1986099487445463
     aproximacionPi (10^4)    ==  3.1239682112773868
     aproximacionPi (10^4+1)  ==  3.1594161911246594
     aproximacionPi (10^5)    ==  3.135997665507836
     aproximacionPi (10^5+1)  ==  3.147207613460776
     pi                       ==  3.141592653589793

• (grafica xs) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi para k en xs. Por ejemplo, (grafica [0..99]) dibuja

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El pasado 6 de marzo se publicó en Twitter un mensaje con la siguiente fórmula de Euler para el cálculo de pi

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   grafica        :: [Int] -> IO ()

tales que

• (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi con la fórmula de Euler. Por ejemplo,

     aproximacionPi 1        ==  2.449489742783178
     aproximacionPi 10       ==  3.04936163598207
     aproximacionPi 100      ==  3.1320765318091053
     aproximacionPi 1000     ==  3.1406380562059946
     aproximacionPi 10000    ==  3.1414971639472147
     aproximacionPi 100000   ==  3.141583104326456
     aproximacionPi 1000000  ==  3.1415916986605086
     pi                      ==  3.141592653589793

• (grafica xs) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi para k en xs. Por ejemplo, (grafica [1..100]) dibuja

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El número 512 se puede escribir de tres maneras como potencias:

   512 = 2⁹ = 8³ = 512¹

Definir las funciones

   potencias       :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   numeroPotencias :: Integer -> Int

tales que

• (potencias x) es la lista de las representaciones de x como potencias de números enteros positivos. Por ejemplo,

     potencias 7      ==  [(7,1)]
     potencias 8      ==  [(2,3),(8,1)]
     potencias 512    ==  [(2,9),(8,3),(512,1)]
     potencias 16384  ==  [(2,14),(4,7),(128,2),(16384,1)]
     potencias 65536  ==  [(2,16),(4,8),(16,4),(256,2),(65536,1)]

• (numeroPotencias x) de las representaciones de x como potencias de números enteros positivos. Por ejemplo,

     numeroPotencias 7          ==  1
     numeroPotencias 8          ==  2
     numeroPotencias 512        ==  3
     numeroPotencias 16384      ==  4
     numeroPotencias 65536      ==  5
     numeroPotencias (2^(10^5)) ==  36

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El mes de marzo es el mes de pi, ya que el 14 de marzo (3/14) es el día de pi. Con ese motivo, el pasado 3 de marzo se publicó en Twitter un mensaje con la fórmula de Brouncker para el cálculo de pi

La primeras aproximaciones son

     a(1) = 4                                  =  4
     a(2) = 4/(1+1^2)                          =  2.0
     a(3) = 4/(1+1^2/(2+3^2))                  =  3.666666666666667
     a(4) = 4/(1+1^2/(2+3^2/(2+5^2)))          =  2.8
     a(5) = 4/(1+1^2/(2+3^2/(2+5^2/(2+7^2))))  =  3.395238095238095

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   grafica        :: [Int] -> IO ()

tales que

• (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi con la fórmula de Brouncker. Por ejemplo,

     aproximacionPi 1      ==  4.0
     aproximacionPi 2      ==  2.0
     aproximacionPi 3      ==  3.666666666666667
     aproximacionPi 4      ==  2.8
     aproximacionPi 5      ==  3.395238095238095
     aproximacionPi 10     ==  3.0301437124966535
     aproximacionPi 1000   ==  3.1405916523380406
     aproximacionPi 1001   ==  3.142592653839793
     aproximacionPi 10000  ==  3.141492643588543
     aproximacionPi 10001  ==  3.1416926535900433
     pi                    ==  3.141592653589793

• (grafica xs) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi para k en xs. Por ejemplo, (grafica [10..100]) dibuja

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El mes de marzo es el mes de pi, ya que el 14 de marzo (3/14) es el día de pi. Con ese motivo, el pasado 1 de marzo se publicó en Twitter un mensaje con la fórmula de Madhava para el cálculo de pi

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   grafica        :: Int -> IO ()

tales que

• (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi con la fórmula de Madhava. Por ejemplo,

     aproximacionPi 0   ==  3.4641016151377544
     aproximacionPi 1   ==  3.0792014356780038
     aproximacionPi 2   ==  3.156181471569954
     aproximacionPi 10  ==  3.1415933045030813
     aproximacionPi 21  ==  3.1415926535879337
     pi                 ==  3.141592653589793

• (grafica n) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi para k desde 0 a n. Por ejemplo, (grafica 30) dibuja

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Definir las siguientes sucesiones

   sucesionA       :: [Integer]
   sucesionB       :: [Integer]
   sucesionRowland :: [Integer]

tales que

• el término n-ésimo de la sucesionA es a(n) definido por a(1) = 7 y a(n) = a(n-1) + mcd(n, a(n-1)), para n > 1. Por ejemplo,

