Nota: En este ejercicio se usa la misma notación que en los anteriores importando los módulos

• Evaluacion_de_FNC
• Modelos_de_FNC
• Problema_SAT_para_FNC
• Cliques
• KCliques
• Grafo_FNC

Definir las funciones

cliquesFNC :: FNC -> [[(Int,Literal)]]
cliquesCompletos :: FNC -> [[(Int,Literal)]]
esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool

tales que

• (cliquesFNCf) es la lista de los cliques del grafo de f. Por ejemplo,

λ> cliquesFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]]
[[], [(0,1)], [(1,2)], [(0,1),(1,2)], [(2,-2)],
 [(0,1),(2,-2)], [(2,3)], [(0,1),(2,3)], [(1,2),(2,3)],
 [(0,1),(1,2),(2,3)], [(0,-2)], [(2,-2),(0,-2)], [(2,3),(0,-2)],
 [(1,-1)], [(2,-2),(1,-1)], [(2,3),(1,-1)], [(0,-2),(1,-1)],
 [(2,-2),(0,-2),(1,-1)], [(2,3),(0,-2),(1,-1)], [(0,3)],
 [(1,2),(0,3)], [(2,-2),(0,3)], [(2,3),(0,3)],
 [(1,2),(2,3),(0,3)], [(1,-1),(0,3)],
 [(2,-2),(1,-1),(0,3)], [(2,3),(1,-1),(0,3)]]

• (cliquesCompletos f) es la lista de los cliques del grafo de f que tiene tantos elementos como cláusulas tiene f. Por ejemplo,

λ> cliquesCompletos [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]]
[[(0,1),(1,2),(2,3)],   [(2,-2),(0,-2),(1,-1)],
 [(2,3),(0,-2),(1,-1)], [(1,2),(2,3),(0,3)],
 [(2,-2),(1,-1),(0,3)], [(2,3),(1,-1),(0,3)]]
λ> cliquesCompletos [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]]
[]

• (esSatisfaciblePorClique f) se verifica si f no contiene la cláusula vacía, tiene más de una cláusula y posee algún clique completo. Por ejemplo,

λ> esSatisfaciblePorClique [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]]
True
λ> esSatisfaciblePorClique [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]]
False

Comprobar con QuickCheck que toda fórmula en FNC es satisfacible si, y solo si, es satisfacible por Clique.

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Para reducir el problema del clique a SAT se comienza asociando a cada fórmula F en FNC un grafo G de forma que F es saisfacible si, y sólo si, G tiene un clique con tantos nodos como cláusulas tiene F.

Los nodos del grafo de F son los literales de las cláusulas de F junto con el número de la cláusula. Por ejemplo, la lista de nodos de la FNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] es

[(0,1),(0,-2),(0,3),
 (1,-1),(1,2),
 (2,-2),(2,3)]

En el grafo de F, hay un arco entre dos nodos si, y solo si, corresponden a cláusulas distintas y sus literales no son complementarios. Por ejemplo,

• hay un arco entre (0,1) y (1,2) [porque son de cláusulas distintas (0 y 1) y sus literales (1 y 2) no son complementarios.
• no hay un arco entre (0,1) y (1,-1) [porque sus literales (1 y -1) no son complementarios.
• no hay un arco entre (0,1) y (0,3) [porque son de la misma cláusula (la 0)].

Nota: En este ejercicio se usará los conceptos de los anteriores importando los módulos Evaluacion_de_FNC y Grafo.

Definir las funciones

nodosFNC :: FNC -> [(Int,Literal)]
grafoFNC :: FNC -> Grafo (Int,Literal)

tales que

• (nodosFNC f) es la lista de los nodos del grafo de f. Por ejemplo,

λ> nodosFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]]
[(0,1),(0,-2),(0,3),(1,-1),(1,2),(2,-2),(2,3)]

• (grafo FNC f) es el grafo de f. Por ejemplo,

λ> grafoFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]]
[ ((0,1),(1,2)),  ((0,1),(2,-2)), ((0,1),(2,3)),
  ((0,-2),(1,-1)),((0,-2),(2,-2)),((0,-2),(2,3)),
  ((0,3),(1,-1)), ((0,3),(1,2)),  ((0,3),(2,-2)),((0,3),(2,3)),
  ((1,-1),(2,-2)),((1,-1),(2,3)),
  ((1,2),(2,3))]
λ> grafoFNC [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]]
[((0,1),(1,1)),((0,1),(1,-2)),((0,1),(2,2)),((0,1),(3,-2)),
 ((0,2),(1,1)),((0,2),(2,-1)),((0,2),(2,2)),((0,2),(3,-1)),
 ((1,1),(2,2)),((1,1),(3,-2)),
 ((1,-2),(2,-1)),((1,-2),(3,-1)),((1,-2),(3,-2)),
 ((2,-1),(3,-1)),((2,-1),(3,-2)),
 ((2,2),(3,-1))]

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Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en el anterior importando el módulo Cliques.

Definir la función

kCliques :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]]

tal que (kCliques g k) es la lista de los cliques del grafo g de tamaño k. Por ejemplo,

λ> kCliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3
[[2,3,5],[2,4,5]]
λ> kCliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 2
[[1,2],[2,3],[2,4],[2,5],[3,5],[4,5]]
λ> kCliques [(n,n+1) | n <- [1..100]] 3
[]

Nota: Escribir la solución en el módulo KCliques para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

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Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en el anterior importando el módulo Grafo.

Un clique (en español, pandilla) de un grafo g es un conjunto de nodos de g tal que todos sus elementos están conectados en g.

Definir las funciones

esClique :: Eq a => Grafo a -> [a] -> Bool
cliques  :: Eq a => Grafo a -> [[a]]

tales que

• (esClique g xs) se verifica si el conjunto de nodos xs del grafo g es un clique de g. Por ejemplo,

esClique [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] [2,3,5]  ==  True
esClique [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] [2,3,4]  ==  False

• (cliques g) es la lista de los cliques del grafo g. Por ejemplo,

λ> cliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)]
[[],[1],[2],[1,2],[3],[2,3],[4],[2,4],
 [5],[2,5],[3,5],[2,3,5],[4,5],[2,4,5]]

Nota: Escribir la solución en el módulo Cliques para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

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Definir la función

parejas :: [a] -> [(a,a)]

tal que (parejas xs) es la lista de las parejas formados por los elementos de xs y sus siguientes en xs. Por ejemplo,

parejas [1..4] == [(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)]
length (parejas [sin,cos,tan,log])  ==  6

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Un grafo no dirigido se representa por la lista de sus arcos. Por ejemplo, el grafo

1 -- 2 -- 4
| \  |
|  \ |
3 -- 5

se representa por [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)].

Se define el tipo de grafo por

type Grafo a = [(a,a)]

Definir las funciones

nodos      :: Eq a => Grafo a -> [a]
conectados :: Eq a => Grafo a -> a -> a -> Bool

tales que

• (nodos g) es la lista de los nodos del grafo g. Por ejemplo,

nodos [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)]  ==  [1,2,3,4,5]

• (conectados g x y) se verifica si el grafo no dirigido g posee un arco con extremos x e y. Por ejemplo,

conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3 2  ==  True
conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 2 3  ==  True
conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3 4  ==  False

Nota: Escribir la solución en el módulo Grafo para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

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Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en los anteriores importando los módulos Modelos_de_FNC y Evaluacion_de_FNC.

Una FNC (fórmula en forma normal conjuntiva) es satisfacible, si tiene algún modelo. Por ejemplo,

Definir la función

esSatisfacible :: FNC -> Bool

tal que (esSatisfacible f) se verifica si la FNC f es satistacible. Por ejemplo,

esSatisfacible [[-1,2],[-2,1]]    ==  True
esSatisfacible [[-1,2],[-2],[1]]  ==  False
esSatisfacible [[1,2],[]]         ==  False
esSatisfacible []                 ==  True

Nota: Escribir la solución en el módulo Problema_de_SAT_para_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

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Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en anterior importando los módulos Interpretaciones_de_FNC y Evaluacion_de_FNC.

Una interpretación I es un modelo de un literal L si el valor de L en I es verdadero. Por ejemplo, la interpretación [2,5]

• es modelo del literal x(2) (porque 2 ∈ [2,5])
• no es modelo del literal x(3) (porque 3 ∉ [2,5])
• es modelo del literal -x(4) (porque 4 ∉ [2,5])

Una interpretación I es un modelo de una cláusula C si el valor de C en I es verdadero. Por ejemplo, la interpretación [2,5]

• es modelo de la cláusula (x(2) v x(3)) (porque x(2) es verdadero)
• no es modelo de la cláusula (x(3) v x(4)) (porque x(3) y x(4) son falsos)

Una interpretación I es un modelo de una FNC F si el valor de F en I es verdadero. Por ejemplo, la interpretación [2,5]

• es modelo de la FNC ((x(2) v x(5)) & (-x(4) v x(3)) porque lo es de sus dos cláusulas.

Definir las siguientes funciones

esModeloLiteral  :: Interpretacion -> Literal -> Bool
esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool
esModelo         :: Interpretacion -> FNC -> Bool
modelosClausula  :: Clausula -> [Interpretacion]
modelos          :: FNC -> [Interpretacion]

tales que

• (esModeloLiteral i l) se verifica si i es modelo del literal l. Por ejemplo,

esModeloLiteral [3,5] 3     ==  True
esModeloLiteral [3,5] 4     ==  False
esModeloLiteral [3,5] (-3)  ==  False
esModeloLiteral [3,5] (-4)  ==  True

• (esModeloClausula i c) se verifica si i es modelo de la cláusula c. Por ejemplo,

esModeloClausula [3,5] [2,3,-5]  ==  True
esModeloClausula [3,5] [2,4,-1]  ==  True
esModeloClausula [3,5] [2,4,1]   ==  False

• (esModelo i f) se verifica si i es modelo de la fórmula f. Por ejemplo,

esModelo [1,3] [[1,-2],[3]]  ==  True
esModelo [1]   [[1,-2],[3]]  ==  False
esModelo [1]   []            ==  True

• (modelosClausula c) es la lista de los modelos de la cláusula c. Por ejemplo,

modelosClausula [-1,2]  ==  [[],[2],[1,2]]
modelosClausula [-1,1]  ==  [[],[1]]
modelosClausula []      ==  []

• (modelos f) es la lista de los modelos de la fórmula f. Por ejemplo,

modelos [[-1,2],[-2,1]]    ==  [[],[1,2]]
modelos [[-1,2],[-2],[1]]  ==  []
modelos [[1,-1,2]]         ==  [[],[1],[2],[1,2]]

Nota: Escribir la solución en el módulo Modelos_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

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Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en los anteriores importando los módulos Evaluacion_de_FNC y Atomos_de_FNC.

Definir las siguientes funciones

interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion]
interpretaciones         :: FNC -> [Interpretacion]

tales que

• (interpretacionesClausula c) es el conjunto de interpretaciones de la cláusula c. Por ejemplo,

interpretacionesClausula [1,2,-1]  ==  [[],[1],[2],[1,2]]
interpretacionesClausula []        ==  [[]]

• (interpretaciones f) es el conjunto de interpretaciones de la fórmula f. Por ejemplo,

interpretaciones [[1,-2],[-1,2]] == [[],[1],[2],[1,2]]
interpretaciones []              == [[]]

Nota: Escribir la solución en el módulo Interpretaciones_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

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Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en el anterior importando el módulo Evaluacion_de_FNC.

