En este ejercicio se considerará la serie

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + ···

Definir las funciones

serie     :: [Integer]
sumaSerie :: Integer -> Integer

tales que

• serie es lalista de los términos de la serie anterior; es decir,

take 7 serie  ==  [1,-2,3,-4,5,-6,7]

• (sumaSerie n) es la suma de los n primeros términos de la serie. Por ejemplo,

sumaSerie 5     ==  3
sumaSerie 6     ==  -3
sumaSerie 2021  ==  1011
length (show (sumaSerie (10^1000)))  ==  1001

Comprobar con QuickCheck que

• la suma de la serie se puede hacer tan grande como se desee; es decir, que para todo número a existe un n tal que la suma de los n primeros términos de la serie es mayor que a;
• la suma de la serie se puede hacer tan pequeña como se desee; es decir, que para todo número a existe un n tal que la suma de los n primeros términos de la serie es menor que a.

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Dado un conjunto de números enteros positivos S su clausura del valor absoluto de la diferencia de pares es el menor conjunto T tal que T contiene a S y para cualquier par de elementos x e y de T (con x distinto de y) el valor absoluto de (x-y) también es un elemento de T. Por ejemplo, si S = {12, 30}, entonces

• 12 ∈ T, porque 12 ∈ S
• 30 ∈ T, porque 20 ∈ S
• 18 = |12 - 30| ∈ T
• 6 = |18 - 12| ∈ T
• 24 = |30 - 6| ∈ T

Por tanto, T = {12, 30, 18, 6, 24}.

Definir las funciones

clausura :: [Int] -> [Int]
longitudClausura :: [Int] -> Int

tales que

• (clausura xs) es la clausura del conjunto de enteros positivos xs respecto del valor absoluto de la diferencia de pares. Por ejemplo,

clausura [12,30]  ==  [12,30,18,6,24]
clausura [3,5,2]  ==  [3,5,2,1,4]

• (longitudClausura xs) es el número de elementos de la clausura del conjunto de enteros positivos xs respecto del valor absoluto de la diferencia de pares. Por ejemplo,

longitudClausura [12,30]        ==  5
longitudClausura [3,5,2]        ==  5
longitudClausura [3,23..10^6]   ==  999983

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Las potencias de dos son

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,...

Se observa que la primera potencia de dos que contiene al 638 es la 14 ya que 2^14 = 16384.

Definir la función

potenciasContenedoras :: Integer -> [Integer]

tal que (potenciasContenedoras x) es la lista de las potencias de 2 que contienen a x. Por ejemplo,

λ> head (potenciasContenedoras 638)
14
λ> head (potenciasContenedoras 2021)
452
λ> take 20 (potenciasContenedoras 4)
[2,6,10,11,12,14,18,19,20,22,25,26,27,28,30,31,32,33,34,35]
λ> [head (potenciasContenedoras n) | n <- [0..20]]
[10,4,1,5,2,8,4,15,3,12,10,40,7,17,18,21,4,27,30,13,11]

Comprobar con QuickCheck si todos los números naturales están contenenidos en alguna potencia de 2.

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La sucesión de los números primos es

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ...

Las parejas de primos equidistantes de 5 en dicha sucesión son (3, 7) y (2, 11). Se observa que el cuadrado de 5 es mayor que el producto de los elementos de dichas parejas; es decir,

5^2 = 25 > 21 = 3 x 7
5^2 = 25 > 22 = 2 x 11

En cambio, el 7 tiene una pareja de primos equidistantes (la (5, 11)) cuyo producto es mayor que el cuadrado de 7.

7^2 = 49 < 55 = 5 x 11

Un buen primo es un número primo cuyo cuadrado es mayor que el producto de dos primos cualesquiera equidistantes de él en la sucesión de primos. Por ejemplo, 5 es un buen primo pero 7 no lo es.