     λ> take 20 sucesionA
     [7,8,9,10,15,18,19,20,21,22,33,36,37,38,39,40,41,42,43,44]

• los términos de la sucesionB son las diferencias de los términos consecutivos de la sucesionA. Por ejemplo,

     λ> take 30 sucesionB
     [1,1,1,5,3,1,1,1,1,11,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,23,3,1,1,1,1,1,1,1]

• los términos de la sucesionRowland son los términos de la sucesionB distintos de 1. Por ejemplo,\0

      λ> take 20 sucesionRowland
      [5,3,11,3,23,3,47,3,5,3,101,3,7,11,3,13,233,3,467,3]
      λ> sucesionRowland !! 92
      15567089

Comprobar con QuickCheck que los elementos de la sucesionRowland son números primos.

Nota: Eric S. Rowland demostró en A natural prime-generating recurrence que los elementos de la sucesionRowland son números primos.

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Los sufijos de la lista [3,7,2,5,4,6] son

   [3,7,2,5,4,6]
     [7,2,5,4,6]
       [2,5,4,6]
         [5,4,6]
           [4,6]
             [6]
              []

y la lista de sus sumas es [27,24,17,15,10,6,0].

Definir la función

   sumasParciales :: [Integer] -> [Integer]

tal que (sumasParciales xs) es la suma de los sufijos de xs. Por ejemplo,

   sumasParciales [3,7,2,5,4,6]  ==  [27,24,17,15,10,6,0]
   sumasParciales [1..10]        ==  [55,54,52,49,45,40,34,27,19,10,0]
   sum (sumasParciales [1..5*10^6])  ==  41666679166667500000

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Dos números son equidigitales si tienen el mismo multiconjunto de dígitos. Por ejemplo, 2021 y 2120 son equidigitales ya que ambos tiene a {0,1,2,2} como su multiconjunto de dígitos.

Definir la función

   siguienteEquidigital :: Integer -> Maybe Integer

tal que (siguienteEquidigital n) es precisamente el menor número equidigital con n que es mayor que n (es decir, (Just x) si x es dicho número o Nothing si no hay ningún número equidigital con n que sea mayor que n). Por ejemplo,

   siguienteEquidigital 12    ==  Just 21
   siguienteEquidigital 21    ==  Nothing
   siguienteEquidigital 513   ==  Just 531
   siguienteEquidigital 531   ==  Nothing
   siguienteEquidigital 2021  ==  Just 2102
   siguienteEquidigital 2102  ==  Just 2120
   siguienteEquidigital 2120  ==  Just 2201
   siguienteEquidigital 2201  ==  Just 2210
   siguienteEquidigital 2210  ==  Nothing
   fmap (`mod` 1000) (siguienteEquidigital (2^(10^5)))  ==  Just 637

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Definir las siguientes funciones

   transformada :: Integral a => [a] -> [a]
   reducida     :: Integral a => [a] -> [a]
   sumaReducida :: Integral a => [a] -> a

tales que

• (transformada xs) es la lista obtenida sustituyendo en el primer de elementos consecutivos de xs el mayor por su diferencia, donde se supone que xs es una lista de enteros positivos. Por ejemplo,

     transformada [7,2,6]  ==  [5,2,6]
     transformada [2,7,6]  ==  [2,5,6]
     transformada [2,2,6]  ==  [2,2,4]
     transformada [2,2,2]  ==  [2,2,2]

• (reducida xs) es la lista obtenida aplicando la transformación anterior mientras sea posible (es decir, mientras tenga elementos distintos), donde se supone que xs es una lista de enteros positivos. Por ejemplo,

     reducida [7,2,6]   ==  [1,1,1]
     reducida [6,9,21]  ==  [3,3,3]

• (sumaReducida xs) es la suma de la reducida de la lista xs. Por ejemplo,

     sumaReducida1 [7,2,6]   ==  3
     sumaReducida1 [6,9,21]  ==  9

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Definir la función

   espiral :: Int -> [[Int]]

tal que (espiral n) es la espiral de orden n (es decir, con n filas y n columnas). Por ejemplo,

   λ> mapM_ print (espiral 5)
   [1,1,1,1,1]
   [0,0,0,0,1]
   [1,1,1,0,1]
   [1,0,0,0,1]
   [1,1,1,1,1]
   λ> mapM_ print (espiral 6)
   [1,1,1,1,1,1]
   [0,0,0,0,0,1]
   [1,1,1,1,0,1]
   [1,0,0,1,0,1]
   [1,0,0,0,0,1]
   [1,1,1,1,1,1]
   λ> mapM_ print (espiral 7)
   [1,1,1,1,1,1,1]
   [0,0,0,0,0,0,1]
   [1,1,1,1,1,0,1]
   [1,0,0,0,1,0,1]
   [1,0,1,1,1,0,1]
   [1,0,0,0,0,0,1]
   [1,1,1,1,1,1,1]
   λ> mapM_ print (espiral 8)
   [1,1,1,1,1,1,1,1]
   [0,0,0,0,0,0,0,1]
   [1,1,1,1,1,1,0,1]
   [1,0,0,0,0,1,0,1]
   [1,0,1,0,0,1,0,1]
   [1,0,1,1,1,1,0,1]
   [1,0,0,0,0,0,0,1]
   [1,1,1,1,1,1,1,1]