Definir las siguientes funciones

atomosClausula :: Clausula -> [Atomo]
atomosFNC      :: FNC -> [Atomo]

tales que

• (atomosClausula c) es el conjunto de los átomos de la cláusula c. Por ejemplo,

atomosClausula [3,1,-3] == [1,3]

• (atomosFNC f) es el conjunto de los átomos de la FNC f. Por ejemplo,

atomosFNC [[4,5],[1,-2],[-4,-1,-5]]  ==  [1,2,4,5]

Nota: Escribir la solución en el módulo Atomos_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

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Una FNC (fórmula en forma normal conjuntiva) es una conjunción de cláusulas, donde una cláusula es una disyunción de literales y un literal es un átomo o su negación. Por ejemplo,

(x(1) v -x(3)) & x(2) & (-x(2) v x(3) v x(1))

es una FNC con tres clásulas tales que la primera cláusula tiene 2 literales (x(1) y -x(3)), la segunda tiene 1 (x(2)) y la tercera tiene 3 (-x(2), x(3) y x(1)).

Usaremos las siguientes representaciones:

• Los átomos se representan por enteros positivos. Por ejemplo, 3 representa x(3).
• Los literales se representan por enteros. Por ejemplo, 3 representa el literal positivo x(3) y -5 el literal negativo -x(5).
• Una cláusula es una lista de literales que representa la disyunción se sus literales. Por ejemplo, [3,2,-4] representa a (x(3) v x(2) v -x(4)).
• Una fórmula en forma normal conjuntiva (FNC) es una lista de cláusulas que representa la conjunción de sus cláusulas. Por ejemplo, [[3,2],[-1,2,5]] representa a ((x(3) v x(2)) & (-x(1) v x(2) v x(5))).

Una interpretación I es un conjunto de átomos. Se supone que los átomos de I son verdaderos y los restantes son falsos. Por ejemplo, en la interpretación [2,5]

• el literal x(2) es verdadero (porque 2 ∈ [2,5])
• el literal x(3) es falso (porque 3 ∉ [2,5])
• el literal -x(4) es verdadero (porque 4 ∉ [2,5])
• la cláusula (x(2) v x(3)) es verdadera (porque x(2) es verdadero)
• la cláusula (x(3) v x(4)) es falsa (porque x(3) y x(4) son falsos)
• la FNC ((x(2) v x(5)) & (-x(4) v x(3)) es verdadera porque lo son sus dos cláusulas

En el ejercicio se usarán los siguientes tipos de datos

type Atomo          = Int
type Literal        = Int
type Clausula       = [Literal]
type FNC            = [Clausula]
type Interpretacion = [Atomo]

Definir las siguientes funciones

valorLiteral  :: Interpretacion -> Literal -> Bool
valorClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool
valor         :: Interpretacion -> FNC -> Bool

tales que

• (valorLiteral i l) es el valor del literal l en la interpretación i. Por ejemplo,

valorLiteral [3,5] 3     ==  True
valorLiteral [3,5] 4     ==  False
valorLiteral [3,5] (-3)  ==  False
valorLiteral [3,5] (-4)  ==  True

• (valorClausula i c) es el valor de la cláusula c en la interpretación i. Por ejemplo,

valorClausula [3,5] [2,3,-5]  ==  True
valorClausula [3,5] [2,4,-1]  ==  True
valorClausula [3,5] [2,4,1]   ==  False

• (valor i f) es el valor de la fórmula en FNC f en la interpretación i. Por ejemplo,

valor [1,3] [[1,-2],[3]]  ==  True
valor [1]   [[1,-2],[3]]  ==  False
valor [1]   []            ==  True

Nota: Escribir la solución en el módulo Evaluacion_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

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La conjetura de Lemoine afirma que

Todos los números impares mayores que 5 se pueden escribir de la forma p + 2q donde p y q son números primos. Por ejemplo, 47 = 13 + 2 x 17

Definir las funciones

descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)]
graficaLemoine :: Integer -> IO ()

tales que

• (descomposicionesLemoine n) es la lista de pares de primos (p,q) tales que n = p + 2q. Por ejemplo,

descomposicionesLemoine 5   ==  []
descomposicionesLemoine 7   ==  [(3,2)]
descomposicionesLemoine 9   ==  [(5,2),(3,3)]
descomposicionesLemoine 21  ==  [(17,2),(11,5),(7,7)]
descomposicionesLemoine 47  ==  [(43,2),(41,3),(37,5),(13,17)]
descomposicionesLemoine 33  ==  [(29,2),(23,5),(19,7),(11,11),(7,13)]
length (descomposicionesLemoine 2625)  ==  133

• (graficaLemoine n) dibuja la gráfica de los números de descomposiciones de Lemoine para los números impares menores o iguales que n. Por ejemplo, (graficaLemoine n 400) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Lemoine.

Nota: Basado en Lemoine's conjecture

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Sea p un número primo. Toma un número natural positivo, si divisible entre un número primo menor que p divídelo entre el menor de dicho divisores, y en otro caso multiplícalo por p y súmale uno; si el resultado no es igual a uno, repite el proceso. Por ejemplo, para p = 7 y empezando en 42 el proceso es

42
-> 21   [= 42/2]
-> 7    [= 21/3]
-> 50   [= 7*7+1]
-> 25   [= 50/5]
-> 5    [= 25/5]
-> 1    [= 5/5]

La conjetura de Collatz generalizada afirma que este proceso siempre acaba en un número finito de pasos.

Definir la función

collatzGeneral :: Integer -> Integer -> [Integer]

tal que (collatzGeneral p x) es la sucesión de los elementos obtenidos en el proceso anterior para el primo p enpezando en x. Por ejemplo,

take 15 (collatzGeneral 7 42) == [42,21,7,50,25,5,1,8,4,2,1,8,4,2,1]
take 15 (collatzGeneral 3  6) == [6,3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1]
take 15 (collatzGeneral 5  6) == [6,3,1,6,3,1,6,3,1,6,3,1,6,3,1]
take 15 (collatzGeneral 7  6) == [6,3,1,8,4,2,1,8,4,2,1,8,4,2,1]
take 15 (collatzGeneral 9  6) == [6,3,1,10,5,1,10,5,1,10,5,1,10,5,1]

Comprobar con QuickCheck que se verifica la conjetura de Collatz generalizada; es decir, para todos enteros positivos n, x si p es el primo n-ésimo entonces 1 pertenece a (collatzGeneral p x).

Nota: El ejercicio etá basado en el artículo Los primos de la conjetura de Collatz publicado la semana pasada por Francisco R. Villatoro en su blog La Ciencia de la Mula Francis.

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Goldbach, el de la famosa conjetura, hizo por lo menos otra conjetura que finalmente resultó ser falsa.

Esta última decía que todo número compuesto impar puede expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Así por ejemplo,

9 =  7 + 2×1^2
15 =  7 + 2×2^2
21 =  3 + 2×3^2
25 =  7 + 2×3^2
27 = 19 + 2×2^2
33 = 31 + 2×1^2

Definir las sucesiones

imparesCompuestos :: [Integer]
descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
contraejemplosGoldbach :: [Integer]

tales que

• imparesCompuestos es la lista de los números impares compuestos. Por ejemplo,

take 9 imparesCompuestos  ==  [9,15,21,25,27,33,35,39,45]

• (descomposiciones n) es la lista de las descomposiciones de n de n como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Por ejemplo,

descomposiciones 9     ==  [(7,1)]
descomposiciones 21    ==  [(3,9),(13,4),(19,1)]
descomposiciones 5777  ==  []

Las 3 descomposiciones de 21 son

21 =  3 + 2*9 = 21 + 2*3^2
21 = 13 + 2*4 = 13 + 2*3^2
21 = 19 + 2*1 = 19 + 2*1^2

• contraejemplosGoldbach es la lista de los contraejemplos de la anterior conjetura de Goldbach; es decir, los números impares compuestos que no pueden expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Por ejemplo,

take 2 contraejemplosGoldbach  ==  [5777,5993]

Comprobar con QuickCheck que la conjetura de Golbach se verifica a partir de 5993; es decir, todo número compuesto impar mayor que 5993 puede expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado.

Nota: Basado en el artículo La menos conocida de las conjeturas de Goldbach de Claudio Meller en el blog Números y algo más.

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El triángulo de Bell es el triángulo numérico, cuya primera fila es [1] y en cada fila, el primer elemento es el último de la fila anterior y el elemento en la posición j se obtiene sumando el elemento anterior de su misma fila y de la fila anterior. Sus primeras filas son

1
1   2
2   3   5
5   7  10  15
15 20  27  37  52
52 67  87 114 151 203

Definir la función

trianguloDeBell :: [[Integer]]

tal que trianguloDeBell es la lista con las filas de dicho triángulo. Por ejemplo

λ> take 5 trianguloDeBell
[[1],[1,2],[2,3,5],[5,7,10,15],[15,20,27,37,52]]

Comprobar con QuickCheck que los números que aparecen en la primera + columna del triángulo coinciden con los números de Bell; es decir, el primer elemento de la n-ésima fila es el n-ésimo número de Bell.

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Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos no vacíos de A, disjuntos dos a dos y cuya unión es A. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones:

{{1}, {2}, {3}}
{{1,2}, {3}}
{{1,3}, {2}}
{{1}, {2,3}}
{{1,2,3}}

El n-ésimo número de Bell, B(n), es el número de particiones de un conjunto de n elementos. Por lo visto anteriormentem B(3) = 5.

Definir las funciones

particiones :: [a] -> [[[a]]]
bell :: Integer -> Integer

tales que

• (particiones xs) es el conjunto de las particiones de xs. Por ejemplo,

λ> particiones [1,2]
[[[1,2]],[[1],[2]]]
λ> particiones [1,2,3]
[[[1,2,3]],[[1],[2,3]],[[1,2],[3]],[[2],[1,3]],[[1],[2],[3]]]
λ> particiones "abcd"
[["abcd"],["a","bcd"],["ab","cd"],["b","acd"],["abc","d"],["bc","ad"],
["ac","bd"],["c","abd"],["a","b","cd"],["a","bc","d"],["a","c","bd"],
["ab","c","d"],["b","ac","d"],["b","c","ad"],["a","b","c","d"]]

• (bell n) es el n-ésimo número de Bell. Por ejemplo,

λ> bell 3
5
λ> map bell [0..10]
[1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975]

Comprobar con QuickCheck que (bell n) es equivalente a la función B(n) definida por

• B(0) = 1
• \(B(n) = \Sigma_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} B(k)\)

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Definir la función

maximoConsecutivosIguales :: Eq a => a -> [a] -> Int

tal que (maximoConsecutivosIguales x xs) es el mayor número de elementos consecutivos en xs iguales a x. Por ejemplo,

maximoConsecutivosIguales 'b' "abbcccbbbd"    ==  3
maximoConsecutivosIguales 'b' "abbbbcccbbbd"  ==  4
maximoConsecutivosIguales 'e' "abbcccbbbd"    ==  0

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Se dice que un número entero está entre potencias sucesivas de n si x-1 es una potencia n-ésima y x+1 es una potencia (n+1)-ésima; es decir, si existen a y b tales que x-1 es a^n y x+1 es b^(n+1). Por ejemplo,

2 está entre potencias sucesivas de 0, ya que 1 = 1^0 y 3 = 3^1
15 está entre potencias sucesivas de 1, ya que 14 = 14^1 y 16 = 4^2
26 está entre potencias sucesivas de 2, ya que 25 = 5^2 y 27 = 3^3

Definir las funciones

entrePotencias :: Integer -> Integer -> Bool
pares :: [(Integer,Integer)]
paresEntrePotencias :: [(Integer,Integer)]

tales que

• (entrePotencias n x) se verifica si x está entre potencias sucesivas de n. Por ejemplo,

entrePotencias 0 2   ==  True
entrePotencias 1 15  ==  True
entrePotencias 2 26  ==  True

• pares es la lista de los números enteros ordenados por su suma y primer elemento. Por ejemplo,

λ> take 11 pares
[(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(0,4)]

• paresEntrePotencias es la lista de los pares (n,x) tales que x está entre potencias sucesivas de n. Por ejemplo,

λ> take 10 paresEntrePotencias
[(1,0),(0,2),(1,3),(1,8),(1,15),(1,24),(2,26),(1,35),(1,48),(1,63)]

Comprobar con QuickCheck que 26es el único número que está entre potencias sucesivas con exponentes mayor que 1; es decir, que el único par (n,x) tal que x está entre potencias sucesivas de n y n > 1 es el (2,26).

