Se define la relación \(R\) entre los números enteros de forma que \(x\) está relacionado con \(y\) si \(x-y\) es divisible por 2.

Demostrar con Lean4 que \(R\) es una relación de equivalencia.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

def R (m n : ℤ) := 2 ∣ (m - n)

example : Equivalence R :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(u_n\) está acotada y el límite de \(v_n\) es \(0\), entonces el límite de \(u_n·v_n\) es \(0\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (u v : ℕ → ℝ)
variable (a : ℝ)

def limite (u : ℕ → ℝ) (c : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ k, ∀ n ≥ k, |u n - c| < ε

def acotada (a : ℕ → ℝ) :=
  ∃ B, ∀ n, |a n| ≤ B

example
  (hU : acotada u)
  (hV : limite v 0)
  : limite (u*v) 0 :=
by sorry

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En Lean4, una sucesión \(u_0, u_1, u_2, \dots\) se puede representar mediante una función \(u : ℕ → ℝ\) de forma que \(u(n)\) es el \(n\)-ésimo término de la sucesión.

Se define que \(a\) límite de la sucesión \(u\) como sigue

   def limite (u : ℕ → ℝ) (c : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ k, ∀ n ≥ k, |u n - c| < ε

Demostrar que si \((∀ n)[u_n ≤ v_n]\), \(a\) es límite de \(u_n\) y \(c\) es límite de \(v_n\), entonces \(a ≤ c\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (u v : ℕ → ℝ)
variable (a c : ℝ)

def limite (u : ℕ → ℝ) (c : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ k, ∀ n ≥ k, |u n - c| < ε

example
  (hu : limite u a)
  (hv : limite v c)
  (huv : ∀ n, u n ≤ v n)
  : a ≤ c :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(x, y ∈ ℝ\) tales que \((∀ z)[y < z → x ≤ z]\), entonces \(x ≤ y\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

variable {x y : ℝ}

example
  (h : ∀ z, y < z → x ≤ z) :
  x ≤ y :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 la paradoja del barbero; es decir, que no existe un hombre que afeite a todos los que no se afeitan a sí mismo y sólo a los que no se afeitan a sí mismo.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable (Hombre : Type)
variable (afeita : Hombre → Hombre → Prop)

example :
  ¬(∃ x : Hombre, ∀ y : Hombre, afeita x y ↔ ¬ afeita y y) :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(u_n\) es una sucesión convergente, entonces está acotada; es decir, \[ (∃ k ∈ ℕ)(∃ b ∈ ℝ)(∀ n ∈ ℕ)[n ≥ k → |u_n| ≤ b] \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {u : ℕ → ℝ}

-- (limite u c) expresa que el límite de u es c.
def limite (u : ℕ → ℝ) (c : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ k, ∀ n ≥ k, |u n - c| ≤ ε

-- (convergente u) expresa que u es convergente.
def convergente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ a, limite u a

example
  (h : convergente u)
  : ∃ k b, ∀ n, n ≥ k → |u n| ≤ b :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que un número es par si y solo si lo es su cuadrado.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Even
import Mathlib.Tactic

open Int

variable (n : ℤ)

example :
  Even (n^2) ↔ Even n :=
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Sea \(u\) una sucesión creciente. Demostrar con Lean4 que si \(S\) es un supremo de \(u\), entonces el límite de \(u\) es \(S\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (u : ℕ → ℝ)
variable (S : ℝ)

-- (limite u c) expresa que el límite de u es c.
def limite (u : ℕ → ℝ) (c : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - c| ≤ ε

-- (supremo u S) expresa que el supremo de u es S.
def supremo (u : ℕ → ℝ) (S : ℝ) :=
  (∀ n, u n ≤ S) ∧ ∀ ε > 0, ∃ k, u k ≥ S - ε

example
  (hu : Monotone u)
  (hS : supremo u S)
  : limite u S :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(f\) una función de \(ℝ\) en \(ℝ\) tal que \[ (∀ x, y)[f(x) ≤ f(y) → x ≤ y] \] entonces \(f\) es inyectiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Function

variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (h : ∀ {x y}, f x ≤ f y → x ≤ y)
  : Injective f :=
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Sea una función \(f\) de \(ℝ\) en \(ℝ\).

• Se dice que \(f\) es creciente si para todo \(x\) e \(y\) tales que \(x ≤ y\) se tiene que \(f(x) ≤ f(y)\).
• Se dice que \(f\) es involutiva si para todo \(x\) se tiene que \(f(f(x)) = x\).

En Lean4 que \(f\) sea creciente se representa por Monotone f y que sea involutiva por Involutive f

Demostrar con Lean4 que si \(f\) es creciente e involutiva, entonces \(f\) es la identidad.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Function

variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (hc : Monotone f)
  (hi : Involutive f)
  : f = id :=
by sorry

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