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Se consideran las N primeras potencias de 2 (donde N es un número par). Por ejemplo, para N = 4, las potencias de 2 son 1, 2, 4 y 8. Las biparticiones de dichas potencias en dos conjuntos de igual tamaño son

   ([1,2],[4,8]), ([1,4],[2,8]), ([1,8],[2,4])

Las sumas de los elementos de las biparticiones son

   (3,12), (5,10), (9,6)

Los valores absolutos de las diferencias de dichas sumas son

   9, 5, 3

El mínimo de dichas diferencias es 3.

Definir la función

  minimaDiferencia :: Integer -> Integer

tal que (minimaDiferencia n) es la mínima diferencia de las sumas las biparticiones de las n (donde n es un número par) primeras potencias de dos conjuntos con igual número de elementos. Por ejemplo,

   minimaDiferencia 4  ==  3
   minimaDiferencia 6  ==  7
   minimaDiferencia (10^9) `mod` (10^9)  ==  787109375

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Definir la función

   indice :: [Int] -> Int -> Maybe Int

tal que (indice xs k) es el índice del menor elemento a eliminar de la lista de enteros positivos xs para que la suma de los restantes sea divisible por k o Nothing, si no existe dicho elemento. Por ejemplo,

   indice [1,8,4,1] 2         ==  Just 2
   indice [4,6,7,5,7] 11      ==  Just 2
   indice [4,6,7,5,7] 12      ==  Just 3
   indice [4,6,7,5,7] 13      ==  Nothing
   indice [1..10^7] 7         ==  Just 5
   indice [10^7,10^7-1..1] 7  ==  Just 9999994

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Definir la función

eliminaciones :: [a] -> [(a,Int,[a])]

tal que (eliminaciones xs) es la lista de ternas (x,i,zs) tales que x es un elemento de xs, i es la posición de x en xs y zs es la lista de los restantes elementos de xs. Por ejemplo,

λ> eliminaciones [5,7,6,5]
[(5,0,[7,6,5]),(7,1,[5,6,5]),(6,2,[5,7,5]),(5,3,[5,7,6])]

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Definir la función

ternasPrimas :: [(Integer,Integer,Integer)]

tal que sus elementos son las ternas crecientes de primos con el mayor igual a la suma de los menores. Por ejemplo,

ternasPrimas  ==  (2,3,5)
ternasPrimas !! 34567  ==  (2,5393909,5393911)

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Las rotaciones del número 3252 son [3252,2523,5232,2325] y el mayor de dichos números es 5232.

Definir la función

maximoRotaciones :: Integer -> Integer

tal que (maximoRotaciones n) es el mayor número obtenido rotando los dígitos de n. Por ejemplo,

maximoRotaciones 3252    ==  5232
maximoRotaciones 913942  ==  942913
maximoRotaciones (234 + 10^(10^6)) `div` (10^(10^6))  ==  4

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Definir la función

particiones :: Eq a => [a] -> a -> [([a],[a])]

tal que (particiones xs y) es lalista delas particiones de xs en dos partes tales que el primer elemento de la segunda parte es y. Por ejemplo,

particiones [2,9,1,3,9,4] 9   == [([2],[9,1,3,9,4]),([2,9,1,3],[9,4])]
particiones [2,9,1,3,9,4] 3   == [([2,9,1],[3,9,4])]
particiones [2,9,1,3,9,4] 7   == []
particiones "Particiones" 'i' == [("Part","iciones"),("Partic","iones")]

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El 2º problema de la ONEM (Olimpíada Nacional Escolar de Matemática) de Mayo del 2020 dice

Determinar si existen enteros positivos a, b y c, no necesariamente distintos, tales que [latex]a+b+c=2020[/latex] y [latex]2^a + 2^b + 2^c[/latex] es un cuadrado perfecto.

Definir la función

soluciones :: Integer -> Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

tales que (soluciones k n) es la lista de las ternas no decrecientes (a,b,c) tales que que a+b+c=n y k^a + k^b + k^c es un cuadrado perfecto. Por ejemplo,

soluciones 2 19  ==  [(2,6,11),(2,7,10),(4,7,8),(5,5,9),(6,6,7)]
soluciones 3 19  ==  []
take 2 (soluciones 2 2020)  ==  [(2,674,1344),(4,674,1342)]

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Un número está balanceado si tiene un número par de divisores primos (contados con su multiplicidad). Por ejemplo, 60 es balanceado porque tiene 4 divisores primos (2, 2, 3 y 5).