Nota: Este ejercicio está basado en el artículo El número 26 ... ¡un número especial! de Amadeo Artacho en MatematicasCercanas.

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El primorial de un número natural n es el producto de todos los números primos menores o iguales a n. Por ejemplo, el primorial de 5 es 30 porque el producto de los primos menores o iguales que 5 es

2 * 3 * 5 = 30

La propiedad de Erdös de acotación de los primoriales afirma que

Para todo número natural n, su primorial es menor o igual que 4ⁿ.

Definir las funciones

primorial :: Integer -> Integer
primoriales :: [Integer]

tales que

• (primorial n) es el primorial de n. Por ejemplo,

primorial 3  ==  6
primorial 5  ==  30
primorial 8  ==  210

• primoriales es la sucesión de los primoriales. Por ejemplo,

λ> take 15 primoriales
[1,1,2,6,6,30,30,210,210,210,210,2310,2310,30030,30030]

Comprobar con QuickCheck la propiedad de Erdös de acotación de los primoriales.

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La propiedad de la longitud de la parte periódica afirma que

Si p es un número primo distinto de 2 y de 5, entonces la longitud del período de 1/p es el menor entero positivo n tal que p divide a [latex]10^n - 1[/latex].

El objetivo de este ejercicio es la verificación de dicha propiedad.

Las fracciones se representan por un par de enteros. Por ejemplo, el número 2/3 se representa por (2,3). Su tipo es

type Fraccion = (Integer,Integer)

Los números decimales se representan por ternas, donde el primer elemento es la parte entera, el segundo es el anteperíodo y el tercero es el período. Por ejemplo,

 6/2  = 3                  se representa por (3,[],[])
 1/2  = 0.5                se representa por (0,[5],[])
 1/3  = 0.333333...        se representa por (0,[],[3])
23/14 = 1.6428571428571... se representa por (1,[6],[4,2,8,5,7,1])

Su tipo es

type Decimal = (Integer,[Integer],[Integer])

Definir, usando las funciones cocientesRestos y primerRepetido de los ejercicios anteriores, las funciones

decimal :: Fraccion -> Decimal
longitudPeriodo :: Fraccion -> Integer

tales que

• (decimal f) es la representación decimal de la fracción f. Por ejemplo,

decimal (6,2)          ==  (3,[],[])
decimal (3,4)          ==  (0,[7,5],[])
decimal (1,3)          ==  (0,[],[3])
decimal (23,14)        ==  (1,[6],[4,2,8,5,7,1])
decimal (247813,19980) ==  (12,[4,0],[3,0,5])
decimal (1,101)        ==  (0,[],[0,0,9,9])

• (longitudPeriodo f) es la longitud de la parte periódica de la representación decimal de la fracción f. Por ejemplo,

longitudPeriodo (6,2)           ==  0
longitudPeriodo (3,4)           ==  0
longitudPeriodo (1,3)           ==  1
longitudPeriodo (23,14)         ==  6
longitudPeriodo (247813,19980)  ==  3
longitudPeriodo (1,101)         ==  4
longitudPeriodo (1,1229)        ==  1228

Comprobar con QuickCheck la propiedad de la longitud de la parte periódica; es decir, k es un número natural distinto de 0 y 2 y p es el primo k-ésimo, entonces la longitud del período de 1/p es el menor entero positivo n tal que p divide a [latex]10^n - 1[/latex]..

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La transformación de una fracción en un número decimal se realiza mediante una sucesión de divisiones. Por ejemplo, para transformar a decimal la fracción

 247813    |19980
-19980     ---------------
-------     12.40305305...
  48013
 -39960
 ------
   80530
  -79920
  ------
     6100
    -   0
    -----
     61000
    -59940
    ------
      10600
     -    0
     ------
      106000
     - 99900
     -------
        61000
        -59940
        ------
         10600
        -    0
        ------
        106000
       - 99900
       -------
         61000

La transformación anterior se puede representar mediante la siguiente lista de cocientes y restos

[(12,8053),(4,610),(0,6100),(3,1060),(0,10600),(5,6100),
                            (3,1060),(0,10600),(5,6100)]

Definir la función

cocientesRestos :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)]

tal que (cocientesRestos (n,d)) es la lista de los cocientes y restos de la transformación decimal de la fracción n/d como se ha indicado anteriormente. Por ejemplo,

λ> take 9 (cocientesRestos (247813,19980))
[(12,8053),(4,610),(0,6100),(3,1060),(0,10600),(5,6100),
(3,1060),(0,10600),(5,6100)]
λ> take 10 (cocientesRestos (6,2))
[(3,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0)]
λ> take 10 (cocientesRestos (1,2))
[(0,1),(5,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0)]
λ> take 10 (cocientesRestos (1,3))
[(0,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1)]
λ> take 10 (cocientesRestos (23,14))
[(1,9),(6,6),(4,4),(2,12),(8,8),(5,10),(7,2),(1,6),(4,4),(2,12)]

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Definir la función

primerRepetido :: Eq a => [a] -> Maybe a

tal que (primerRepetido xs) es justo el primer elemento repetido de la lista xs o Nothing si no tiene elementos repetidos. Por ejemplo,

primerRepetido [3,7,5,7,2]  ==  Just 7
primerRepetido [3,9,5,6,2]  ==  Nothing

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Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p² divide a n; es decir, los factores primos de n son todos distintos.

La función de Möbius μ(n) está definida para todos los enteros positivos como sigue:

• μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
• μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
• μ(n) = 0 si n no es libre de cuadrados.

Sus primeros valores son 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, ...

La función de Mertens M(n) está definida para todos los enteros positivos como la suma de μ(k) para 1 ≤ k ≤ n. Sus primeros valores son 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, ...

La conjetura de Mertens afirma que

Para todo entero x mayor que 1, el valor absoluto de la función de Mertens en x es menor que la raíz cuadrada de x.

La conjetura fue planteada por Franz Mertens en 1897. Riele Odlyzko, demostraronen 1985 que la conjetura de Mertens deja de ser cierta más o menos a partir de \(10^{10^{64}}\), cifra que luego de algunos refinamientos se redujo a \(10^{10^{40}}\).

Definir las funciones

mobius :: Integer -> Integer
mertens :: Integer -> Integer
graficaMertens :: Integer -> IO ()

tales que

• (mobius n) es el valor de la función de Möbius en n. Por ejemplo,

mobius 6   ==  1
mobius 30  ==  -1
mobius 12  ==  0

• (mertens n) es el valor de la función de Mertens en n. Por ejemplo,

mertens 1     ==  1
mertens 2     ==  0
mertens 3     ==  -1
mertens 5     ==  -2
mertens 661   ==  -11
mertens 1403  ==  11

• (graficaMertens n) dibuja la gráfica de la función de Mertens, la raíz cuadrada y el opuestos de la raíz cuadrada para los n primeros n enteros positivos. Por ejemplo, (graficaMertens 1000) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Mertens.

Nota: El ejercicio está basado en La conjetura de Merterns y su relación con un número tan raro como extremada y colosalmente grande publicado por @Alvy la semana pasada en Microsiervos.

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Definir la función

productoSuma4Cuadrados :: Integral a => [a] -> [a] -> [a] -> [a] -> a

tal que (productoSuma4Cuadrados as bs cs ds) es el producto de las sumas de los cuadrados de cada una de las listas que ocupan la misma posición (hasta que alguna se acaba). Por ejemplo,

productoSuma4Cuadrados [2,3] [1,5] [4,6] [0,3,9]
= (2² + 1² + 4² + 0²) * (3² + 5² + 6² + 3²)
= (4 +  1 + 16  + 0)  * (9 + 25 + 36  + 9)
= 1659

Comprobar con QuickCheckWith que si as, bs cs y ds son listas no vacías de enteros positivos, entonces (productoSuma4Cuadrados as bs cs ds) se puede escribir como la suma de los cuadrados de cuatro enteros positivos.

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El número 42 es una suma de cuatro cuadrados de números enteros positivos ya que

42 = 16 + 16 + 9 + 1 = 4² + 4² + 3² + 1²

Definir las funciones

sumas4Cuadrados :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer,Integer)]
graficaNumeroSumas4Cuadrados :: Integer -> IO ()

tales que

• (sumas4Cuadrados n) es la lista de las descompociones de n como suma de cuatro cuadrados. Por ejemplo,

sumas4Cuadrados 42  ==  [(16,16,9,1),(25,9,4,4),(36,4,1,1)]
sumas4Cuadrados 14  ==  []
length (sumas4Cuadrados (5*10^4))  ==  260

• (graficaNumeroSumas4Cuadrados n) dibuja la gráfica del número de descomposiciones en sumas de 4 cuadrados de los n primeros. Por ejemplo, (graficaNumeroSumas4Cuadrados 600) dibuja

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Definir la sucesión

numerosSin2EnBase3a :: [Integer]

cuyos términos son los números cuya representación en base 3 no contiene el dígito 2. Por ejemplo,

λ> take 20 numerosSin2EnBase3
[0,1,3,4,9,10,12,13,27,28,30,31,36,37,39,40,81,82,84,85]

Se observa que

• 12 está en la sucesión ya que su representación en base 3 es 110 (porque 1·3² + 1·3¹ + 0.3⁰ = 12) y no contiene a 2.
• 14 no está en la sucesión ya que su representación en base 3 es 112 (porque 1·3² + 1·3¹ + 2.3⁰ = 14) y contiene a 2.

Comprobar con QuickCheck que las sucesiones numerosSin2EnBase3 sucesionSin3enPA (del ejercicio anterior) son iguales; es decir, para todo número natural n, el n-ésimo término de numerosSin2EnBase3 es igual al n-ésimo término de sucesionSin3enPA.

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Tres números x, y, z está en progresión aritmética (PA) si existe un d tal que y = x+d y z = y+d. Por ejemplo, 1, 3, 5 están en PA ya que 3 = 1+2 y 5 = 3+2.

