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Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión

Límites

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_3, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(φ\) tal que \(φ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(φ\) es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

que \(v\) es una subsucesión de \(u\) por

   def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ

y que \(a\) es un límite de \(u\) por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

Demostrar con Lean4 que las subsucesiones de una sucesión convergente tienen el mismo límite que la sucesión.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Nat

variable {u v : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}
variable {φ : ℕ → ℕ}

def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m

def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
by sorry

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Si a es un punto de acumulación de u, entonces (∀ε>0)(∀n∈ℕ)(∃k≥n)[u(k)−a| < ε]

Límites

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(φ\) tal que \(φ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(φ\) es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

También se puede definir que \(a\) es un límite de \(u\) por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ n, ∀ k ≥ n, |u k - a| < ε

Los puntos de acumulación de una sucesión son los límites de sus subsucesiones. En Lean4 se puede definir por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

Demostrar que si \(a\) es un punto de acumulación de \(u\), entonces \[ (∀ ε > 0)(∀ n ∈ ℕ)(∃ k ≥ n)[|u(k) - a| < ε \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Nat

variable {u : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}
variable {φ : ℕ → ℕ}

def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ n, ∀ k ≥ n, |u k - a| < ε

def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ n, ∃ k ≥ n, |u k - a| < ε :=
by sorry

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Las funciones de extracción no están acotadas

Sucesiones

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(ϕ\) tal que \(ϕ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(ϕ\) es una función de extracción por

   def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → ϕ n < ϕ m

Demostrar que las funciones de extracción no están acotadas; es decir, que si \(ϕ\) es una función de extracción, entonces \[ (∀ N, N')(∃ n ≥ N')[ϕ(n) ≥ N] \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
open Nat

variable {ϕ : ℕ → ℕ}

def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → ϕ n < ϕ m

example
  (h : extraccion ϕ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', ϕ n ≥ N :=
by sorry

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Relación entre los índices de las subsucesiones y de la sucesión

Sucesiones

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(ϕ\) tal que \(ϕ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(ϕ\) es una función de extracción por

   def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ {n m}, n < m → ϕ n < ϕ m

Demostrarcon Lean4 que si \(ϕ\) es una función de extracción, entonces \[ (∀ n)[n ≤ ϕ(n) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
open Nat

variable {ϕ : ℕ → ℕ}

def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ {n m}, n < m → ϕ n < ϕ m

example :
  extraccion ϕ → ∀ n, n ≤ ϕ n :=
by sorry

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Las particiones definen relaciones de equivalencia

Relaciones de equivalencia

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean4 por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia \(P\) de subconjuntos de \(X\) es una partición de \(X\) si cada elemento de \(X\) pertenece a un único conjunto de \(P\) y todos los elementos de \(P\) son no vacíos. Se puede definir en Lean4 por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una partición de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es una relación de equivalencia.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : Equivalence (relacion P) :=
by sorry

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Las particiones definen relaciones transitivas

Relaciones de equivalencia

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean4 por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia \(P\) de subconjuntos de \(X\) es una partición de \(X\) si cada elemento de \(X\) pertenece a un único conjunto de \(P\) y todos los elementos de \(P\) son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una partición de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es transitiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : Transitive (relacion P) :=
by sorry

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Las familias de conjuntos definen relaciones simétricas

Relaciones de equivalencia

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean4 por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una familia de subconjuntos de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es simétrica.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

-- 1ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, h1⟩
  -- A : Set X
  -- h1 : A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A
  have h2 : A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A := by tauto
  exact ⟨A, h2⟩

-- 2ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  unfold Symmetric
  -- ⊢ ∀ ⦃x y : X⦄, relacion P x y → relacion P y x
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  unfold relacion at *
  -- hxy : ∃ A, A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A
  -- ⊢ ∃ A, A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  use A

-- 3ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  use A

-- 4ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  exact ⟨A, ⟨hAP, hyA, hxA⟩⟩

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Las particiones definen relaciones reflexivas

Relaciones de equivalencia

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de \(X\) es una partición de \(X\) si cada elemento de \(X\) pertenece a un único conjunto de \(P\) y todos los elementos de \(P\) son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una partición de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es reflexiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : Reflexive (relacion P) :=
by sorry

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El conjunto de las clases de equivalencia es una partición

Relaciones de equivalencia

Demostrar con Lean4 que si \(R\) es una relación de equivalencia en \(X\), entonces las clases de equivalencia de \(R\) es una partición de \(X\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable {x y: X}
variable {R : X → X → Prop}

def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

lemma aux
  (h : Equivalence R)
  (hxy : R x y)
  : clase R y ⊆ clase R x :=
fun _ hz ↦ h.3 hxy hz

example
  (h : Equivalence R)
  : particion {a : Set X | ∃ s : X, a = clase R s} :=
by sorry

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Las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas

Relaciones de equivalencia

Demostrar con Lean4 que las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable {x y: X}
variable {R : X → X → Prop}

def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}

example
  (h : Equivalence R)
  (hxy : ¬ R x y)
  : clase R x ∩ clase R y = ∅ :=
by sorry

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