De la lectura del artículo "Be a Grothendieck!" — On AI and Mathematics he elaborado la siguiente lista de usos y expectativas de la IA en matemáticas.

1. Sintetizar el estado del arte de un área o problema específico.
2. Participar como interlocutora en debates y discusiones de investigación matemática.
3. Ejecutar los cálculos requeridos durante el proceso de investigación.
4. Resolver problemas abiertos, ya sea demostrando una conjetura o hallando un contraejemplo.
5. Simplificar demostraciones para obtener pruebas más intuitivas y con mayor valor pedagógico.
6. Diseñar nuevos métodos de verificación, tanto a nivel informal (estilo humano) como en sistemas formales o híbridos.
7. Formalizar demostraciones y generar certificados formales de corrección lógica.
8. Estandarizar y depurar pruebas formales (canonizarlas), optimizándolas para su integración en el corpus matemático.
9. Detectar errores en publicaciones matemáticas y construir contraejemplos que las refuten.
10. Formular nuevos problemas y conjeturas interesantes.
11. Introducir conceptos matemáticos inéditos y de interés teórico.
12. Construir ejemplos fundamentales por su valor intrínseco, y no solo como herramientas instrumentales para resolver problemas ya planteados.
13. Desarrollar teorías matemáticas completamente nuevas.
14. Idear métodos heurísticos y semirrigurosos para explorar nuevos terrenos matemáticos.
15. Perfeccionar métodos computacionales, numéricos, algorítmicos y estadísticos.
16. Trazar conexiones interdisciplinares y aplicaciones en otras áreas de la ciencia y la tecnología.
17. Transformar la enseñanza y la divulgación de las matemáticas.
18. Evaluar críticamente la relevancia y profundidad relativa de distintas ramas, preguntas y líneas de investigación.

Los he agrupado en tres categorías (alcanzados, alcanzables e inalcanzables). Se trata de un terreno que cambia mes a mes, así que conviene verlo como una fotografía aproximada y no como un estado final.

Objetivos alcanzados

Tareas que la IA ya hace y existen ejemplos concretos.

• 3. Realizar los cálculos necesarios para una investigación. Logrado desde hace décadas con sistemas de álgebra computacional (CAS como Maxima o Mathematica), y hoy potenciado por LLMs integrados con intérpretes de código.
• 15. Mejorar métodos computacionales, numéricos, algorítmicos y estadísticos. Demostrado con ejemplos como AlphaTensor (que halló algoritmos más rápidos para la multiplicación de matrices) y AlphaDev (que optimizó rutinas de ordenación en C++).
• 1. Explicar el estado del arte de un área o problema específico. Los modelos actuales sintetizan literatura científica, trazan árboles genealógicos de teoremas y resumen artículos técnicos con notable precisión. _ 2. Participar en discusiones sobre proyectos matemáticos. Matemáticos como Terence Tao utilizan habitualmente estos modelos como copilotos para explorar enfoques, contrastar intuiciones o buscar ideas preliminares.
• 17. Enseñar matemáticas. Los sistemas tutores basados en IA y los LLMs adaptan sus explicaciones pedagógicas a distintos niveles educativos en todo el mundo.
• 16. Descubrir conexiones y aplicaciones con otras ciencias. La IA sirve de puente recurrente para aplicar modelos matemáticos a la física de partículas, la biología estructural (AlphaFold) o la optimización en ingeniería.
• 5. Simplificar demostraciones para hacerlas pedagógicas. Dada una demostración críptica, la IA resulta eficaz reescribiéndola paso a paso y traduciendo notación densa a conceptos más directos e intuitivos.

Objetivos alcanzables

Tareas para las que hay evidencia de progreso y casos de éxito puntuales.

• 4. Resolver problemas matemáticos y demostrar la solución. Ya logrado en problemas de nivel olímpico (AlphaProof en la IMO) y en problemas combinatorios abiertos (FunSearch, en el cap set problem); generalizarlo a problemas abiertos todavía requiere desarrollo.
• 7. Formalizar demostraciones y ofrecer certificados de corrección. La autoformalización (traducir matemáticas en lenguaje natural a código ejecutable en Lean, Isabelle o Coq) avanza con rapidez y es uno de los campos más activos.
• 8. Canonizar demostraciones formales. La refactorización, desduplicación y estandarización de bibliotecas matemáticas formales (como Mathlib) es un problema de optimización que la IA debería poder abordar en los próximos años.
• 9. Detectar errores en publicaciones relevantes y hallar contraejemplos. Los LLMs aún sufren de alucinaciones lógicas sutiles, pero su acoplamiento con SMT-solvers y verificadores formales permitirá revisar artículos matemáticos de forma sistemática.
• 6. Idear nuevas formas de verificación, humana y formal. Los sistemas híbridos (formalización parcial, pruebas asistidas interactivas) ya están redefiniendo cómo se valida la literatura matemática.
• 10. Plantear nuevos problemas y conjeturas. Ya existen colaboraciones donde la IA descubre patrones no evidentes en datos matemáticos (por ejemplo, en teoría de nudos) que inspiran conjeturas a los humanos; el siguiente paso es que la IA formule conjeturas fértiles de forma autónoma.
• 14. Desarrollar métodos heurísticos y semirrigurosos. El aprendizaje por refuerzo destaca explorando espacios de búsqueda donde el rigor estricto se sustituye por aproximaciones probabilísticas prometedoras.
• 12. Crear nuevos ejemplos fundamentales por su valor intrínseco. Generar estructuras o contraejemplos que actúen como hitos conceptuales (y no solo como parches puntuales) es una extensión natural de los métodos de búsqueda guiada.

Objetivos inalcanzables

Tareas con poca evidencia de que la IA lo haga.

• 13. Desarrollar nuevas teorías matemáticas. Prácticamente inalcanzable de forma puramente autónoma. Levantar un edificio teórico nuevo (como la geometría algebraica moderna de Grothendieck, la teoría de categorías o el programa de Langlands) no es un problema de búsqueda ni de combinación lógica: exige crear un lenguaje desde cero para dar sentido a lo que antes ni siquiera podía enunciarse.
• 11. Introducir conceptos matemáticos inéditos y profundos. Muy difícil, si no inalcanzable, sin intervención humana. Generar definiciones formales nuevas es trivial para una máquina; el desafío está en inventar conceptos fértiles y significativos a largo plazo, algo inseparable de la mente y la experiencia conceptual humana.
• 18. Evaluar la relevancia y profundidad relativas de áreas y preguntas. Inalcanzable de manera objetiva por una IA. Decidir qué es "profundo", "interesante" o "bello" en matemáticas es un juicio cultural y estético, no computable. Una IA puede predecir qué temas generarán atención humana, pero no puede asignarles significado de forma independiente a la comunidad matemática.