Se considera la sucesión donde cada uno de sus términos es el número natural tal que no está en PA con cualesquiera dos términos anteriores de la sucesión. Por ejemplo, si representamos por f(n) el n-ésimo término de la sucesión, entonces

f(0) = 0, que es el menor número natural;
f(1) = 1, que es el menor número natural que no está en la sucesión;
f(2) = 3, ya que [0, 1, 2] están en PA y
                 [0, 1, 3] no están en PA;
f(3) = 4, ya que [0, 1, 4], [0, 3, 4] y [1, 3, 4] no están en PA;
f(4) = 9, ya que se descartan
          + el 5 porque [1, 3, 5] están en PA
          + el 6 porque [0, 3, 6] están en PA
          + el 7 porque [1, 4, 7] están en PA
          + el 8 porque [0, 4, 8] estan en PA
          y se acepta el 9 porque no están en PA niguna de [0,1,9],
          [0,3,9], [0,4,9], [1,3,9], [1,4,9], [3,4,9].

Definir la sucesión

sucesionSin3enPA :: [Integer]

donde cada uno de sus términos es el menor número natural tal que no está en PA con cualesquiera dos términos anteriores de la sucesión. Por ejemplo,

λ> take 20 sucesionSin3enPA
[0,1,3,4,9,10,12,13,27,28,30,31,36,37,39,40,81,82,84,85]
λ> sucesionSin3enPA !! 250
3270

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La conjetura de Goldbach afirma que todo número entero mayor que 2 se puede expresar como suma de dos primos.

Las descomposiciones de Goldbach son las maneras de expresar un número como suma de dos primos. Por ejemplo, el número 10 tiene dos descomposiciones de Goldbach ya que se puede expresar como la suma de 3 y 7 y la suma de 5 y 5.

Definir las funciones

descomposicionesGoldbach :: Integer -> [(Integer,Integer)]
numeroGoldbach :: Integer -> Integer
tieneMaximoLocalGoldbach :: Integer -> Bool

tales que

• (descomposicionesGoldbach n) es la lista de las descomposiciones de Goldbach del número n. Por ejemplo,

descomposicionesGoldbach 5   ==  [(2,3)]
descomposicionesGoldbach 10  ==  [(3,7),(5,5)]
descomposicionesGoldbach 22  ==  [(3,19),(5,17),(11,11)]
descomposicionesGoldbach 34  ==  [(3,31),(5,29),(11,23),(17,17)]
descomposicionesGoldbach 35  ==  []
descomposicionesGoldbach (9+10^9)  ==  [(2,1000000007)]

• (numeroGolbach n) es el número de descomposiciones de Goldbach del número n. Por ejemplo,

numeroGoldbach 5         ==  1
numeroGoldbach 10        ==  2
numeroGoldbach 22        ==  3
numeroGoldbach 34        ==  4
numeroGoldbach 35        ==  0
numeroGoldbach (9+10^9)  ==  1
maximum [numeroGoldbach n | n <- [2..3000]]  ==  128

• (tieneMaximoLocalGoldbach n) se verifica si en n se alcanza un máximo local en el número de descomposiciones de Goldbach; es decir, los números n tales que el número de descomposiciones de Goldbach de n es mayor o igual que las de n-1 y las de n+1. Por ejemplo,

λ> filter tieneMaximoLocalGoldbach [1..45]
[1,2,4,5,6,7,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44]

En el ejemplo anterior se comprueba que en los múltiplos de 6 (es decir, en 6, 12, 18, 24, 30, 36 y 42), el número de descomposiciones de Goldbach alcanza un máximo local. Comprobar con QuickCheck que esta propiedad se cumple en general; es decir, para todo entero positivo n, el número de descomposiciones de Goldbach en 6n es un máximo local.

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El teorema de la amistad afirma que

En cualquier reunión de n personas hay al menos dos personas que tienen el mismo número de amigos (suponiendo que la relación de amistad es simétrica).

Se pueden usar las siguientes representaciones:

• números enteros para representar a las personas,
• pares de enteros (x,y), con x < y, para representar que la persona x e y so amigas y
• lista de pares de enteros para representar la reunión junto con las relaciones de amistad.

Por ejemplo, [(2,3),(3,5)] representa una reunión de tres personas (2, 3 y 5) donde

• 2 es amiga de 3,
• 3 es amiga de 2 y 5 y
• 5 es amiga de 3. Si clasificamos las personas poniendo en la misma clase las que tienen el mismo número de amigos, se obtiene [[2,5],[3]] ya que 2 y 5 tienen 1 amigo y 3 tiene 2 amigos.

Definir la función

clasesAmigos :: [(Int,Int)] -> [[Int]]

tal que (clasesAmigos r) es la clasificación según el número de amigos de las personas de la reunión r; es decir, la lista cuyos elementos son las listas de personas con 1 amigo, con 2 amigos y así hasta que se completa todas las personas de la reunión r. Por ejemplo,

clasesAmigos [(2,3),(3,5)]            ==  [[2,5],[3]]
clasesAmigos [(2,3),(4,5)]            ==  [[2,3,4,5]]
clasesAmigos [(2,3),(2,5),(3,5)]      ==  [[2,3,5]]
clasesAmigos [(2,3),(3,4),(2,5)]      ==  [[4,5],[2,3]]
clasesAmigos [(x,x+1) | x <- [1..5]]  ==  [[1,6],[2,3,4,5]]
length (clasesAmigos [(x,x+1) | x <- [1..2020]]) == 2

Comprobar con QuickCheck el teorema de la amistad; es decir, si r es una lista de pares de enteros, entonces (clasesAmigos r') donde r' es la lista de los pares (x,y) de r con x < y y se supone que r' es no vacía.

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Definir las funciones

multiplosDeLaLongitud :: [Int] -> [Int]
multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos :: Int -> Int -> [Int]

tales que

• (multiplosDeLaLongitud xs) es la lista de los elementos de xs que son múltiplos de la longitud de xs. Por ejemplo,

multiplosDeLaLongitud [2,4,6,8] == [4,8]

• (multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos n m) es la lista de elementos de [n..n+m-1] que son múltiplos de n. Por ejemplo,

multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos 9 2  ==  [10]
multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos 9 12 ==  [12]

Comprobar con QuickCheck si se verifican las siguientes propiedades

• En cualquier conjunto de m elementos consecutivos, m divide exactamente a uno de dichos elementos. En otras palabras, si n y m son enteros positivos, entonces (multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos n m) tiene exactamente un elemento.
• Si n es un entero positivo y m >= n, entonces (multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos n m) es igual a [m]
• Si n y n son enteros positivos y m < n, entonces (multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos n m) es igual a [m * ceiling (n' / m')] donde n' y m' son las formas decimales de n y m respectivamente.

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La conjetura de Catalan, enunciada en 1844 por Eugène Charles Catalan y demostrada 2002 por Preda Mihăilescu1, afirma que

Las únicas dos potencias de números enteros consecutivos son 8 y 9 (que son respectivamente 2³ y 3²).

En otras palabras, la única solución entera de la ecuación

x^a - y^b = 1

para x, a, y, b > 1 es x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

La conjetura de Pillai, propuesta por S.S. Pillai en 1942, generaliza este resultado y es un problema abierto. Afirma que cada entero se puede escribir sólo un número finito de veces como una diferencia de dos potencias perfectas. En otras palabras, para todo entero positivo n, el conjunto de soluciones de

x^a - y^b = n

para x, a, y, b > 1 es finito.

Por ejemplo, para n = 4, hay 3 soluciones

(2,3, 2,2) ya que 2³ -  2² =   8 -   4 = 4
(6,2, 2,5) ya que 6² -  2⁵ =  36 -  32 = 4
(5,3,11,2) ya que 5³ - 11² = 125 - 121 = 4

Las soluciones se pueden representar por la menor potencia (en el caso anterior, por 4, 32 y 121) ya que dado n (en el caso anterior es 4), la potencia mayor es la menor más n.

Definir las funciones

potenciasPerfectas :: [Integer]
solucionesPillati :: Integer -> [Integer]
solucionesPillatiAcotadas :: Integer -> Integer -> [Integer]

tales que

• potenciasPerfectas es la lista de las potencias perfectas (es decir, de los números de la forma x^a con x y a mayores que 1). Por ejemplo,

take 10 potenciasPerfectas  ==  [4,8,9,16,25,27,32,36,49,64]
potenciasPerfectas !! 200   ==  28224

• (solucionesPillati n) es la lista de las menores potencias de las soluciones de la ecuación de Pillati x^a - y^b = n; es decir, es la lista de los u tales que u y u+n son potencias perfectas. Por ejemplo,

take 3 (solucionesPillati 4)  ==  [4,32,121]
take 2 (solucionesPillati 5)  ==  [4,27]
take 4 (solucionesPillati 7)  ==  [9,25,121,32761]

• (solucionesPillatiAcotadas c n) es la lista de elementos de (solucionesPillati n) menores que n. Por ejemplo,

solucionesPillatiAcotadas (10^3) 1  ==  [8]
solucionesPillatiAcotadas (10^3) 2  ==  [25]
solucionesPillatiAcotadas (10^3) 3  ==  [125]
solucionesPillatiAcotadas (10^3) 4  ==  [4,32,121]
solucionesPillatiAcotadas (10^3) 5  ==  [4,27]
solucionesPillatiAcotadas (10^3) 6  ==  []
solucionesPillatiAcotadas (10^3) 7  ==  [9,25,121]
solucionesPillatiAcotadas (10^5) 7  ==  [9,25,121,32761]

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La 40ª Conferencia General de la UNESCO ha proclamado el de enero el Día mundial de la Lógica. La fecha del 14 de enero se ha eligido para rendir homenaje a dos grandes lógicos del siglo XX: Kurt Gödel (que falleció el 14 de enero de 1978) y Alfred Tarski (que nació el 14 de enero de 1901).

Gödel demostró en 1931 los teoremas de incompletitud y para su demostración introdujo la actualmente conocida como codificación de Gödel que asigna a cada fórmula de un lenguaje formal un número único.

En este ejercicio aplicaremos la codificación de Gödel a las listas de números enteros.

Dada una lista de números naturales xs, la codificación de Gödel de xs se obtiene multiplicando las potencias de los primos sucesivos, siendo los exponentes los sucesores de los elementos de xs. Por ejemplo, si xs es [6,0,4], la codificación de xs es

2^(6+1) * 3^(0+1) * 5^(4+1) = 1200000

Definir las funciones

codificaG   :: [Integer] -> Integer
decodificaG :: Integer -> [Integer]

tales que

• (codificaG xs) es la codificación de Gödel de xs. Por ejemplo,

codificaG [6,0,4]            ==  1200000
codificaG [3,1,1]            ==  3600
codificaG [3,1,0,0,0,0,0,1]  ==  4423058640
codificaG [1..6]             ==  126111168580452537982500

• (decodificaG n) es la lista xs cuya codificación es n. Por ejemplo,

decodificaG 1200000                   ==  [6,0,4]
decodificaG 3600                      ==  [3,1,1]
decodificaG 4423058640                ==  [3,1,0,0,0,0,0,1]
decodificaG 126111168580452537982500  ==  [1,2,3,4,5,6]

Comprobar con QuickCheck que decodificaG es la inversa por la izquierda de codificaG; es decir, para toda lista xs de números enteros, se verifica que

decodificaG (codificaG ys) == ys

donde ys es la lista de los valores absolutos de los elementos de xs.