Definir las funciones

esBuenPrimo  :: Integer -> Bool
buenosPrimos :: [Integer]

tales que

• (esBuenPrimo n) se verifica si n es un buen primo. Por ejemplo,

esBuenPrimo 5        ==  True
esBuenPrimo 7        ==  False
esBuenPrimo 8746811  ==  True

• buenosPrimos es la lista de los buenos primos. Por ejemplo,

λ> take 12 buenosPrimos
[2,5,11,17,29,37,41,53,59,67,71,97]

Comprobar con QuickCheck que la lista de los buenos primos es infinita; es decir, para cualquier entero positivo n existe un número mayor que n que es un buen primo.

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Un número equidigital es un número natural que tiene el mismo número de dígitos que el número de dígitos en su factorización prima, incluidos los exponentes mayores que 1. Por ejemplo,

• 10 es equidigital ya que tiene 2 dígitos al igual que su factorización prima (2 x 5).
• 25 es equidigital ya que tiene 2 dígitos al igual que su factorización prima (5^2).
• 121 es equidigital ya que tiene 3 dígitos al igual que su factorización prima (11^2).
• 175 es equidigital ya que tiene 3 dígitos al igual que su factorización prima (5^2 x 7).
• 1125 es equidigital ya que tiene 4 dígitos al igual que su factorización prima (3^2 x 5^3).
• 2021 es equidigital ya que tiene 4 dígitos al igual que su factorización prima (43 x 47).
• 3072 es equidigital ya que tiene 4 dígitos al igual que su factorización prima (3 x 2^10).

Definir las funciones

esEquidigital :: Int -> Bool
equidigitales :: [Int]

tal que

• (esEquidigital x) se verifica si x es un número equidigital. Por ejemplo.

esEquidigital 10    ==  True
esEquidigital 11    ==  True
esEquidigital 2021  ==  True
esEquidigital 2022  ==  False

• equidigitales es la lista de los números equidigitales. Por ejemplo,

λ> take 20 equidigitales
[2,3,5,7,10,11,13,14,15,16,17,19,21,23,25,27,29,31,32,35]
λ> equidigitales !! 755
2021
λ> equidigitales !! 100000
405341

Comprobar con QuickChek que el conjunto de los números equidigitales es infinito; es decir, para cada entero n existe un equidigital mayor que n.

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Un número compuesto persistente es un número compuesto que no se puede transformar en un número primo cambiando sólo uno de sus dígitos. Por ejemplo,

• 20 no es un compuesto persistente porque cambiando su último dígito por un 3 se transforma en 23 que es primo.
• 25 no es un compuesto persistente porque cambiando su primer dígito por un 0 se transforma en 5 que es primo.
• 200 es un compuesto persistente ya que al cambiar su útimo dígito por un impar se obtienen los números 201, 203, 207, 205 y 209 que no son primos y todos sus demás transformados son pares y, por tanto, tampoco son primos.

Definir las funciones

esCompuestoPersistente :: Integer -> Bool
compuestosPersistentes :: [Integer]

tales que

• (esCompuestoPersistente n) se verifica si n es un número compuesto persistente. Por ejemplo,

esCompuestoPersistente 20    ==  False
esCompuestoPersistente 200   ==  True
esCompuestoPersistente 2021  ==  False

• compuestosPersistentes es la lista de los números compuestos persistentes. Por ejemplo,

λ> take 10 compuestoPersistentes
[200,204,206,208,320,322,324,325,326,328]

Comprobar con QuickCheck que todos los números de la forma 510+2310*k son números compuestos persistentes.

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Se dice que y es un generador de x si x es igual a la suma de y los dígitos de y. Por ejemplo, 1996 y 2014 son generadores de 2021 ya que

2021 = 1996 + 1 + 9 + 9 + 6
2021 = 2014 + 2 + 0 + 1 + 4

Un número bigenerado es un número que tiene exactamente 2 generadores. Por ejemplo,

• 2021 es un número bigenerados y sus generadores son 1996 y 2014
• 20 no es bigenerador porque no tiene ningún generador
• 21 no es bigenerador porque tiene sólo un generador (el 15).
• 101 es el menor número bigenerado y sus generadores son 91 y 100.