Un balanceador del entero positivo k es par de enteros positivos (a,b) tales que a es menor que b y, para todo x entre 1 y k, el valor del polinomio P(x) = (x+a)*(x+b) es un número balanceado. Por ejemplo, (2,4) es un balanceador de 3 ya que

P(1) = (1+2)*(1+4) = 15 = 3*5     es balanceado
P(2) = (2+2)*(2+4) = 24 = 2*2*2*3 es balanceado
P(3) = (3+2)*(3+4) = 35 = 5*7     es balanceado

Definir la función

balanceadores :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (balanceadores k) es el conjunto de los balanceadores de k. Por ejemplo,

λ> take 7 (balanceadores 3)
[(2,4),(1,6),(5,9),(1,11),(6,11),(7,12),(8,14)]
λ> take 7 (balanceadores 5)
[(8,14),(10,17),(6,18),(12,22),(13,23),(8,24),(14,24)]
λ> take 7 (balanceadores 3)
[(2,4),(1,6),(5,9),(1,11),(6,11),(7,12),(8,14)]
λ> take 7 (balanceadores 4)
[(6,11),(8,14),(9,15),(10,17),(6,18),(11,18),(7,19)]
λ> take 7 (balanceadores 5)
[(8,14),(10,17),(6,18),(12,22),(13,23),(8,24),(14,24)]
λ> head (balanceadores 19)
(1325,2827)

Nota: Este ejercicio está basado en el problema N2 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2009.

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Los máximos locales de [7,2,3,4,4,4,0,1,1,0,1,4,9] son el 4 (que se encuentra en la posicón 3 (empezando a contar en 0)) y el 1 que se encuentra en la posición 7. En cada meseta, por ejemplo la formada por los tres 4 en las posiciones 3, 4 y 5, sólo se considera el primer elemento (en este caso, el de la posición 3) y se compara con el primero después de la meseta (en este caso, el 0 de la posición 6).

Los extremos de la lista no se consideran máximos locales. Por ejmplo, la listas [1,2,2,2,3] y [1,2,2,2,2] no tienen máximos locales.

Definir la función

maximosLocales :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]

tal que (maximosLocales xs) es la lista de los máximos locales de xs junto con sus posiciones. Por ejemplo,

maximosLocales [7,2,3,4,4,4,0,1,1,0,1,4,9]  ==  [(4,3),(1,7)]
maximosLocales [1,2,2,2,3]  ==  []
maximosLocales [1,2,2,2,2]  ==  []

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Dada una lista de enteros positivos, se interpreta cada elemento el máximo número de pasos que se puede avanzar desde dicho elemento. Por ejemplo, para la lista [1,3,5,8,9,2,6,7,6,8,9], desde sólo se puede avanzar un paso (hasta el 3), desde el 3 se puede avanzar 3 pasos (hasta el 5, 8 ó 9), y así sucesivamente. En dicha lista, el mínimo número de saltos que hay que dar para alcanzar el final es 3 (el recorrido es 1, 3, 8, 9).

Definir la función

minimoSaltos :: [Int] -> Int

tal que (minimoSaltosxs) es el mínimo número de saltos que hay que dar en la lista xs para alcanzar el final. Por ejemplo,

minimoSaltos [1,3,5,8,9,2,6,7,6,8,9]  ==  3
minimoSaltos (replicate 10 1)         ==  9
minimoSaltos [1..25]                  ==  5

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Un número oblongo es un número que es el producto de dos números naturales consecutivos; es decir, n es un número oblongo si existe un número natural x tal que n = x(x+1). Por ejemplo, 42 es un número oblongo porque 42 = 6 x 7.

La sucesión de los números oblongos es

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, ...

En el intervalo [10,30] hay 3 números oblongos (el 12, el 20 y el 30).

Definir las funciones

oblongos            :: [Integer]
oblongosEnIntervalo :: Integer -> Integer -> Int

tales que

• oblongos es la sucesión de los números oblongos. Por ejemplo,

take 15 oblongos   == [0,2,6,12,20,30,42,56,72,90,110,132,156,182,210]
oblongos !! 50     == 2550
oblongos !! (10^5) == 10000100000
oblongos !! (10^6) == 1000001000000
oblongos !! (10^7) == 100000010000000

• (oblongosEnIntervalo a b) es la cantidad de números oblongos en el intervalo [a,b]. Por ejemplo,

oblongosEnIntervalo 10 30           ==  3
oblongosEnIntervalo (10^3) (10^10)  ==  99968
oblongosEnIntervalo (10^3) (10^12)  ==  999968
oblongosEnIntervalo (10^3) (10^14)  ==  9999968

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Para la lista [23,12,77,82], las sumas obtenidas eliminando todas las ocurrencias de uno de sus dígitos son

+ Eliminando el 1: 23 +  2 + 77 + 82 = 184
+ Eliminando el 2:  3 + 1  + 77 + 8  =  89
+ Eliminando el 3: 2  + 12 + 77 + 82 = 173
+ Eliminando el 7: 23 + 12      + 82 = 117
+ Eliminando el 8: 23 + 12 + 77 +  2 = 114

El mínimo de las sumas es 89 (que se obtiene eliminando todas las ocurrencias del dígito 2).