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Un número de Munchausen es un número entero positivo tal que es igual a la suma de sus dígitos elevados a sí mismo. Por ejemplo, 3435 es un número de Munchausen ya que

3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435

Definir la función

esMunchausen :: Integer -> Bool

tal que (esMunchausen n) se verifica si n es un número de Munchausen. Por ejemplo,

esMunchausen 3435  ==  True
esMunchausen 2020  ==  False

Comprobar con QuickCheck que que los únicos números de Munchausen son 1 y 3435.

Nota 1: No usar la propiedad en la definición.

Nota 2: El ejercicio está basado en el artículo ¿Por qué 3435 es uno de mis números favoritos? de Miguel Ángel Morales en El Aleph.

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El teorema de existencia de divisores afirma que

En cualquier subconjunto de {1, 2, ..., 2m} con al menos m+1 elementos existen números distintos a, b tales que a divide a b.

Un conjunto de números naturales xs es mayoritario si existe un m tal que la lista de xs es un subconjunto de {1,2,...,2m} con al menos m+1 elementos. Por ejemplo, {2,3,5,6} porque es un subconjunto de {1,2,...,6} con más de 3 elementos.

Definir las funciones

divisoresMultiplos :: [Integer] -> [(Integer,Integer)]
esMayoritario :: [Integer] -> Bool

tales que

• (divisores xs) es la lista de pares de elementos distintos de (a,b) tales que a divide a b. Por ejemplo,

divisoresMultiplos [2,3,5,6]  ==  [(2,6),(3,6)]
divisoresMultiplos [2,3,5]    ==  []
divisoresMultiplos [4..8]     ==  [(4,8)]

• (esMayoritario xs) se verifica xs es mayoritario. Por ejemplo,

esMayoritario [2,3,5,6]  ==  True
esMayoritario [2,3,5]    ==  False

Comprobar con QuickCheck el teorema de existencia de divisores; es decir, en cualquier conjunto mayoritario existen números distintos a, b tales que a divide a b. Para la comprobación se puede usar el siguiente generador de conjuntos mayoritarios

mayoritario :: Gen [Integer]
mayoritario = do
  m' <- arbitrary
  let m = 1 + abs m'
  xs' <- sublistOf [1..2*m] `suchThat` (\ys -> genericLength ys > m)
  return xs'

con lo que la propiedad que hay que comprobar con QuickCheck es

teorema_de_existencia_de_divisores :: Property
teorema_de_existencia_de_divisores =
  forAll mayoritario (not . null . divisoresMultiplos)

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El problema de Waring, propuesto por Edward Waring consiste en determinar si, para cada número entero k mayor que 1, existe un número n tal que todo entero positivo se puede escribir como una suma de k-potencias de números positivos con n sumandos como máximo.

La respuesta afirmativa al problema, aportada por David Hilbert, se conoce como el teorema de Hilbert-Waring. Su enunciado es

Para cada número entero k, con k ≥ 2, existe un entero positivo g(k) tal que todo entero positivo se puede expresar como una suma de a lo más g(k) k-ésimas potencias.

Definir las funciones

descomposiciones :: Integer -> Integer -> Integer -> [[Integer]]
orden :: Integer -> Integer -> Integer

tales que

• (descomposiciones x k n) es la lista de descomposiciones de x como suma de n potencias con exponente k de números enteros positivos.

descomposiciones 9   2 1  ==  [[9]]
descomposiciones 9   3 1  ==  []
descomposiciones 9   3 2  ==  [[1,8]]
descomposiciones 9   4 9  ==  [[1,1,1,1,1,1,1,1,1]]
descomposiciones 25  2 2  ==  [[9,16]]
descomposiciones 133 2 3  ==  [[8,125]]
descomposiciones 38  3 2  ==  [[1,1,36],[4,9,25]]

• (orden x k) es el menor número de sumandos necesario para expresar x como suma de k-ésimas potencias. Por ejemplo,

orden 9  2  ==  1
orden 9  3  ==  2
orden 9  4  ==  9
orden 10 2  ==  2
orden 10 3  ==  3
orden 10 4  ==  10
[maximum [orden x k | x <- [1..1000]] | k <- [1..6]] == [1,4,9,19,37,73]

Comprobar el teorema de Hilbert-Waring para k hasta 7; es decir, para todo número x positivo se verifica que

orden x 2 <= 4
orden x 3 <= 9
orden x 4 <= 19
orden x 5 <= 37
orden x 6 <= 73
orden x 7 <= 143

y, en general,

orden x k <= 2^k + floor ((3/2)^k) - 2

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Dos números enteros son coprimos (o primos entre sí) si no tienen ningún factor primo en común. Por ejemplo, 4 y 15 son coprimos.

Una terna coprima es una terna (a,b,c) tal que

• a y b son coprimos,
• a y c son coprimos y
• b y c son coprimos.

Por ejemplo, (3,4,5) es una terna coprima.

Definir la función

sumas3coprimos :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

tal que (sumas3coprimos n) es la lista de las ternas coprimas cuya suma es n. Por ejemplo,

sumas3coprimos 10  ==  [(2,3,5)]
sumas3coprimos 11  ==  []
sumas3coprimos 12  ==  [(2,3,7),(3,4,5)]
length (sumas3coprimos 4000)  ==  546146

Comprobar con QuickCheck que todo número entero mayor que 15 se puede escribir como suma de alguna terna coprima; es decir, para todo entero n, (sumas3coprimos2 (18 + abs n)) tiene algún elemento.

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Para cada número entero positivo n, se define el conjunto

S(n) = {1, 2, 3, ..., n}

de los números desde el 1 hasta n.

Definir la función

mayorPotenciaDeDosEnS :: Integer -> Integer

tal que (mayorPotenciaDeDosEnS n) es la mayor potencia de 2 en S(n). Por ejemplo,

mayorPotenciaDeDosEnS 3  ==  2
mayorPotenciaDeDosEnS 4  ==  4

Comprobar con QuickCheck que la mayor potencia de 2 en S(n) no divide a ningún otro elemento de S(n).

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Sea S el conjunto

S = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, ...}

de los enteros positivos congruentes con 1 módulo 4; es decir,

S = {4n+1 | n ∈ N}

Un elemento n de S es irreducible si sólo es divisible por dos elementos de S: 1 y n. Por ejemplo, 9 es irreducible; pero 45 no lo es (ya que es el proctos de 5 y 9 que son elementos de S).

Definir las funciones

esIrreducible :: Integer -> Bool
factorizaciones :: Integer -> [[Integer]]
conFactorizacionNoUnica :: [Integer]

tales que

• (esIrreducible n) se verifica si n es irreducible. Por ejemplo,

esIrreducible 9   ==  True
esIrreducible 45  ==  False

• (factorizaciones n) es la lista de conjuntos de elementos irreducibles de S cuyo producto es n. Por ejemplo,

factorizaciones 9     ==  [[9]]
factorizaciones 693   ==  [[9,77],[21,33]]
factorizaciones 4389  ==  [[21,209],[33,133],[57,77]]

• conFactorizacionNoUnica es la lista de elementos de S cuya factorización no es única. Por ejemplo,

λ> take 10 conFactorizacionNoUnica
[441,693,1089,1197,1449,1617,1881,1953,2205,2277]

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Una lista CuCu es una lista de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Por ejemplo, [1, 2, 3, 2, 4, 6] es una lista CuCu ya que

1³ + 2³ + 3³ + 2³ + 4³ + 6³ = (1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 6)²

La lista de Liouville correspondiente al número entero positivo n es la lista formada por el número de divisores de cada divisor de n. Por ejemplo, para el número 20 se tiene que sus divisores son

1, 2, 4, 5, 10, 20

puesto que el número de sus divisores es

• El 1 tiene 1 divisor (el 1 solamente).
• El 2 tiene 2 divisores (el 1 y el 2).
• El 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4).
• El 5 tiene 2 divisores (el 1 y el 5).
• El 10 tiene 4 divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
• El 20 tiene 6 divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).

la lista de Liouville de 20 es [1, 2, 3, 2, 4, 6] que, como se comentó anteriormente, es una lista CuCu.

El teorema de Lioville afirma que todas las lista de Lioville son CuCu.

Definir las funciones

esCuCu :: [Integer] -> Bool
liouville :: Integer -> [Integer]

tales que

• (esCuCu xs) se verifica si la lista xs es CuCu; es decir, la suma de los cubos de sus elementos es igual al cuadrado de su suma. Por ejemplo,

esCuCu [1,2,3]        ==  True
esCuCu [1,2,3,2]      ==  False
esCuCu [1,2,3,2,4,6]  ==  True

• (liouville n) es la lista de Lioville correspondiente al número n. Por ejemplo,

liouville 20  ==  [1,2,3,2,4,6]
liouville 60  ==  [1,2,2,3,2,4,4,6,4,6,8,12]
length (liouville (product [1..25]))  ==  340032

Comprobar con QuickCheck

• que para todo entero positivo n, (liouville (2^n)) es la lista [1,2,3,...,n+1] y
• el teorema de Lioville; es decir, para todo entero positivo n, (liouville n) es una lista CuCu.

Nota: Este ejercicio está basado en Cómo generar conjuntos CuCu de Gaussianos.

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La conjetura de Grimm establece que a cada elemento de un conjunto de números compuestos se puede asignar número primo que lo divide, de forma que cada uno de los números primos elegidos es distinto de todos los demás. Más formalmente, si n+1, n+2, ..., n+k son números compuestos, entonces existen números primos p(i), distintos entre sí, tales que p(i) divide a n+i para 1 ≤ i ≤ k.

Diremos que la lista ps = [p(1),...,p(k)] es una sucesión de Grim para la lista xs = [x(1),...,x(k)] si p(i) son números primos distintos y p(i) divide a x(i), para 1 ≤ i ≤ k. Por ejemplo, 2, 5, 13, 3, 7 es una sucesión de Grim de 24, 25, 26, 27, 28.

Definir las funciones

compuestos :: Integer -> [Integer]
sucesionesDeGrim :: [Integer] -> [[Integer]]

tales que

• (compuestos n) es la mayor lista de números enteros consecutivos empezando en n. Por ejemplo,

compuestos 24  ==  [24,25,26,27,28]
compuestos  8  ==  [8,9,10]
compuestos 15  ==  [15,16]
compuestos 16  ==  [16]
compuestos 17  ==  []

• (sucesionesDeGrim xs) es la lista de las sucesiones de Grim de xs. Por ejemplo,

sucesionesDeGrim [15,16]          == [[3,2],[5,2]]
sucesionesDeGrim [8,9,10]         == [[2,3,5]]
sucesionesDeGrim [9,10]           == [[3,2],[3,5]]
sucesionesDeGrim [24,25,26,27,28] == [[2,5,13,3,7]]
sucesionesDeGrim [25,26,27,28]    == [[5,2,3,7],[5,13,3,2],[5,13,3,7]]

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Grim; es decir, para todo número n > 1, (sucesionesDeGrim (compuestos n)) es una lista no vacía.

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La sucesión de Fibonacci, F(n), es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

La sucesión comieanza con los números 0 y 1. A partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores.

El teorema de Carmichael establece que para todo n mayor que 12, el n-ésimo número de Fibonacci F(n) tiene al menos un factor primo que no es factor de ninguno de los términos anteriores de la sucesión.

Si un número primo p es un factor de F(n) y no es factor de ningún F(m) con m < n, entonces se dice que p es un factor característico o un divisor primitivo de F(n).