Definir las funciones

esBigenerado :: Integer -> Bool
bigenerados  :: [Integer]

tales que

• (esBigenerado x) se verifica si x es bigenerado. Por ejemplo,

esBigenerado 2021  ==  True
esBigenerado 20    ==  False
esBigenerado 21    ==  False
esBigenerado 101   ==  True

• bigenerados es la lista de los números bigenerados. Por ejemplo,

λ> take 12 bigenerados
[101,103,105,107,109,111,113,115,117,202,204,206]

Comprobar con QuickCheck que la lista de los números bigenerados es infinita; es decir, para cualquier número positivo n existe un y mayor que x que es bigenerado.

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La indicatriz de Euler (también llamada función φ de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Por ejemplo,

• φ(15) = 8 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son ocho: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 y 14.
• φ(21) = 12 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son doce: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19 y 20.

Un número n es un número cíclico si n y φ(n) no tiene ningún divisor primo común. Por ejemplo, el número 15 es cíclico ya que 15 y 8 (que es φ(15)) no tiene ningún divisor primo común; en cambio, el número 21 no es cíclico ya 21 y 12 (que es φ(21)) son divisibles por 3.

Definir las funciones

esCiclico :: Integer -> Bool
ciclicos  :: [Integer]

tales que

• (esCiclico n) se verifica si n es un número cíclico. Por ejemplo,

esCiclico 15    ==  True
esCiclico 16    ==  False
esCiclico 2021  ==  True
esCiclico (product [1..10^4])  ==  False

• ciclicos es la lista de los números cíclicos. Por ejemplo,

λ> take 20 ciclicos
[2,3,5,7,11,13,15,17,19,23,29,31,33,35,37,41,43,47,51,53]
λ> ciclicos !! (10^5)
336059

Comprobar con QuickCheck que todos los números primos mayores que 2 son cíclicos.

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Los números duffinianos, llamados así por Richard Duffy, son los números compuestos n que son coprimos con la suma de sus divisores; es decir, n y la suma de los divisores de n no tienen ningún factor primo común.

Por ejemplo, 35 es un número duffiniano ya que la suma de sus divisores es 1 + 5 + 7 + 35 = 48 que es coprimo con 35.

Definir las funciones

esDuffiniano :: Integer -> Bool
duffinianos :: [Integer]

tales que

• (esDuffiniano n) se verifica si n es duffiniano. Por ejemplo,

esDuffiniano 35    ==  True
esDuffiniano 2021  ==  True
esDuffiniano 11    ==  False
esDuffiniano 12    ==  False
esDuffiniano (product [1..2*10^4])  ==  False

• duffinianos es la sucesión de los números duffinianos. Por ejemplo,

take 12 duffinianos  ==  [4,8,9,16,21,25,27,32,35,36,39,49]
length (takeWhile (<10^5) duffinianos)  ==  24434

Comprobar con QuickCheck que los números de la forma p^k, con p un primo mayor que 2 y k un entero mayor que 1, son duffinianos.

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Un camino es una sucesión de pasos en una de las cuatros direcciones Norte, Sur, Este, Oeste. Ir en una dirección y a continuación en la opuesta es un esfuerzo que se puede reducir, Por ejemplo, el camino [Norte,Sur,Este,Sur] se puede reducir a [Este,Sur].

Un camino se dice que es reducido si no tiene dos pasos consecutivos en direcciones opuesta. Por ejemplo, [Este,Sur] es reducido y [Norte,Sur,Este,Sur] no lo es.

En Haskell, las direcciones y los caminos se pueden definir por

data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)
type Camino = [Direccion]

Definir la función

reducido :: Camino -> Camino

tal que (reducido ds) es el camino reducido equivalente al camino ds. Por ejemplo,

reducido []                              ==  []
reducido [N]                             ==  [N]
reducido [N,O]                           ==  [N,O]
reducido [N,O,E]                         ==  [N]
reducido [N,O,E,S]                       ==  []
reducido [N,O,S,E]                       ==  [N,O,S,E]
reducido [S,S,S,N,N,N]                   ==  []
reducido [N,S,S,E,O,N]                   ==  []
reducido [N,S,S,E,O,N,O]                 ==  [O]
reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) ==  []

Nótese que en el penúltimo ejemplo las reducciones son

    [N,S,S,E,O,N,O]
--> [S,E,O,N,O]
--> [S,N,O]
--> [O]

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