Definir la función

minimaSumaEliminandoDigito :: [Integer] -> Integer

tal que (minimaSumaEliminandoDigito xs) es el mínimo de las sumas obtenidas eliminando todas las ocurrencias de uno de los dígitos de xs. Por ejemplo,

minimaSumaEliminandoDigito [23,12,77,82]  ==  89
minimaSumaEliminandoDigito [2312,7,4,82]  ==  50

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Definir las funciones

sumas  :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
esSuma :: Integer -> Integer -> Bool

tales que

• (sumas n k) es la lista de las descomposiones de n en k sumandos pares y distintos. Por ejemplo,

sumas 16 3  ==  [[2,4,10],[2,6,8]]
sumas 18 4  ==  []

• (esSuma n k) se verifica si n se puede escribir como suma de k sumandos pares y distintos. Por ejemplo,

esSuma 16 3  ==  True
esSuma 18 4  ==  False
esSuma (10^5000) (10^7)  ==  True
esSuma (11^5000) (10^7)  ==  False

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El menor número con 2¹ divisores es el 2, ya que tiene 2 divisores (el 1 y el 2) y el anterior al 2 (el 1) sólo tiene 1 divisor (el 1).

El menor número con 2² divisores es el 6, ya que tiene 4 divisores (el 1, 2, 3 y 6) y sus anteriores (el 1, 2, 3, 4 y 5) tienen menos de 4 divisores (tienen 1, 1, 1, 3 y 1, respectivamente).

El menor número con 2³ divisores es el 24, ya que tiene 8 divisores (el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24) y sus anteriores (del 1 al 23) tienen menos de 8 divisores.

El menor número con 16 divisores es el 120, ya que tiene 16 divisores (el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120) y sus anteriores (del 1 al 119) tienen menos de 16 divisores.

Definir la función

menor :: Integer -> Integer

tal que (menor n) es el menor número con 2^n divisores. Por ejemplo,

menor 1  ==  2
menor 2  ==  6
menor 3  ==  24
menor 4  ==  120
length (show (menor (4*10^4)))  ==  207945

Comprobar con QuickCheck que, para todo k >=0, (menor (2^k)) es un divisor de (menor (2^(k+1))).

Nota: Este ejercicio está basado en el problema N1 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2011.

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Una terna (a,b,c) de números enteros positivos es especial si se verifica que ab-c, bc-a y ca-b son potencias de 2. Por ejemplo, (3,5,7) es especial ya que

3 * 5 - 7 =  8 = 2^3
5 * 7 - 3 = 32 = 2^5
7 * 3 - 5 = 16 = 2^4

Definir las funciones

esEspecial       :: (Integer,Integer,Integer) -> Bool
ternasEspeciales :: [(Integer,Integer,Integer)]

tales que

• (esEspecial t) se verifica si t es una terna especial. Por ejemplo,

esEspecial (3,5,7)  ==  True
esEspecial (5,7,9)  ==  False

• ternasEspeciales es la lista de las ternasEspeciales ordenadas según su suma y las de la misma suma por orden lexicográfico. Por ejemplo,

λ> take 16 ternasEspeciales
[(2,2,2),
 (2,2,3),(2,3,2),(3,2,2),
 (3,5,7),(3,7,5),(5,3,7),(5,7,3),(7,3,5),(7,5,3),
 (2,6,11),(2,11,6),(6,2,11),(6,11,2),(11,2,6),(11,6,2)]

Comprobar con QuickCheck que sólo hay 16 ternas especiales; es decir, para toda terna t de enteros positivos, t pertenece a la lista de los 16 primeros elementos de ternasEspeciales o no es una terna especial.

Nota: Este ejercicio está basado en el problema N5 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2015.

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Las ternas de números enteros positivos se pueden ordenar por su suma y las de la misma suma por orden lexicográfico. Por ejemplo,

• ternas de suma 3:

(1,1,1)

• ternas de suma 4:

(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)

• ternas de suma 5:

(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1)

• ternas de suma 6

(1,1,4),(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1),(2,1,3),(2,2,2),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(4,1,1)

y así sucesivamente.