Definir la función

factoresCaracteristicos :: Int -> [Integer]

tal que (factoresCaracteristicos n) es la lista de los factores característicos de F(n). Por ejemplo,

factoresCaracteristicos  4  ==  [3]
factoresCaracteristicos  6  ==  []
factoresCaracteristicos 19  ==  [37,113]
factoresCaracteristicos 37  ==  [73,149,2221]

Comprobar con QuickCheck el teorema de Carmichael; es decir, para todo número entero (factoresCaracteristicos (13 + abs n)) es una lista no vacía.

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La derivada aritmética es una función definida sobre los números naturales por analogía con la regla del producto para el cálculo de las derivadas usada en análisis.

Para un número natural n su derivada D(n) se define por

D(0)  = 0
D(1)  = 0
D(p)  = 1, si p es primo
D(ab) = D(a)b + aD(b) (regla de Leibniz para derivar productos)

Por ejemplo,

D(6)  = D(2*3) = D(2)*3 + 2*D(3) = 1*3 + 2*1 =  5
D(12) = D(2*6) = D(2)*6 + 2*D(6) = 1*6 + 2*5 = 16

Definir la función

derivada :: Integer -> Integer

tal que (derivada n) es la derivada aritmérica de n. Por ejemplo,

derivada  6  ==  5
derivada 12  ==  16
maximum [derivada n | n <- [1..60000]]  ==  380928

Comprobar con QuickCheck que si x es un número entero positivo y su descomposición en factores primos es

x = p(1)^e(1) + p(2)^e(2) +...+ p(n)^e(n)

entonces la derivada de x es

x * [e(1)/p(1) + e(2)/p(2) +...+ e(n)/p(n)]

Nota: No usar en la definición la propiedad que hay que comprobar.

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El postulado de Bertrand afirma que para cualquier número entero n > 1, existe al menos un número primo p con n < p < 2n.

Definir la función

siguientePrimo :: Integer -> Integer

tal que (siguientePrimo n) es el menor primo mayor que n. Por ejemplo,

siguientePrimo 8   ==  11
siguientePrimo 11  ==  13

Comprobar con QuickCheck el postulado de Bertrand; es decir, para todo entero n > 1, se verifica que n < p < 2n, donde p es (siguientePrimo n).

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En un ejercicio anterior se mostró que los conjuntos finitos de números naturales se pueden enumerar como sigue

 0: []
 1: [0]
 2: [1]
 3: [1,0]
 4: [2]
 5: [2,0]
 6: [2,1]
 7: [2,1,0]
 8: [3]
 9: [3,0]
10: [3,1]
11: [3,1,0]
12: [3,2]
13: [3,2,0]
14: [3,2,1]
15: [3,2,1,0]
16: [4]
17: [4,0]
18: [4,1]
19: [4,1,0]

en la que los elementos están ordenados de manera decreciente.

Además, se definió la constante

enumeracionCFN :: [[Integer]]

tal que sus elementos son los conjuntos de los números naturales con la ordenación descrita anteriormente. Por ejemplo,

λ> take 20 enumeracionCFN
[[],
 [0],
 [1],[1,0],
 [2],[2,0],[2,1],[2,1,0],
 [3],[3,0],[3,1],[3,1,0],[3,2],[3,2,0],[3,2,1],[3,2,1,0],
 [4],[4,0],[4,1],[4,1,0]]

Definir la función

posicion :: [Integer] -> Integer

tal que (posicion xs) es la posición del conjunto finito de números naturales xs, representado por una lista decreciente, en enumeracionCFN. Por ejemplo,

posicion [2,0]          ==  5
posicion [2,1]          ==  6
posicion [2,1,0]        ==  7
posicion [0]            ==  1
posicion [1,0]          ==  3
posicion [2,1,0]        ==  7
posicion [3,2,1,0]      ==  15
posicion [4,3,2,1,0]    ==  31
posicion [5,4,3,2,1,0]  ==  63

Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n,

posicion [n,n-1..0] == 2^(n+1) - 1.

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Dado un conjunto de números naturales, por ejemplo A = {0, 2, 3, 4}, calculamos las sumas de todos los pares de elementos de A. Como A tiene 4 elementos hay 16 pares, pero no todas sus sumas son distintas. En este caso solo hay 8 sumas distintas: {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Procediendo análogamente hay 9 diferencias distinatas entre los pares de A: {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

Experimentando con más conjuntos, se puede conjeturar que el número de restas es mayor que el de sumas y argumentar que que mientras que con dos números distintos sólo se produce una suma distints sin embargo se producen dos restas distintas. Por ejemplo, con 5 y 7 sólo se produce una suma (ya que 5+7 y 7+5 ambos dan 12) pero dos restas (ya que 5-7 y 7-5 dan -2 y 2, respectivamente).

Sin embargo, la conjetura es falsa. Un contraejemplo en el conjunto {0, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 14}, que tiene 26 sumas distintas con sus pares de elementos pero sólo 25 restas.

Los conjuntos con más sumas distintas con sus pares de elementos que restas se llaman conjuntos MSQR (por "más sumas que restas").

El objetivo de este ejercicio es calcular los conjuntos MSQR.

Definir las funciones

tieneMSQR :: [Integer] -> Bool
conjuntosMSQR :: [[Integer]]

tales que

• (tieneMSQR xs) se verifica si el conjunto xs tiene más sumas que restas. Por ejemplo,

tieneMSQR [0, 2, 3, 4]                 ==  False
tieneMSQR [0, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 14]  ==  True

• conjuntosMSQR es la lista de los conjuntos MSQR. Por ejemplo,

λ> take 5 conjuntosMSQR
[[14,12,11,7,4,3,2,0],
 [14,12,11,10,7,3,2,0],
 [14,13,12,9,5,4,2,1,0],
 [14,13,12,10,9,5,2,1,0],
 [15,13,12,8,5,4,3,1]]

 length (takeWhile (< [14]) conjuntosMSQR)   ==  0
 length (takeWhile (< [15]) conjuntosMSQR)   ==  4
 length (takeWhile (< [16]) conjuntosMSQR)   ==  10
 length (takeWhile (< [17]) conjuntosMSQR)   ==  30

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Los conjuntos finitos de números naturales se pueden enumerar como sigue

 0: []
 1: [0]
 2: [1]
 3: [1,0]
 4: [2]
 5: [2,0]
 6: [2,1]
 7: [2,1,0]
 8: [3]
 9: [3,0]
10: [3,1]
11: [3,1,0]
12: [3,2]
13: [3,2,0]
14: [3,2,1]
15: [3,2,1,0]
16: [4]
17: [4,0]
18: [4,1]
19: [4,1,0]

en la que los elementos están ordenados de manera decreciente.

Definir la constante

enumeracionCFN :: [[Integer]]

tal que sus elementos son los conjuntos de los números naturales con la ordenación descrita anteriormente. Por ejemplo,

λ> take 20 enumeracionCFN
[[],
 [0],
 [1],[1,0],
 [2],[2,0],[2,1],[2,1,0],
 [3],[3,0],[3,1],[3,1,0],[3,2],[3,2,0],[3,2,1],[3,2,1,0],
 [4],[4,0],[4,1],[4,1,0]]

Comprobar con QuickCheck que

• si (xs,ys) es un par de elementos consecutivos de enumeracionCFN, entonces xs < ys;
• todo conjunto finito de números naturales, representado por una lista decreciente, está en enumeracionCFN.

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Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.

La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos.

Definir la constante

primosGemelos :: [(Integer,Integer)]

tal que sus elementos son los pares de primos gemelos. Por ejemplo,

λ> take 7 primosGemelos
[(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61)]
λ> primosGemelos !! (4*10^4)
(6381911,6381913)

Comprobar con QuickCheck la conjetura de los primos gemelos.

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La sucesión de Fibonacci, F(n), es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

La sucesión comienza con los números 0 y 1. A partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores.

Definir la función

sumaFibsIndiceImpar :: Int -> Integer

tal que (sumaFibsIndiceImpar n) es la suma de los n primeros términos de la sucesión de Fibonacci no índice impar; es decir,

sumaFibsIndiceImpar n = F(1) + F(3) + ... + F(2*n-1)

Por ejemplo,

sumaFibsIndiceImpar 1  ==  1
sumaFibsIndiceImpar 2  ==  3
sumaFibsIndiceImpar 3  ==  8
sumaFibsIndiceImpar 4  ==  21
sumaFibsIndiceImpar 5  ==  55
sumaFibsIndiceImpar (10^4) `rem` (10^9)  ==  213093125

En los ejemplos anteriores se observa que

sumaFibsIndiceImpar 1  ==  F(2)
sumaFibsIndiceImpar 2  ==  F(4)
sumaFibsIndiceImpar 3  ==  F(6)
sumaFibsIndiceImpar 4  ==  F(8)
sumaFibsIndiceImpar 5  ==  F(10)

Comprobar con QuickCheck que (sumaFibsIndiceImpar n) es F(2n); es decir, el 2n-ésimo número de Fibonacci

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El 25 de diciembre de 1640, en una carta a Mersenne, Fermat demostró la conjetura de Girard: todo primo de la forma 4n+1 puede expresarse de manera única como suma de dos cuadrados. Por eso es conocido como el Teorema de Navidad de Fermat.

Definir las funciones

representaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosImparesConRepresentacionUnica :: [Integer]
primos4nM1 :: [Integer]

tales que

• (representaciones n) es la lista de pares de números naturales (x,y) tales que n = x^2 + y^2 con x <= y. Por ejemplo,

representaciones  20           ==  [(2,4)]
representaciones  25           ==  [(0,5),(3,4)]
representaciones 325           ==  [(1,18),(6,17),(10,15)]
representaciones 100000147984  ==  [(0,316228)]
length (representaciones (10^10))    ==  6
length (representaciones (4*10^12))  ==  7

• primosImparesConRepresentacionUnica es la lista de los números primos impares que se pueden escribir exactamente de una manera como suma de cuadrados de pares de números naturales (x,y) con x <= y. Por ejemplo,

λ> take 20 primosImparesConRepresentacionUnica
[5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,149,157,173,181,193]

• primos4nM1 es la lista de los números primos que se pueden escribir como uno más un múltiplo de 4 (es decir, que son congruentes con 1 módulo 4). Por ejemplo,

λ> take 20 primos4nM1
[5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,149,157,173,181,193]

El teorema de Navidad de Fermat afirma que un número primo impar p se puede escribir exactamente de una manera como suma de dos cuadrados de números naturales p = x² + y^2 (con x <= y) si, y sólo si, p se puede escribir como uno más un múltiplo de 4 (es decir, que es congruente con 1 módulo 4).

Comprobar con QuickCheck el teorema de Navidad de Fermat; es decir, que para todo número n, los n-ésimos elementos de primosImparesConRepresentacionUnica y de primos4nM1 son iguales.

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Las primeras sumas alternas de los factoriales son números primos; en efecto,

3! - 2! + 1! = 5
4! - 3! + 2! - 1! = 19
5! - 4! + 3! - 2! + 1! = 101
6! - 5! + 4! - 3! + 2! - 1! = 619
7! - 6! + 5! - 4! + 3! - 2! + 1! = 4421
8! - 7! + 6! - 5! + 4! - 3! + 2! - 1! = 35899

son primos, pero

9! - 8! + 7! - 6! + 5! - 4! + 3! - 2! + 1! = 326981

no es primo.

