Demostrar con Lean4 que si \(a\), \(b\) y \(d\) números reales tales que \(1 \leq a\) y \(b \leq d\), entonces \(2 + a + e^b \leq 3a + e^d\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Basic

open Real

variable (a b d : ℝ)

example
  (h1 : 1 ≤ a)
  (h2 : b ≤ d)
  : 2 + a + exp b ≤ 3 * a + exp d :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales tales que \(2a \leq 3b\), \(1 \leq a\) y \(c = 2\), entonces \(c + a \leq 5b\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c : ℝ)

example
  (h1 : 2 * a ≤ 3 * b)
  (h2 : 1 ≤ a)
  (h3 : c = 2)
  : c + a ≤ 5 * b :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) y \(e\) son números reales tales \(a \leq b\), \(b < c\), \(c \leq d\) y \(d < e\), entonces \(a < e\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c d e : ℝ)

example
  (h1 : a ≤ b)
  (h2 : b < c)
  (h3 : c ≤ d)
  (h4 : d < e) :
  a < e :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si a, b y c son números reales tales que \[ a + b = c \] entonces \[ (a + b)·(a + b) = a·c + b·c \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c : ℝ)

example
  (h : a + b = c)
  : (a + b) * (a + b) = a * c + b * c :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si a, b, c y d son números reales tales que \begin{align} c &= da + b \newline b &= ad \end{align} entonces \[ c = 2ad \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c d : ℝ)

example
  (h1 : c = d * a + b)
  (h2 : b = a * d)
  : c = 2 * a * d :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \[ (a + b)·(a - b) = a² - b² \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b : ℝ)

example : (a + b) * (a - b) = a^2 - b^2 :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son números reales, entonces \[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c d : ℝ)

example
  : (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \[ (a + b)(a + b) = aa + 2ab + bb \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a b c : ℝ)

example :
  (a + b) * (a + b) = a * a + 2 * (a * b) + b * b :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son números reales tales \begin{align} &c = ba - d \newline &d = ab \end{align} entonces \[ c = 0 \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

example
  (a b c d : ℝ)
  (h1 : c = b * a - d)
  (h2 : d = a * b)
  : c = 0 :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(bc = ef\), entonces \(((ab)c)d = ((ae)f)d\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

example
  (a b c d e f : ℝ)
  (h : b * c = e * f)
  : ((a * b) * c) * d = ((a * e) * f) * d :=
by sorry

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