Definir la función

ternas :: [(integer,integer,integer)]

tal que ternas es la lista de las ternas de enteros positivos con el orden descrito anteriormente. por ejemplo,

λ> take 20 ternas
[(1,1,1),
 (1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),
 (1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1),
 (1,1,4),(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1),(2,1,3),(2,2,2),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(4,1,1)]

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Definir la función

mayorBorrando :: Int -> Integer -> Integer

tal que (mayorBorrando k n) es el mayor número obtenido borrando k dígitos de n (se supone que n tiene más de k dígitos). Por ejemplo,

mayorBorrando 1 6782334  ==  782334
mayorBorrando 3 6782334  ==  8334
mayorBorrando 3 10020    ==  20
mayorBorrando 1000000 (4256 + 10^1000004) == 14256

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Definir la función

borra :: Int -> [a] -> [[a]]

tal que (borra n xs) es la lista de las listas obtenidas borrando n elementos de xs. Por ejemplo,

borra 0 "abcd"  ==  ["abcd"]
borra 1 "abcd"  ==  ["abc","abd","acd","bcd"]
borra 2 "abcd"  ==  ["ab","ac","ad","bc","bd","cd"]
borra 3 "abcd"  ==  ["a","b","c","d"]
borra 4 "abcd"  ==  [""]
borra 5 "abcd"  ==  []
borra 6 "abcd"  ==  []
length (borra 2 [1..300])  ==  44850

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Definir la función

paresNoDivisible :: [(Integer, Integer)]

tal que paresNoDivisible es la lista de los pares (n,k) tales que n < k y k no es divisible por n. Por ejemplo,

λ> take 10 paresNoDivisible
[(2,3),(3,4),(2,5),(3,5),(4,5),(4,6),(5,6),(2,7),(3,7),(4,7)]

Se observa que en el resultado los pares se ordenan primero según su segundo elemento y los que tienen el mismo segundo elemento se ordenan por el primer elemento.

Un par especial es un par de enteros positivos (n,k) tales que existe algún s tal que \(s \times n\) y \(s \times k\) tienen el mismo número de divisores. Por ejemplo, (3,4) es un par especial ya que \(2 \times 3\) y \(2 \times 4\) tienen 4 divisores.

Comprobar con QuickCheck todos los elementos de paresNoDivisible son pares especiales.

Nota: Este ejercicio está basado en el problema N1 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2018.

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Los números armónicos son las sumas de los inversos de de los primeros números enteros positivos; es decir, el n-ésimo número armónico es

H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/n

Los primeros números armónicos son

1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, ..

Definir, usando la librería de los números racionales (Data.Ratio), las funciones

armonico  :: Integer -> Rational
armonicos :: [Rational]
esEntero  :: Rational -> Bool

tales que

• (armonico n) es el n-ésimo número armónico. Por ejemplo,

armonico 2  ==    3 % 2
armonico 3  ==   11 % 6
armonico 4  ==   25 % 12
armonico 5  ==  137 % 60

• armonicos es la lista de los números armónicos. Por ejemplo,

take 5 armonicos  ==  [1 % 1,3 % 2,11 % 6,25 % 12,137 % 60]

• (esEntero x) se verifica si x es un número entero. Por ejemplo,

esEntero (1 % 7)           ==  False
esEntero (1 % 7 + 20 % 7)  ==  True

Comprobar con QuickCheck que

• nigún número armónico, excepto el primero, es un número entero y

• la diferencia de dos números armónicos distintos nunca es un número entero.

Nota: Este ejercicio está basado en el artículo Sums of consecutive reciprocals publicado por John D. Cook en su blog el 23 de enero de 2021.

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Definir la función

particion :: Int -> [Int] -> [[Int]]

tal que (particion n xs) es la lista de los elementos de xs, en el mismo orden, agrupados en listas con sumas menores o iguales que n. Por ejemplo,

particion 6 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == [[1,1,1,3],[2,2,2],[1,2,2],[3]]
particion 5 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == [[1,1,1],[3,2],[2,2,1],[2,2],[3]]
particion 4 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == [[1,1,1],[3],[2,2],[2,1],[2,2],[3]]
particion 3 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == [[1,1,1],[3],[2],[2],[2,1],[2],[2],[3]]
particion 2 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == []

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Definir las funciones

numerosConNueve :: [Integer]
conNueve :: Integer -> Integer

tales que

• numerosConNueve es la lista de los números con algún dígito igual a 9. Por ejemplo,

λ> take 20 numerosConNueve
[9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,109]

• (conNueve n) es la cantidad de números enteros no negativos menores o iguales que n con algún dígito igual a 9. Por ejemplo,

conNueve 1   ==  0
conNueve 10  ==  1
conNueve 90  ==  10
length (show (conNueve (10^3)))      ==  3
length (show (conNueve (10^30)))     ==  30
length (show (conNueve (10^300)))    ==  300
length (show (conNueve (10^3000)))   ==  3000
length (show (conNueve (10^30000)))  ==  30000

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La terna (n,a,b) es una terna pitagórica si n² = a²+b² y b < a < n. Por ejemplo, (5,4,3) y (10,8,6) son ternas pitagóricas.