Definir las funciones

sumaAlterna         :: Integer -> Integer
sumasAlternas       :: [Integer]
conSumaAlternaPrima :: [Integer]

tales que

• (sumaAlterna n) es la suma alterna de los factoriales desde n hasta 1. Por ejemplo,

sumaAlterna 3  ==  5
sumaAlterna 4  ==  19
sumaAlterna 5  ==  101
sumaAlterna 6  ==  619
sumaAlterna 7  ==  4421
sumaAlterna 8  ==  35899
sumaAlterna 9  ==  326981

• sumasAlternas es la sucesión de las sumas alternas de factoriales. Por ejemplo,

λ> take 10 sumasAlternas
[0,1,1,5,19,101,619,4421,35899,326981]

• conSumaAlternaPrima es la sucesión de los números cuya suma alterna de factoriales es prima. Por ejemplo,

λ> take 8 conSumaAlternaPrima
[3,4,5,6,7,8,10,15]

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El árbol binario de los divisores de 24 es

 90
 /\
2  45
   /\
  3  15
     /\
    3  5

Se puede representar por

N 90 (H 2) (N 45 (H 3) (N 15 (H 3) (H 5)))

usando el tipo de dato definido por

data Arbol = H Int
           | N Int Arbol Arbol
  deriving (Eq, Show)

Análogamente se obtiene el árbol binario de cualquier número x: se comienza en x y en cada paso se tiene dos hijos (su menor divisor y su cociente) hasta obtener números primos en las hojas.

Definir las funciones

arbolDivisores      :: Int -> Arbol
hojasArbolDivisores :: Int -> [Int]

tales que

• (arbolDivisores x) es el árbol binario de los divisores de x. Por ejemplo,

λ> arbolDivisores 90
N 90 (H 2) (N 45 (H 3) (N 15 (H 3) (H 5)))
λ> arbolDivisores 24
N 24 (H 2) (N 12 (H 2) (N 6 (H 2) (H 3)))
λ> arbolDivisores 300
N 300 (H 2) (N 150 (H 2) (N 75 (H 3) (N 25 (H 5) (H 5))))

• (hojasArbolDivisores x) es la lista de las hohas del árbol binario de los divisores de x. Por ejemplo

hojasArbolDivisores 90   ==  [2,3,3,5]
hojasArbolDivisores 24   ==  [2,2,2,3]
hojasArbolDivisores 300  ==  [2,2,3,5,5]

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Definir la función

interseccion :: Ord a => [[a]] -> [a]

tal que (interseccion xss) es la intersección de la lista no vacía de listas infinitas crecientes xss; es decir, la lista de los elementos que pertenecen a todas las listas de xss. Por ejemplo,

λ> take 10 (interseccion [[2,4..],[3,6..],[5,10..]])
[30,60,90,120,150,180,210,240,270,300]
λ> take 10 (interseccion [[2,5..],[3,5..],[5,7..]])
[5,11,17,23,29,35,41,47,53,59]

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La fórmula de Vieta para el cálculo de pi es la siguiente

Definir las funciones

aproximacionPi :: Int -> Double
errorPi :: Double -> Int

tales que

• (aproximacionPi n) es la aproximación de pi usando n factores de la fórmula de Vieta. Por ejemplo,

aproximacionPi  5  ==  3.140331156954753
aproximacionPi 10  ==  3.1415914215112
aproximacionPi 15  ==  3.141592652386592
aproximacionPi 20  ==  3.1415926535886207
aproximacionPi 25  ==  3.141592653589795

• (errorPi x) es el menor número de factores de la fórmula de Vieta necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

errorPi 0.1        ==  2
errorPi 0.01       ==  4
errorPi 0.001      ==  6
errorPi 0.0001     ==  7
errorPi 1e-4       ==  7
errorPi 1e-14      ==  24
pi                 ==  3.141592653589793
aproximacionPi 24  ==  3.1415926535897913

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Definir las siguientes funciones

pares  :: Integer -> Integer -> [(Integer,Integer)]
nPares :: Integer -> Integer -> Integer

tales que

• (pares a b) es la lista de los pares de números enteros positivos tales que su máximo común divisor es a y su mínimo común múltiplo es b. Por ejemplo,

pares 3 3  == [(3,3)]
pares 4 12 == [(4,12),(12,4)]
pares 2 12 == [(2,12),(4,6),(6,4),(12,2)]
pares 2 60 == [(2,60),(4,30),(6,20),(10,12),(12,10),(20,6),(30,4),(60,2)]
pares 2 7  == []
pares 12 3  ==  []
length (pares 3 (product [3,5..91]))  ==  8388608

• (nPares a b) es el número de pares de enteros positivos tales que su máximo común divisor es a y su mínimo común múltiplo es b. Por ejemplo,

nPares 3 3   ==  1
nPares 4 12  ==  2
nPares 2 12  ==  4
nPares 2 60  ==  8
nPares 2 7   ==  0
nPares 12 3  ==  0
nPares 3 (product [3..3*10^4]) `mod` (10^12)  ==  477999992832
length (show (nPares 3 (product [3..3*10^4])))  ==  977

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Las expresiones aritméticas se pueden representar como árboles con números en las hojas y operaciones en los nodos. Por ejemplo, la expresión "9-2*4" se puede representar por el árbol

  -
 / \
9   *
   / \
  2   4

Definiendo el tipo de dato Arbol por

data Arbol = H Int | N (Int -> Int -> Int) Arbol Arbol

la representación del árbol anterior es

N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))

Definir la función

valor :: Arbol -> Int

tal que (valor a) es el valor de la expresión aritmética correspondiente al árbol a. Por ejemplo,

valor (N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4)))    ==  1
valor (N (+) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4)))    ==  17
valor (N (+) (H 9) (N (div) (H 4) (H 2)))  ==  11
valor (N (+) (H 9) (N (max) (H 4) (H 2)))  ==  13

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Un número semiprimo es un número natural que es producto de dos números primos no necesariamente distintos. Por ejemplo, 26 es semiprimo (porque 26 = 2 x 13) y 49 también lo es (porque 49 = 7 x 7).

Definir la función

mayorSemiprimoMenor :: Integer -> Integer

tal que (mayorSemiprimoMenor n) es el mayor semiprimo menor que n (suponiendo que n > 4). Por ejemplo,

mayorSemiprimoMenor 27      ==  26
mayorSemiprimoMenor 50      ==  49
mayorSemiprimoMenor 49      ==  46
mayorSemiprimoMenor (10^6)  ==  999997

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Una forma de aproximar el número π es usando la siguiente igualdad:

 π         1     1*2     1*2*3     1*2*3*4
--- = 1 + --- + ----- + ------- + --------- + ....
 2         3     3*5     3*5*7     3*5*7*9

Es decir, la serie cuyo término general n-ésimo es el cociente entre el producto de los primeros n números y los primeros n números impares:

            Π i
s(n) =  -----------
         Π (2*i+1)

Definir la función

aproximaPi :: Double -> Double

tal que (aproximaPi n) es la aproximación del número π calculada con la serie anterior hasta el término n-ésimo. Por ejemplo,

aproximaPi 10   ==  3.141106021601377
aproximaPi 30   ==  3.1415926533011587
aproximaPi 50   ==  3.1415926535897922

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La suma de los primos menores que 10 es 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Definir la función

sumaPrimosMenores :: Integer -> Integer

tal que (sumaPrimosMenores n) es la suma de los primos menores que n. Por ejemplo,

sumaPrimosMenores 10        ==  17
sumaPrimosMenores (5*10^5)  ==  9914236195

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 10 del Proyecto Euler

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Definir la constante

primosOcuadradosDePrimos :: [Integer]

cuyos elementos son los número primos o cuadrados de primos. Por ejemplo,

λ> take 20 primosOcuadradosDePrimos
[2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41,43,47,49,53]

Comprobar con QuickCheck que las lista primosOcuadradosDePrimos y unifactorizables (definida en el ejercicio anterior) son iguales.

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Definir las funciones

sublistasConProducto :: Integer -> [Integer] -> [[Integer]]
unifactorizables :: [Integer]

tales que

• (sublistasConProducto n xs) es la lista de las sublistas de la lista ordenada estrictamente creciente xs (cuyos elementos son enteros mayores que 1) cuyo producto es el número entero n (con n mayor que 1). Por ejemplo,

λ> sublistasConProducto 72 [2,3,4,5,6,7,9,10,16]
[[2,4,9],[3,4,6]]
λ> sublistasConProducto 720 [2,3,4,5,6,7,9,10,16]
[[2,3,4,5,6],[2,4,9,10],[3,4,6,10],[5,9,16]]
λ> sublistasConProducto 2 [4,7]
[]
λ> length (sublistasConProducto 1234567 [1..1234567])
4

• unifactorizables es la lísta de los números enteros mayores que 1 que se pueden escribir sólo de una forma única como producto de enteros distintos mayores que uno. Por ejemplo,

λ> take 20 unifactorizables
[2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41,43,47,49,53]
λ> unifactorizables !! 300
1873

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La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 8 primeros números triangulares son

 1 = 1
 3 = 1+2
 6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
15 = 1+2+3+4+5
21 = 1+2+3+4+5+6
28 = 1+2+3+4+5+6+7
36 = 1+2+3+4+5+6+7+8

Para cada número triangular n existen números naturales a y b, tales que a . n + b también es triangular. Para n = 6, se tiene que

 6 = 1 * 6 + 0
15 = 2 * 6 + 3
21 = 3 * 6 + 3
28 = 4 * 6 + 4
36 = 5 * 6 + 5

son números triangulares

Definir la función

transformaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que si n es triangular, (transformaciones n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un entero positivo y b el menor número tal que a . n + b es triangular. Por ejemplo,

take 5 (transformaciones 6)  == [(1,0),(2,3),(3,3),(4,4),(5,6)]
take 5 (transformaciones 15) == [(1,0),(2,6),(3,10),(4,6),(5,3)]
transformaciones 21 !! (7*10^7) == (70000001,39732)

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Se observa que todos los primeros números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. Por ejemplo, 1x10=10, 2x5=10, 3x37=111, 4x25=100, 5x2=10, 6x185=1110; 7x143=1001; 8X125=1000; 9x12345679=111111111.

Definir la función

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosCon1y0 n) es la lista de los múltiplos de n cuyos dígitos son 1 ó 0. Por ejemplo,

take 4 (multiplosCon1y0 3)      ==  [111,1011,1101,1110]
take 3 (multiplosCon1y0 23)     ==  [110101,1011011,1101010]
head (multiplosCon1y0 1234658)  ==  110101101101000000110

Comprobar con QuickCheck que todo entero positivo tiene algún múltiplo cuyos dígitos son 1 ó 0.

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Los números 545, 5995 y 15151 son los tres menores palíndromos (capicúas) que son divisibles por 109.

Definir las funciones

multiplosPalindromos :: Integer -> [Integer]
multiplosPalindromosMenores :: Integer -> Integer -> [Integer]

tales que

• (multiplosPalindromos n) es la lista de los palíndromos divisibles por n. Por ejemplo,

take 5 (multiplosPalindromos 109) == [545,5995,15151,64746,74447]

• (multiplosPalindromosMenoresx n) es la lista de los palíndromos divisibles por n, menores que x. Por ejemplo,

λ> multiplosPalindromosMenores (10^5) 109
[545,5995,15151,64746,74447,79897,84148,89598,99299]

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 655 del Proyecto Euler.

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Definir la función

mayorProducto :: Int -> Integer -> Integer

tal que (mayorProducto n x) es el mayor producto de n dígitos consecutivos del número x (suponiendo que x tiene al menos n dígitos). Por ejemplo,

mayorProducto 2 325                  ==  10
mayorProducto 5 11111                ==  1
mayorProducto 5 113111               ==  3
mayorProducto 5 110111               ==  0
mayorProducto 5 10151112             ==  10
mayorProducto 5 101511124            ==  10
mayorProducto 5 (product [1..1000])  ==  41472

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 8 del Proyecto Euler

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Definir la función

menorDivisible :: Integer -> Integer -> Integer

tal que (menorDivisible a b) es el menor número divisible por todos los números desde a hasta b, ambos inclusive. Por ejemplo,

menorDivisible 1 10                         ==  2520
length (show (menorDivisible6 1 (3*10^5)))  ==  130141

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 5 del Proyecto Euler

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La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

*     *      *        *         *
     * *    * *      * *       * *
           * * *    * * *     * * *
                   * * * *   * * * *
                            * * * * *
1     3      6        10        15

Así, el 7º número triangular es

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

Los primeros 10 números triangulares son

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5 divisores.

Definir la función

menorTriangularConAlMenosNDivisores :: Int -> Integer

tal que (menorTriangularConAlMenosNDivisores n) es el menor número triangular que tiene al menos n divisores. Por ejemplo,

menorTriangularConAlMenosNDivisores 5    ==  28
menorTriangularConAlMenosNDivisores 50   ==  25200
menorTriangularConAlMenosNDivisores 500  ==  76576500

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 12 del Proyecto Euler

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Los divisores primos de 13195 son 5, 7, 13 y 29. Por tanto, el mayor divisor primo de 13195 es 29.

Definir la función

mayorDivisorPrimo :: Integer -> Integer

tal que (mayorDivisorPrimo n) es el mayor divisor primo de n. Por ejemplo,

mayorDivisorPrimo 13195            ==  29
mayorDivisorPrimo 152416333181401  ==  12345701

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 3 del Proyecto Euler

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La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

*     *      *        *         *
     * *    * *      * *       * *
           * * *    * * *     * * *
                   * * * *   * * * *
                            * * * * *
1     3      6        10        15

Así, los 5 primeros números triangulares son

 1 = 1
 3 = 1+2
 6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
15 = 1+2+3+4+5

Definir la función

triangulares :: [Integer]

tal que triangulares es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,

take 10 triangulares  ==  [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55]
maximum (take (5*10^6) triangulares4)  ==  12500002500000

Comprobar con QuickCheck que entre dos números triangulares consecutivos siempre hay un número primo.

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Definir la función

sumaDivisores :: Integer -> Integer

tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

sumaDivisores 12  ==  28
sumaDivisores 25  ==  31
sumaDivisores (product [1..25])  ==  93383273455325195473152000
length (show (sumaDivisores (product [1..30000])))  ==  121289
maximum (map sumaDivisores2 [1..10^5])  ==  403200

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La descomposición prima de 600 es

600 = 2³ * 3 * 5²

Definir la función

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (factorizacion x) ses la lista de las bases y exponentes de la descomposición prima de x. Por ejemplo,

factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]
length (factorizacion (product [1..3*10^4]))  ==  3245

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Definir la función

numeroDivisores :: Integer -> Integer

tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,

numeroDivisores 12  ==  6
numeroDivisores 25  ==  3
length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4])))  ==  1948

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Definir la función

divisores :: Integer -> [Integer]

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de los x. Por ejemplo,

divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
length (divisores (product [1..10]))  ==  270
length (divisores (product [1..25]))  ==  340032

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Definir la función

producto :: [[a]] -> [[a]]

tal que (producto xss) es el producto cartesiano de los conjuntos xss. Por ejemplo,

λ> producto [[1,3],[2,5]]
[[1,2],[1,5],[3,2],[3,5]]
λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]]
[[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
λ> producto [[1,3,5],[2,4]]
[[1,2],[1,4],[3,2],[3,4],[5,2],[5,4]]
λ> producto []
[[]]

Comprobar con QuickCheck que para toda lista de listas de números enteros, xss, se verifica que el número de elementos de (producto xss) es igual al producto de los números de elementos de cada una de las listas de xss.

Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como se indica a continuación

quickCheckWith (stdArgs {maxSize=9}) prop_producto

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Definir la función

mayorPrefijoComun :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]

tal que (mayorPrefijoComun xs ys) calcula el mayor prefijo común a xs e ys. Por ejemplo,

mayorPrefijoComun "masa" "madre"       == "ma"
mayorPrefijoComun "masa" "padre"       == ""
mayorPrefijoComun "hola" "hielo"       == "h"
mayorPrefijoComun "helado" "heladeria" == "helad"

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Definir la función

listasDecrecientesDesde :: Int -> [[Int]]

tal que (listasDecrecientesDesde n) es la lista de las sucesiones estrictamente decrecientes cuyo primer elemento es n. Por ejemplo,

λ> listasDecrecientesDesde 2
[[2],[2,1],[2,1,0],[2,0]]
λ> listasDecrecientesDesde 3
[[3],[3,2],[3,2,1],[3,2,1,0],[3,2,0],[3,1],[3,1,0],[3,0]]

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El factorial de 7 es

7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040

por tanto, el último dígito no nulo del factorial de 7 es 4.

Definir la función

ultimoNoNuloFactorial :: Integer -> Integer

tal que (ultimoNoNuloFactorial n) es el último dígito no nulo del factorial de n. Por ejemplo,

ultimoNoNuloFactorial  7  == 4
ultimoNoNuloFactorial 10  == 8
ultimoNoNuloFactorial 12  == 6
ultimoNoNuloFactorial 97  == 2
ultimoNoNuloFactorial  0  == 1

Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 4, entonces el último dígito no nulo del factorial de n es par.

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Dos números enteros son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.

Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3

Definir la función

primosRelativos :: [Int] -> Bool

tal que (primosRelativos xs) se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,

primosRelativos [6,35]         ==  True
primosRelativos [6,27]         ==  False
primosRelativos [2,3,4]        ==  False
primosRelativos [6,35,11]      ==  True
primosRelativos [6,35,11,221]  ==  True
primosRelativos [6,35,11,231]  ==  False

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Los números de Perrin se definen por la elación de recurrencia

P(n) = P(n - 2) + P(n - 3) si n > 2,

con los valores iniciales

P(0) = 3, P(1) = 0 y P(2) = 2.

Definir la sucesión

sucPerrin :: [Integer]

cuyos elementos son los números de Perrin. Por ejemplo,

λ> take 15 sucPerrin
[3,0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,22,29,39,51]
λ> length (show (sucPerrin !! (2*10^5)))
24425

Comprobar con QuickCheck si se verifica la siguiente propiedad: para todo entero n > 1, el n-ésimo término de la sucesión de Perrin es divisible por n si y sólo si n es primo.

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La sucesión fractal

0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 2, 5, 1, 6, 3, 7, 0, 8, 4, 9, 2,
10, 5, 11, 1, 12, 6, 13, 3, 14, 7, 15, ...

está construida de la siguiente forma:

• los términos pares forman la sucesión de los números naturales

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...

• los términos impares forman la misma sucesión original

0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 2, 5, 1, 6, 3, 7, ...

Definir las funciones

sucFractal     :: [Integer]
sumaSucFractal :: Integer -> Integer

tales que

• sucFractal es la lista de los términos de la sucesión fractal. Por ejemplo,

take 20 sucFractal   == [0,0,1,0,2,1,3,0,4,2,5,1,6,3,7,0,8,4,9,2]
sucFractal !! 30     == 15
sucFractal !! (10^7) == 5000000

• (sumaSucFractal n) es la suma de los n primeros términos de la sucesión fractal. Por ejemplo,

sumaSucFractal 10      == 13
sumaSucFractal (10^5)  == 1666617368
sumaSucFractal (10^10) == 16666666661668691669
sumaSucFractal (10^15) == 166666666666666166673722792954
sumaSucFractal (10^20) == 1666666666666666666616666684103392376198
length (show (sumaSucFractal (10^15000))) == 30000
sumaSucFractal (10^15000) `mod` (10^9)    == 455972157

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El menor número con 2¹ divisores es el 2, ya que tiene 2 divisores (el 1 y el 2) y el anterior al 2 (el 1) sólo tiene 1 divisor (el 1).

El menor número con 2² divisores es el 6, ya que tiene 4 divisores (el 1, 2, 3 y 6) y sus anteriores (el 1, 2, 3, 4 y 5) tienen menos de 4 divisores (tienen 1, 1, 1, 3 y 1, respectivamente).

El menor número con 2³ divisores es el 24, ya que tiene 8 divisores (el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24) y sus anteriores (del 1 al 23) tienen menos de 8 divisores.

El menor número con 16 divisores es el 120, ya que tiene 16 divisores (el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120) y sus anteriores (del 1 al 119) tienen menos de 16 divisores.

El menor número, módulo 100, con 16 divisores es el 20, ya que el menor número con 16 divisores es el 120 y 120 módulo 100 es 20.

Definir la función

menor :: Integer -> Integer -> Integer

tal que (menor n m) es el menor número, módulo m, con 2^n divisores. Por ejemplo,

menor 4 1000                    ==  120
menor 4 100                     ==  20
[menor n (10^9) | n <- [1..8]]  ==  [2,6,24,120,840,7560,83160,1081080]
menor 500500 500500506          ==  8728302

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En el episodio número 73 de la serie The Big Bang Theory, Sheldon Cooper enuncia lo siguiente:

«El mejor número es el 73. El 73 es el 21-ésimo número primo. Al invertir sus cifras obtenemos 37, que es el primo número 12. Y al invertir este obtenemos 21, que es el producto de ─agarraos fuerte─ 7 y 3.»

Se define un número primo de Sheldon como: el n-ésimo número primo p(n) será un primo de Sheldon si cumple que el producto de sus dígitos es n y si, además, el número que se obtiene al invertir sus cifras, rev(p(n)), es el rev(n)-ésimo número primo; es decir, si rev(p(n)) = p(rev(n)).

Definir la función

esPrimoSheldon :: Int -> Bool

tal que (esPrimoSheldon x) se verifica si x un primo de Sheldon. Por ejemplo,

esPrimoSheldon 73  ==  True
esPrimoSheldon 79  ==  False

Comprobar con QuickCheck que 73 es el único primo de Sheldon.

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Los números de Fibonacci se definen mediante las ecuaciones

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2), si n > 1

Los primeros números de Fibonacci son

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

Una generalización de los anteriores son los números de Pentanacci definidos por las siguientes ecuaciones

P(0) = 0
P(1) = 1
P(2) = 1
P(3) = 2
P(4) = 4
P(n) = P(n-1) + P(n-2) + P(n-3) + P(n-4) + P(n-5), si n > 4

Los primeros números de Pentanacci son

0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, ...

Definir la sucesión

pentanacci :: [Integer]

cuyos elementos son los números de Pentanacci. Por ejemplo,

λ> take 15 pentanacci
[0,1,1,2,4,8,16,31,61,120,236,464,912,1793,3525]
λ> (pentanacci !! (10^5)) `mod` (10^30)
482929150584077921552549215816
231437922897686901289110700696
λ> length (show (pentanacci !! (10^5)))
29357