Una terna pitagórica es primitiva si sus tres componentes son primos entre sí. Por ejemplo, (5,4,3) es una terna pitagórica primitiva y (10,8,6) es una terna pitagórica no primitiva (ya que sus tres lados son divisibles por 2).

Los elementos (n,a,b) de una terna pitagórica son las longitudes de los lados de un triágulo rectángulo; concretamente n es la longitud de la hipotenusa, a la del cateto mayor y b la del cateto menor. Su perímetro es n+a+b.

Definir la función

ternasPPPDC :: [(Integer,Integer,Integer)]

tal que ternasPPPDC es la lista de las ternas pitagóricas primitivas tales que su perímetro es divisibe por alguno de los catetos. Por ejemplo,

λ> take 5 ternasPPPDC
[(5,4,3),(13,12,5),(17,15,8),(25,24,7),(37,35,12)]
λ> [n | (n,a,b) <- take 15 ternasPPPDC]
[5,13,17,25,37,41,61,65,85,101,113,145,145,181,197]
λ> ternasPPPDC !! 80
(4705,4704,97)

Comprobar con QuickCheck que existen infinitas ternas pitagóricas primitivas tales que su perímetro es divisibe por alguno de los catetos; es decir, para todo x existe alguna terna (n,a,b) en ternasPPPDC tal que n es mayor que x.

Referencia: Este ejercicio está basado en el artículo Terna pitagórica en la que el perímetro es múltiplo de uno de los catetos publicado por Antonio Roldán en "Números y hoja de cálculo" el 21 de enero de 2021.

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La sucesión de Dottie correspondiente a un número x se obtiene a partir de x aplicándole la función coseno al término anterior. Por ejemplo, empezando en el 2021 los términos de la sucesión de Dottie son

d(0) = 2021
d(1) = cos(2021)                = -0.5768544484396986
d(2) = cos(-0.5768544484396986) = 0.8381823464377144
d(3) = cos(0.8381823464377144)  = 0.6688152257126013
d(4) = cos(0.6688152257126013)  = 0.7845568438177061
d(5) = cos(0.7845568438177061)  = 0.7077014336446841
d(6) = cos(0.7077014336446841)  = 0.7598581544800473
d(7) = cos(0.7598581544800473)  = 0.7249337238692606
d(8) = cos(0.7249337238692606)  = 0.7485433703735275

Definir las funciones

sucesionDottie :: Double -> [Double]
limite :: [Double] -> Double -> Int -> Double

tales que

• (sucesionDottie x) es la lista de los términos de la sucesión de Dottie correspondiente a x. Por ejemplo,

λ> mapM_ print (take 10 (sucesionDottie 2021))
2021.0
-0.5768544484396986
0.8381823464377144
0.6688152257126013
0.7845568438177061
0.7077014336446841
0.7598581544800473
0.7249337238692606
0.7485433703735275
0.7326809874975466
λ> mapM_ print (take 10 (drop 85 (sucesionDottie 2021)))
0.7390851332151601
0.739085133215161
0.7390851332151605
0.7390851332151608
0.7390851332151606
0.7390851332151607
0.7390851332151607
0.7390851332151607
0.7390851332151607
0.7390851332151607

• (limite xs a n) es el límite de xs con aproximación a y amplitud n; es decir, el primer término x de la sucesión tal que el valor absoluto de x y cualquiera de sus n siguentes elementos es menor que a. Por ejemplo,

λ> limite [(2*n+1)/(n+5) | n <- [1..]] 0.001 300
1.993991989319092
λ> limite [(2*n+1)/(n+5) | n <- [1..]] 1e-6 300
1.9998260062637745
λ> limite [(1+1/n)**n | n <- [1..]] 0.001 300
2.7155953364173175
λ> limite (sucesionDottie 2021) 1e-16 100
0.7390851332151607
λ> limite (sucesionDottie 27) 1e-16 100
0.7390851332151607

Comprobar con QuickCheck que, para todo número x, el límite de la sucesión de Dottie generada por x es mismo; es decir, si x e y son dos números cualesquiera, entonces

limite (sucesionDottie x) 1e-16 100 ==
limite (sucesionDottie y) 1e-16 100

Dicho límite es el número de Dottie.

Referencia: Este ejercicio está basado en el artículo El número de Dottie publicado por Miguel Ángel Morales en Gaussianos el 20 de enero de 2021.

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Los árboles binarios se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por

data Arbol a = H a
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving Show

Por ejemplo, el árbol

      7
     / \
    /   \
   /     \
  4       9
 / \     / \
1   3   5   6

se puede representar por

N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))

Un árbol está acotado por un conjunto ys si todos los valores de sus hojas y sus nodos pertenecen a ys. Por ejemplo, el árbol anterior está acotado por [1..10] pero no lo está por [1..7].

Un árbol es monovalorado si todos sus elementos son iguales. Por ejemplo, de los siguientes árboles sólo son monovalorados los dos primeros

  5          9           5          9
 / \        / \         / \        / \
5   5      9   9       5   6      9   7
              / \                    / \
             9   9                  9   9

Definir las funciones

acotado :: Eq a => Arbol a -> [a] -> Bool
monovalorados :: Arbol -> [Arbol]

tales que

• (acotado a ys) se verifica si a está acotado por ys. Por ejemplo,

acotado (N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))) [1..10] == True
acotado (N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))) [1..7]  == False

• (monovalorado a) se verifica si a es monovalorado. Por ejemplo,

monovalorado (N 5 (H 5) (H 5))              ==  True
monovalorado (N 5 (H 5) (H 6))              ==  False
monovalorado (N 9 (H 9) (N 9 (H 9) (H 9)))  ==  True
monovalorado (N 9 (H 9) (N 7 (H 9) (H 9)))  ==  False
monovalorado (N 9 (H 9) (N 9 (H 7) (H 9)))  ==  False

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Definir la función

conRepeticionesAcotadas :: Eq a => [a] -> Int -> [a]

tal que (conRepeticionesAcotadas xs n) es una lista que contiene cada elemento de xs como máximo n veces sin reordenar (se supone que n es un número positivo).. Por ejemplo,

conRepeticionesAcotadas [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] 1  ==  [1,2,3,5]
conRepeticionesAcotadas [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] 2  ==  [1,2,3,1,2,3,5]
conRepeticionesAcotadas [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] 3  ==  [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5]
conRepeticionesAcotadas [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] 4  ==  [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5]

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Definir la función

potenciasDeDosMasCercanas :: [Integer] -> [Integer]

tal que (potenciasDeDosMasCercanas xs) es la lista sustituyendo cada elemento de xs por su potencia de dos más cercana (en el caso de que haya dos equidistantes se elige la menor). Por ejemplo,

potenciasDeDosMasCercanas2 [6,7,8,9,2021]  ==  [4,8,8,8,2048]

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En este ejercicio se considerará la serie

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + ···

Definir las funciones

serie     :: [Integer]
sumaSerie :: Integer -> Integer

tales que

• serie es lalista de los términos de la serie anterior; es decir,

take 7 serie  ==  [1,-2,3,-4,5,-6,7]

• (sumaSerie n) es la suma de los n primeros términos de la serie. Por ejemplo,

sumaSerie 5     ==  3
sumaSerie 6     ==  -3
sumaSerie 2021  ==  1011
length (show (sumaSerie (10^1000)))  ==  1001

Comprobar con QuickCheck que

• la suma de la serie se puede hacer tan grande como se desee; es decir, que para todo número a existe un n tal que la suma de los n primeros términos de la serie es mayor que a;
• la suma de la serie se puede hacer tan pequeña como se desee; es decir, que para todo número a existe un n tal que la suma de los n primeros términos de la serie es menor que a.

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Dado un conjunto de números enteros positivos S su clausura del valor absoluto de la diferencia de pares es el menor conjunto T tal que T contiene a S y para cualquier par de elementos x e y de T (con x distinto de y) el valor absoluto de (x-y) también es un elemento de T. Por ejemplo, si S = {12, 30}, entonces

• 12 ∈ T, porque 12 ∈ S
• 30 ∈ T, porque 20 ∈ S
• 18 = |12 - 30| ∈ T
• 6 = |18 - 12| ∈ T
• 24 = |30 - 6| ∈ T

Por tanto, T = {12, 30, 18, 6, 24}.

Definir las funciones

clausura :: [Int] -> [Int]
longitudClausura :: [Int] -> Int

tales que

• (clausura xs) es la clausura del conjunto de enteros positivos xs respecto del valor absoluto de la diferencia de pares. Por ejemplo,

clausura [12,30]  ==  [12,30,18,6,24]
clausura [3,5,2]  ==  [3,5,2,1,4]

• (longitudClausura xs) es el número de elementos de la clausura del conjunto de enteros positivos xs respecto del valor absoluto de la diferencia de pares. Por ejemplo,

longitudClausura [12,30]        ==  5
longitudClausura [3,5,2]        ==  5
longitudClausura [3,23..10^6]   ==  999983

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Las potencias de dos son

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,...

Se observa que la primera potencia de dos que contiene al 638 es la 14 ya que 2^14 = 16384.

Definir la función

potenciasContenedoras :: Integer -> [Integer]

tal que (potenciasContenedoras x) es la lista de las potencias de 2 que contienen a x. Por ejemplo,

λ> head (potenciasContenedoras 638)
14
λ> head (potenciasContenedoras 2021)
452
λ> take 20 (potenciasContenedoras 4)
[2,6,10,11,12,14,18,19,20,22,25,26,27,28,30,31,32,33,34,35]
λ> [head (potenciasContenedoras n) | n <- [0..20]]
[10,4,1,5,2,8,4,15,3,12,10,40,7,17,18,21,4,27,30,13,11]